Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

làm trội trong từng nhóm 
Ta xét ví dụ sau: 
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  2 thì 
1+
2
1
+
3
1
+ ... +
12
1
n
 < n 
Giải 
Gọi hai vế bất đẳng thức trên là A ta có 
A = 1+(
2
1
+
3
1
)+(
22
1
+ ... +
7
1
)+(
32
1
+ ... +
15
1
) + ... + (
12
1
n
+ ... +
12
1
n
) 
Ở mỗi nhóm ta làm trội bằng cách thay các phân số bằng các phân số lớn 
nhất trong mỗi nhóm ta được 
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 
 / 31 9
A < 1+
2
1
.2+
22
1
.4+
32
1
.8+ ... +
12
1
n
. 12 n = 1 +1 + ...+1=n 
2.4. Bài tập tự giải: 
Chứng minh bất đẳng thức sau 
1/ 
a
1
+
b
1
  
ba 
4
 ( a>0; b>0) 
2/ a2 + b2 + c2 + d2  4 abcd 
3/ 
22
1
+ 
23
1
 + ... + 
2
1
n
 < 
n
n 1
3. Phương pháp biến đổi tương đương 
3.1. Phương pháp: 
- Để chứng minh bất đẳng thức A  B ta biến đổi tương đương (dựa vào các 
tính chất của bất đẳng thức) 
A  B  ....  C  D 
Và cuối cùng đạt được bất đẳng thức đúng hoặc hiển nhiên là C  D 
Vì các phép biến đổi đều là tương đương nên A  B 
- Để dùng các phép biến đổi tương đương ta cần chú ý các hằng đẳng thức 
sau: 
( A+ B)2 = A2 + 2AB +B
2 
( A- B)2 = A2 - 2AB +B
2 
 (A+B+C)2 = A2 + B2 + C2 +2AB + 2BC + 2 CA. 
3.2. Các ví dụ minh hoạ : 
Ví dụ 1: 
Chứng minh: x2 - x +1 >0  x 
Giải 
Ta có : x2 - x +1 >0 
 (x2 - 2.
2
1
.x +
4
1
) + 
4
3
>0 
(x-
2
1
)2 +
4
3
 > 0  x (điều phải chứng minh) 
 Khai thác bài toán: Từ lời giải trên ta thấy: (x-
2
1
)2 +
4
3
  0  x 
Dấu “=” xảy ra khi 
1
2
x  
Vậy giá trị nhỏ nhất của x2 - x +1 là 
3
4
Hoặc bài tương tự là: x2 + x +1 >0  x 
Ví dụ 2: 
 Chứng minh rằng với ba số a, b, c bất kỳ ta có: 
 2 2 2a b c ab bc ca     
Giải: 
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 
 / 31 10
   
 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 0
( 2 ) ( 2 ) 2 0
( ) ( ) ( ) 0
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
a ab b b bc c c ca a
a b b c c a
    
     
      
         
      
 Khai thác bài toán: 
Xét trường hợp đặc biệt với c = 1 ta có: 
 2 2 2 21 1a b a b ab b       
Kết hợp với đẳng thức 2 2 2 2( ) 2 2 2a b c a b c ab bc ca        ta có: 
3 2 2 2( )
3 3
a b c a b c   
 
Ví dụ 3. 
CMR với 4 số bất kì a, b, x, y ta có: (a2+b2)(x2+y2)  (ax+by)2 (1) 
Dấu bằng xảy ra  
x
a
 = 
y
b
Giải 
Ta có (1)  a2x2+ a2y2+b2x2+b2y2. 
 a2y2 - 2abxy+ b2x2  0 
 (ay-bx)2  0 (2) 
Bất đẳng thức (2) được chứng minh nên bất đẳng thức (1) đúng. 
Dấu “=” xảy ra  ay-bx = 0  
x
a
 = 
y
b
Ví dụ 4: 
Cho các số tương đương a và b thoả mãn điều kiện a+b=1 
CMR : 






a
1
1 






b
1
1  9 
Ta có 






a
1
1 






b
1
1  9 (1) 
 
a
a 1
b
b 1
  9 
 ab+ a+ b+ 1  9ab 
 a+b+ 1  8ab 
 2  8ab (vì a+b =1) 
 1 4ab 
 (a+b)2  4ab 
 (a-b)2 0 
Bất đẳng thức (2) đúng, mà phép biến đổi trên tương đương. Vậy bất đẳng 
thức (1) được chứng minh. 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b 
Ví dụ 5: 
Chứng minh bất đẳng thức: 
2
22 ba 
  
