SKKN Vận dụng linh hoạt các định lý và phương pháp chứng minh hình học

cái cũ suy ra cái mới, khi đã tìm được cách chứng minh một bài tập hình học rồi, 
ta không nên tự mãn, cho thế là đủ mà nên đi sâu nghiên cứu thêm, xem còn có cách 
giải nào khác không? Đối với những định lý đã học rồi hoặc những bài tập đã làm 
rồi thì sau này học đến các định lý mới, nên nghiên cứu lại thử xem từ các định lý 
mới có thể chứng minh được những định lý và bài tập trước kia không? Định hướng 
như vậy, không những giúp cho học sinh từ suy xét tiến bộ hơn, mà còn là một cơ 
hội tốt học sinh có một cơ hội tốt luyện tập vận dụng các định lý và cách vẽ đường 
phụ. Vì mỗi cách chứng minh cần dùng đến những định lý và đường phụ khác nhau. 
Những cơ hội tốt đó phải do các em học sinh tự mình cố gắng tìm kiếm. 
Từ đó có thể giúp các em biến khó thành dễ, có thể nói việc làm quan trọng 
nhất khi chứng minh một bài tập và phân tích suy luận, từ đó có thể tìm được 
3 
phương pháp chứng minh hay không chủ yếu là do việc làm này quyết định. Một 
bài tập dù khó đến đâu, sau các bước phân tích cần thiết, điều có thể biến đổi từng 
bước thành bài dể. Cứ như vậy sẽ đi đến chổ bài đã biến đổi thoả mãn điều kiện của 
đề bài ra thường dùng sơ đồ phân tích để làm điều đó và giúp cho học sinh giải 
quyết được bài khó. Từ một định lý, một bài toán ta cũng có thể định hướng dẫn dắt 
học sinh biết cách khai thác bài tạo ra nhiều bài toán tương tự và phát triển mở rộng 
hơn nửa và chính điều này sẽ tạo được nhiều hứng thú trong bộ môn toán. 
2. Thực trạng của vấn đề 
Về ưu điểm Trường THCS Nguyễn Trường Tộ trước kia thuộc xã Thống Nhất 
huyện Krông Búk , nay là Thị xã Buôn Hồ, Phường thống Nhất. Qua 10 năm đổi 
mới của Thị Xã Buôn Hồ, nhờ có sự thay đổi đó nên càng ngày vẫn có sự thay đổi 
rõ nét trong đầu tư giáo dục. Được sự quan tâm của ngành, của địa phương, của quý 
bậc phụ huynh nên việc đầu tư về cơ sơ vật chất, về thời gian học tập của các em 
mỗi ngày có mỗi thay đổi. Đặc biệt nhờ có lớp học tăng buổi nên việc thực hiện 
những vấn đề được trình bày trên đây cũng thuận lợi hơn. Có nhiều thời gian hơn để 
người dạy và người học thực hiện vai trò . “Thầy phải luyện cái gì “ trò phải tập cái 
gì ? trong các buổi học hình. Mấy năm gần đây Bộ giáo dục đã đưa ra chương trình 
giải toán qua mạng, giúp một số em có điều kiện tự rèn luyện kiến thức và phát huy 
năng lực tư duy độc lập, rèn luyện tư duy sáng tạo tính tự giác học tập, phương phát 
giải toán nhanh, kỷ năng phát hiện tốt cách giải một số bài toán hình học phải nhanh 
và chính xác. 
Bên cạnh những mặt thuận lợi cũng có nhiều khó khăn vì hình học là phân môn 
dùng lý luận để suy diễn, thì phải dựa vào quy tắc suy diễn để tìm hiểu tính chất 
chung của không gian .....chính điều đó mà một ngày hai ngày không dể gì học sinh 
tiếp cận mà học được ngay bộ môn hình học mà đòi hỏi người giáo viên phải định 
hướng dẫn dắt các em phải biết vận dụng một cách linh hoạt các định lý và phương 
pháp chứng minh. 
