Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

+ = + 
− − 
, suy ra: 
1
1
1 1
n
n
b b
u a u
a a
−  + = + 
− − 
Hay 
( )
1
1
1
1
1
n
n
n
b a
u u a
a
−
− −
= +
−
 . 
Từ đó ta suy ra các dạng sau 
Dạng 1: Dãy số ( )nu : 1 0 1, 2n nu x u au b n−= = +   
*( , )a b có CTTQ 
 ( )
1
1
1
1
( 1) 1
1
1
1
n
n
n
n
u n b khi a
u b a
u u a khi a
a
−
−
+ − =

=  −
= + 
−
Ví dụ 1.4 Xác định CTTQ của dãy ( )nu được xác định: 1 12; 2 3 1.n nu u u n−= = + − 
Giải 
Để tìm CTTQ của dãy số ta tìm cách làm mất 3 1n− để chuyển về dãy số là một CSN. 
Ta có  3 1 3 5 2 3( 1) 5n n n− = − − + − + (2) 
Khi đó công thức truy hồi của dãy: 
  3 5 2 3( 1) 5n nu n u n+ + = + − + 
Đặt 3 5n nv u n= + + , ta có: 1 10v = và 12n nv v −= 
1 1
12 .2 10.2
n n
nn v v
− −   = = 
Vậy CTTQ của dãy ( )nu : 3 5 5.2 3 5 1,2,...
n
n nu v n n n= − − = − −  = 
Chú ý: 
1/. Để phân tích được đẳng thức (2) ta là như sau: 
 3 1 2 ( 1)n an b a n b− = + − − + . Cho 1; 2n n= = ta có 
2 3
5 5
a b a
b b
− = = − 
 
− = = − 
 . 
2/. Trong trường hợp tổng quát dãy ( )nu : 
1
1 ( ) 2n n
u
u au f n n−


= +  
 trong đó ( )f n là một 
đa thức bậc k theo n , ta xác định CTTQ như sau 
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch 
7 
GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 
 Phân tích ( ) ( ) ( 1)f n g n ag n= − − (3) với ( )g n cũng là một đa thức theo n . Khi đó ta có 
   11 1( ) ( 1) ... (1)
n
n nu g n a u g n a u g
−
−− = − − = = − 
Vây ta có   11 (1) ( )
n
nu u g a g n
−= − + 
Vấn đề còn lại là ta xác định ( )g n như thế nào? 
Ta thấy: 
* Nếu 1a = thì ( ) ( 1)g n ag n− − là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của ( )g n một bậc và 
không phụ thuộc vào hệ số tự do của ( )g n , mà ( )f n là đa thức bậc k nên để có (3) ta 
chọn ( )g n là đa thức bậc 1k + , có hệ số tự do bằng không và khi đó để xác định ( )g n thì 
trong đẳng thức (3) ta cho 1k + giá trị của n bất kì ta được hệ 1k + phương trình, giải hệ 
này ta tìm được các hệ số của ( )g n . 
* Nếu 1a  thì ( ) ( 1)g n ag n− − là một đa thức cùng bậc với ( )g n nên ta chọn ( )g n là đa 
thức bậc k và trong đẳng thức (3) ta cho 1k + giá trị của n thì ta sẽ xác định được ( )g n . 
Vậy ta có kết quả sau 
Dạng 2: Để xác định CTTQ của sãy ( )nu được xác định bởi 
1 0
1. ( )n n
u x
u a u f n−
=

= +
 , trong 
đó ( )f n là một đa thức bậc k theo n ; a là hằng số. 
 Ta làm như sau: 
 Phân tích: ( ) ( ) . ( 1)f n g n a g n= − − với ( )g n là một đa thức theo n . Khi đó, ta đặt 
( )n nv u g n= − ta có:  
1
1 (1) ( )
n
nu u g a g n
−= − + . 
Lưu ý: nếu 1a = , ta chọn ( )g n là đa thức bậc 1k + có hệ số tự do bằng 0 , còn nếu 1a  ta 
chọn ( )g n là đa thức bậc k . 
Ví dụ 1.5 Cho dãy số ( )nu : 
1
1
2
2 1n n
u
u u n−
=

