Sáng kiến kinh nghiệm Giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học 
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 6 
I.2.3. Phép chia hai số phức 
Với 0a bi , để tính thương 
c di
a bi
, ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a bi 
Cụ thể: 
2 2 2 2
( )( )
( )( )
c di c di a bi ac bd ad bc
i
a bi a bi a bi a b a b
. 
I.3 TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC 
Cho số phức z a bi , 2, , 1a b i 
 Tính chất 1: Số phức z là số thực z z 
 Tính chất 2: Số phức z là số ảo z z 
Cho hai số phức 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2; ; , , ,z a b i z a b i a b a b ta có: 
 Tính chất 3: 1 2 1 2z z z z 
 Tính chất 4: 1 2 1 2. .z z z z 
 Tính chất 5: 1 1 2
2 2
; 0
z z
z
z z
 Tính chất 6: 1 2 1 2| . | | | . | |z z z z 
 Tính chất 7: 1 1 2
2 2
| |
; 0
| |
z z
z
z z
 Tính chất 8: 1 2 1 2| | | | | |z z z z dấu “=” xảy ra z kz1 2 với k 0 
 Tính chất 9: 1 2 1 2| | | | | |z z z z dấu “=” xảy ra z kz1 2 với k 0 
SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học 
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 7 
CHƯƠNG II. GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP 
HÌNH HỌC 
II.1. Một số phương pháp giải bài toán cực trị số phức. 
 Có nhiều phương pháp để giải bài toán cực trị số phức ở đây tôi xin trình bày một số 
phương pháp quen thuộc như: phương pháp khảo sát hàm số, phương pháp lượng giác, 
phương pháp sử dụng bất đẳng thức. Sau đây chúng ta xét một số ví dụ minh họa 
Ví dụ 1. (Phương pháp sử dụng bất đẳng thức) Cho số phức z thỏa mãn z i1 2 4 . Gọi 
,M m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z i2 . Tính S M m2 2 . 
A. 34.S B. 82.S C. 36.S D. 68.S 
Lời giải 
Ta có: z i z i i z i i z i4 1 2 2 3 3 2 3 3 2 3 2 
z i4 3 2 2 4 3 2 . Vậy ;M m4 3 2 4 3 2 
S M m2 2 68 . Chọn D. 
Ví dụ 2. (Phương pháp khảo sát hàm số) Cho số phức z thỏa mãn z i z i2 4 2
. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của S z i2 ? 
A. min 5.S B. min 3 2. S C. min 3 2.S D. min 3 5.S 
Lời giải. Gọi ,z x yi x y . Ta có: 
z i z i x y x y y x
2 2 222 4 2 2 4 2 4
S z i x y x x x x
2 22 2 22 2 6 2 12 36 
SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học 
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 8 
Xét 
min
f x x x f x x x f f22 12 36 4 12 0 3 3 18 
Vậy min 3 2.S Chọn C. 
Ví dụ 3. (Phương pháp lượng giác hóa) Cho số phức z thỏa mãn 1 2 3z i . Tìm giá trị 
lớn nhất của 2 .P z i 
A. 26 6 17max .P B. 26 6 17max .P 
C. 26 8 17max .P D. 26 4 17max .P 
Lời giải 
Gọi 2 2; ;z x yi x y z i x y i . 
Ta có: 
2 2
1 2 9 1 2 9z i x y . Đặt 1 3 2 3 0 2sin ; cos ; ; .x t y t t 
2 22
2 1 3 4 3 26 6 4
26 6 17
sin cos sin cos
sin ; .
z i t t t t
t
26 6 17 2 26 6 17 26 6 17
max
.z i P Chọn A. 
 Nhận xét: các phương pháp trên giải quyết bài toán cực trị số phức khá hiệu quả. 
Tuy nhiên nó đòi hỏi người học phải có vốn kiến thức rộng và sự tư duy nhạy bén, việc 
phát hiện ra lời giải trong vòng khoảng 8 phút là tương đối khó khăn. Vì vậy để giúp học 
sinh phát hiện nhanh cách giải và đáp số trong bài toán trắc nghiệm tôi xin đề cập đến 
phương pháp hình học được trình bày ở phần II.2 dưới đây, học sinh chỉ cần áp dụng các 
tính chất hình học quen thuộc và vẽ hình trên giấy kẻ ô sẽ dự đoán ngay được đáp số trong 
bài toán trắc nghiệm. 
SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học 
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 9 
II.2. Phương pháp hình học 
II.2.1. Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang hệ tọa độ Oxy 
 Với M z z OM 
 Với ;M M z M M z z z MM 
 Với ,
A B
A A z B B z trong đó ;
A B
z z là hai số phức khác nhau cho trước khi đó 
tập hợp M M z thỏa 
A B
z z z z là đường trung trực của đoạn thẳng AB . 
 Với 0 0 0 0,M M z R khi đó tập hợp các điểm M M z thỏa 0z z R là đường 
tròn tâm 
0M bán kính R . 
 Với 1 1 1 2 2 2,M M z M M z khi đó tập hợp các điểm M M z thỏa 
1 2 0z z z z k k là đường elip có nhận 1 2,M M là hai tiêu điểm là và độ dài 
trục lớn 2k a 
Các bước áp dụng phương pháp hình học trong bài toán cực trị số phức. 
 Đặt M M z từ điều kiện của bài toán ta tìm tập hợp biểu diễn các số phức z thông 
thường các tập hợp đó là: đường thẳng, đường tròn, elip. 
 Từ biểu thức P chứa mô-đun số phức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ta biểu 
thị sang các yếu tố hình học tương ứng thông thường P là tổng độ dài các đoạn thẳng, 
tổng bình phương độ dài các đoạn thẳng, khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng. 
Từ đó ta chuyển một bài toán số phức sang bài toán hình học. 
 Vẽ hình biểu diễn tập hợp các số phức z , biểu diễn biểu thức P trên hệ trục tọa độ 
Oxy áp dụng các tính chất hình học cơ bản như: , ,AB BC AC A B C , tính chất 
đường trung tuyến, tính chất tam giác vuông suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 
của P 
SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học 
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 10 
II.2.2. Các bài toán thường gặp 
Bài toán 1. Cho số phức 
0z và tập hợp các số phức z thỏa điều kiện 1 2z z z z . 
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của 0z z . 
b. Tìm số phức z để 0z z nhỏ nhất. 
Nhận xét 
Gọi 0 0 0 1 2 0 0, , ,M M z M M z A A z B B z z z MM 
Điều kiện 1 2z z z z M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB . 
Bài toán trở thành 
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
0MM với M . 
b. Tìm M để 
0MM nhỏ nhất. 
Ta thấy 
0MM MH với H là hình chiếu của 0M trên Vậy 0MM nhỏ nhất khi M H và 
0 0min
,z z d M 
Từ đó ta có cách giải như sau: 
Đặt ,z x yi x y điều kiện 1 2z z z z ta viết phương trình đường thẳng 
a. Tính 
min
,z z d M0 0 
b. Gọi là đường thẳng qua 
0M và vuông góc với . Khi đó H 
Một số ví dụ áp dụng 
Ví dụ 4: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z i z i1 2 3 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
z . 
A. 
5 13
13min
.z B. 2 13
min
.z C. 2
min
.z D. 26
min
.z 
SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học 
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 11 
Lời giải 
Đặt , ;z x yi x y M M z M x y . 
Ta có: z i z i x y x y x y
2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 5 0 
Vậy tập hợp các số phức z là đường thẳng : x y2 3 5 0 
Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô dự đoán 
min
0.7;1.2 1.38M z OM gần với đáp 
án A. 
Ta có 
min
,z d O
22
5 5 13
132 3
 chọn A. 
Ví dụ 5. Cho số phức z thỏa mãn z i z i1 3 3 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
S z i2 . 
A. 
min
5.S B. 
min
68.S C. 
min
34.S D. 
min
12 17
.
17
S 
Lời giải 
Đặt , ;z x yi x y M M z M x y . 
SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học 
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 12 
Ta có: z i z i x y x y x y
2 2 2 2
1 3 3 5 1 3 3 5 4 6 0 
Vậy tập hợp các số phức z là đường thẳng : x y4 6 0 
;S z i z i M02 2 2 1 
Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô dự đoán 01 3 1 8 2 89min min. ; . .S M S M M 
gần đáp án D. 
Kiểm tra dự đoán 0 2 2
2 4 1 6 12 17
171 4
min
,S d M chọn D. 
Ví dụ 6. Trong các số phức z thỏa mãn z i z i2 5 , số phức ,z a bi a b thỏa 
mãn z i1 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính S ab 
A. 
23
.
100
S   B. 
13
.
100
S  C. 
5
.
6
S   D. 
9
.