Bên cạnh đó xã hội ngày càng tân tiến , công nghệ thông tin phát triển nên các 
em bị chi phối rất nhiều cho nhiều việc, như đá bóng, nghiện game, sử dụng điện 
thoại không đúng mục đích nên việc học của các em ngày càng bị giảm sút, có học 
nhưng không có hành nên kiến thức dần dần mất căn bản , không đủ kiến thức để 
giải quyết một số bài toán từ đơn giản, đến phức tạp, dẫn đến thấy bài tập, bài toán 
nào cũng khó ,đặc biệt môn hình học đa số các em để mất căn bản ở lớp dưới ,và 
không biết vận dụng một cách linh hoạt giữa các định lý và các phương pháp chứng 
minh hình học .Trong khi học hình học phẳng nói chung học sinh đều cảm thấy có ít 
nhiều khó khăn. Nghiên cứu nguyên nhân, tôi thấy có mấy điểm dưới đây. 
 - Học sinh chưa có những khái niệm cơ bản rõ ràng . 
 - SGK biên soạn tuần tự theo hệ thống lí luận, không tổng hợp từng loại làm cho 
người mới học khó nắm cách giải các bài toán. 
 - Trong các SGK, các bài tập mẫu quá ít, hướng dẫn và gợi ý không đầy đủ nên 
khó tiếp thu và nghiên cứu. 
 - Học sinh thường chỉ biết học “ vẹt “ các định lý và các qui tắc không biết vận 
dụng một cách linh động những định lý các quy tắc. 
4 
 - Học sinh hiện nay vẫn còn học mang tính thụ động rất nhiều, không chịu khó 
suy nghĩ, tìm tòi học hỏi, dẫn đến đa số các em không thích học môn hình học. Một 
số giáo viên lại chiều theo sở thích của các em cũng ít đầu tư định hướng vào việc 
dạy bộ môn hình học cho các em một cách bài bản, có hệ thống tư duy logic. 
 - Điều kiện cơ sở vật chất nhà trường còn thiếu thốn phòng thư viện của trường 
không có sách tham khảo dành cho học sinh đọc. Do đó, việc tìm tòi sách đọc là 
vấn đề hạn chế. 
 - Nhưng khó khăn hơn vẫn là các em học sinh do điều kiện của địa phương với 
đặc thù là vùng công giáo, số nhân khẩu đông, điều kiện kinh tế khó khăn còn một 
phần là học sinh dân tộc Êđê ở Buôn Đlung học sinh ở chùa Bửu Thắng, điều kiện 
học tập của các em rất khó khăn. Vì vậy việc quan tâm đến học hành của các em 
còn hạn chế nhiều về tinh thần và vật chất, dẫn đến việc học môn toán, trong đó có 
phần môn hình học các em chưa thật hứng thú, say mê. 
Chính vì vậy là một người giáo viên tôi nhận thấy rằng cần phải rèn luyện cho 
các em năng lực tư duy, sáng tạo, tạo nhiều hứng thú bộ môn cho các em để giúp 
các em phần nào có thêm một phần kiến thức hiểu biết về bộ môn hình học, giúp 
các em biết cách vận dụng định lý, bài tập và phương pháp chứng minh hình học 
một cách linh hoạt. 
3. Nội dung và hình thức của các giải pháp 
a. Mục tiêu của các giải pháp 
Qua các năm giảng dạy ở các khối lớp7, 8,9 qua trắc nghiệm hứng thú học toán 
cuả học sinh, tôi cho học sinh làm một bài kiểm tra trắc nghiệm. 