= + +
. Tìm CTTQ của dãy ( )nu . 
Giải 
 Ta có  2 22 1 ( ) ( 1) ( 1) ( 1)n g n g n a n n b n n + = − − = − − + − −  
(trong đó 2( )g n an bn= + ) 
Cho 0, 1n n= = ta có hệ: 2
1 1
( ) 2
3 2
a b a
g n n n
a b b
− + = = 
  = + 
+ = = 
2 2 1nu n n = + − 
Ví dụ 1.6 Cho dãy số ( )nu : 
1
1
1
3 2 ; 2,3,...nn n
u
u u n−
=

= + =
. Tìm CTTQ của dãy ( )nu 
Giải 
 Tương tự ví dụ trên, ta có: 12 .2 3 .2n n na a −= − . 
 Cho 1n = , ta có: 12 2 2.2 3.2.2n n na −= −  = − + 
Nên ta có ( ) ( )1 11 12.2 3 2.2 ... 3 4n n nn nu u u− −−+ = + = = + 
Vậy 1 15.3 2n nnu
− += − 
Chú ý: Trong trường hợp tổng quát dãy ( )nu : 1. .
n
n nu a u b−= + , 
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch 
8 
GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 
Ta phân tích 
 1. . .n n nk a k   −= − với a  
Chú ý: Trong trường hợp tổng quát dãy ( )nu : 
1
1. .
n
n nu a u b
−
−= + 
Ta phân tích 1. . .n n nk a k   −= − với ( )a  . 
Khi đó ( ) ( )1 11 1. . ...n n nn nu k b a u kb u bk  − −−− = − = = − 
Suy ra ( )1 1
n n
nu a u bk bk
−= − + . 
Trường hợp a = , phân tích ( ) 1. 1 .n n nn n    −= − − 
( )( ) ( )1 11. 1 . ... 1n n nn nu bn u b n u b    − −− − = − − = = − 
( ) 111
n n
nu b n u 
− = − + 
Vậy ta có kết quả sau 
Dạng 3. Để xác định CTTQ của dãy ( )nu : 
1
1. . 2
n
n n
u
u a u b n−


= +  
, ta làm như sau 
* Nếu ( ) 111
n n
na u b n u  
−=  = − + 
* Nếu 1. .n n na k ak    −  = − 
Khi đó ( )1 1 .
n n
nu a u bk bk
−= − + 
Suy ra k
a


=
−
Ví dụ 1.7 Tìm CTTQ của dãy ( )nu : 
1
1
1
5 2.3 6.7 12; 2,3,...n nn n
u
u u n−
=

= + − + =
Giải 
Ta có 
1
1
3 .3 5 .3
7 .7 5 .7
n n n
n n n
k k
l l
−
−
 = −

= −
 cho 
3
2
1
7
2
k
n
l

= −
=  
 =

Mặt khác, ta có 12 3 5.3= − + nên công thức truy hồi như sau 
( ) ( )1 1 11 13.3 21.7 3 5 3.3 21.7 3 ... 5 9 147 3n n n n nn nu u u− − −−+ + + = + + + = = + + + 
Vậy 1 1 1157.5 3 3.7 3n n nnu
− + += − − − 
Ví dụ 1.8 Tìm CTTQ của dãy ( )nu : 
1
1
1
2 3 ; 2nn n
u
u u n n−
=

= + −  
Giải 
Ta có 
( )
13 3.3 2.3.3
2 2 1 2
n n n
n n n
− = −

= − − +  − +   
Suy ra công thức truy hồi của dãy 
( ) ( )1 11 13.3 2 2 3.3 1 2 ... 2 12
n n n
n nu n u n u
− −
−
 = − − − = − − − − = = −  
Vậy 1 111.2 3 2n nnu n
− += − + + + 
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch 
9 
GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 
Dạng 4. Để xác định CTTQ của dãy ( )nu : ( )
1
1. . ; 2
n
n n
u p
u a u b f n n−
=

= + +  
, trong đó 
( )f n là đa thức theo n bậc k , ta phân tích n và ( )f n như cách phân tích dạng 2 
Ví dụ 1.9 Xác định CTTQ của dãy ( )nu : 0 1 1 21; 3; 5 6 ; 2n n nu u u u u n− −= − = = −   
Giải 
 Để xác định CTTQ của dãy số trên, ta thay thế dãy ( )nu bằng 1 dãy số khác là CSN. 
Công thức truy hồi được viết lại như sau: 
( )1 1 2 1 1 2. .n n n nu x u x u x u− − −− = − , do đó ta chọn 1 2,x x : 
1 2
1 2
5
. 6
x x
x x
+ =

