Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình quy về phương trình bậc hai

nhỏ. Từ đó hình thành cho học sinh khả năng tư duy sáng tạo trong học tập.
Trong đề tài này tôi chỉ nêu ra một số cách giải phương trình quy về phương trình bậc hai. Đề tài này có thể áp dụng cho giáo viên toán và những học sinh yêu thích môn toán tham khảo cách giải và cách trình bày. Tuy vậy ,nội dung của đề tài vẫn còn hạn chế do năng lực bản thân. Vì vậy tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo để đề tài này được hoàn thiện hơn.
3. Phạm vi nghiờn cứu của đề tài:
Phỏt triển năng lực, tư duy của học sinh thụng qua cỏc bài toỏn liờn quan đến phương trỡnh bậc hai đối với học sinh THCS.
Đề tài ỏp dụng đối với học sinh THCS chủ yếu là học sinh lớp 9 trong giờ luyện tập, bồi dưỡng học sinh mũi nhọn hoặc bồi dưỡng học sinh giỏi, ụn tập cuối năm và ụn tập cho cỏc kỳ thi ở trường, thi học sinh giỏi cỏc cấp, thi vào lớp 10.
II – Phương phỏp tiến hành
1. Cơ sở lý luận và thực tiễn cú tớnh định hướng cho việc nghiờn cứu, tỡm giải phỏp của đề tài:
Đối với mụn toỏn lớp 9, phần “ phương trỡnh bậc hai”, “phương trỡnh quy về phương trỡnh bậc hai” là phần kiến thức trọng tõm, là phần kiến thức thường xuyờn xuất hiện trong cỏc đề thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10. Do đú, theo tụi học sinh cần nắm thật chắc chắn mảng kiến thức này, đặc biệt là học sinh khỏ giỏi cần cú cỏi nhỡn thật đầy đủ về “phương trỡnh quy về phương trỡnh bậc hai”. Sau khi nghiờn cứu khỏ nhiều tài liệu tham khảo viết về vấn đề này tụi thấy, cỏc tỏc giả đó đưa ra cỏc bài toỏn rất đa dạng và phong phỳ, tuy nhiờn cỏc dạng bài cũn tản mạn, nằm trong nhiều tài liệu khỏc nhau, do đú gõy khụng ớt khú khăn cho việc dạy của giỏo viờn và của học sinh.
Để thực hiện mục tiờu giảng dạy hiện nay đồng thời nõng cao chất lượng, hiệu quả của việc dạy học theo hướng đổi mới phương phỏp, tớch cực húa hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phỏt huy khả năng tự học, hỡnh thành cho học sinh tớch cực và tư duy độc lập sỏng tạo, nõng cao năng lực phỏt hiện và giải quyết vấn đề, rốn luyện kĩ năng ỏp dụng kiến thức vào thực tiễn, từ đú tỏc động đến tỡnh cảm đem lại hứng thỳ trong học tập. Do đú việc dạy bộ mụn Toỏn ở THCS là vấn đề hết sức nặng nề, để giỳp học sinh hiểu thấu đỏo cỏc vấn đề, đũi hỏi người thầy phải cú phương phỏp phự hợp để truyền thụ, đồng thời linh hoạt ỏp dụng cỏc phương phỏp cho phự hợp đối với từng đối tượng học sinh.
Từ thực tế quan sỏt, học sinh rất ngại phải tư duy suy nghĩ, ở lứa tuổi chưa xỏc định được trong tương lai và hiện tại “học để làm gỡ” thỡ việc ộp học là điều khụng thể. Để bảo đảm tiến trỡnh lờn lớp, truyền tải đủ kiến thức cơ bản nhưng khụng quỏ cứng nhắc và ràng buộc quỏ lớn. Phải làm như thế nào để học sinh cảm nhận và chấp nhận kiến thức đú một cỏch dễ dàng, trỏnh sự học như “vẹt” ở học sinh. Nếu vấn đề khụng được giải quyết, học sinh sẽ càng chỏn chường, học cũng như khụng, dẫn đến tỡnh trạng bỏ học, trốn tiết, trầm, sợ sệt và mặc cảm. Trong quỏ trỡnh dạy – học, sự tương tỏc giữa thầy – trũ đúng vai trũ quan trọng rất lớn trong nền giỏo dục hiện nay, cũng là vấn đề cơ bản dẫn đến việc cú hay khụng hứng thỳ với mụn học phức tạp này.
