Sáng kiến kinh nghiệm Thủ thuật sử dụng máy tính Casio để giải một số dạng bài tập trắc nghiệm môn Toán trung học phổ thông

ì việc tính đạo hàm rất đơn giản nên ta nên tính
đạo hàm và dùng phím CALC để tính giá trị của đạo hàm tại các điểm sẽ
nhanh hơn.
Ta sẽ thử các phương án A, B, D trước vì có chứa các khoảng có độ dài ngắn
hơn.
Thực hiện: y′ = x2 − 2x. Nhập vào máy tính x2 − 2x CALC −→ 1 = −1 nên
loại đáp án A và B. x2 − 2x CALC −→ 1.5 = −3
4
nên loại đáp án D. Vậy đáp
án đúng là C. (−∞; 0) và (2; +∞).
Bài toán 2
Cho hàm số y =
1
2
sin 3x+ 3x. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0) và đồng biến trên khoảng
(0; +∞).
C. Hàm số đồng biến trên R.
D. Hàm số nghịch biến trên R.
Hướng dẫn: Nhấn tổ hợp phím SHIFT +
∫
, nhập
d
dx
(
1
2
sin 2x+ 3x
)
|x= ta
nhập một số giá trị của x cụ thể trên từng khoảng đã cho (thử càng nhiều
giá trị thì độ chính xác càng cao) để kiểm tra dấu của đạo hàm.
5
Thực hiện: Nhập
d
dx
(
1
2
sin 2x+ 3x
)
|x=
Ta thử một số giá trị x0 cụ thể, kết quả được thể hiện trong bảng dưới đây.
d
dx
(
1
2
sin 2x+ 3x
)
|x= -100 -10 -5 0.1 0 5 10 100
Giá trị của f ′ tại điểm x0 3.48 3.40 2.16 3.98 4 2.16 3.40 3.48
Bảng 1:
Từ kết quả trên bảng 1 ta biết được đáp án đúng là C. Hàm số đồng biến
trên R.
Nhận xét: Với bài toán hàm số lượng giác thì việc xét dấu đạo hàm trên R là
hơi khó, với bài này học sinh khá và có một chút nhạy bén khi tính đạo hàm
rồi thì dễ dàng đưa ra được đáp án, nếu không thì thật sự khó khăn. Cách
thực hiện trên thì tương đối dễ dàng với mọi đối tượng học sinh.
Bài toán 3
Cho hàm số y =
x+ 1√
x2 − x+ 1 . Khẳng định đúng là
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1) và nghịch biến trên khoảng
(1; +∞).
C. Hàm số đồng biến trên R.
D. Hàm số nghịch biến trên R.
Nhận xét: Bài toán trên nếu thực hiện bằng việc tính đạo hàm và lập bảng
biến thiên thì sẽ rất khó đối với học sinh dưới mức trung bình.
Thực hiện: Dùng phím SHIFT +
∫
, Nhập
d
dx
(
x+ 1√
x2 − x+ 1)
∣∣∣∣
x=
, đạo hàm
của hàm số tại các điểm x cụ thể được thể hiện trong bảng dưới đây.
d
dx
(
x+ 1√
x2 − x+ 1)
∣∣∣∣
x=
-10 -5 -1 0 1 5 10 100
Giá trị của f ′ tại x0 0.0141 0.0521 0.5773 1.5 0 -0.0623 -0.0155 −1.5..× 10−4
Bảng 2:
Nhìn vào bảng giá trị (bảng 2) suy ra đáp án đúng là B.
6
Bài toán 4
Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx2 đồng biến trên R.
A. m ≤ 0. B. m = 0. C. m < 0. D. m ≥ 0.
Hướng dẫn:
- Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d đồng biến trên R khi và chỉ khi
f ′(x) ≥ 0 với mọi x ∈ R.
