Chuyên đề Hệ thức Vi-Et

iải:
Xét f(x) = Q(x) - t
Vì với mọi số thực x nên dấu của f(x) chính là dấu của tử thức g(x) = hay g(x) = (1)
Xét tam thức g(x) = 
 = với (*)
Nếu a = 0 thì g(x) = bx + c luôn cùng dấu khi b = 0 (g(x) = c) và khi 
 c = 0 (g(x) = 0)
Nếu a > 0 thì với mọi x khi và g(x) = 0 khi và chỉ khi 
Nếu a < 0 thì với mọi x khi và g(x) = 0 khi và chỉ khi 
áp dụng vào (1) ta có:
 khi t = -1 hoặc t = 9
Với t = -1 thì a = 1 – t = 2 > 0 nên g(x) 0 
Suy ra f(x) = 0 
Với t = 9 thì a = 1 – t = -8 < 0 nên 
Suy ra Q(x) có GTLN là 9 và xảy ra khi f(x) = 0 
 Như vậy phương pháp tham biến cho phép ta chuyển việc xét cực trị một biểu thức Q(x), tức là xét một bất phương trình Q(x) t hoặc Q(x) t về việc xét một phương trình , nên có thể nói phương pháp tham biến là chiếc cầu nối giữa bất phương trình và phương trình.
 Ta có thể mở rộng việc xét cực trị của biểu thúc một biến Q(x) sang biểu thức hai biến Q(x,y) bằng phương pháp tham biến, lúc đó f(x,y) = Q(x,y) – t
Và xét tử thức của f(x,y) theo một biến nào đó sao cho tử thức luôn cùng dấu và tồn tại giá trị bằng 0
VD2:
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 
Q = Với ( x,y ) khác ( 0, 0 )
Giải:
Vì x2 + y2 luôn luôn dương trừ giá trị x = y = 0 nên dấu của f( x,y) chính là dấu của tử thức g(x,y) = 
Hay g(x,y) = (1)
Nếu t = 3 thì g(x,y) = 
Vì nên g(x,y) = 0 khi và chỉ khi y = 0, (x = 0 đã bị loại trừ)
Xét (1) theo biến y ta có:
 với mọi x khi t = -1 hoặc t = 4
Với t = -1 thì a = 3 – t = 4 > 0 nên 
Suy ra Q(x,y) có GTNN là -1 và xảy ra khi 
Với t = 4 thì a = 3 – t = -1 < 0 nên 
Suy ra 
ưu thế của phương pháp tham biến càng được thể hiện qua ví dụ sau:
VD3:
Tìm u, v để biểu thức Q = 
đạt GTLN bằng 4 và GTNN bằng -1
Giải:
Đặt f(x) = Q(x) – t = 
Vì x2 + 1 > 0 với mọi x nên dấu của f(x) chính là dấu của tử thức g(x) = 
 hay g(x) = 
Để GTLN của Q(x) là 4 và GTNN của Q(x) là -1 xảy ra đồng thời thì dựa 
vào (*) ta phải có:
Hay 
nghĩa là (u,v) = (4,3) hoặc (4,-3)
Bài tập đề nghị:
Bài 1.Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Q sau đây:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
Bài 2.Tìm m để biểu thức Q = chỉ nhận giá trị thuộc 
VII.phương pháp giải toán cực trị của biểu thức chứa dấu căn
Các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu căn thường gặp trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 và các kỳ thi học sinh giỏi. Với cơ sở lý thuyết đã được cung cấp ở chương I, tác giả xin đưa ra một số ví dụ minh hoạ
VD1: 
Tìm GTNN của biểu thức sau với x 
1) 
2) 
Giải:
1) 
Cách 1: Xét các khoảng giá trị của x
Với x 1
Với thì D = 1
Với x > 1997 thì D = 2x – 3993 > 1
Do đó minD = 1 xảy ra khi 
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức + 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0
MinD = 1 xảy ra khi 
2) 
Điều kiện : 
Cách 1: 
Vì F < 0 nên xảy ra 
Vì nên = 0 
Vậy minF = -1 xảy ra khi x = 0
Cách 2: vì Do đó 
Vậy minF = -1 xảy ra khi x = 0
VD2:
Tìm GTLN của biểu thức 
Giải:
 với điều kiện 
áp dụng bất dẳng thức Cô-si ta có:
Do đó 
Vậy maxK = 
Xảy ra khi x = 2, y = 4, z = 6
VD3:
Tìm GTNN của biểu thức sau 
Giải:
 xác định khi -1 < x < 1 
Ta có 
Vậy minH = 4 khi x = 
VD4:
Tìm GTNN của biểu thức sau 
K = 
Giải:
Điều kiện : 
K = 
K = 
 = 
minK = 2 
Vì nên 
Vậy minK = 2 xảy ra khi 
Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN của biểu thức:
A = 
Bài 2. Tìm GTLN của biểu thức:
B = 
Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức:
C = 
Bài 4. Tìm GTLN của biểu thức:
VIII.phương pháp giải toán cực trị đại số với các biến có
 điều kiện
Chúng ta đã quen biết bài toán tìm cực trị của hai biến có một điều kiện ràng buộc, chẳng hạn như bài toán sau:
VD1: 
Tìm GTLN của tích xy với x, y là các số dương thoả mãn điều kiện x + y = s, trong đó s là số dương cho trước
Giải:
Cách 1: áp dung trực tiếp bất đẳng thức Cô-si
Vậy GTLN (xy) = khi và chỉ khi 
Cách 2:
Đưa về xét cực trị của hàm một biến
Vậy GTLN (xy) = khi và chỉ khi 
Cách 3:
Sắp thứ tự giá trị các biến (theo điều kiện hoặc khi vai trò của chúng như nhau) và so sánh với giá trị không đổi xen giữa chúng.
Giả sử . Từ x + y = s ta có:
 nên 
Vậy GTLN (xy) = khi và chỉ khi 
Việc giải bài toán trên sẽ khó khăn hơn khi các biến bị ràng buộc thêm một điều kiện nữa
VD2:
Tìm GTLN của tích xy với x, y là các số dương thoả mãn hai điều kiện 
x + y = s
y a
 trong đó s, a là những số dương cho trước và a < s
Giải:
Nếu thì theo cách giải ở VD1 ta có GTLN (xy) = khi và chỉ khi a
Xét trường hợp a > 
Theo cách 2 ở VD1, đặt y = a + t với t 0
Từ đó 
 (vì )
Đẳng thức xảy ra khi t = 0, y = a và GTLN (xy) = a (s – a)
Theo cách 3 ta thấy nên
Đẳng thức xảy ra khi y = a và x = s – a 
Vậy GTLN (xy) = a (s – a)
VD3:
Tìm GTLN của tích xyz với x, y, z là các số dương thoả mãn hai điều kiện 
(1) x + y +z = s
(2) z a
 trong đó s, a là những số dương cho trước và a < s
Giải:
Nếu thì áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Lúc đó, GTLN(xyz) = 
Xét trường hợp 
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: (*)
Ta có: 
áp dụng cách giải 3, từ ta có 
 (**)
Từ (*),(**) và áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z = a và 
Lúc đó, GTLN(xyz) = 
VD4:
Tìm GTLN của tích xyz với x, y, z là các số dương thoả mãn các điều kiện 
(1) x + y +z = s
(2) z a
(3) y b với b là số dương cho trước, 
 trong đó s, a là những số dương cho trước và a < s
Giải:
Nếu thì giải như VD3
Xét trường hợp 
Lúc đó:
 x= s – (y + z) < s – (a + b) < a + 2b – (a + b) = b
áp dụng cách giải 3 với ta có
 (***)
Lại có 
Từ ta có 
Từ đó và (***) ta suy ra
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z = a, y = b, x = s – a – b 
Lúc đó: GTLN(xyz) = ab(s – a – b)
Như vậy, từ một bài toán cực trị đại số với các biến có một điều kiện ta đã đề xuất và giải các bài toán cực trị đại số với các biến bị ràng buộc bởi nhiều điều kiện hơn
Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN của xy + yz + xz với x, y, z là các số dương thoả mãn các điều kiện 
(1) x + y +z = s
(2) z a
(3) y b với b là số dương cho trước, 
 trong đó s, a là những số dương cho trước và a < s
Bài 2. Tìm GTLN của tích xyzt với x, y, z, t là các số dương thoả mãn các điều kiện :
(1) x + y +z + t = s
(2) t a
(3) z b
(4) y c 
 trong đó s, a, b, c là những số dương cho trước và c < b < a < s
Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức x + y thoả mãn điều kiện 
Bài 4. Tìm GTNN của biểu thức A = 
thoả mãn điều kiện x + y + z = 3
 chương III. Một số sai lầm khi giải toán cực trị
Một trong những phương pháp giải toán cực trị hiệu quả là dùng các bất đẳng thức quen thuộc. Nhưng cũng chính phương pháp này lại dễ gây ra những sai lầm nếu không nắm vững bản chất của nó.