25
S  
Lời giải 
Đặt , ;z x yi x y M M z M x y . 
Ta có: z i z i x y2 5 3 7 0 
SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học 
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 13 
Vậy tập hợp các số phức z là đường thẳng : x y4 6 0 
;z i z i M01 1 1 1 
Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô dự đoán 1 0 1 2 3 0 23
min
. ; . .z i M H S 
Kiểm tra dự đoán: Gọi là đường thẳng qua M0 và vuông góc với :
yx 11
1 3
hay : x y3 2 0 . Gọi H là hình chiếu của M0 lên khi đó tọa độ H là nghiệm hệ 
;
xx y
H S
x y
y
1
4 6 0 1 23 2310
3 2 0 23 10 10 100
10
. Chọn A. 
Bài toán 2. Cho số phức z thỏa z z R0 0 với ,z a bi a b0 cho trước. 
a. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của z z1 với z1 cho trước. 
b. Tìm số phức z để z z1 đạt giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất. 
Nhận xét 
 Với , , ,M M z I I z A A z z z IM z z AM0 1 0 1 
SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học 
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 14 
 z z R IM R0 suy ra M thuộc đường tròn C tâm I bán kính R . 
Bài toán trở thành 
a. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của AM với M C 
b. Tìm M C để AM đạt giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất. 
Gọi ,M M1 2 là giao điểm của đường thẳng AI với đường tròn C 
Khi đó AM AM AM M C1 2 
Vậy min ,maxAM AM AI R AM AM AI R1 2 . 
Từ đó ta có cách giải 
+ Điều kiện z z R0 0 ta viết phương trình đường tròn C tâm I bán kính R . 
a. min ,maxAM AM AI R AM AM AI R1 2 
b. Tìm z . 
+ Viết phương trình đường thẳng AI khi đó tọa độ ,M M1 2 là nghiệm hệ gồm phương 
trình C và phương trình . 
Một số ví dụ áp dụng 
Ví dụ 7. Cho số phức z thỏa mãn z i3 2 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của .S z i1 
A. 5
min
.S B. 7
min
.S C. 3
min
.S D. 2
min
.S 
SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học 
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 15 
Lời giải 
Gọi ;z x yi x y . 
Ta có: 
2 2
3 2 2 3 2 4 3 2 2; ,z i x y I R 
Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô ta dự đoán 1 4 0 8 3
min min
. ; .S M H S AH 
Kiểm tra dự đoán 5 2 3
min
S AI R . Chọn C. 
Ví dụ 8. Trong các số phức z thỏa mãn 2 2 1z i gọi ,z a bi a b là số phức thỏa 
4z i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 2 .S a b 
A. 
1
2
2
.S B. 
1
2
2
.S C. 
1
2
2
.S D. 
1
2
2
.S 
Lời giải 
Gọi ; ,z x yi x y M M z . 
Ta có: 
2 2
2 2 1 2 2 1 2 2 1; ,z i x y I R 
4 4 0 4;z i z i A . Phương trình đường thẳng 4 0:AI x y 
x
y
H(1.4;-0.8)
A(-1;1)
I(3;-2)
O
1
M
1 1 1 1 5; .S z i z i A AI
SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học 
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 16 
Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô dự đoán: 24 1 3 2 7min . ; .z i M M 
1 3 2 7 2 0 91. . .S gần với đáp án A. 
Kiểm tra dự đoán: 
1 2,M M là nghiệm hệ 2 2
1 1
2 24 0 2 2
1 12 2 1 2 2
2 2
,
,
x yx y
x y
x y
1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2
; , ;M M . Ta thấy 
1 2AM AM nên 2M là điểm thỏa 
yêu cầu bài toán. Vậy 
1 1 1
2 2 2 2
22 2
,a b S a b . Chọn A. 
Ví dụ 9: Cho số phức z thỏa 2 1 1i z . Gọi ,M m là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 
của 1z . Tính S M m 
A. 3.S B. 2 2.S C. 2 3.S D. 
2
5
.S 
Lời giải 
Ta có: 
1 2 1 1
2 1 1 2 1
2 5 5 5
i z i z z i
i
x
y
M2
M1
A(0;-4)
I
O
1
SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học 
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 17 
2 1 1 5 5 2 2 1 1 5 5 2
1 1
5 5 5 5 5 55 5
2 2
;M i m i
M m
Bài toán 3. Cho số phức z thỏa 1 2 0z z z z k k 
a. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của z 
b. Tìm số phức z để z đạt giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất. 