- Kết quả khảo sát HS lớp 8 của trường trong năm học 2017-2018 về thái độ 
đối với môn hình học cho thấy: 
SL 
Yêu thích môn học Bình thường Không thích học 
SL % SL % SL % 
110 33 30% 33 30% 44 40% 
- Kết quả khảo sát chất lượng môn hình học qua các bài kiểm tra học sinh lớp 8 
của trường trong học kỳ 1 năm học 2017-2018 cho thấy: 
SL Giỏi Khá Trung bình Yếu kém 
 SL % SL % SL % SL % SL % 
110 15 13,6% 
25 
22,7% 20 
18,2% 
38 34,5% 12 11% 
Qua gần gủi tìm hiểu thì các em cho biết ban đầu cũng rất muốn học hình học 
nhưng không biết bắt đầu từ đâu, và làm cách nào để giải một bài toán nào đó và 
việc vận dụng định lý vào việc phân tích giải một bài toán đối với các em là rất khó 
khăn. Đặc biệt các em không nhớ lý thuyết, có học lý thuyết cũng không biết vận 
dụng khi nào.Vì vậy trong mỗi buổi tiết dạy hình học tôi luôn chú trọng đến việc 
5 
đầu tiên tạo hứng thú cho các em thích học môn hình học nhiều hơn, bằng các tình 
tự trong các tiết dạy như sau. 
Trước hết phải nghiên cứu lại phần lý thuyết phải xác định rõ kiến thức, cơ bản 
và trọng tâm, biến đổi các định lý làm cho phương pháp chứng minh đơn giản và 
gọn hơn. 
Bước tiếp theo là tôi nghiên cứu các bài tập SGK soạn bài tập theo yêu cầu 
chuẩn kiến thức và trả lời những yêu cầu sau. 
Cách giải từng bài toán như thế nào? 
Có thể có bao nhiêu cách giải bài toán này ? 
Cách giải nào là cách giải thường gặp ? cách giải nào là cơ bản ? 
Ý đồ của tác giả đưa ra bài toán này để làm gì ? 
Để giải được bài toán cần phải áp dụng những kiến thức lý thuyết nào đã học 
để giải. 
Mục đích và tác dụng của từng bài tập như thế nào ? 
Để trả lời những câu hỏi trên nhằm đảm bảo một tiết dạy trên lớp đến với các 
em học sinh một cách có hiệu quả, tôi tiến hành nghiên cứu từng nội dung theo trình 
tự các mẫu sau. 
b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp 
 Từ kiến thức cũ suy ra kiến thức mới 
Trong quá trình học hình, ta có làm quen với một định lý quan trọng: „‟đường 
phân giác của góc trong của một tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng 
tỷ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy‟‟. 
Phần chứng minh của định lý trong SGK chắc bạn đọc đã rõ. Nhưng có một số 
SGK xếp định lý này trước phần tam giác đồng dạng, nên phương pháp chứng minh 
khá phức tạp. Sau khi học các định lý về tam giác đồng dạng rồi, nếu bạn trở lại 
nghiên cứu định lý này bạn sẽ thấy phương pháp chứng minh định lý đó có phần dễ 
hơn ; bởi vì những định lý về tam giác đồng dạng không phải suy từ định lý này mà 
ra, nên cách chứng minh đó, về lý luận mà nói, không đến nỗi phạm sai lầm về mất 
hệ thống, đảo lộn thứ tự. Sau đây giới thiệu với các bạn một cách ngắn gọn hai 
phương pháp chứng minh mới của định lý này. 
1) Từ C dựng đường thẳng song song với AB cắt AD kéo dài tại E. vì 
 DB A D A C ; A D B C D E nên  ABD  ECD, 
ta suy ra AB : EC = BD : DC, Nhưng DB A D A C = D E C nên EC = AC, 
thay vào tỷ lệ thức trên, ta có : AB : AC = BD : DC 
6 
1
2
E
DB
A
C
D
A
B C
E
2) Dựng CE sao cho AE C = B , ta có  ABD  ACE 
và suy ra : AB : AC = BD : CE, 
Từ D DA C B A B  , A AD E C E C E C  (định lí góc ngoà trong tam giác ) 
ta có DD E C E C suy ra CE = DC thay vào tỷ lệ thức trước được 
AB : AC = BD : DC (đpcm). 