Bài toán 1. Biết rằng x + y + z = 1 và x, y, z dương 
Tìm GTLN của
S = 
Có bạn đã giải như sau:
 (1)
Nhân từng vế của (1) ta có:
 (2)
Từ đó S 
Nhận xét: Cách giải trên cho đáp số sai vì điều kiện xảy ra dấu bằng của các bất đẳng thức đã dùng không đạt được đồng thời. Cụ thể:
 đạt được khi và chỉ khi
Như vậy không tồn tại (x,y,z) để tại đó . Do đó không thể kết luận 
Lời giải đúng:
Với x,y,z , ta có:
S = 
Vậy 
Với mọi x,y,z thoả mãn 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Kết luận: đạt tại x = y = z = 
Nhắc lại định nghĩa maxf(x,y,) và minf(x,y,) 
1.Định nghĩa1:
Cho biểu thức f(x,y,) xác định trên miền D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x,y,) hay maxf = M trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:
Với mọi (x, y,) thuộc D thì f(x,y,) M với M là hằng số
Tồn tại (x0, y0 ,) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,) = M
 2. Định nghĩa 2:
Cho biểu thức f(x,y,) xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x,y,) hay minf = m trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:
Với mọi (x, y,) thuộc D thì f(x,y,) m với m là hằng số
Tồn tại (x0, y0 ,) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,) = m
Một số chú ý:
Nếu không chỉ ra được bộ giá trị (x0, y0 ,) để f(x0, y0 ,) = M thì không khẳng định được maxf = M, mặc dù có f(x,y,) M với mọi (x, y,) thuộc D. Khi đó ta phải tìm một cách giải khác
Bội giá trị (x0, y0 ,) để f(x0, y0 ,) = M thường được tìm bằng cách áp dụng điều kiện xảy ra dấu bằng trong các bất đẳng thức đã dùng. Chẳng hạn:
 a) Các dạng của bất đẳng thức Cô-si:
 +) a + b 2 ( a 0, b 0)
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
 +) + 2 (ab 0) 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
 b) Bất đẳng thức Bunhiacopsky
 (ax + by)2 (a2 + b2) (x2 + y2)
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bx
 c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
 + 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0
Trong các bài toán dạng cực trị có điều kiện nếu chỉ chú ý đến điều kiện xảy ra dấu bằng của các bất đẳng thức đã dùng mà không kết hợp điều kiện ràng buộc của bài toán thì dễ mắc sai lầm
Trong các định nghĩa trên thì M và m phải là các hằng số
Thật vậy, xét bài toán sau đây:
Bài toán 2. Cho x,y,z 0. Tìm GTLN của 
f(x,y,z) = 
Xét lời giải:
Với mọi x,y,z 0 ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Tức là x = y = z = 0. Khi đó vế phải của bất đẳng thức bằng 0. Suy ra 
Vậy khi x = y = z = 0 (!)
Nhận xét:
Cách giải trên mắc sai lầm ở chỗ là đã sử dụng mệnh đề sai sau đây "Nếu 
với mọi x, y, z thuộc D và = A
 thì với mọi x, y, z thuộc D "
Để bác bỏ mệnh đề trên, ta có thể xét phản ví dụ sau:
Bài toán 3. Cho . Tìm GTLN của f(x)
Xét lời giải:
 với mọi 
Dấu bằng xảy ra khi f(0) = g(0) = 0, từ đó suy ra với mọi 
Nhận xét:
Điều này sai vì với mọi 
Bài toán 4.