Trước tỡnh hỡnh đú, sau khi nghiờn cứu kỹ cỏc tài liệu, tụi mạnh dạn đưa ra một hệ thống kiến thức núi về “phương trỡnh quy về phương trỡnh bậc hai” với một mong ước là làm tài liệu ụn tập, nhằm tạo điều kiện thuận lợi hơn cho người dạy và người học trong việc bồi dưỡng học sinh khỏ giỏi.
“Một số phương phỏp giải phương trỡnh đưa về phương trỡnh bậc hai” là một hệ thống kiến thức cú đặc thự riờng, được tớch hợp từ nhiều tài liệu khỏc nhau. Núi về cỏch giải của một số loại phương trỡnh đưa được về phương trỡnh bậc hai như: Phương trỡnh chứa ẩn ở mẫu; phương trỡnh bậc ba; phương trỡnh bậc bốn; phương trỡnh vụ tỷ Với mỗi loại phương trỡnh sau khi trỡnh bày cỏch giải đều cú kốm theo cỏc vớ dụ minh hoạ, cuối mỗi dạng cũn cú cỏc nhận xột và những lưu ý nhằm giỳp người đọc dễ dàng tiếp cận với vấn đề cần nghiờn cứu.
2. Cỏc biện phỏp tiến hành, thời gian tạo ra giải phỏp:
Thụng qua cỏc bài toỏn cơ bản về những bài toỏn liờn quan đến phương trỡnh bậc hai, nghiờn cứu tỡm ra phương phỏp giải cho từng dạng phương trỡnh để quy về phương trỡnh bậc hai. Từ đú, ứng dụng giải cỏc bài tập, chỳ ý khắc phục một số sai lầm hay gặp và đưa ra một số bài tập vận dụng.
Thời gian tạo ra giải phỏp là bắt đầu học chương IV – Đại số 9 SGK của cỏc năm học 2009 – 2010, 2010 – 2011, 2011 – 2012.
B. NỘI DUNG
	I – Mục tiờu
- Bài tập toán giúp cho HS củng cố khắc phục những kiến thức cơ bản một cách có hệ thống (về toán học nói chung cũng như về phần phương trình quy về phương trình bậc hai trong chương trình dạy toán lớp 9) theo phương pháp tinh giảm dễ hiểu .
- Bài tập về “ phương pháp quy về phương trình bậc hai” nhằm rèn luyện cho HS những kĩ năng thực hành giải toán về phương trình bậc hai. Rèn luyện cho HS các thao tác tư duy ,so sánh ,khái quát hoá ,trừu tượng hoá ,tương tự...
- Rèn luyện cho HS các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ dàng các môn học khác ở trường THCS . Mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế . 
- Bài tập “Phương trình quy về phương trình bậc hai” còn góp phần rèn luyện cho HS những đức tính cẩn thận ,sáng tạo.
- Nêu được các phương pháp giải phương trình bậc cao hoặc các phương trình có dạng khó bằng cách đưa về phương trình bậc hai đã biết cách giải .
- Các ví dụ minh hoạ 
- Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức để giải phương trình quy về phương trình bậc hai.
- Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập.
II – Mụ tả giải phỏp của đề tài
1. Thuyết minh tớnh mới:
1.1 Những kiến cơ bản để giải phương trỡnh bậc hai:
* Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0; trong đó x là ẩn số; a, b, c là các hệ số đã cho; a ạ 0.