=
 hay 1 2,x x là nghiệm 
phương trình: 2 5 6 0 2; 3x x x x− + =  = = . Ta chọn 1 22; 3x x= = 
Khi đó: ( ) ( )1 11 1 2 1 02. 3 2. ... 3 2 5.3
n n
n n n nu u u u u u
− −
− − −− = − = = − = . 
Chú ý: Tương tự như cách làm trên ta xác định CTTQ của dãy ( )nu được xác định bởi 
0 1
1 2
;
. . 0 2n n n
u u
u a u b u n− −


− + =  
, trong đó ,a b là các số thực cho trước và 2 4 0a b−  như 
sau 
Gọi 1 2,x x là hai nghiệm của phương trình 
2 . 0x a x b− + = (4) (phương trình này gọi là 
phương trình đặc trưng của dãy) 
Khi đó 
Sử dụng kết quả của dạng 3, ta có các trường họp sau: 
* Nếu 1 2x x thì 
2 0 1 1 0
2 1
. .x u u u x u
un
x x y x
− −
= +
− −
Hay 
1 2. .
n n
nu k x l x= + , trong đó ,k l là nghiệm của hệ 
0
1 2 1. .
k l u
x k x l u
+ =

+ =
. 
* Nếu 1 2x x = = thì 
0 0
1 1
2 2
n n
u a au
u u n −
  
= + −  
  
hay ( ) 1nnu kn l 
−= + , trong đó ,k l là nghiệm của hệ 
0
1
.l u
k l u
=

+ =
Dạng 5. Để xác định CTTQ của dãy ( )nu :
0 1
1 2
;
. . 0 2n n n
u u
u a u b u n− −


− + =  
, trong đó ,a b là 
các số thực khác 0 ; 2 4 0a b−  , ta làm như sau: 
Gọi 1 2,x x là nghiệm của phương trình đặc trưng: 
2 . 0x a x b− + = 
* Nếu 1 2x x thì , trong đó ,k l là nghiệm của hệ 
0
1 2 1. .
k l u
x k x l u
+ =

+ =
. 
* Nếu 1 2x x = = thì ( )
1n
nu kn l 
−= + , trong đó ,k l là nghiệm của hệ 
0
1
.l u
k l u
=

+ =
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch 
10 
GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 
Ví dụ 1.10 Cho dãy số ( )nu được xác định bởi 
0 1
1 1
1; 2
4 , 1n n n
u u
u u u n+ +
= =

= +  
. Hãy xác định 
CTTQ của dãy ( )nu . 
Giải 
Phương trình 2 4 1 0x x− − = có hai nghiệm 1 22 5; 2 5x x= + = − 
1 2. .
n n
nu k x l x = + . Vì 0 11; 2u u= = nên ta có hệ ( ) ( )
1
2 5 2 5 2
k l
k l
+ =

+ + − =
1
2
k l = = . 
Vậy ( ) ( )1 2 5 2 5
2
n n
nu
 = + + −
  
. 
Ví dụ 1.11 Xác định CTTQ của dãy ( )nu 
0 1
1 2
1; 3
4 4 0; 2,3,...n n n
u u
u u u n− −
= =

− + =  =
Giải 
Phương trình đặc trưng 2 4 4 0x x− + = có nghiệm kép 2x = nên ( ) 12nnu kn l
−= + 
Vì 0 11; 3u u= = nên ta có hệ 
2
1; 2
3
l
k l
k l
=
 = =
+ =
. 
Vậy ( ) 12 2nnu n
−= + 
Ví dụ 1.12 Cho dãy ( )nu : 
0 1
2
1 2
1; 3
5 6 2 2 1; 2n n n
u u
u u u n n n− −
= − =