Giả sử hai số thực x, y thoả mãn x > y và xy = 1. Tìm GTNN của biểu thức
 A = 
Xét lời giải:
Ta có A = = 
Do x > y và xy = 1 nên
A = 
 (*)
Vậy A có GTNN khi 
 = 2 
Giải phương trình được x – y = 2, mà xy = 1 nên (x;y) là () và 
minA = 
Nhận xét: Bài giải trên là sai. Có thể biến đổi như sau:
A = 
Kết quả đúng là minA = khi (x,y) là
 và 
Vậy sai lầm của bài toán trên là biến đổi đến (*) thì không phải là hằng số mà còn phụ thuộc vào biến x,y
Bài toán 5.
Tìm GTNN của biểu thức P = 
Xét lời giải 1:
P = 
Suy ra minP = 0. Điều này không xảy ra vì không có giá trị nào của x làm cho P(x) = 0
Xét lời giải 2:
P = 
Suy ra minP = 
Dễ thấy đáp số này sai vì lúc đó x đồng thời bằng -1 và bằng 
Cách giải đúng như sau:
P = 
Vì 
Mà nên min() = 
Vậy minP = 
Bài toán6. Tìm GTNN của biểu thức sau với 
P = 
Xét lời giải :
P = 
Đáp số này sai vì không thể x = 1 và x = 4
Cách giải đúng như sau:
Tức là 
Những bài toán - lời giải sao cho đúng?
1.GTNN là bao nhiêu?
Đề: Cho x, y là hai số dương thoả mãn 
Tìm GTNN của biểu thức
M = 
Lời giải: Từ x, y > 0 ta có: ; 
x, y > 0 và ta có
Do vậy M = 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y
Vậy GTNN của M là 7932 
Nhưng x = y thì M = 2031
Sai lầm của lời giải ở đâu?
2.Băn khoăn
Trong cuốn sách tuyển tập 250 bài toán đại số bồi dưỡng học sinh giỏi toán cấp 2 của tác giả V.Đ.M có bài toán 234 như sau:
Tìm GTLN của biểu thức
D = 
Lời giải viết như sau:
Dấu bằng xảy ra không thoả mãn
Vậy GTLN của D không tồn tại 
Tôi rất băn khoăn về lời giải này vì đã tìm ra một kết quả khác???
3.Tại sao lại thế?
Tìm x để A = đạt GTLN
Lời giải viết như sau:
Để A đạt GTLN thì đạt GTNN. Hiệu này đạt GTNN khi = 0 hay x = -1. Khi đó GTLN của A là 
Có thể thấy khi x = 2 thì A = , do đó không phải là GTLN của A.
Sai lầm của lời giải ở đâu???
4.Lời giải ngắn gọn
Với a, b, c > 0 , hãy tìm GTNN của biểu thức
P = 
Một bạn đã giải như sau:
áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Nhân từng vế của các bất đẳng thức trên ta có:
Do đó minP = 
Thế nào? Lời giải gọn nhỉ!
Chuyên đề 2: Định lí vi – ét và ứng dụng
Nhà toán học Pháp lỗi lạc Francois Viète sinh năm 1540 và mất năm 1603. Ông là một luật sư danh tiếng và là cố vấn cao cấp của nhà vua Pháp trong nhiều năm. Công việc của triều đình Pháp rất bận rộn và chiếm hầu hết thì giờ của ông. Tuy nhiên, đối với ông , nghiên cứu Toán học trong những lúc rảnh rỗi là một sở thích, một sự giải trí. Ông có nhiều phát minh trong đại số và lượng giác. Ông là một trong những người đầu tiên đã sử dụng kí hiệu chữ để chỉ các ẩn số và hệ số của phương trình.
 Các bạn học sinh lớp 9 đã quen biết với một trong những phát minh của ông. Đó là định lí Vi- ét cho phương trình bậc hai
 I. Định lí Viét
Định lí: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì tổng và tích của hai nghiệm đó là:
Hệ quả: 
Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm
 x1 = 1 và 
Nếu a - b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm
 x1 = -1 và 
Chú ý: Trước khi áp dụng định lí Viét cần tìm điều kiện để phương trình 
ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm, tức là 
 Định lí Viét đảo: 
Nếu u và v là hai số có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là hai nghiệm của phương trình bậc hai X2 – SX + P = 0
 (với điều kịên S 2 – 4P 0)
II. Các ứng dụng
Định lí Viét được sử dụng để:
Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
Tính giá trị cuả các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm.
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
Xét dấu các nghiệm.