- Dùng chức năng tính đạo hàm tại một điểm của MTBT (SHIFT +
∫
), kiểm
tra với m = 0 nếu f ′ ≥ 0 đúng thì đáp án có thể A hoặc B hoặc D, nếu sai
thì đáp án là C. Trong trường hợp m = 0 mà đúng thì ta lấy một giá trị m
tùy ý, m ≤ 0 nếu đúng thì đáp án là A, nếu sai thì đáp án là B hoặc D.
Thực hiện: Nhấn SHIFT +
∫
. Với m = 0, nhập
d
dx
(x3) |x=X −→ CALC → X?
Ta nhập cho X một số giá trị và kết quả được thể hiện trong bảng 3.
d
dx
(
x3)
∣∣
x=X
-10 -5 -1 0 1 5 10 100
Giá trị của f ′ tại x0 300 75 3 1.5 0 75 300 30000
Bảng 3:
Nhìn kết quả ở bảng 3 suy ram = 0 đúng nên có thể đáp án A hoặc D cũng
đúng. Do đó ta kiểm tra với m ≤ 0, lấy m = −1, nhập d
dx
(x3 + 3x2) |x=X −→
CALC → X? Ta nhập cho X một số giá trị và kết quả được thể hiện trong
bảng 4.
d
dx
(
x3 + 3x2)
∣∣
x=X
-10 -5 -2 -1 0 1 2 10
Giá trị của f ′ tại x0 240 45 0 -3 0 9 24 360
Bảng 4:
Từ bảng 4 ta loại đáp án A.
Với m ≥ 0, thử với m = 2, nhập d
dx
(x3 − 6x2) |x=X −→ CALC → X? Ta nhập
cho X một số giá trị và kết quả được thể hiện trong bảng 5.
d
dx
(
x3 + 3x2)
∣∣
x=X
-10 -5 -2 -1 0 1 2 10
Giá trị của f ′ tại x0 15 135 36 15 0 -9 -12 180
Bảng 5:
7
Từ bảng 5 suy ra đáp án C sai. Vậy đáp án đúng là B. m = 0.
Nhận xét: Bài toán này học sinh có học lực trung bình trở lên thì nên giải
theo cách tự luận vì sẽ mất ít thời gian hơn dùng MTBT. Vì hệ số a > 0 nên
chỉ cần tìm m để ∆y′ ≤ 0.
Bài toán 5
Cho hàm số y =
mx+ 3− 2m
x+m
(1),m là tham số. Tìm m để hàm số (1)
nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
A. −3 ≤ m ≤ 1. B. −3 < m < 1.
C. m 6= 1 và m 6= −3. D. m 1.
Hướng dẫn: Hàm số y =
ax+ b
cx+ d
(c 6= 0; ad− bc 6= 0) nghịch biến trên từng
khoảng xác định khi và chỉ khi y′ < 0 với mọi x 6= −d
c
.
Thực hiện: Với m = 1 nhập
d
dx
(
Mx+ 3− 2M
x+M
)
∣∣∣∣
x=X
−→ CALC −→ M? −→
1 −→ X? −→ 1 = 0 (lưu ý là phải nhập x 6= −m máy mới thực hiện được),
thực hiện tương tự với các giá trị khác của x ta có kết quả sau:
d
dx
(
Mx+ 3− 2M
x+m
)
|x=X 0 || 0 0 0
M? 1 1 1 1 1
X? -2 -1 0 1 2
Bảng 6:
Từ kết quả trên ta loại đáp án A.
Thực hiện tương tự khi ta lấy m = 2,
d
dx
(
Mx+ 3− 2M
x+M
)
∣∣∣∣
x=X
−→ CALC −→
M? −→ 2 −→ X? −→ 0 = 5
4
nên ta loại đáp án C, D.
Đáp án đúng là B. -3<m<1.
Bài toán 6
Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = −x3 + mx2 − m đồng biến trên
khoảng (1; 2).
A. m < 3. B. m ≥ 3. C. m ∈ [1; 3]. D. m ≤ 3.
8
Hướng dẫn: Trong 4 đáp án có số 1 và số 3 nhưng ở đây số 1 chỉ xuất hiện ở
đáp C do đó ta thử với m = 1, nếu đúng thì ta loại được đáp án B, nếu sai
thì ta loại được các đáp án A, C và D , ta nhập các giá trị x ∈ (1; 2).