− + = + +  
. 
 Xác định CTTQ của dãy ( )nu . 
Giải 
Với cách làm tương tự như ví dụ 1.4, ta phân tích 22 2 1n n+ + = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 . 5 1 1 6 2 2kn l n t k n l n t k n l n t   = + + − − + − + + − + − +    (5) 
Cho 0; 1; 2n n n= = = ta có hệ 
19 7 2 1 1
7 5 2 5 8
3 2 13 19
k l t k
k l t l
k l t t
− + = = 
 
− + =  = 
 − − + = = 
Đặt 2
0 18 19 20; 25n nv u n n v v= − − −  = = − và 1 25 6 0n n nv v v− −− + = 
.3 .2n nnv   = + . Ta có hệ 
20 15
3 2 25 35
  
  
+ = − = 
 
+ = − = − 
215.3 35.2 15.3 35.2 8 19n n n nn nv u n n = −  = − + + + . 
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch 
11 
GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 
Chú ý Để xác định CTTQ của dãy ( )nu : ( )
0 1
1 1
;
. . 2n n n
u u
u a u b u f n n+ −


+ + =  
(trong đó ( )f n là đa thức bậc k theo nvà 2 4 0a b−  ) ta làm như sau: 
* Ta phân tích ( ) ( ) ( ) ( )1 2f n g n ag n bg n= + − + − (6) rồi ta đặt ( )n nv u g n= − 
Ta có được dãy số ( )nv : 
( ) ( )0 0 1 1
1 2
0 ; 1
0 2n n n
v u g v u g
v av bv n− −
 = − = −

+ + =  
. Đây là dãy số ta xét trong dạng 5. 
Do đó ta sẽ xác định CTTQ của n nv u 
* Ta xác định ( )g n như thế nào để có (6) 
Vì ( )f n là đa thức bậc k nên ta phải chọn ( )g n sao cho ( ) ( ) ( )1 2g n ag n bg n+ − + − là 
đa thức bậc k theo n . Khi đó ta chỉ cần thay 1k + giá trị bất kì của n vào (6) ta sẽ xác định 
được ( )g n . 
Giả sử ( ) ( )11 1 0. . ... 0
m m
m m mg n a n a n a n a a
−
−= + + + +  là đa thức bậc m . Khi đó hệ số của 
mx và 1mx − trong vế phải là ( )1ma a b+ + và ( ) ( ) 12 . 1m ma b m a a b a −− + + + +   . 
Do đó 
i) Nếu phương trình 2 . 0x a x b+ + = (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 thì 1 0a b+ +  
nên vế phải (6) là đa thức bậc m . 
ii) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm 
1 1 0x a b=  + + = và ( ) ( ) ( )12 . 1 2 . . 0m m ma b m a a b a a b m a−− + + + + = − +  nên vế phải 
(6) là đa thức bậc 1m− . 
iii) Nếu phương trình (1) có nghiệm kép 1 2; 1x a b=  = − = nên vế phải (6) là đa thức bậc 
2m− . 
Vậy chọn ( )g n ta cần chú ý như sau: 
* Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, thì ( )g n là đa thức cùng bậc với ( )f n . 
* Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng 1 thì ta chọn 
( ) ( ).g n n h n= trong đó ( )h n là đa thức cùng bậc ( )f n . 
* Nếu (1) có nghiệm kép 1x = thì ta chọn ( ) ( )2.g n n h n= trong đó ( )h n là đa thức cùng 
bậc với ( )f n . 
Dạng 6 Để tìm CTTQ của dãy ( )nu : ( )
0 1
1 2
;
. . 2n n n
u u
u a u b u f n n− −


+ + =  
(trong đó ( )f n là đa thức theo n bậc k và 2 4 0b ac−  ) ta làm như sau: 
Xét ( )g n là đa thức bậc k : ( ) 1 0. ...
k
kg n a n a k a= + + + . 
* Nếu phương trình 2 . 0x a x b+ + = (1) có hai nghiệm phân biệt, ta phân tích 
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch 
12 
GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 
( ) ( ) ( ) ( ). 1 2f n g n a g n bg n= + − + − rồi đặt ( )n nv u g n= − 
* Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm 1x = , ta phân tích 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 1 2 2f n n g n a n g n b n g n= + − − + − − rồi đặt ( ).n nv u n g n= − 
* Nếu (1) có nghiệm kép 1x = , ta phân tích 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 22. 1 1 2 2f n n g n a n g n b n g n= + − − + − − rồi đặt ( )2.n nv u n g n= − . 
Ví dụ 1.13 Xác định CTTQ của dãy ( )nu 
0 1
1 2
1; 4
3 2 2 1 2n n n
u u
u u u n n− −
= =