*Cách giải: đưa dưới dạng bản đồ tư duy (kèm theo)
1.2. Phương phỏp giải một số phương trỡnh quy về phương trỡnh bậc hai:
1.2.1. Phương trình bậc 4 : 
Phương trình bậc 4 dạng : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 
 	Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; ( a 0 )
Một phương trình bậc 4 mà qua phép đặt ẩn phụ ta có thể quy về PT bậc hai
a) Phương trình trùng phương:
 Phương trình trùng phương có dạng tổng quát : ax4 + bx 2 + c = 0 (1) 
 Trong đó x là ẩn ; a , b ,c là các hệ số ( a 0 ) 
 	* Cách giải :
 Khi giải phương trình này ta dùng phương pháp đổi biến 
 x 2 = t (t 0) (2)
Khi đó phương trình (1) dưa được về dạng phương trình bậc hai trung gian 
 at2 + bt + c = 0 (3)
Giải phương trình (3) rồi thay giá trị của t tìm được ( với t 0) vào (2) ta được phương trình bậc hai với biến x giải phương trình này ta tìm được nghiệm của phương trình trùng phương ban đầu 
 *Ví dụ : Giải phương trình sau 
 4x 4 – 109 x2 + 225 =0 (1)
 Giải
Đặt x 2 = t (t 0) phương trình (1) trở thành 4t2 – 109t + 225 = 0 (2) 
Giải phương trình (2) được nghiệm là t1 = ; t2 =25 
 Cả hai nghiệm của phương trình (2) đều thoả mãn điều kiện t 0 
 + Với t1 = ta có x2 = 
 + Với t2 = 25 ta có x2 = 25 
 Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm là : , 
* Nhận xét : 
 	- Khi nghiên cứu số nghiệm của phương trình trùng phương (1) ta thấy :
 - Phương trình vô nghiệm khi :
+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm .
+Hoặc phương trình bậc hai trung gian có cùng hai nghiệm âm .
- Phương trình trùng phương có hai nghiệm khi : 
+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm kép dương .
+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm âm và một nghiệm dương .
- Phương trình trùng phương có 3 nghiệm khi phương trình bậc hai có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0. 
- Phương trình trùng phương có 4 nghiệm khi phương trình hai trung gian có hai nghiệm dương phân biệt .
b) Phương trình hệ số đối xứng bậc 4
a x4 + bx 3+ cx2 + dx + e =0 
 (Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a 0 )
 	 * Đặc điểm : ở vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau 
* Ví dụ : Giải phương trình sau 
 10x4 - 27x3 - 110x2 - 27x + 10 = 0 (1) 
 Ta nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của pt(1)
 	 Do đó chia cả hai vế cho x2 ta được 
 10x2 - 27x – 110 - = 0 
Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta được phương trình: (2)
Đặt ẩn phụ (x + = t (3) => x2 + = t2 -2 thay vào (2) ta có
 10t2 - 27t – 130 = 0 (4)
Giải (4) ta được t1=- ; t 2= 
+ Với t1=- (x + =- 
 2x2 +5x + 2 = 0 có nghiệm là x1=-2 ; x2=.
+Với t 2= (x+ = 
 5x2 - 26x + 5 = 0 có nghiệm là x3 =5 ; x4 =.
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm là S=
* Nhận xét : 
- Về phương pháp giải gồm 4 bước 
 	+Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả hai vế (1) cho x2 rồi nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta được phương trình (2) 
 	+Đặt ẩn phụ : (x+ =t (3) => x2+ =t2 -2 thay vào (2) 
 	+Giải phương trình đó ta được t .