Nhận xét 
 Với 1 1 1 2 2 2,A ,AM M z A z A z 
 Điều kiện 1 2 1 2 0z z z z MM MM k k suy ra M nằm trên elip E nhận 
1 2;M M làm tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng 2k a , z OM 
 Do chương trình lớp 10 chỉ học elip có 2 tiêu điểm 1 20 0; , ;F c F c nên thường giả 
thiết là 0 0,z c z c k c k M E nhận 1 20 0; , ;F c F c làm tiêu điểm 
và có độ dài trục lớn 2k a . 
 Ta có 
1 3 2 4;OM OM OM OM OM OM 
max1 2 3 4min
;z OM OM z OM OM 
Từ đó ta có cách giải 
Điều kiện 
22
2 2
0 0 1, :
yx
z c z c k c k M E
a b
 với 
2
k
a 
x
y
M4
M3
M2
M1
O
M
SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học 
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 18 
a. 
max
2 24
2 2min
;
k k c
z a z b 
b. Tìm z 
3 4max
; ;z M M M M z a z a , 1 2min ; ;z M M M M z b z b 
Ví dụ áp dụng 
Ví dụ 10. Cho số phức z thỏa 4 4 10z z . Gọi ,M m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 
của z tính giá trị 2S M m . 
A. 6.S B. 13.S C. 5.S D. 4.S 
Lời giải 
Ta có: 
2 2
210 10 4 45 3 5 3 4
2 2min
.
;
max
M z m z S . Chọn D. 
Bài toán 4. Cho số phức z thỏa 1 2z z z z với 1 2;z z là các số phức cho trước. 
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 4S z z z z với 3 4;z z là các số phức cho trước. 
b. Tìm số phức z để 3 4S z z z z đạt giá trị nhỏ nhất. 
Nhận xét 
 Với 1 1 1 2 2 2, ,M M z M M z M M z điều kiện 1 2z z z z suy ra M 
là đường trung trực của 
1 2MM . 
 Với 3 4 3 4, ,A A z B B z z z AM z z BM 
 Khi đó bài toán trở thành 
Cho đường thẳng và hai điểm ,A B cố định. Tìm M để S AM BMđạt giá trị 
nhỏ nhất. Tính 
min
S 
Trường hợp 1: nếu ,A B khác phía so với khi đó :M AM BM AB suy ra 
SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học 
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 19 
min min
S AM BM AB khi đó , ,A B M thẳng hàng hay M AB . 
Trường hợp 2: nếu ,A B nằm cùng phía so với gọi A là điểm đối xứng của A qua 
:M AM BM AM BM A B . Vậy 
min min
S AM BM A B 
khi đó M A B . 
Lời giải 
 Điều kiện 1 2z z z z viết phương đường thẳng . 
 Thay 3 4,A A z B B z vào xét xem ,A B cùng phía hay khác phía so với . 
 Nếu ,A B cùng phía so với : 
o 3 4 3 4min min
S z z z z z z 
o Tìm z x yi ta viết phương trình đường thẳngAB khi đó ;x y là nghiệm hệ 
phương trình gồm phương trình và phương trình AB . 
 Nếu ,A B khía phía so với : 
M0
M1
M2 B
A
M
M0
M1
M2
A'
BA
M
SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học 
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 20 
o Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với . Khi đó d I thì I là trung 
điểm AA , từ tọa độ ,A I ta tìm được tọa độ A 
o 3 4 3 4 3 4min min min
S z z z z z z z z z z 
o Tìm z x yi ta viết phương trình đường thẳngA B suy ra ;x y là nghiệm hệ 
phương trình gồm phương trình và phương trình A B . 
Ví dụ áp dụng 
Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn 1 2 3z i z i . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
2 3 2S z i z i 
A. 
13 61
17min
.S B. 
5 493
17min
.S C. 
10 251
17min
.S D. 
71
3min
.S 
Lời giải 
Đặt 1 2 3 2 8 11 0: :M M z z i z i M x y 
2 3 2 2 1 3 2; , ;S z i z i A B 
Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô ta thấy ,A B cùng phía so với dự đoán 1 6 2 6. ; .A 
suy ra 6 5
min
.S A B gần với đáp án B. 
SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học 
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 21 
Kiểm tra dự đoán: ThayA vào 2 2 8 1 11 0. , thayB vào 2 3 8 2 11 0. . 
suy ra ,A B cùng phía so với .Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với suy ra 
4 9 0:d x y . 