Bị chú : Cách giải (2) là đặt giả thiết C > B , trong trường hợp C < B , thì ta 
lấy ở B một phần góc bằng C , rồi chứng minh như cũ. khi C = B , tam giác này là 
tam giác cân, việc chứng minh định lý này trở nên hết sức dễ dàng. 
 Biến khó thành dễ 
Có thể nói việc làm quan trọng nhất khi chứng minh một bài tập là phân tích 
suy xét, có tìm được phương pháp chứng minh hay không chủ yếu do việc làm này 
quyết định. Một bài tập dù khó đến đâu, sau các bước phân tích cần thiết, đều có thể 
biến đổi từng bước thành bài dễ. Cứ như vậy sẽ đi đến chỗ bài đã biến đổi thoả mãn 
điều kiện của bài ra, và ta cũng giải quyết được bài khó. Phương pháp biến đổi bài 
khó thành dễ ta đã gặp nhiều trong các ví dụ trước. Vì đây là vấn đề rất quan trọng 
trong việc học môn hình học nên chúng tôi nêu thêm ví dụ để nghiên cứu kỹ hơn. 
Chúng ta có ba bài tập sau đây, tương ứng ba hình 
1) Trong  ABC, phân giác của B và C cắt nhau tại D, dựng đường song song 
với BC đi qua D, cắt nhau AB và AC tại E và F. Chứng minh rằng EF = BE + CF. 
2) Trong  ABC, phân giác của B và của góc ngoài của C cắt nhau tại D, dựng 
đường song song với BC đi qua D cắt AB, AC tại E và F. 
Chứng minh rằng EF = BE – CF. 
3) Trong  ABC, phân giác của C cắt AB tai E ; qua E dựng đường song với 
BC cắt AC tại F, cắt đường phân giác của góc ngoài của C tại G.Chứng minh rằng 
EF = FG. 
7 
FE D
A
B
C
FE D
A
B C H
F GE
A
B
C
D
 (1) (2) (3) 
 Hình vẽ của ba bài này tuy có khác nhau, nhưng quan sát kỹ, ta thấy cả ba 
hình đó đều có phần giống nhau như hình vẽ sau. Trong hình này, nếu biết 
Q O P P O x , QP //Ox, thì có thể chứng minh Q O P P O x Q P O  , và  QOP cân, 
nghĩa là QP = QO. Ta có thể đặt thành một bài tập như sau. 
y
x
P
O
Q
Từ một điểm trên đường phân giác của một góc dựng đường song song với một 
cạnh và cắt cạnh kia của góc, ta sẽ được một tam giác cân . 
Bài này, người mới học hình cũng chứng minh được. Làm được bài này, thì cả 
ba bài trên ta cũng làm được. Trong bài (1) hoặc (2) dùng phương pháp này có thể 
chứng minh được ED = BE, DF = CF, rồi đem cộng hay trừ hai đẳng thức này với 
nhau, ta sẽ chứng minh được hai bài tập đó. Trong bài (3) ta cũng dùng phương 
pháp trên, sẽ được EF = CF, FG = CF. So sánh hai đẳng thức này với nhau ta thấy 
EF = FG. 
 Từ một bài toán ta có thể suy ra ba bài toán 
Chúng ta đã biết mỗi định lý đều có một định lý đảo, một định lý phản và một 
định lý phản đảo. Bốn định lý như vậy, thường có phương pháp chứng minh và cách 
dựng đường phụ giống nhau. Cho nên, nếu ta biết được phương pháp chứng minh 
một định lý rồi, gặp trường hợp phải chứng minh ba định lý kia, vẫn có thể áp dụng 
phương pháp trước chứng minh, làm cho ta đỡ mất công hơn. Sau khi chứng minh 
một định lý rồi, ta đi sâu nghiên cứu thêm ba cách biến đổi của nó, ta sẽ có một ấn 
8 
tượng sâu sắc về phương pháp chứng minh và rút ra được nhiều kinh nghiệm mới. 