 	+Thay các giá trị của t vào (3) để tìm x và trả lời nghiệm (1)
- Về nghiệm số của phương trình: x0 là nghiệm của (1) thì cũng là nghiệm của nó 
 	(ví dụ trên : -2 là nghiệm và là ngịch đảo của nó cũng là nghiệm ;5 và là nghịch đảo của nhau)
 	c) Phương trình dạng ax4 + bx3 + c2 ± kbx + k2a = 0 (ka ≠ 0) :
* Cách giải: 
- Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) nên chia cả hai vế cho x2 ta được a (x2 +	(2) 
- Đặt x = t => x2 +( => 
 	Khi đó ta có phương trình: a(t2 + 2k) + bt + c = 0 
- Ta được phươnmg trình (3) trung gian như sau : at2 + bt + c + 2ak = 0 (3) 
- Giải (3) ta được nghiệm của phương trình ban đầu 
 * Ví dụ Giải phương trình : x4 + 4 = 5x(x2 – 2) (1) 
	Nhận xét: Từ (1) x4 – 5x3 + 10x + 4 = 0. (a = 1, b = - 5, c = 2, k = 2)
x=0 không phải là nghiệm của (1) 
Do đó chia cả hai vế phương trình cho x2 ta được: 
 * Đặt t = ( x - ) (3) => t2 +4 = ( x2 + thay vào (2) 
 Phương trình (1) trở thành: t2 - 5t + 4 = 0 có nghiệm là t1=1 ; t2=4
 +Với t1=1 ta có: x2 – x – 2 = 0 x1= - 1; x2= 2 
 + Với t2=4 ta có: x2 – 4x - 2 = 0 có nghiệm là x3,4 =
 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S=.
 	d) Phương trình dạng : (x+a ) ( x+b ) (x+c) (x+d ) = m
 (Trong đó a+d=b+c)
 *Cách giải :
 	Nhóm ( x+a) với (x+d) ; (x+b) với (x+c) rồi triển khai các tích đó 
Khi đó phương trình có dạng:
 [x2 +( a+d)x + ad ] [ x2 + (b+c )x +bc ] =m 
 do a+d=b+c nên ta đặt [x2 +( a+d)x + k ] =t (2) 
 ( k có thể là ad hoặc bc )
 ta có phương trình At2 +Bt + C =0 (Với A=1)
 	Giải phương trình ta tìm được t sau đó thay vào (2) rồi giải tìm được nghiệm x 
* Ví dụ :
 Giải phương trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1) 
nhận xét 1+7 =3+5 
Nhóm hợp lý, ta được phương trình: (x2 +8x +7 )(x2 + 8x + 15) = - 15 (2) 
 *Đặt x2 +8x +7 = t (3) thay vào (2) ta được: t( t+ 8) = - 15
 t2 +8t +15 =0 có nghiệm t1=-3 ; t2=-5 
 Thay vào (3) ta được hai phương trình 
 1/ x2 +8x +7 = -3 x2+ 8x +10=0 có nghiệm x1,2 = - 4
 2/ x2 +8x +7 = -5 x2 +8x +12 = 0 có nghiệm x3 =-2; x4 =-6 
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S =
 	* Nhận xét :
 	-Đối với những phương trình có dạng đặc biệt như trên ,nếu ta khai triển vế trái ta sẽ được phương trình bậc 4 ( thường là loại bậc 4 đầy đủ ) .Đối với HS ở THCS việc giải là rất khó khăn . Vì vậy từ việc nhận xét tổng hai cặp hệ số của phương trình bằng nhau rồi nhóm một cách hợp lí . Khi khai triển mỗi nhóm ,ta đổi biến của phương trình và đưa về phương trình bậc hai trung gian 
- Ta thấy nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì phương trình ban đầu cũng vô nghiệm . Nếu phương trình trung gian có nghiệm thì ta trả biến lại và giải tiếp phương trình bậc hai đối với biến x, nghiệm của phương trình này là nghiệm của phương trình ban đầu 
	 e) Phương trình dạng: (x+a)4 +(x+b)4 = c (1)
 (Trong đó xlà ẩn số ;a, b, c là các hệ số ) 
 *Cách giải :
Đối với dạng phương trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của (x+a) và (x+b)
 Đặt t =x+ => 
 Ta có x+a =t+ 
 x+b=t - 
 Khi đó phương trình (1) trở thành : 
 2t4 +12 ( )2 t2 + 2( )4 – c =0
 Đây là phương trình trùng phương đã biết cách giải.