Gọi A là điểm đối xứng của A qua và I d . 
Tọa độ :I
61
4 9 0 61 3134
312 8 11 0 34 17
17
;
xx y
I
x y
y
Vì I là trung điểm AA nên
27 45 5 493
17 17 17min
;A S A B chọn B. 
Ví dụ 12: Cho số phức z thỏa mãn 2z i z i . Tìm phần thực của z biết 
1 2 4z i z i đạt giá trị nhỏ nhất. 
A. 
5
6
. B. 
1
6
. C. 
2
3
. D. 
3
4
. 
Lời giải 
Đặt 2 2 1 0: :M M z z i z i M y 
1 2 4 1 2 4 1 2 0 4; , ;z i z i z i z i A B 
SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học 
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 22 
Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô ta thấy ,A Bkhác phía với dự đoán 
1 2 4 0 75 0 5
min
, ; ,z i z i M . 
Kiểm tra dự đoán: Thay ,A B vào ta thấy ,A B khác phía so với . Đường thẳng 
6 4 0:AB x y 
Vậy z x yi để 1 2 4z i z i đạt giá trị nhỏ nhất khi ;x y là nghiệm hệ 
3
6 4 0 4
2 1 0 1
2
xx y
y
y
 . Chọn D. 
Bài toán 5. Cho số phức z thỏa mãn 1 2z z z z với 1 2;z z là các số phức cho trước. 
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
2 2
A B
S z z z z 
b. Tìm số phức z để 
2 2
A B
S z z z z đạt giá trị nhỏ nhất. 
Nhận xét 
 Với 1 1 1 2 2 2, ,M M z M M z M M z điều kiện 1 2z z z z suy ra M 
là đường trung trực của 
1 2MM . 
 Với 3 4, ,A BA A z B B z z z MA z z MB 
Bài toán trở thành 
Cho đường thẳng và hai điểm ,A B cố định. Tìm M để 2 2P MA MB đạt 
giá trị nhỏ nhất. Tính 
min
P 
Lời giải 
Với 1 1 1 2 2 2, ,M M z M M z M M z điều kiện 1 2z z z z viết phương trình 
đường thẳng trung trực của đoạn 
1 2MM . 
SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học 
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 23 
Với 3 4,A A z B B z , gọi I là trung điểm AB . Khi đó 
2
2 2 22
2
AB
M P MA MB MI 
a. Vì AB không đổi nên 2 2 0minmin
MA MB MI M M với 
0M là hình chiếu 
của I trên . Vậy 
2 2
22
02 22 2min
;
AB AB
S M I d I 
b. Tìm z x yi viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với 
;x y là nghiệm hệ gồm phương trình d và . 
Ví dụ áp dụng 
Ví dụ 13: Cho số phức z thỏa mãn 1 2 3z i z i . Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2
2S z i z i . 
A. 
305
34min
.S B. 
441
68min
.S C. 
169
34min
.S D. 8
min
.S 
Lời giải 
Đặt 1 2 3 8 2 5 0: :M M z z i z i M x y 
2 22 2
2 2 0 1 2 1; , ;S z i z i z i z i A B trung điểm I của AB là 
1 0;I . 
SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học 
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 24 
Nhận xét: Bằng cách thể hiện trên giấy kẻ ô ta dự đoán 
2 20 53 0 38 8 9706
min
. ; . ,S M MA MB gần với đáp án A. 
Kiểm tra dự đoán: 
13
8
68
; ,d I AB . Vậy 
2
2 305
2
2 34min
;
AB
S d I chọn A. 
Ví dụ 14: Trong các số phức z a bi thỏa mãn 1 3 5z i z i . 
Biết 
2 2
1 3z i z i đạt giá trị nhỏ nhất của. Tính P a b 
A. 4.P B. 3.P C. 2.P D. 0.P 
Lời giải 
Đặt 1 3 5 2 0: :M M z z i z i M x y 
2 22 2
1 3 1 3 1 1 3 1; , ;z i z i z i z i A B trung điểm I của 
AB là 1 1;I . 
SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học 
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 25 
Nhận xét: Vẽ hình trên giấy kẻ ô ta có thể dự đoán được 
2 2
1 3
min
z i z i 
khi 2 0 2;M H P 
Kiểm tra dự đoán: Đường thẳng d qua I vuông góc 2 0:d x y . 