Tìm điều kiện tham số để các nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện K.
Giải một số bài toán hàm số.
Bài toán 1
Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
I. phương pháp
Sử dụng định lí Viét đảo:
Nếu u và v là hai số có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là hai nghiệm của phương trình bậc hai X2 – SX + P = 0 (1)
 (với điều kịên S 2 – 4P 0)
Chú ý:Nếu (1) có hai nghiệm x1, x2 thì ta được:
II. Ví dụ minh họa
VD1: Tìm hai cạnh của hình chữ nhật biết chu vi bằng 6m và diện tích bằng 2m2
Giải:
Gọi u, v là hai cạnh của hình chữ nhật (u > 0, v > 0), ta có:
Khi đó u, v là nghiệm của phương trình
Vậy độ dài hai cạnh của hình chữ nhật là 1m và 2m
VD2: Cho phương trình (2)
Tìm các giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình thỏa mãn điều kiện 
Giải:
Điều kiện để phương trình (2) có hai nghiệm là 
Với , phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2. Theo hệ thức Viét ta có 
Do đó
Giá trị m = 8 không thoả mãn điều kiện 
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.	
VD3: Giải hệ phương trình:
Giải:
Xét phương trình thứ nhất của hệ:
Vậy hệ có dạng:
Khi đó x, y là nghiệm của phương trình
Vậy nghiệm của hệ đã cho là (1, 27) và (27, 1)
III. Bài tập đề nghị:
Bài 1. Giải hệ phương trình:
Bài 2. Giải hệ phương trình:
Bài 3. Giải hệ phương trình:
Bài toán 2
Tính giá trị của các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm
I. phương pháp
Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 của phương trình ax2 + bx + c = 0
là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị x1 và x2
Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 theo S và P, ví dụ:
II. Ví dụ minh họa
VD1: Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 
Có hai nghiệm x1, x2.Hãy lập phương trình có nghiệm như sau:
a) –x1 và -x2
b) 2 x1 và 2 x2
c) và 
d) x1 + x2 và x1x2
e) và 
Giải: Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2, ta có:
a) Ta có: 
nên –x1 và -x2 là các nghiệm của phương trình: X2 – SX + P = 0 
b) Ta có: 
nên 2 x1 và 2 x2 là các nghiệm của phương trình: X2 – 2SX + 4P = 0 
c) Ta có: 
nên và là các nghiệm của phương trình: X2 – (S2 – 2P)X + P2 = 0 
d) Ta có: 
nên x1 + x2 và x1x2 là các nghiệm của phương trình: X2 – (S+P)X + S.P = 0 
e) Ta có: 
nên và là các nghiệm của phương trình: 
VD2: Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2
a) Hãy tính 
b) Tìm đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận làm nghiệm.
Giải:
Phương trình có hai nghiệm x1, x2, ta có:
a) Ký hiệu . Ta lần lượt có:
b) Đặt 
Theo câu a) thì với là nghiệm của phương trình , ta có:
Vậy đa thức cần tìm có dạng 
III. Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm m để phương trình 
Có hai nghịêm . Khi đó hãy lập phương trình có nghiệm như sau:
a) -2 x1 và -2 x2
b) 3 x1 và 3 x2
c) - và -
d) và 
Bài 2. Tìm m để phương trình 
Có hai nghịêm . Khi đó hãy lập phương trình có nghiệm như sau:
a) - x1 và - x2
b) 2 x1 và 2 x2
c) và 
d) và 
Bài 3. Tìm m để phương trình 
Có hai nghịêm . Khi đó hãy lập phương trình có nghiệm như sau:
a) -3 x1 và -3 x2
b) 2 x1 và 2 x2
c) và 
d) + và 
Bài toán 3
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm
không phụ thuộc vào tham số
I. phương pháp
Để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số (giả sử tham số là m), ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm 
Bước 2: áp dụng định lí Viét, ta được:
	 (I)
Bước 3: Khử m từ hệ (I) ta được hệ thức cần tìm
II. Ví dụ minh họa
VD1:	Cho phương trình 
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc m.
Giải: 
Điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm là:
Khi đó phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
 (I)
 Khử m từ hệ (I) ta được:
. Đó chính là hệ thức cần tìm.
VD2: Cho phương trình 
a) CMR với mọi m > 1 phương trình luôn có nghiệm.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc m.