Thực hiện: Với m = 1 thì y = −x3 + x − 1, nhập d
dx
(−x3 + x − 1)|x=1.5 =
−23
4
< 0. Nên ta loại đáp án A, C và D suy ra đáp án đúng là B. m ≥ 3.
Nhận xét: Bài toán này học sinh có học lực khá trở lên mới có thể giải được
bằng phương pháp tự luận và cũng mất khá nhiều thời gian.
2.2.2. Một số bài toán về cực trị của hàm số
Bài toán 1
Tìm cực trị của hàm số f(x) = xe−x.
A. x = e B. x = e2 C. x = 1 D. x = 2
Hướng dẫn: Nếu x0 là điểm cực trị và có đạo hàm tại x0 thì f
′(x0) = 0 và
f ′(x) đổi dấu khi x qua điểm x0. Giả sử f ′(x0) = 0, khi đó để kiểm tra tính
đổi dấu ta dùng máy để tính f ′(x0 − h) và f ′(x0 + h), ở đây h là số dương
tương đối bé.
Thực hiện: Sử dụng chức năng tính đạo hàm tại một điểm. Ở chế độ bình
thường nhấn SHIFT −→ d
dx
, nhập
d
dx
(xe−x) |x=e = −0.1133860429 nên loại
đáp án A, tương tự loại đáp án B, chỉ có
d
dx
(xe−x) |x=1 = 0; d
dx
(xe−x) |x=1+0.01 <
0,
d
dx
(xe−x) |x=1−0.01 > 0 nên đáp án đúng là C. x = 1.
Bài toán 2
Cho hàm số f(x) =
1
5
x5 +
4
3
x4 − 4
3
x3 − 4x2 + 8x+ 1(1). Số điểm cực trị của
hàm số (1) là
A. 1 B. 2 C. 4 D. 4
Hướng dẫn: Tìm các nghiệm của phương trình f ′(x) = 0 rồi kiểm tra tính
đổi dấu của hàm số tại các điểm đó để kết luận cực tri.
Thực hiện: f ′(x) = x4 + 3x3 − 4x2 − 8x + 8. Nhập x4 + 3x3 − 4x2 − 8x + 8
9
SHIFT −→ CALC −→ 0 =−→ x = 1.
Dùng lược đồ Hoocner phân tích f ′(x) = (x− 1)(x3 + 4x2− 8), phương trình
f ′(x) = 0 có 4 nghiệm −3, 236;−2; 1; 1, 236. nhập x4 + 3x3 − 4x2 − 8x +
8 CALC −→ −4 = 40;CALC −→ −3 = −4;CALC −→ 0 = 8;CALC −→
1.1 = − 1829
10000
;CALC −→ 2 = 16. Vì vậy chọn đáp án D.
Bài toán 3
Cho hàm số y = −x4 + 2mx2 − 2m+ 1. Tìm tất cả các số thực m để hàm số
có ba cực trị.
A. m 0 C. m = 0 D. m 6= 0
Hướng dẫn: Yêu cầu của bài toán tương đương tìm m để phương trình y′ = 0
có ba nghiệm phân biệt. Nên ta tính đạo hàm y′ rồi thử lần lượt các giá trị
m trong các phương án A;B;C;D. Sử dụng chức năng giải phương trình bậc
ba trường hợp nào y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt thì đó là giá trị m cần tìm.
Thực hiện: Ta có y′ = −4x3 +4mx. Dùng máy tính giải phương trình bậc ba,
khi m < 0 ta lấy một giá trị m tùy ý trên miền này, chẳng hạn lấy m = −1
rồi thay trực tiếp vào các hệ số của phương trình trên máy tính kết quả cho
ba nghiệm 0; i;−i nên loại phương án A. Tiếp tục với phương án m > 0, ta
lấy m = 1 thay vào thì phương trình có 3 nghiêm 0;±1. nên ta chọn đáp án
B. m > 0 , phương án D tất nhiên bị loại vì chứa cả phương án A và B.
Bài toán 4
Tìm tất cả các số thực m để hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(2m− 1)x+ 1 có cực
đại, cực tiểu lần lượt x1;x2 thỏa mãn x
2
1 + x
2
2 = 2.