2
2





  ba với a>0, b>0 
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 
 / 31 11
Giải 
2
22 ba 
  
2
2





  ba (1) 
 4(a2+ b2)  (a+b)2 (nhân cả hai vế với 8) 
 4(a+b)(a2-ab+b2) (a+b)(a+b)2 ( chia cả 2 vế cho a+b >0) 
 4a2 - 4ab + b2  a2 + 2ab + b2 
 3a2 - 6ab + 3b2  0 
 3(a-b)2  0 (2) 
Bất đẳng thức (2) đúng mà phép biến đổi trên là tương đương nên bất đẳng 
thức (1) đúng. 
3.3. Chú ý: 
Sẽ mắc sai lầm trong lời giải trên khi thay các dấu tương đương “ ” bằng 
các dấu kéo theo “” 
Thật vậy nếu (1) “” (2) mà bất đẳng thức (2) đúng thì chưa thể kết luận 
được bất đẳng thức (1) có đúng hay không. 
- Khi sử dụng phép biến đổi tương đương, học sinh thường bỏ các biến đổi 
tương đương có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ. Vì vậy cần lưu ý các 
biến đổi tương đương có điều kiện. 
Chẳng hạn: a2 > b2  a >b với a, b >0 
m>n  am > an , m, nZ, a>1 
Cần chỉ rõ các điều kiện ấy khi biến đổi tương đương. 
3.4. Bài tập tự giải: 
Bài 1: So sánh 2 số A= 3 3 -3 và B= 2 2 -1( không dùng máy tính) 
Bài 2: Chứng minh rằng với 2 số nguyên dương x, y thoả mãn xy<1 thì : 
x1
1
+
y1
1
  
xy1
2
Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức: 
22 ba  + 22 dc      22 dcba  
Bài 4: Chứng minh rằng x>1 ta có: 
1x
x
  2 
Bài 5: Với a, b> 0. Chứng minh bất đẳng thức: 
b
a
 - a  b - 
a
b
Bài 6: Chứng minh rằng:  a, b, c  R ta có: 
a) 4 4a b  a3b+ab3 
b) a2+ b2 + c2  ab+ bc +ca 
4. Phương pháp phản chứng: 
Gọi luận đề cần chứng minh là luận đề: “ A  B” Phép toán mệnh đề cho 
ta: BA = BA =A  B = A B 
Như vậy muốn phủ định một luận đề ta ghép tất cả các giả thiết của luận đề 
với phủ định kết luận của nó 
Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng như sau: 
a.1 Dùng mệnh đề phản đảo B  A 
a.2 Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với giả thiết. 
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 
 / 31 12
a.3 Phủ định luận đề rồi suy ra hai điều trái ngược nhau. 
a.4 Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái ngược với điều đúng 
a.5 Phủ định luận đề rồi suy ra kết luận của A B  B 
Ví dụ 1: 
Cho a2 + b2  2 CMR a+b  2 
Giải 
Giả sử a + b >2  (a+b)2 > 4 ( vì hai vế dương nên bình phương hai vế) 
  a2 + 2ab + b2 >4 (1) 
 Mặt khác ta có: 2ab  a2 + b2  a2 + b2 +2ab  2(a2+b2) 
Mà: 2(a2+b2)  4 (giả thiết) do đó a2 + b2 +2ab  4 (2) 
Ta thấy (2) mâu thuẫn với (1) vậy phải có: a +b 2 
* Cách giải khác: ta có a2 + b2  2(1) 
Mặt khác 2ab  a2+ b2 nên 2ab  a2 + b2  2 (2) 
Cộng (1) với (2) ta được a2 +2ab +b2  4 
 (a + b)2  4  -2 a+b  2 
Ví dụ 2: 
Cho a, b, x,y liên hệ bởi a+b= 2xy 
CMR: ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng: x2 >a; y2 >b 
Giải 
Giả sử x2<a , y2 <b  x2 + y2 < a+b = 2xy 
 x2 + y2 - 2xy<0 
 (x-y)2 < 0. Vô lý 
Vậy ít nhất một trong hai bất đẳng thức: x2 >a; y2 >b là đúng 
Ví dụ 3: 
Cho 3 số thực a, b, c thoả mãn điều kiện sau: 