	Chú ý đẳng thức: (x ± y)4 = x4 ± 4x3y + 6x2y2 ± 4xy3 + y4.
 *Ví dụ Giải phương trình sau : 
 (x+3)4 +(x-1)4 =626 
 Đặt t = x+=> x = t – 1 
 Ta có phương trình : (t+2)4 + (t – 2)4 = 626 
 t4 + 24t2 - 297 =0 có nghiệm là t1 =9 và t2 = - 33. 
 Từ đó tìm được x1 = 8 và x2 = - 34 là nghiệm của phương trình đã cho. 
 1.2.2.Phương trình dạng : a[ f(x)]2 +b f(x) +c = 0 
 (trong đó x là ẩn; a 0 ; f(x) là đa thức một biến )
*Cách giải:
- Tìm TXĐ của phương trình 
- đổi biến bằng cách đặt f(x) =t khi ó phương trình có dạng 
 at2 + bt +c =0 (2) là PT bậc hai đã biết cách giải 
 + nếu (2) có nghiệm là t=t0 thì ta sẽ giải tiếp phương trình f(x) =t 
 + nghiệm của phương trình f(x) =t0 (nếu thoả mãn TXĐ của phương trình đã cho ) sẽ là nghiệm của phương trình (1) 
* Ví dụ : Giải phương trình 
 x4+6x3+5x2-12x+3=0 (1) 
 TXĐ : xR 
 Biến đổi vế trái ta có VT = (x2+ 3x)2 - 4(x2+3x) +3
 Vậy ta có phương trình tương đương : 
 (x2+ 3x)2 - 4(x2+3x) +3 =0 
 Đặt x2+ 3x =t (2) 
 Ta có PT : t2 - 4t +3 = 0 có nghiệm là t1=1 ;t2=3
 Với t1=1 ta có: x2+ 3x = 1 x2 +3x -1=0 có nghiệm là x1 , 2 =
 Với t2=3 ta có: x2+ 3x = 3 x2+ 3x – 3 =0 có nghiệm x3, 4 =
 các nghiệm này đều thoả mãn TXĐ 
 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là x1 , 2 = ;
 x3, 4 = 
 *Nhận xét : 
 	-Nhờ phép biến đổi f(x) =t ta đưa phương trình a[ f(x)]2 +b f(x) +c = 0 về dạng phương trình bậc hai đã biết cách giải 
 	- Tuy nhiên có một số phương trình phải qua một số phép biến đổi mới xuất hiện dạng tổng quát ( ví dụ trên ) . Cũng như một số loại phương phương trình khác mà tôi đã giới thiệu ở trên . số nghiệm của phương trình ban đầu phụ thuộc vào nghiệm của phương trình bậc hai trung gian 
	*Chú ý : 
	 - Tất cả các phương trình đã đề xuất ở trên thực chất chúng đều có dạng tổng quát: a[ f(x)]2 +b f(x) +c = 0 (1) (sau khi đã biến đổi )
	- Phương trình trùng phương kể cả phương trình bbậc hai đều là dạng đặc biệt của phương trình a x2n+ bx n +c = 0 Gọi là phương trình tam thức 
 (trong đó x là ẩn ;a 0 ; n 1)
 Và các phương trình này cũng dạng đặc biệt của phương trình (1) trên Với f(x)=xn 
	1.2.3. Phương trình tam thức 
 Phương trình tam thức dạng : a x2n + bxn +c=0 (1) 
 (a, b, c là các số thực ;n nguyên dương ;n ; a 0 )
* Nếu a, b, c đồng thời khác không và n=2 thì phương trình (1) là phương trình trùng phương đã nghiên cứu ở trên 
* Xét trường hợp n>2
	-Ta đặt xn =t 
 - Để tìm nghiệm của (1) ta giải hệ sau : 
	* Ví dụ : Giải phương trình x6- 9x3+8=0 (1)
 Cách 1: Đặt x3 = t ta có phương trình 
 t2 -9t +8= 0 có nghiệm t1 =1 ; t2 =8 
 -Với t1 =1 x3 =1 x=1
 -Với t2 =8 x3= 8 x=2 
 Cách 2 : Đưa về phương trình tích 
ú (x6 – x3) –( 8x3-8) =0
ú ( x3 -1) (x3 -8) =0 (x3 -1) =0 hoặc (x3 -8) =0
 x=1 hoặc x=2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=1 ; x=2 
	1.2.4 Phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước x = α
 a x3 + bx2 + cx + d = 0
 ( trong đó x là ẩn ; a,b,c,d là các hệ số ;a 0 )
* Cách giải : 
- Bằng phép chia đa thức (hoặc dùng sơ đồ Horner) phân tích vế trái thành:
(x – α)(ax2 + b1x + c1) để đưa phương trình về dạng tích:
(x – α)(ax2 + b1x + c1) = 0 
Giải phương trình bậc hai ax2 + b1x + c1 = 0 ta được các nghiệm khác ngoài nghiệm x = α của phương trình bậc ba.