A. m = 1 B. m = 0 C. m = −1 D. m = 1 hoặc m = 0
Hướng dẫn:
- Tính y′, thử giá trị m nào mà phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
x1;x2 thỏa mãn x
2
1 + x
2
2 = 2. thì giá trị đó là đáp án cần tìm.
- Suy luận lôgic các đáp án. Nếu m = 1 đúng thì có thể m = 0 cũng đúng.
Do đó, ta thử m = 1 nếu đúng thì thử tiếp m = 0 mà cũng đúng thì đáp án
10
là D, nếu sai thì đáp án là A. Nếu thử m = 1 sai thì loại đáp án D và thử
tiếp m = 0, nếu đúng thì B là đáp án, nếu sai thì C là đáp án.
Thực hiện: Ta có y′ = 3x2−6mx+6m−3. Sử dụng MTBT giải phương trình
bậc hai y′ = 0, khi m = 1 thì phương trình có một nghiệm nên ta loại đáp
án A và do đó cũng loại đáp án D. Khi m = 0 phương trình có 2 nghiệm ±1
thỏa mãn x21 + x
2
2 = 2, nên đáp án đúng là B. m = 0.
Nhận xét: Các nghiệm x1, x2 trong trường hợp này khá đẹp nên ta dễ dàng
nhẩm được tổng x21 + x
2
2 = 2 mà không cần đến máy tính, còn thông thường
thì ta lưu nghiệm vào các biến A;B rồi gọi thử lại A2 +B2 = 2 hay không?
Bài toán 5
Cho hàm số y =
x2 +mx+ 1
x+m
. Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho đạt
cực đại tại x = 2.
A. m = −1 B. m = −3 C. m = −1 hoặc m = −3 D. m = 1
Hướng dẫn: Trước hết ta kiểm tra điều kiện cần x0 là điểm cực trị thì f
′(x0) =
0 và kiểm tra điều kiện đủ x0 là điểm cực đại thì f
′(x) đổi dấu từ dương sang
âm.
Thực hiện: Nhập vào máy tính
d
dx
(
x2 +Mx+ 1
x+M
)
|x=X−→ CALC X = 2 =
M = −1 = 0 có thể đáp án A, tiếp tục CALC X = 2 = M = −3 = 0 có thể
đáp án B hoặc C, tiếp tục CALC X = 2 = M = 1 = 0.8888... nên loại D. Giờ
ta kiểm tra tính đổi dấu,
d
dx
(
x2 +Mx+ 1
x+M
)
|x=XCALC X=1.999 = M =
−1 = −2.003004×10−3, CALC X = 2.001 = M = −1 = 1.997003997×10−3.
nên ta loại A và C và chọn B. m = −3.
Nhận xét: Bài toán trên nếu giải bằng tự luận thì học sinh làm nhanh thì
cũng mất hơn 5 phút, còn học sinh trung bình và yếu có thể không làm được.
Nhưng nếu biết sử dụng máy tính thì thì có thể dễ dàng cho kết quả.
11
2.2.3. Một số bài toán về sự tương giao
Bài toán 1
Cho hàm số y =
2x− 1
1− x có đồ thị (C). Tìm tất cả các số thực m để đường
thẳng (d) : y = x+m cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt .
A. m −1 C. −5 ≤ m ≤ −1 D. m −1
Lập luận: Trong 4 đáp án thì có 3 đáp án liên quan đến số −5 (tương tự với
số −1). Với m < −5 ta lấy một giá trị tùy ý, chẳng hạn m = −6 thay vào
phương trình hoành độ giao điểm nếu có hai nghiệm phân biệt thì đáp án có
thể A hoặc D, khi đó ta thử tiếp m = 0 nếu đúng thì đáp án là D, nếu sai thì
đáp án là A. Nếu m = −6 sai thì loại đáp án A và D, ta thử tiếp với m = 0
nếu đúng thì đáp án là B, nếu sai thì đáp án là C.