Giải: 
a) Ta có: 
Vậy với mọi m > 1 phương trình luôn có hai nghiệm thỏa mãn:
b) Khử m từ hệ (I) ta được:
Vậy là hệ thức cần tìm.
III. Bài tập đề nghị:
Bài 1. Cho phương trình 
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc m.
Bài 2. Cho phương trình 
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc m.
Bài 3. Cho phương trình 
a) Tìm m để phương trình luôn có nghiệm.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc m.
Bài toán 4
xét dấu các nghiệm
I. phương pháp
Dùng định lí Viét ta có thể xét dấu được các nghiệm của phương trình 
ax2 + bx + c = 0, dựa trên kết quả:
Nếu phương trình cóhai nghiệm trái dấu 
Nếuphương trình có hai nghiệm cùng dấu.
Nếu phương trình có hai nghiệm dương 
Nếu phương trình có hai nghiệm âm 
Chú ý:
1. Cũng từ đây, chúng ta thiết lập được điều kiện để phương trình có các nghiệm liên quan tới dấu.
2. Nếu bài toán yêu cầu “ Xét dấu các nghiệm củaphương trình tuỳ theo giá trị của tham số ”, chúng ta sử dụng bảng sau:
m
P
S
Kết luận
-
m1
m2
+
II. Ví dụ minh họa
VD1:	Tuỳ theo m hãy xét dấu các nghiệm của phương trình:
Giải: 
Ta có:
Ta có bảng tổng kết sau:
m
P
S
Kết luận
-
-1
1
2
5
+
-
-
0
+
+
+
+
-
0
+
+
0
-
+
+
Phương trình vô nghiệm
Phương trình có nghiệm kép x= -2 < 0
Phương trình có hai nghiệm thoả mãn x1< x2< 0
Phương trình có một nghiệm x = -1/2 < 0
Phương trình có hai nghiệm x1 < 0 < x2 và 
Phương trình có hai nghiệm thoả mãn 0 = x1< x2
Phương trình có hai nghiệm thoả mãn 0 < x1< x2
VD2: Cho phương trình: 
Xác định m để phương trình:
a) Có hai nghiệm dương phân biệt
b) Có hai nghiệm trái dấu
Giải: 
a) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 0 < x1 < x2
Vậy với 0 < m < 1 phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu x1 < 0 < x2
Vậy với m > 1 phương trình có hai nghiệm trái dấu.
VD3: Cho phương trình: (1)
Xác định m để phương trình:
a) Có một nghiệm 
b) Có hai nghiệm cùng dấu
Giải: 
a) Xét hai trường hợp:
Trường hợp (1): Với m - 1 = 0 m =1, ta được:
	 là nghiệm duy nhất của phương trình
Trường hợp (2): Với m - 1 0 	
Khi đó để phương trình có một nghiệm, điều kiện là:
Vậy với m = 1 hoặc thì phương trình có một nghiệm.
b) Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu, điều kiện là:
Vậy với , phương trình có hai nghiệm cùng dấu
VD4: Cho phương trình: (1)
Xác định m để phương trình:
a) Có đúng một nghiệm âm.
b) Có hai nghiệm đối nhau.
Giải: 
a) Xét hai trường hợp:
Trường hợp (1): Với m = 0, ta được:
	, là nghiệm âm duy nhất của phương trình.
Trường hợp (2): Với m 0
Khi đó để phương trình có đúng một nghiệm âm, điều kiện là:
Vậy với , phương trình có đúng một nghiệm âm.
III. Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tuỳ theo m hãy xét dấu các nghịêm của phương trình:
Bài 2. Tuỳ theo m hãy xét dấu các nghịêm của phương trình:
Bài 3. Tuỳ theo m hãy xét dấu các nghịêm của phương trình:
Bài 4. Cho phương trình: 
Xác định m để phương trình:
a) Có hai nghiệm trái dấu.
b) Có hai nghiệm âm phân biệt.
c) Có đúng một nghiệm dương.
Bài 5. Xác định m để phương trình sau có hai nghiệm âm phân biệt:
Bài 6. Cho phương trình: 
Xác định m để phương trình:
a) Có hai nghiệm trái dấu.
b) Có hai nghiệm dương.
c) Có hai ngh