Các bạn học hình nhất thiết đừng bỏ qua cơ hội nghiên cứu này. 
Sau đây là một ví dụ về tính chất của hình thang lớp 8 
(1) Hai đường chéo của một hình thang cân bằng nhau. 
G EF D C
A B
Định lý này có thể chứng minh theo cách sau. 
Từ A dựng AE // BC cắt DCtại E, dựng AF // DB cắt CD kéo dài tại F, dựng 
AG  DC. Ta sẽ có tứ giác AECB và tứ giác AFDB là hình bình hành ta suy ra AE 
= BC = AD, AF = DB, từ định lý “trong tam giác cân, đường cao hạ từ định chia đôi 
cạnh đáy ”ta có: DG = GE. Vì FD = AD = EC, nên FG=GC. Từ định lý đảo của 
định lý nêu ở trên, ta biết AF = AC hay là DB = AC. 
Biết phương pháp chứng minh định lý này rồi,bây giờ cần chứng minh định lý 
đảo của nó. 
(2) Trong một hình thang có hai đường chéo bằng nhau. Chứng minh hình 
thang đó là hình thang cân. 
Ta vẽ đường phụ như trước,và chứng minh như sau : Từ AF = DB = AC, ta suy 
ra FG = GC. Đem đẳng thức này trừ đi từng vế của FD = EC, được DG = GE. Do 
đó ta biết được AD = AE = BC. 
Sau đây là định lý phản của nó. 
(3) Nếu hai cạnh của một hình thang không bằng nhau, thì hai đường chéo của 
nó cũng không bằng nhau, đường chéo đi qua đỉnh của góc xen giữa đáy lơn và 
cạnh bên lớn thì lớn hơn. 
Ta vẫn vẽ đường phụ như trước và chứng minh như sau: 
G EF D C
A B
 Nếu AD > BC thì AD > AE, từ định lý trong hai đường xiên đường nào có 
hình chiếu lớn thì lớn hơn, ta suy ra : BG > GE, đem cộng từng vế với FD = EC, 
được FG > GC. 
Lại từ định lý đảo của định lý trên , ta có AF >AC hay DB > AC. 
Khi chứng minh định lý phản đảo của nó 
(4) Nếu hai đường chéo của một hình thang không bằng nhau thì hai cạnh bên 
cũng không bằng nhau, cạnh bên đi qua đỉnh của góc xen giữa đáy lớn và đường 
chéo lớn thì lớn hơn . 
Phương pháp vẫn giống như trước. Ta chứng minh : Đặt giả thiết DB > AC thì 
9 
AF > AC, được FG > GC đem trừ từng vế với FD = EC, ta được DG > GE. Từ đó 
AD > AC hay AD > BC. 
Bài tập hình học tuy nhiều, nhưng trong đó cũng có một số bài giống nhau về 
thực chất nội dung mà khác nhau về bên ngoài. Trong quá trình học tập, ta nên 
thường xuyên lưu ý, biết liên hệ những bài đó với nhau. Làm như vậy có một điều 
lợi là, đã làm được một bài, thì cũng làm được một bài khác cùng loại . 
Thí dụ như bài ba dưới đây tương ứng với ba hình sau 
1) Chứng minh rằng tứ giác có bốn đỉnh là các trung điểm của bốn cạnh của 
một tứ giác là một hình bình hành. 
2) Nối liền trung điểm của hai cạnh đối nhau với trung điểm của hai đường 
chéo của một tứ giác. Chứng minh tứ giác tạo thành là hình bình hành . 