Thực hiện: Kiểm tra với m < −5 : Lấy m = −6 nhập vào máy tính(
2x− 1
1− x − x−M
)
nhấn SHIFT −→ CALC −→ M −→ −6 =−→ X −→
0 =−→ X = 3.62, quay lại
(
2x− 1
1− x − x−M
)
: (x− 3.62) nhấn SHIFT −→
CALC −→ M −→ −6 =−→ X −→ 0 =−→ X = 1.38 nên đáp án có thể là A hoặc
D.
Tiếp tục kiểm tra với m > −1 : Lấy m = 0,
(
2x− 1
1− x − x−M
)
nhấn
SHIFT −→ CALC −→ M −→ 0 =−→ X −→ 0 =−→ X = −1.62, quay lại(
2x− 1
1− x − x−M
)
: (x+ 1.62) nhấn SHIFT −→ CALC −→ M −→ 0 =−→
X −→ 0 =−→ X = 0.62 nên đáp án đúng là D. m −1.
Bài toán 2
Cho hàm số y =
2x− 2
x+ 1
có đồ thị (C). Tìm tất cả các số thực m để đường
thẳng (d) : y = 2x + m cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt A,B
sao cho AB =
√
5.
A. m = −2 B. m = −3
C. m = −2 hoặc m = 10 D. m = −2 hoặc m = −1
Hướng dẫn: Gọi A(x1; kx1 + m), B(x2; kx2 + m) là độ giao điểm của đồ thị
hàm số y =
ax+ b
cx+ d
và đường thẳng y = kx+m, ta dễ dàng chứng minh được
12
AB = |x1 − x2|
√
1 + k2.
Áp dụng kết quả trên cho bài toán này, ta cần tìm m để phương trình hoành
độ giao điểm có hai nghiệm x1, x2 sao cho |x1 − x2| = 1.
Về mặt lôgic ta sẽ kiểm tra m = −2, nếu sai thì đáp án là B, nếu đúng thì
đáp án có thể A hoặc C hoặc D, khi đó ta kiểm tra tiếp m = 10 nếu đúng
thì đáp án là C, nếu sai thì đáp án là D.
Thực hiện: Ta kiểm tra vớim = −2, nhập váo máy tính
(
2X − 2
X + 1
− 2X −M
)
nhấn SHIFT −→ CALC −→ M −→ −2 =−→ X −→ 1 =−→ X = 1, như vậy
x1 = 1. Quay lại màn hình và bổ sung
(
2X − 2
X + 1
− 2X −M
)
: (X − 1) nhấn
SHIFT −→ CALC ==−→ X = 0 nên x2 = 0 thỏa mãn |x1 − x2| = 1, nên đáp
án đúng có thể là A hoặc C hoặc D.
Kiểm tra khi m = 10 quay lại màn hình
(
2X − 2
X + 1
− 2X −M
)
SHIFT −→
CALC −→ M −→ 10 =−→ X −→ 1 =−→ X = −3, như vậy x1 = −3. Quay
lại màn hình và bổ sung
(
2X − 2
X + 1
− 2X −M
)
: (X + 3) nhấn SHIFT −→
CALC ==−→ X = −2 nên x2 = −2 thỏa mãn |x1 − x2| = 1. Suy ra đáp án
là C. m = −2 hoặc m = 10.
Bài toán 3
Cho hàm số y =
x+ 1
2x− 1 có đồ thị (C). Với giá trị nào của m thì đường thẳng
(d) : y = −x+ 2m cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho
độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất.