0
0
0
abc
cabcab
cba
CMR cả ba số đều dương 
Giải 
Vì abc>0 nên trong 3 số có ít nhất một số dương 
Ngược lại cả ba số đều âm  abc <0 (vô lý) 
Không mất tính tổng quát ta giả sử a> 0 
Mà abc > 0  bc >0 
Nếu b< 0, c<0  b+c<0 
Từ a+b+c >0 b+c>-a (b2+c2) < -a(b+c) 
 b22bc+c2 < -ab-c2 
 ab+ ac< -b2-2bc-c2 
 ab+bc+ca< -b2-2bc-c2 < 0 
 ab+bc+ca 0) 
Vậy b>0, c>0. Cả ba số đều dương 
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 
 / 31 13
4.3 Chú ý 
 Với những bài toán bất đẳng thức có dạng như trên ta nên sử dụng 
phương pháp phản chứng. Tuy nhiên để sử dụng phương pháp này cần nắm 
vững 5 cách chứng minh và các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi, lập 
luận. 
4.4 Bài tập tự giải: 
1. Cho a>b >0 và 
ba
ab

1
 <1 
CMR: không thể có a<1; b<1 
2. Cho a, b, c thoả mãn 0<a, b,c <1 
CMR một trong ít nhất bất đẳng thức sau là sai 
a(1-b) >
4
1
b(1-c) >
4
1
c(1-a) >
4
1
5. Phương pháp quy nạp toán học: 
5.1 Phương pháp: 
Nội dung của phương pháp này là tiền đề của phương pháp toán học 
Cho mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương n. Nếu: 
+ mệnh đề đúng với n+1 
+ Từ giả thiết đúng với n=k(k N) suy ra được mệnh đề cũng đúng với 
n=k+1. Thế thì mệnh đề cũng đúng với mọi số nguyên dương. 
Như vậy để chứng minh mệnh đề T đúng với mọi số nguyên dương bằng 
phương pháp qui nạp toán học ta phải tiến hành 3 bước 
 + B1: Chứng minh T(1) đúng ( kiểm tra mệnh đề đúng với n=1) 
 + B2: Giả sử mệnh đề T(k) đúng 
 ta chứng minh mệnh đề T(k+1) cũng đúng 
 + B3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương 
5.2 Một số ví dụ minh hoạ 
Ví dụ 1: 
CMR với x>-1 thì (1+x)n  1+nx. Trong đó n là số nguyên dương bất kỳ. 
Giải 
+ Với n=1 ta có bất đẳng thức đúng 1+x 1+x 
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k tức là (1+x)k  (1+kx) 
ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n=k+1. Tức là phải chứng 
minh : 
(1+x)k+1 1+(k+1)x 
Thật vậy theo giả thiết x>-1  x+1>0 
Ta có (1+x)k(1+x)  (1+kx)(1+x) 
 (1+x)k+1 1+(k+1)x+kx2 
Mà kx2>0 nên 1+(k+1)x+kx2 1+(k+1)x 
Từ đó suy ra bất đẳng thức phải chứng minh. 
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 
 / 31 14
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=0 
Ví dụ 2: 
CMR với  a ta đều có: 222 ... aaa   a+1 
(trong đó vế trái có n dấu căn) 
Giải 
Kí hiệu Pn = 
222 ... aaa  (có n dấu căn) 
+ Với n=1 ta có: P1= 
2a =a a+1 
+ Giả sử mệnh đề đúng với n=k tức là Pk  a+1 
Ta sẽ chứng minh điều đó cũng đúng với n=k+1 
Thật vậy theo giả thiết qui nạp rồi làm trội ta có 
Pk+1= kPa 
2  12  aa  122  aa =  21a = a +1 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh 
Ví dụ 3: 
Cho a, b là 2 số dương. Chứng minh rằng: 
2
nn ba 
  