− + = +  
Giải 
Vì phương trình 2 3 2 0x x− + = có hai nghiệm 1; 2x x= = nên ta phân tích 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 3 1 1 2 2 2n n kn n k n l n k n l+ = + − −  − +  + −  − +     , cho 0, 1n n= = 
Ta có hệ 
5 1
1; 6
3 3
k l
k l
k l
− =
 = − = −
− =
Đặt ( ) 0 16 1; 11n nv u n n v v= + +  = = và 1 23 2 0n n nv v v− −− + = 
.2 .1n nnv   = + với 
1
, 10; 9
2 11
 
   
 
+ =
 = = −
+ =
1 210.2 9 5.2 6 9 0,1,2,3,...n nn nv u n n n
+ = −  = − − −  = 
Ví dụ 1.14 Tìm CTTQ của dãy ( )nu : 
0 1
1 2
1; 3
4 3 5.2 2nn n n
u u
u u u n− −
= − =

− + =  
Giải 
Ta phân tích 1 22 .2 4 .2 3 .2n n n na a a− −= − + 
Cho 2n = ta có : 4 4 8 3 4a a a a= − +  =− 
Đặt 
0 15.4.2 19; 43
n
n nv u v v= +  = = và 1 24 3 0n n nv v v− −− + = 
Vì phương trình 2 4 3 0x x− + = có hai nghiệm 1; 3x x= = nên .3 .1n nnv  = + 
Với 
19
, : 12; 7 12.3 7
3 43
n
nv
 
   
 
+ =
 = =  = +
+ =
Vậy 1 24.3 5.2 7 1,2,...n nnu n
+ += − +  = 
Chú ý: Với cách giải trên, ta tìm CTTQ của dãy số ( )nu được xác định bởi 
0 1
1 2
;
. . . 2nn n n
u u
u a u b u c n− −


+ + =  
 (với 2 4 0a b−  ) như sau: 
Ta phân tích 1 2. . . .n n n nk a k b k   − −= + + (7) 
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch 
13 
GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 
Cho 2n = thì (7) trở thành ( )2 2.k a b  + + = 
Ta tìm được 
2
2 .
k
a b

 
=
+ +
 khi  không là nghiệm của phương trình 
 2 . 0x a x b+ + = (8) 
Khi đó, ta đặt . . nn nv u k c= − , ta có dãy ( )
0 0 1 1
1 2
. ; . .
:
. . 0 2
n
n n n
v u k c v u k c
v
v a v b v n

− −
= − = −

+ + =  
1 2. .
n n
nv p x q x = + ( 1 2,x x là hài nghiệm của (8)). 
1 2. . . .
n n n
nu p x q x k c = + + 
Vậy nếu x = là một nghiệm của (8),tức là 2 . 0a b + + = thì ta sẽ xử lý như thế nào? 
Nhìn lại cách giải ở dạng (3), ta phân tích 
( ) ( )1 2. . . 1 . 2n n n nk n a k n bk n   − −= + − + − (9) 
Cho 2n = ta có: ( ) ( )22 2
2
k a k a k
a

    

+ =  + =  =
+
2
a

 
 − 
 
 (2) có nghiệm k  là nghiệm đơn của phương trình (8) 
Khi đó 
1 2. . .
n n n
nu p x q x kcn= + + 
Cuối cùng ta xét trường hợp 
2
a
x = = − là nghiệm kép của (8). Với ý tưởng như trên, ta sẽ 
phân tích: ( ) ( )
2 22 1 2. . 1 . 2 .n n n nkn a k n bk n   − −= + − + − (10) 
Cho 2n = ta có: ( ) 2 2
1
10 4 . . .
4 2
k a k k
a

  

 = +  = =
+
Khi đó 21 2
1
. . .
2
n n n
nu p x q x cn = + + 
Dạng 7 Cho dãy số ( )nu xác định bởi 
0 1
1 2
;
. 2nn n n
u u
u au bu c n− −