A. m =
1
2
B. m =
3
2
C. m =
5
2
D. m =
7
2
Hướng dẫn: Cách giải bài toán 3 cũng tương tự bài toán 1; 2, nhưng ở bài
toán này ta tìm m để |x1 − x2| nhỏ nhất. Thử các giá trị m vào phương trình
hoành độ giao điểm, tìm các nghiệm x1, x2 rồi tính |x1 − x2| trong các trường
hợp rồi chọn giá trị nhỏ nhất.
Thực hiện: Với m =
1
2
nhập vào máy tính
(
x+ 1
2x− 1 + x− 2M
)
SHIFT
−→ CALC −→ M −→ 1
2
=−→ x −→ 1 = ... phương trình vô nghiệm nên loại
phương án A.
Với m =
3
2
: Quay lại
(
x+ 1
2x− 1 + x− 2M
)
SHIFT −→ CALC −→M −→ 3
2
=−→
13
x −→ 1 =−→ x = 1 (x1 = 1). Quay lại và sửa
(
x+ 1
2x− 1 + x− 2M
)
: (x − 1)
SHIFT −→ CALC −→ M −→ 3
2
=−→ x −→ 1 =−→ x = 2 (x2 = 2), nên
|x1 − x2| = 1.
Với m =
5
2
: Quay lại
(
x+ 1
2x− 1 + x− 2M
)
SHIFT −→ CALC −→ M −→
5
2
=−→ x −→ 1 =−→ x = 0.697 (x1 = 0.697). Quay lại và và thêm vào(
x+ 1
2x− 1 + x− 2M
)
: (x − 0.697) SHIFT −→ CALC −→ M −→ 5
2
=−→ x −→
1 =−→ x = 4.302 (x2 = 4.302), nên |x1 − x2| = 3.605.
Với m =
7
2
: Quay lại
(
x+ 1
2x− 1 + x− 2M
)
SHIFT −→ CALC −→M −→ 7
2
=−→
x −→ 1 =−→ x = 6.372 (x1 = 6.372). Quay lại và thêm vào
(
x+ 1
2x− 1 + x− 2M
)
:
(x − 6.372) SHIFT −→ CALC −→ M −→ 7
2
=−→ x −→ 1 =−→ x = 0.628
(x2 = 0.628), nên |x1 − x2| = 5.744.
So sánh các kết quả trên ta chọn đáp án B. m =
3
2
.
Nhận xét: Theo cách làm trên cũng có những lúc máy tính thực hiện hơi lâu,
do vậy khi làm bài thi học sinh có thể chuẩn bị hai máy tính để tiết kiệm
thời gian.
Bài toán 4
Cho hàm số y =
2x+ 1
x+ 1
, có đồ thị (C) và đường thẳng d : y = x+m. Với giá
trị nào của m thì d cắt đồ thị (C) tại hai điểm A,B phân biệt sao cho tam
giác OAB vuông tại O.
A. m = −1 B. m = −2 C. m = 2
3
D. m = −2
3
Hướng dẫn: Gọi A(x1; y1), B(x2; y2), tam giác OAB vuông tại O khi và chỉ
khi x1.x2 + y1.y2 = 0. Ở đây x1, x2 là nghiệm của phương trình hoành độ giao
điểm, y1 = x1 + m; y2 = x2 + m. Ta thực hiện tương tự các bài toán ở trên,
giá trị m mà x1.x2 + y1.y2 = 0. là giá trị cần tìm.
Thực hiện:
Với m = −1 : Nhập
(
2x+ 1
x+ 1
− x−M
)
SHIFT −→ CALC −→ M −→ −1 =−→
14
x −→ 1 =−→ x1 = 2.732 suy ra y1 = 1.732. Quay lại
(
2x+ 1
x+ 1
− x−M
)
:
(x− 2.732) SHIFT −→ CALC −→ M −→ −1 =−→ x −→ 1 =−→ x2 = −0.732 suy
ra y2 = −1.732. Trường hợp này x1.x2 + y1.y2 = −4.9996 nên loại A.