n
ba





 
2
 n  2 
Giải 
+ Với n=2 ta dễ dàng chứng minh được 
2
22 ba 
  
2
2





  ba 
+ Giả sử bài toán đúng với n=k ta có: 
2
kk ba 
  
k
ba





 
2
(1) 
Ta phải chứng minh 
2
11   kk ba
  
1
2






 
k
ba
(2) 
Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 




 
2
ba
 ta được 





 
2
ba
2
kk ba 
  




 
2
ba
k
ba





 
2
Để có (2) ta phải chứng minh 
2
11   kk ba
  




 
2
ba
2
kk ba 
(3) 
 ak+1+bk+1 abk+akb 
Thật vậy ta có: ak+1+ bk+1-abk+akb = ak(a-b)-bk(a-b) = (a-b)(ak-bk) 
=(a-b)2(ak-1+ak-2b++ abk-2+bk-1) (vì a, b > 0) 
Bất đẳng thức (3) đúng, mà 




 
2
ba
2
kk ba 
  
1
2






 
k
ba
 
2
11   kk ba
  
1
2






 
k
ba
. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 
5.4 Bài tập tự giải 
1/ CMR:  n 3 ta có: 2n > 2n+1 
2/ CMR: 2n > n3  *n N ,n  10 
6. Phương pháp đổi biến: 
6.1. Phương pháp. 
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 
 / 31 15
B1. Đặt biến mới dựa theo biến cũ 
B2. Biến đổi bất đẳng thức theo biến mới, chứng minh bất đẳng thức với 
biến mới 
B3. Kết luận và trả về biến cũ 
6.2. Ví dụ minh hoạ 
Ví dụ 1: 
Chứng minh bất đẳng thức sau: abc  (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) 
Với a, b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác 
Giải 
Đặt: b+c-a = x, a+c-b=y, a+b-c=z 
 a= 
2
zy 
; b= 
2
zx 
; c= 
2
yx 
 Ta phải chứng minh 
2
zy 
.
2
zx 
.
2
yx 
 xyz 
 (y+z)2(x+z)2(x+y)2  64 x2y2z2 ( vì hai vế không âm) 
Ta có: (x+y)2 4xy 
 (y+z)2 4yz 
 (z+x)2 4zx 
Vì hai vế của bất đẳng thức trên không âm nên ta nhân từng vế các bất đẳng 
thức trên ta được: (y+z)2(x+z)2(x+y)2  64 x2y2z2 
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z a=b=c 
Ví dụ 2: 
Cho a+b+c=1; chứng minh rằng: a2+b2+ c2  1 
Giải 
Đặt a= 
3
1
+x, b=
3
1
+y, c=
3
1
+z 
Do a+b+c =1 nên x+y+z = 0 
Ta có: a2+b2+ c2 = (
3
1
+x)2+(
3
1
+y)2(
3
1
+z)2 
= 





 2
3
2
9
1
xx + 





 2
3
2
9
1
yy + 





 2
3
2
9
1
zz = 
3
1
+
3
2
(x+y+z)+x2+y2+z2 
=
3
1
+ x2+y2+z2  
3
1
Xảy ra đẳng thức  x=y=z  a=b=c=
3
1
6.3. Chú ý 
Khi dùng phương pháp đổi biến để chứng minh bất đẳng thức cần chú ý: 
+ Đặt biến mới theo hệ điều kiện của biến cũ, kèm theo điều kiện của biến 
mới. 
+ Nắm được các phép biến đổi, các bất đẳng thức cơ bản, quen thuộc dễ áp 
dụng. 
+ Đổi về biến cũ. 
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 
 / 31 16
6.4. Bài tập tự giải: 
1/ Cho a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác 
CMR: 
acb
a