- Sơ đồ Horner:
Chia đa thức P(x) = a0xn + a1xn-1 +  + an – 1x + an cho x = α ta có:
P(x) = (x – α)(b0xn-1 + b1xn-2 +  + bn-1) + bn.
Sơ đồ xác định bi:
a0
a1
a2
an
α
b0
b1
b2
bn
Với b0 = a0 và bi = αbi-1 + a1 (i = 1, 2, , n)
 *Ví dụ : Giải phương trình: 2x3 +7x2 +7x + 2=0 
Giải
Ta có: 2 – 7 + 7 – 2 = 0 nên phương trình có một nghiệm x = - 1. Thực hiện phép chia đa thức vế trái cho x + 1 ta được thương là 2x2 + 5x + 2.
Sơ đồ Horner:
2
7
7
2
Nghiệm – 1
2
5
2
0
Dòng 1: các hệ số của đa thức
Dòng 2: các hệ số của thương.
Số 2 đầu tiên đem xuống (a0 = b0);
Muốn có 5 lấy (-1) nhân 2 rồi cộng với 7 ở dòng 1 (αb0 + a1 = b1);
Tiếp tục với 2 (αb1 + a2 = b2).
Vậy phương trình đã cho (x+1) (2x2+5x +2) = 0
	Vậy tập nghiệm của phương trình là: .
 *Nhận xét : 
Khi giải một phương trình bậc ba ta không nghiên cứu cách giải tổng quát mà chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích
- Chú ý : tính chất của phương trình bậc ba : ax3 +bx2 +cx + d =0 ( a 0 )
 +Nếu a+b+c +d =0 thì phương trình có một nghiệm x=1
 +Nếu a-b+c-d =0 thì phương trình có một nghiệm x= -1
Khi đã nhận biết được một nghiệm của phương trình ta dễ dàng phân tích vế trái thành nhân tử 
- Phương trình : a x3 + bx2 + cx + d = 0 ( a 0 ) với các hệ số nguyên . Nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ước của hạng tử tự do (định lí sự tồn tại nghiệm nguyên của phương trình nghiệm nguyên ).
1.2.5 Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
* Cách giải:
Thực hiện các bước sau:
Bước 1:	Tìm điều kiện xác định của phương trình 
Bước 2:	Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức
Bước 3:	Giải phương trình vừa nhận được
Bước 4:	Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.
* Ví dụ1:	Giải và biện luận phương trình theo a, b: 
Giải:	Điều kiện:	 
Ta cú: (1) 
Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt là:; 
* ; 
* ab; 
Vậy với a thỡ (1) cú hai nghiệm phõn biệt
Vớ dụ 2: Giải phương trỡnh: 
Phõn tớch mẫu thành nhõn tử ta cú:
ĐKXĐ:	
Mẫu thức chung: (x-2)(x+2)(2x+3)
Quy đồng và khử mẫu ta cú: 4- (2x+3) - 4(x-2) + (x-2)(x+2) = 0
Giải phương trỡnh :	 x2-6x+5=0 ta được 2 nghiệm: x1=1, x2=5
Đối chiếu với ĐXKĐ ta thấy x1 = 1 và x2 = 5 là 2 nghiệm của pt 
* Nhận xột:
+ Loại phương trỡnh chứa ẩn ở mẫu là loại thường gặp ở trường phổ thụng.