Với m = −2 :
(
2x+ 1
x+ 1
− x−M
)
SHIFT −→ CALC −→ M −→ −2 =−→ x −→
1 =−→ x1 = 3.791 suy ra y1 = 1.791. Quay lại
(
2x+ 1
x+ 1
− x−M
)
: (x−3.791)
SHIFT −→ CALC −→ M −→ −2 =−→ x −→ 1 =−→ x2 = −0.791 suy ra y2 =
−2.791. Trường hợp này x1.x2 + y1.y2 = −7.997 nên loại B.
Với m =
2
3
:
(
2x+ 1
x+ 1
− x−M
)
SHIFT −→ CALC −→ M −→ 2
3
=−→ x −→
1 =−→ x1 = 0.77 suy ra y1 = 1.43. Quay lại
(
2x+ 1
x+ 1
− x−M
)
: (x − 0.77)
SHIFT −→ CALC −→M −→ −2
3
=−→ x −→ 1 =−→ x2 = −0.43 suy ra y2 = 0.23.
Trường hợp này x1.x2 + y1.y2 = − 11
5000
ta chọn đáp án C. m =
2
3
.
Nhận xét: Với m =
2
3
do các kết quả trong quá trình tính toán ta làm tròn
số nên x1.x2 + y1.y2 xấp xỉ số 0. Lý do ta không lưu vào các biến là mỗi lần
lưu ta phải nhập lại biểu thức phương trình hoành độ giao điểm nên để tiện
và nhanh hơn ta ghi kết quả ra giấy nháp và tính x1.x2 + y1.y2 bởi máy tính
khác. Còn nếu ta lưu vào các biến thì tích trên sẽ đúng bằng 0.
2.2.4. Một số bài toán về nguyên hàm và tích phân
Ngoài việc học sinh nắm được kiến thức, các phương pháp tính nguyên
hàm, tích phân thì ta cần trang bị cho các em cách thức sử dụng MTBT để
tìm kết quả một cách nhanh nhất.
Ta biết rằng giữa bài toán nguyên hàm và bài toán tích phân có mối quan
hệ chặt chẽ với nhau.
Bài toán 1
Hàm số F (x) nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f(x) =
ln3 x
x
.
A. F (x) =
ln4 x
2x2
B. F (x) =
x ln4 x
4
15
C. F (x) =
ln4(x+ 1)
4
D. F (x) =
ln4 x+ 1
4
.
Hướng dẫn: Cách giải thông thường là dùng định nghĩa chứng tỏ F
′
(x) = f(x)
hoặc dùng phương pháp đổi biến đặt t = lnx.
Để giải bài toán trên bằng MTBT ta cần nhờ đến tích phân, được giải thích
như sau: A =
∫ b
a
f(x)dx = F (x)|ba = F (b)− F (a)⇒ A− (F (b)− F (a)) = 0,
trong đó F (x) là một nguyên hàm của f(x).
Thực hiện: Nhập tích phân
∫ 2
1
ln3 x
x
dx vào máy tính rồi lưu vào biến A bằng
cách ấn phím SHIFT
STO−−→ A, việc lấy hai cận của tích phân là tùy ý miễn
sao thuộc miền tồn tại tích phân của hàm số f(x) là được. Tiếp đến ta
ấn phím AC về màn hình bình thường rồi nhập
ln4 x
2x2
, ấn CALC −→ 1 =
CALC −→ 2 = . Ấn AC và Gọi lại A − (Ans − PreAns) = 0.02885... nên
không phải đáp án A, ta thử phương án B hoàn toàn tương tự nhập
ln4 x+ 1
4
,
ấn CALC −→ 1 = CALC −→ 2 = . Ấn AC và Gọi lại A−(Ans−PreAns) = 0
nên B. là đáp án đúng. Ở đây Ans− PreAns = F (b)− F (a).
Lưu ý: Máy tính CASIOfx − 570V NPLUS có thể tự nhớ hai giá trị cùng
một lúc mà không cần người dùng phải lưu vào biến, giá trị sau cùng là Ans,
giá trị liền trước đó là PreAns. Tuy nhiên nếu học sinh khó hiểu thì ta có
thể dùng biến B và C để lưu giá trị của F (x) tại CALC −→ 1 STO−−→ B và
CALC −→ 2 STO−−→ C rồi gọi A− (C −B).