+
bca
b

+
cba
c

  3 
2/ Cho x,y  0 thoả mãn: x2 x + y2 y = x x + y y 
CMR: x+y  1+ xy 
3/ Cho a, b, c  0 
CMR: 
22
4
cb
a

+
22
4
ca
b

+
22
4
ba
c

  
2
222 cba 
7. Phương pháp dùng các bất đẳng thức đã biết: 
7.1. Phương pháp: 
Trong nhiều bài toán để chứng minh một bất đẳng thức được gọn, ta có thể 
sử dụng các bất đẳng thức đã được chứng minh, nhất là các bất đẳng thức 
kinh điển như bất đẳng thức: Côsi, Bunhia Côpski... 
7.2. Ví dụ minh hoạ: 
Ví dụ 1: 
CMR: 
b
a
+
a
b
  2 với ab>0 
Giải: 
Vì 
b
a
, 
a
b
 đều là dương nên áp dụng bất đẳng thức côsi ta được: 
2
2













a
b
b
a
  
b
a
.
a
b
 =1  













2
a
b
b
a
 1 hay 
b
a
+
a
b
  2 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
b
a
=
a
b
 hay a=b 
(Tích không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau) 
Ví dụ 2: 
Chứng minh bất đẳng thức Becnuli đối với a  R+ ; 1<q Q thì (1+a)q 
>1+qa 
Giải 
Do q Q và q>1 nên q=
n
m
, trong đó m>n, m,n N 
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho m số: 
 n số hạng mn số hạng 
   
n
qaqa
  
1...11...1 
   m nmnqa  1.1 
(không xảy ra dấu bằng vì (1+qa)>1) 
Hay n(1+qa) + (m-n).1  n  m
n
qa1
 n+ nqa + m – n > n  m
n
qa1 
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 
 / 31 17
 
m
n
qa+1 >  m
n
qa1 
Nhưng 
m
n
= 
q
1
 vậy ta có: 
q
1
.qa +1 >  m
n
qa1 
 a +1 >  q
1
qa1 
  qa 1 > 1+qa 
Ví dụ 3: 
Cho biểu thức: 
2 2
:
11
x x x
P
x xx x x x
   
         
a) Rút gọn P. Đáp án: 
1
x
P
x


b) Tìm các giá trị của x sao cho P = -2 (Học sinh tự làm) 
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P . 
P có nghĩa khi 
1 0 1
1 1 1 1
1 1 2
1 1 1
2 2
x x
x
P x x
x x x
P
   
 
       
  
  
 (bất đẳng thức cosi) 
7.3. Bài tập tự giải: 
1/ CMR nếu các số dương a, b, c có tổng a+b+c =1 thì 9
111

cba
2/ Cho 1x , 1y CMR: 
xyyx 



 1
2
1
1
1
1
22
3/ Cho x,y  ; x,y  0 và x2+y2=1 
CMR: 1
2
1 22  yx 
 4/ CMR: 


