+ Khi giải loại này cần lưu ý: Cần so sỏnh cỏc giỏ trị tỡm được của ẩn với TXĐ trước khi kết luận về nghiệm của phương trỡnh.
1.2.6. Phương trỡnh cú chứa căn thức:
* Cỏch giải:
Áp dụng một trong cỏc phương phỏp:
- Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ.
- Đặt điều kiện rồi bỡnh phương hai vế khi hai vế đều dương.
* Vớ dụ:	Giải phương trỡnh sau: 
Điều kiện:	x ≥ 7
Cỏch 1:	đặt ≥ 0, suy ra x = t2 + 5
Ta cú: t = t2 + 5 – 7 t2 – t – 2 = 0 
Với t = 2 ta cú (>7)
Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S = {9
Cỏch 2:	
Với điều kiện x ≥ 7 cả hai vế cựng dương. Bỡnh phương hai vế ta được:
X – 5 = x2 – 14x + 49 x2 – 15x + 54 = 0 
* Chỳ ý: Sau khi đó tỡm được nghiệm, cần phải kiểm tra lại điều kiện để chọn nghiệm thớch hợp.
1.2.7. Phương trỡnh cú chứa dấu giỏ trị tuyệt đối:
* Cỏch giải:
Áp dụng một trong cỏc phương phỏp sau:
- Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn
- Bỏ dấu giỏ trị tuyệt đối bằng định nghĩa:	 .
* Vớ dụ: Giải phương trỡnh:	(1)
Cỏch 1: (đặt ẩn phụ)
Đặt , t ≥ 0.
Khi đú: 
(1) trở thành: t2 – 1 + t – 1 = 0 t2 + t – 2 = 0
Với t = 1 ta cú .
Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S = {0; 2}.
* Chỳ ý: Chọn nghiệm thớch hợp với điều kiện đó được đặt ra trong quy trỡnh giải.
2. Khả năng ỏp dụng:
Trong các buổi tổ chức học tự chọn và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 tôi đã truyền thụ cho học sinh hệ thống các dạng và phương pháp giải nêu trên tôi nhận thấy đa số học sinh nắm vững dược kiến thức và giải thành thạo dạng toán giải phương trình quy về phương trình bậc hai. Với hệ thống kiến thức, các dạng toán và phương pháp giải được xây dựng đơn giản và dễ nhớ nên học sinh nắm nhanh vì vậy đã hình thành cho học sinh niềm thích thú khi gặp các dạng toán này. Vì thời gian và kinh nghiệm còn hạn chế nên hệ thống kiến thức trên còn nhiều điểm cần xây dựng sâu hơn và bổ sung các dạng toán phong phú hơn.
3. Lợi ớch kinh tế - xó hội:
Qua việc ỏp dụng đề tài này vào giảng dạy, đặc biệt trong việc bồi dưỡng học sinh khỏ giỏi, tụi thấy kết quả thu được khỏ khả quan:
- Đa phần cỏc em cú hứng thỳ học tập, chăm học hơn, việc bỏ tiết hạn chế rừ rệt
Học sinh đó mạnh dạn học hỏi từ bạn, từ thầy, cụ giỏo. 
- Đa phần cỏc em thường xuyờn phỏt biểu, trả lời được cõu hỏi thắc mắc của giỏo viờn về kiến thức đó học đối với cỏc em.
 Sự giao lưu kiến thức giữa thầy - trũ khụng cú vỏch tường ngăn cỏch. 
- Nõng cao chất lượng bộ mụn. Qua khảo sỏt chất lượng trong năm học 2010 - 2011, kết quả của học sinh đó nõng cao rừ rệt
Lớp
sĩ số
Điểm dưới 5
Điểm trờn 5