Bài tập 2
Tìm
∫
x ln(x2 + 1)
x2 + 1
dx
A. F (x) =
1
4
ln2(x2 + 1) + C B. F (x) = ln2(x2 + 1) + C
C. F (x) =
1
2
ln(x2 + 1) +C D. F (x) =
1
x+ 1
ln(x2 + 1) +C
Nhận xét: Bài toán này nếu giải bằng phương pháp tự luận thì sẽ mất khá
nhiều thời gian của học sinh, nhưng nếu dùng MTBT thì rất đơn giản. Ở
đây tác giả đã cố tình để đáp án ở phương án A để người đọc kiểm tra được
nhanh chóng hơn.
16
Thực hiện: Ta nhập tích phân
∫ 1
0
x ln(x2 + 1)
x2 + 1
dx vào máy tính rồi lưu vào
biến A bằng cách ấn phím SHIFT
STO−−→ A . Tiếp đến ta ấn phím AC về màn
hình bình thường rồi nhập
1
4
ln2(x2 + 1)), ấn CALC −→ 0 = CALC −→ 1 = .
Ấn AC và Gọi lại A− (Ans− PreAns) = 0 nên đáp án đúng là A.
Bài tập 3
Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) =
3x2 + 3x+ 3
x3 − 3x+ 2 thỏa mãn
F (2) = 3. Kết quả là:
A. F (x) =
3
x− 1 +
2
(x− 1)2 +
1
x+ 2
− 9
4
B. F (x) = − 3
x− 1 + 2 ln |x− 1|+ ln |x+ 2|+ 6− 2 ln 2
C. F (x) = 3 ln |x− 1| − 2
(x− 1)2 + ln |x+ 2|+ 3− 2 ln 6
D. F (x) = −3 ln |x− 1|+ 2 ln |x+ 2| − 1
x− 1 + 2 ln 2− 1
Bằng cách thực hiện tương tự như hai bài tập trên ta có kết quả là phương
án B.
Nhận xét: Bài toán trên cách giải thông thường là phương pháp hệ số bất
định, tức là phân tích f(x) =
3x2 + 3x+ 3
x3 − 3x+ 2 =
3
(x− 1)2 +
2
x− 1 +
1
x+ 2
và
chỉ những học sinh khá trở lên mới có thể làm được và mất khá nhiều thời
gian. Như vậy với những bài toán kiểu này thì chỉ cần trang bị cho học sinh
cách thực hiện, lúc đó bài toán dễ hay khó cũng dễ dàng tìm được kết quả.
Bài tập 4
Biết
∫ 1
0
(2x+ 3)exdx = a+ be (a, b ∈ Z). Tính tổng a+ b.
A. 2. B. 3. C. 1. D. −1.
Hướng dẫn: Nhập tích phân
∫ 1
0
(2x + 3)exdx vào máy tính rồi lưu vào biến
A. Khi đó ta có phương trình A = a + e.b ⇒ a = A− be. Đẳng thức này có
dạng f(x) = A− ex, ở đây ta xem a = f(x); b = x. Do a, b ∈ Z nên ta dùng
chức năng của TABLE (MODE 7) ta sẽ tìm được a và b.
17
Thực hiện: Nhập
∫ 1
0
(2x+ 3)exdx −→SHIFT−→STO−→A.
Từ đề bài ta có a = A − be., ấn MODE 7 −→ f(x) = A − xe = g(x) ==
Start −→ −5 −→ End −→ 5 = Step −→ 1 = kết quả được thể hiện trong bảng
sau:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
X -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
F(X) 20.7 18.0 15.3 12.5 9.8 7.1 4.4 1.7 -1 -3.7 -6.4
Bảng 7:
Nhìn vào bảng ta có a+ b = 2 nên đáp án là A. 2.
Bài tập 5
Biết
∫ pi
4
0
sin4 xdx = api + b (a, b ∈ Q). Tính tổn