3) Cho tứ giác AKCL,AK,LC kéo dài cắt nhau tại B , AL, KC kéo dài cắt nhau 
tại D. Gọi E; F; G; H lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, BC, CD, DA, Chứng 
minh tứ giác EFGH là hình bình hành . 
 (1) 
E
F
G
HA D
B
C
 (2) 
E
G
F
H
A
D
C
B
(3)
F
G
E
H
B
A
K
C
D
Trông bề ngoài, ba bài này hoàn toàn khác nhau, nhưng thực chất nội dung của 
chúng lại giống nhau vì những lý do sau: 
 Nếu đem cạnh BC của tứ giác ABCD trong hình (1) quay 01 8 0 xung quanh 
tâm B, ta sẽ được hình (2). Và nếu đem đổi C của hình (1) bằng một góc lớn hơn 
0
1 8 0 thì ta sẽ được hình (3) . Phương pháp chứng minh của ba bài này đều dựa vào 
10 
định lý đường trung bình của tam giác. 
Chứng minh EH = 
1
2
 BD; EH BD và FG =
1
2
 BD; FG BD trước, rồi mới 
chứng minh EH = FG ;EH FG và xác định tứ giác EFGH là hình bình hành. 
Cũng có khi hình vẽ của mấy bài tập nào đó trông khác nhau hoàn toàn, những 
trong các hình đó lại có một phần giống nhau, thì cách chứng minh của chúng cũng 
giống nhau .Như trong hai bài dưới đây , tuy chúng có khác nhau về hình vẽ : một 
bài là tam giác, bài kia là tứ giác, nhưng hai hình đó đều chứa những tam giác bằng 
nhau có những tính chất giống nhau: 
1) Cho  ABC, lấy các cạnh làm cạnh dựng các tam giác đều ABD, BCE, CAF 
ra phía ngoài của tam giác. 
Chứng minh : CD = AC = BF. 
A
B
C
D
F
E
 2) Cho tứ giác ABCG,lấy AB và CG làm cạnh dựng các tam giác đều ABD, 
CGF ra phía ngoài của tứ giác và lấy BC làm cạnh dựng  BCE đều vào phía trong 
của tứ giác. 
Chứng minh rằng: DE = AC, EF = BG. 
j
B
A
C
G
D
F
E
Trong hình (1), có D B A = C B E = 06 0 mỗi vế cộng thêm A B C , ta được D B C = 
A B E .Từ DB = AB, BC = BE, ta có: 
 DBC =  ABE và suy ra CD = AE, cũng làm tượng tự như trên, ta sẽ chứng 
minh được bài (1). Trong hình (2), ta cũng có thể áp dụng phương pháp như ở bài 
(1). Chúng minh hai tam giác bằng nhau. 
Ngoài các bài trên, hai bài sau đây cũng có thể áp dụng phương pháp trên để 
chứng minh: 
3) Ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng lấy AB, BC làm cạnh 
dụng các tam giác đều ABC, BCE về cùng một phía của đường thẳng. 
Chứng minh AE = CD. 
11 
C A
E
D
B
Ta có thể chứng minh như sau: 
Xét tam giác BCD và tam giác BEA: Ta có 06 0E B C A B D  
suy ra C B E E B A (cùng kề với góc DE B ) 
BD = BA ( gt) 
BE = BC ( gt) 
Suy rs  BCD =  BEA ( c-g-c) 
Suy ra AE = CD (đpcm) 
4) Ba điểm A, C, B cùng nằm trên một đường thẳng. Lấy AB, CB làm cạnh, 
dựng các tam giác đều ABD, CBE về hai bên của đường thẳng đó. 
Chứng minh rằng AE = CD. 