Giải hệ: 
2 0 2
2 2
2 0 0
x y x
z P
x y y
 chọn C. 
Bài toán 6. Cho số phức z thỏa điều kiện 0 0z z R R và 0 , ,A Bz z z là các số phức cho 
trước. 
a. Tìm giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của 
2 2
A B
S z z z z 
b. Tìm số phức z để 
2 2
A B
S z z z z đạt giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) 
Nhận xét 
 Với 0,M M z I I z điều kiện 0 0z z R R suy ra M thuộc đường tròn 
C tâm I bán kính R . 
 Với , ,
A B A B
A A z B B z z z MA z z MB 
SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học 
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 26 
Bài toán trở thành 
Cho đường tròn C và hai điểm ,A B . Tìm điểm M C để 2 2S MA MB đạt giá trị nhỏ 
nhất. Tính 
min
S 
Trường hợp 1. AB C gọi H là trung điểm AB 
2 2 2 2
2 2 2 22
2 4 2
MA MB AB AB
MH S MA MB MH 
Do ,A B cố định nên 
2 2S MA MB đạt giá trị nhỏ nhất 
1M M 
khi đó
2
2
2
2min
AB
S IH R . 
2 2S MA MB đạt giá trị lớn nhất 
2M M khi đó
2
2
2
2max
AB
S IH R . 
Lời giải 
 Với 0,M M z I I z điều kiện 0 0z z R R suy ra M thuộc đường tròn 
C tâm I bán kính R . 
 Giải hệ C và AB vô nghiệm. 
 Tìm tọa độ trung điểm H của AB . 
 
2
2
2
2min
AB
S IH R ;
2
2
2
2max
AB
S IH R 
 Tìm z ta viết phương trình đường thẳng IH . Giải hệ phương trình gồm phương trình 
IH và C suy ra nghiệm hệ ;x y thử lại chọn M phù hợp yêu cầu bài toán. 
Ví dụ áp dụng 
Ví dụ 15. Cho số phức z thỏa 5z . Đặt 
2 2
8 6 4 10S z i z i tính 
min max
P S S 
SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học 
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 27 
A. 532.P B. 20.P C. 564.P D. 282.P 
Lời giải 
5,M M z z M C tâm 0 0 5; ,O R 
22 2
8 6 4 10 8 6 4 10 8 6 4 10; , ;z i z i z i z i A B 
gọi H là trung điểm AB suy ra 6 8;H . 
Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô dự đoán 1 23 4 3 4min max; , ;S M M S M M 
2 2 2 2
1 1 2 266 466 532min max;S AM BM S AM BM P 
Kiểm tra dự đoán 
2 2
2 2
2 66 2 466 532
2 2min
;
max
AB AB
S OH R S OH R P chọn A. 
Ví dụ 16. Trong các số phức thỏa mãn 5 13z i gọi ,z a bi a b R là số phức để 
2 2
1 5 3 9S z i z i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P a b . 
SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học 
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 28 
A. 1.P B. 1.P C. 9.P D. 3.P 
Lời giải 
5 13 5 13,M M z z i z i M C tâm 5 1 13; ,I R 
22 2
1 5 3 9 1 5 3 9 1 5 3 9; , ;z i z i z i z i A B 
gọi H là trung điểm AB suy ra 1 7;H . 
Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô dự đoán 1 3 4 1min ;S M M P a b 
Kiểm tra dự đoán: đường thẳng 3 2 17 0:IH x y 
Xét hệ: 2 2
3 2 17 0 3 4
7 25 1 13
;
;
x y x
x yx y
Thử lại: 1 23 4 13 7 2 3 14; ; ;x y M H x y M H 
Theo lý thuyết trên 
1 3 4 1minS M M P a b chọn A. 
SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học 
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 29 
Ví dụ 17: (Câu 46 – Đề minh họa THPT Quốc Gia 2018) 
Xét các số phức z a bi thỏa mãn 4 3 5z i . Tính P a b khi 
1 3 1z i z i đạt giá trị lớn nhất. 
A. 10.P B. 4.P C. 6.P D. 8.P 
Lời giải 
Đặt 
2 2
4 3 5 4 3 5: :M M z z i M C x y 
1 3 1 1 3 1 1 3 1 1; , ;z i z i z i z i A B 
Với I là trung điểm AB suy ra 0 1;I . Ta có: 
2
2 2 22
2
AB
MA MB MI 
Vậy 
max max
MA MB