cba
1
1
1
1
1
1 64 với a,b,c >0 và a+b+c=1 
5/ Cho a1, b1; CMR: ababba  11 
8. Phương pháp dùng tam thức bậc hai: 
8.1. Phương pháp 
Ta có thể dùng định lý về dấu của tam thức bậc 2, dấu của nghiệm của tam 
thức bậc 2 ... để chứng minh bất đẳng thức. 
Cho tam thức bậc 2: F(x) = ax2+bx+c 
=b2-4ac 
+ Nếu  0 với xR 
+ Nếu  =0 thì a. F(x) >0 với  x 
a
b
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 
 / 31 18
 F(x) cùng dấu với a 
+ Nếu  >0 thì   x1, x2; x2>x1 
x nằm ngoài khoảng hai nghiệm: xx2  a.F(x)<0 
x nằm trong khoảng hai nghiệm (x1<x<x2)  a.F(x) <0 
8.2. Ví dụ minh hoạ 
Ví dụ 1: 
Cho -1 a2; -1 b2 và a+b+c=0 
CMR: a2+b2+c2 6 
Giải: 
Theo tính chất về dấu của tam thức bậc hai : 
-1 a2  (a-2)(a-1)  0 (1) 
Tương tự ta có: (b-2)(b-1)  0 (1) 
 (c-2)(c-1)  0 (1) 
Cộng từng vế của (1)(2)(3) ta được: a2-a-2+b+b2-b-2+c2-c-2 0 
 a2+b2+c2 –(a+b+c)6 
vì a+b+c=0  a2+b2+c2  6 
Ví dụ 2: 
Chứng minh bất đẳng thức Côsi- Bunhi Côpski 
Cho n cặp số thực bất kì; a1, b1; I =1,...,n thế thì: 
    222212222122211 ......... nnnn bbbaaabababa  
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  số k R sao cho 
nn kabkabkab  ;...;;1 221 
Giải: 
Với mọi xR ta có:   0211  bxa 
 ........... 
   0 nn bxa 
Từ đó suy ra : 
 02 2111
2
1  bxbaa 
 ................... 
 02 222  nnn bxbaa 
Cộng từng vế của bất đẳng thức trên ta được: 
      0......2... 222212211222221  nnnn bbbxbababaxaaa 
Vế trái là một tam thức bậc hai: f(x)= Ax2-2Bx+C Với A 0 
Mà f(x)  0 với  x  R nên ta có   0, tức là: 
’=B2-AC=     22221222212222211 ......... nn bbbaaabababa  
     22221222212222211 ......... nn bbbaaabababa  
( Nếu A=0 thì a1=a2=...=an=0, do đó bất đẳng thức cần chứng minh là tầm 
thường) 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 
 = 0  a1x-b1=...=anx-bn=0 
 b1=ka1; ... ; bn=kan. với kR 
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 
 / 31 19
Ví dụ 3: 
Cho các số a, b, c, d thoả mãn a+d=c+b 
CMR: Nếu lấy số m sao cho : 2m> bdac  thì với mọi xR ta luôn có : 
(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+m2  0 (1) 
Giải: 
Dựa vào giả thiết a+d=c+b nên ta có: 
(1)        0222  mbcxcbxadxdax 
Vì a+c=b+d nên ta đặt y= x2-(a+d)x= x2+(b+c)x 
Bất đẳng thức tương đương với: (y+ad)(y+bc)+m2 0 
 y2+(ad+bc)y+abcd+m2 0 
Đặt F(y)= y2+(ad+bc)y+abcd+m2 
y=(ac+bd)
2-4abcd-4m2=(ac-bd)2-4m2 
Vì 2m  bcad  nên 4m2 (ad+bc)2  





01
0y 
 F(y)  0 hay (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+m2  0  điều phải chứng minh. 
Ví dụ 4: 
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, các số x, y, z thay đổi sao cho : 
ax+by+cz =0(1) 
CMR: ayz+bxz+cxy0 (2) 
Giải 
Từ đẳng thức (1)  z=-
c
byax 
(c>0) 
Thay vào (2) ta có: -ay.
c
byax 
- bx
c
byax 
 +cxy 0 
 -(ax+by)(ay+bx)+c2xy 0 
 abx2+y(a2x+b2x-c2x) +aby2  0 
 abx2+y(a2+b2-c2)x +aby2  0 
Đặt F(x) = abx2+y(a2+b2-c2)x +aby2 
Ta chứng minh F(x) 0 với mọi yR 
x=y
2(a2+b2-c2)-4a2b2 
 =y2(a-b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a+b-c) 
và a b c là 3 cạnh của một tam giác và y2>0 nên  