+ + =  
Để xác định CTTQ của dãy ( )nu ta làm như sau 
Xét phương trình 2 . 0x a x b+ + = (11) 
* Nếu phương trình (11) có hai nghiệm phân biệt khác  thì 
1 2. . .
n n n
nu p x q x kc= + + với 
2
2 .
k
a b

 
=
+ +
* Nếu phương trình (11) có nghiệm đơn x = thì 
1 2. . .
n n n
nu p x q x kcn= + + với 
4.
k
a


=
+
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch 
14 
GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 
* Nếu x = là nghiệm kép của (11) thì 2
1
.
2
n
nu p qn cn 
 
= + + 
 
Ví dụ 1.15 Xác định CTTQ của dãy ( )nu : 
0 1
1 2
1; 3
5 6 5.2 2nn n n
u u
u u u n− −
= − =

− + =  
Giải 
Phương trình 2 5 6 0x x− + = có hai nghiệm 1 22; 3x x= = , do đó 
 .2 .3 5 .2n n nnu p q kn= + + 
Với 
2
2
2 4 5
1 2; 26; 25
2 3 10 3
k
a
p q k p q
p q k



= = = − + −

+ = −  = − = − =
 + + =


Vậy ( )126.2 25.3 10 .2 25.3 2 5 13 1,2,...n n n n nnu n n n
+= − + − = − +  = 
Ví dụ 1.16 Tìm CTTQ của dãy ( )nu : 
0 1
1 2
1; 3
4 4 3.2nn n n
u u
u u u− −
= =

− + =
Giải 
Phương trình 2 4 4 0x x− + = có nghiệm kép 2x = nên 2
3
2
2
n
nu p qn n
 
= + + 
 
Thế 0 11; 3u u= = ta có hệ 
1
1; 1
0
p
p q
q p
=
 = = −
+ =
Vậy ( )2 13 2 2 2 1,2,...nnu n n n−= − +  = 
Dang 8. Cho dãy ( )nu : 
0 1 2
1 2 3
; ;
0 3n n n n
u u u
u au bu cu n− − −


+ + + =  
Để xác định CTTQ của dãy ta xét phương trình: 3 2. 0x a x bx c+ + + = (12) 
* Nếu (12) có ba nghiệm phân biệt 
1 2 3 1 2 3, , . . .
n n n
nx x x u x x x   = + + . Dựa vào 0 1 2, ,u u u ta 
tìm được , ,   . 
* Nếu (12) có 1 nghiệm đơn và một nghiệm kép 
( )1 2 3 1 3.
n n
nx x x u n x x  =   = + + 
 Dựa vào 0 1 2, ,u u u ta tìm được , ,   . 
* Nếu (12) có nghiệm bội 3 ( )21 2 3 1nnx x x u n n x  = =  = + + 
Dựa vào 0 1 2, ,u u u ta tìm được , ,   . 
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch 
15 
GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 
Ví dụ 1.17 Tìm CTTQ của dãy ( )nu : 
1 2 3
1 2 3
0; 1; 3
7 11 5 0 4n n n n
u u u
u u u u n− − −
= = =

= − + =  
Giải 
Xét phương trình đặc trưng: 3 27. 11 5 0x x x− + − = 
Phương trình có 3 nghiệm 1 2 31; 5x x x= = = 
Vậy 5nnu n  = + + 
Cho 1, 2, 3n n n= = = và giải hệ phương trình, ta được 
1 3 1
, ,
16 4 16
  = − = = 
Vậy ( ) 1
1 3 1
1 5
16 4 16
n
nu n
−= − + − + 
Ví dụ 1.18 Tìm CTTQ của dãy ( ) ( ),n nu v : 
0 1 1
0 1 1
2; 2
1; 2 1
n n n
n n n
u u u v
v v u v n
− −
− −
= = +

= = +  
Giải 
Ta có : ( )1 2 2 1 2 1 22 2 2 2 2n n n n n n n nu u u v u u u u− − − − − − −= + + = + + − 
1 24 3n n nu u u− − = − và 1 5u = 
Từ đây, ta có: 
1 1
1
1 3 1 3
2
2 2
n n
n n n nu v u u
+ +
+
+ − +
=  = − = 
Dạng 9 Cho dãy ( ) ( ),n nx y : 
1 1 1
1 1 1
;
;
n n n
n n n
x pu qy x
y ry sx y
− −
− −
= +