B A
E
D
C
Xét tam giác BCD và tam giác BEA: Ta có 06 0D B C A B E  
BD = BA ( gt) 
BE = BC ( gt) 
Suy rs  BCD =  BEA ( c-g-c) 
Suy ra AE = CD (đpcm) 
Trong bốn bài trên, sau khi chứng minh bốn bài cách chứng minh đều giống 
nhau. 
c. Mối quan hệ giữa các giải pháp và biện pháp 
Ngoài việc cung cấp cho các em một số kiến thức về bộ môn hình học, tôi 
thường chú trọng đến việc rèn luyện cho các em về kỉ năng , phương pháp chứng 
minh đặc biệt là giúp các em vận dụng linh hoạt các định lí và phương pháp chứng 
minh hình học như trên tuy một số kinh nghiệm trên chưa thật sự đầy đủ , nhưng 
sau một thời gian tôi đưa những kinh nghiệm trên vào giảng dạy 
Rất nhiều phương pháp và biện pháp để đưa kiến thức bộ môn hình học đến các em 
qua các tiết học chính khóa, các tiết dạy tăng buổi, đặc biệt kỳ 2 năm học 2017- 
2018 tôi tình nguyện tổ chức một lớp phụ đạo học sinh yếu kém 20 học sinh trong 
danh sách, có 4 học sinh xin học ( các em có điểm trung bình môn toán dưới 4.0) 
.Giúp cho các em hiểu và làm được các bài tập đơn giản về bộ môn hình học Và 
12 
kết quả học kỳ 2 các em chỉ còn 5 học sinh có điểm bộ môn toán dưới trung bình 
trong nhóm được phụ đạo học sinh yếu kém, đây là một biện pháp tôi cho là hay 
nhất để giúp đở các em học sinh có cùng trình độ như nhau. 
Ngoài ra tôi luôn sử dụng phương pháp bàn tay nặng bột vào các tiết dạy hình học 
tạo ra tình huống có vấn đề, chính các em là người tìm ra vấn đề, tìm ra kiến thức 
nội dung bài học tích cực. 
Khi phân tích đề bài toán hình, tôi thường định hướng cho các em phân tích hướng 
chứng minh theo sơ đồ phân tích để tìm ra các định lý, kiến thức đã học, giả thiết để 
giải quyết bài toán..Nhờ vào việc áp dụng linh hoạt giữa giải pháp và biện pháp 
kết quả bộ môn, cũng như hứng thú bộ môn kỳ 2 lớp 8 cũng như kỳ 1 lớp 9 đạt kết 
quả cao và qua thực nghiệm tôi thu được kết quả như sau 
 d. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu, phạm vi và 
hiệu quả ứng dụng 
Sau khi áp dụng kinh nghiệm vào giảng dạy tôi đã cho học sinh làm bài trắc về 
mức độ hứng thú bộ phân môn hình học. Kết quả điều tra HS lớp 9 của trường 
trong hai năm học gần đây về thái độ đối với môn hình học . 
Kết quả khảo sát HS lớp 8 của trường trong năm học 2017-2018 về thái độ 
đối với môn hình học cho thấy: 
Và đều đó đã thể hiện rõ qua các bài kiểm tra hình học, các em làm bài và trình 
bày tốt hơn, có hứng thú học tập bộ môn, có ý thức tự giác học tập ở nhà tốt hơn 
Kết quả khảo sát chất lượng môn của các lớp tôi dạy trong hai năm liên tục 
gần đây.Số liệu cụ thể được minh chứng qua các bảng số liệu sau 
SL Giỏi Khá Trung bình Yếu kém 
 SL % SL % SL % SL % SL % 
2017-2018 
(8a1,2,5,6) 110 30 27,3 
32 
28,1 38 34,5 10 9,1 0 
Kỳ 1- 2018-
2019( 9a3,4,5,6) 
105 
35 33,3 30 28,6 27 25,7 12 11,4 1 1,0 
III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 
Các n m học SL 
Yêu thích môn 
học 
Bình thường Không thích học 
SL % SL % SL % 
2017-2018 110 66 60% 30 27,3% 14 12,7% 
Kỳ 1