0
0
ab
x  F(x)  0 với 
xR 
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh (dấu “=” xảy ra  x=y=z=0) 
8.3. Chú ý: 
Khi sử dụng phương pháp tam thức bậc hai cần lưu ý: 
+ Nắm chắc định lý về dấu tam thức bậc hai 
+ Thường dùng phép biến đổi tương đương để đưa bất đẳng thức cần chứng 
minh về dạng 




0)(
0)(
xF
xF
 hoặc 




0)(
0)(
yF
yF
Trong đó F(x), F(y) là tam thức bậc hai đối với biến số x,y 
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 
 / 31 20
8.4. Bài tập tự giải: 
 1/ Chứng minh rằng với mọi aR ta đều có : 
3
1
1
3
1
2
2




aa
aa
2/ Cho a b c thoả mãn hệ thức: a2+b2+c2=2 và ab+bc+ca=1 
CMR: 
3
4
,,
3
4
 cba 
3/ Cho các số 212121 ,,,,, zzyyxx thoả mãn các điều kiện: 
y1.y2>0(1); y1.x1>z1
2; (2); y2x2>z2
2 
CMR: (y1+y2)(x1+x2) (z1+z2)
2 
4/ Cho b>c>d. CRM: với mọi aR ta luôn có: 
(a+b+c+d)2 > 8(ac+bd) 
5/ Cho 6 số a, b ,c, d, m,n thoả mãn: a2+b2+c2+d2< m2+n2 
CMR: (m2-a2-b2)(n2-c2-d2) (mn-ac-bd)2 
III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 
A. Một số định lý, bất đẳng thức cần dùng 
1. Mệnh đề 1 
Nếu tổng các số thực dương x1, x2, ... xn bằng một số cho trước, thì tích của 
chúng sẽ lớn nhất khi x1= x2= ... =xn 
* Định lý 1: 
Nếu có n số thực dương x1, x2, ... xn có tổng bằng s không đổi thì tích 
P= nmn
mm xxx .... 21 21 có giá trị lớn nhất khi 
n
n
m
x
m
x
m
x
 ...
2
2
1
1 
Trong đó mi là các số hữu tỷ dương 
2. Mệnh đề 2: đối ngẫu 
Nếu tích của các số dương x1, x2, .... xn bằng một số cho trước thì tổng của 
chúng sẽ bé nhất khi x1= x2= .... =x 
* Định lý 2: 
Nếu n số thực dương x1, x2, .... xn có tích P= n
m
n
mm xxx ...21 21 không đổi thì tổng 
của chúng S= x1+ x2 +.... +xn có giá trị bé nhất khi 
n
n
m
x
m
x
m
x
 ...
2
2
1
1 
Trong đó mi là các số hữu tỷ cho trước 
3. Cho a1, a2.... an R. Ta có: 
nn aaaaaa  ...... 2121 (1) 
Dấu “=” xảy ra  ai cùng dấu(a1, a2.... an>0) 
Đặc biệt: 2121 aaaa  
B. Áp dụng: 
1. Tìm cực trị của hàm số, biểu thức đại số: 
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
   22 19941993  xxy 
Giải 
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 
 / 31 21
Dễ dàng thấy hàm số xác định với mọi x 
Ta có: 19941993  xxy 
Áp dụng bất đẳng thức 2121 aaaa  
1119941993  yxxy 
Dấu bằng xảy ra khi (x-1993)(1994-x) 0 
 1993 x 1994 
Do đó ymin=1 
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
1212  xxxxy 
Giải 
Điều kiện để hàm số xác định là: x  1 
Lúc đó:   22 )11(11  xxy = 1111  xx 
 1111  xxy =2 
Dấu bằng xảy ra  
  





1
2101111
x
xxx
Do đó ymin =2 
Bài 3: 
Cho các số x1, x2,..., x1993 thoả mãn điều kiện: 
1994... 199321  xxx 
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
M= 1...11 199321  xxx 
Giải 
Áp dụng bất đẳng thức