= +
. Để xác định CTTQ của hai dãy 
( ) ( ),n nx y ta làm như sau 
Ta biến đổi ( ) ( )1 2 0n n nx p s x ps qr x− −− + + − = từ đây ta xác định được nx , thay vào hệ đã 
cho ta có được ny . 
Chú ý: Ta có thể tìm CTTQ của dãy số trên theo cách sau 
Ta đưa vào các tham số phụ , '  
( )
( )
1 1
1 1
'
' '
'
n n n n
n n n n
q r
x y p s x y
s p
q r
x y p s x y
s p

 


 

− −
− −
  −
− = − −  
−  
 
 + + = + +  + 
Ta chọn , '  sao cho 
'
'
'
q r
s p
q r
s p






−
= −

+ =
 +
( )( )
( )( )
1 1
1 1' ' '
n n n n
n n n n
x y p s x y
x y p s x y
  
  
− −
− −
 − = − −
 
+ = + +
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch 
16 
GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 
( ) ( )
( ) ( )
1
1 1
1
1 1' ' '
n
n n
n
n n
x y p s x y
x y p s x y
  
  
−
−
 − = − −
 
+ = + +
giải hệ này ta tìm được ( ) ( ),n nx y 
Ví dụ 1.19 Tìm CTTQ của dãy ( )nu : 
1
1
1
1
2
2
3 4
n
n
n
u
u
u n
u
−
−
=


=   +
Giải 
Ta có 1
1 1
3 41 3 1
2
2 2
n
n n n
u
u u u
−
− −
+
= = + . Đặt 
1
n
n
x
u
= , ta có: 
1
1
2
3
2
2
n n
x
x x −
=


= +
1
1
5.2 3 2
2 5.2 3
n
n n n
x u
−
−
−
 =  =
−
Ví dụ 1.20 Tìm CTTQ của dãy ( )nu : 
1
1
1
2
9 24
2
5 13
n
n
n
u
u
u n
u
−
−
=

− −
=   +
Giải 
 Bài toán này không còn đơn giản như bài toán trên vì ở trên tử số còn hệ số tự do, do đó 
ta tìm cách làm mất hệ số tự do ở trên tử số. Muốn vậy ta đưa vào dãy phụ bằng cách đặt 
n nu x t= + . Thay vào công thức truy hồi ta có 
( ) 211
1 1
9 5 5 22 249 9 24
5 5 13 5 5 13
nn
n n
n n
t x t tx t
x t x
x t x t
−−
− −
− − − − −− − −
+ =  =
+ + + +
Ta chọn t : 2
15 22 24 0 2 4t t t x+ + =  = −  = 
1
1
1
1 1
1 3 1 11.3 10 4
5
5 3 4 11.3 10
n
n
n n n
n n n n
x
x x
x x x x
−
−
−
− −
−
 =  = +  =  =
+ −
1
1
22.3 24
2
11.3 10
n
n n n
u x
−
−
− +
 = − =
−
 3.3.2.2 Ứng dụng bài toán tìm CTTQ của dãy số vào giải một số bài toán về dãy 
số 
Bài 1. Cho dãy số ( )nu xác định bởi : 
1
1
11
10 1 9 ,n n
u
u u n n N+
=

= + −  
. Xác định số hạng 
tổng quát của dãy đã cho. 
Giải 
Ta có: 
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch 
17 
GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 
1
2
3
11 10 1
10.11 1 9 102 100 2
10.102 1 9.2 1003 1000 3
u
u
u
= = +
= + − = = +
= + − = = +
Dự đoán: ( )10 1nnu n+= 
Chứng minh theo quy nạp ta có 
1
1 11 10 1u = = + , công thức ( )1 đúng với 1n = . Giả sử công thức ( )1 đúng với n k= ta có 
10kku k= + . 
Ta có: ( ) ( )1 1 10 10 1 9 10 1k kku k k k++ = + + − = + + 
Công thức ( )1 đúng với 1n k= + 
Vậy 10nnu n= + , .n N  
Bài 2. Cho dãy số ( )nu biết 
1
1
2
3 1, 2n n
u
u u n−
= −