Sáng kiến kinh nghiệm Tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp tỉ số thể tích

1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài	
	Ở nhà trường phổ thông hiện nay, việc giảng dạymôn toán không chỉ đơn thuần truyền thụ cho học sinh những kiến thức có sẵn rập khuôn, máy móc mà giáo viên phải biết tổ chức cho học sinh tự khám phá, tìm tòi, phát hiện tri thức. Vì vậy, giáo viên cần trang bị cho học sinhphương pháp tiếp cận và giải quyết từng dạng toán, phương pháp phân loại và kĩ năng giải các dạng bài tập cụ thể.
	Chương trình toán phổ thông có rất nhiều nội dung khó, hình thức đa dạng. Phần hình học không gian là một trong những môn học khó, học sinh “ngại” học. Kiến thức cơ bản về hình học không gian được trình bày trong chương trình toán lớp 11. Nội dung kiến thức nhiều và khó nhưng thời lượng theo phân phối chương trình còn ít nên hầu hết học sinh không tiếp thu được hoặc nắm được kiến thức một cách sơ sài. Việc không nắm chắc kiến thức hình học ở lớp 11 nên phần hình học lớp 12 học sinh cũng rất khó tiếp thu. Đặc biệt , phần tính thể tích khối đa diện là phần khó nên học sinh càng khó khăn hơn.
 Hơn nữa trong những năm gần đây bài toàn hình học không gian về thể tích khối đa diện thường xuyên được đề cập trong đề thi đại học, cao đẳng các năm. Trong đề thi học sinh giỏi các tỉnh bài toàn hình không gian cũng được xem như là câu bắt buộc.
	Với mong muốn giúp cải thiện việc dạy và học phần hình học tính thể tích khối đa diện lớp 12, trong những năm giảng dạy ở trường phổ thông tôi đã nghiên cứu, tìm tòi nhằm nêu ra phương pháp đơn giản và hiệu quả nhất giúp học sinh nắm và vận dụng vào giải các bài toán về thể tích khối đa diện.
	Xuất phát từ lý do trên, tôi đã chọn sáng kiến kinh nghiệm: “Tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp tỉ số thể tích”. Qua những nội dung trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm này, mong rằng sẽ giúp ích cho đồng nghiệp và học sinh dạy và học phần hình học lớp 12 chương 1 tốt hơn.
	1.2. Điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
	Tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp tỉ số thể tích là phương pháp được hình thành từ ý tưởng một bài tập sách giáo khoa hình học lớp 12. Cách áp dụng phương pháp khá cụ thể , đơn giản nên hầu hết học sinh nắm bắt được.
	Vấn đề tỉ số thể tích cũng đã có người quan tâm, nghiên cứu.Tuy nhiên, các tài liệu đó chỉ nêu vấn đề thông qua một số bài tập, trình bày không có phương pháp, trình bày còn chung chung, rời rạc, không phù hợp với việc áp dụng của học sinh. 
	Trong sáng kiến kinh nghiệm này, phương pháp tính thể tích khối đa diện bằng tỉ số thể tích được trình bày rất cụ thể, rõ ràng phù hợp trình độ học sinh. Mỗi nội dung, mỗi dạng được trình bày riêng biệt. Học sinh nắm và áp dụng phương pháp tỉ số thể tích cho khối chóp tam giác, khối chóp tứ giácvà hai khối chóp tam giác có góc tam diện tương ứng ở hai đỉnh bằng nhau. Mặt khác, thông qua các ví dụ cụ thể, nhiều dạng, nhiều mức độ nên học sinh từ trong bình trở lên đều có thể hiểu và vận dụng được phương pháp. 
 Sử dụng phương pháp tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện mà bản thân tôi giảng dạy cho học sinh những năm qua đã mang lại hiệu quả rất tốt. Học sinh hứng thú hơn trong môn học, đặc biệt qua phương pháp này học sinh giải quyết tốt bài tập sách giáo khoa, câu hình học không gian trong đề thi đại học, cao đẳng và đề thi học sinh giỏi tỉnh. 
2. PHẦN NỘI DUNG
2.1. Thực trạng việc dạy và học phương pháp tỉ số thể tích ở nhà trường phổ thông
	 Phương pháp tính thể tích khối đa diện bằng tỉ số thể tích được khái quát từ một bài toán nên việc tiếp cận và áp dụng của giáo viên củng như học sinh còn rất hạn chế. 
	Do học sinh còn yếu về phần hình không gian nên nhiều giáo viên khi giảng dạy không quan tâm đến bài toán tính thể tích khối đa diện trong chương 1 hình học 12. Đối với phần này giáo viên thường rập khuôn, áp dụng công thức nên học sinh không hứng thú và dễ quên. Bài toán tỉ số thể tích chỉ được một vài giáo viên dạy chương trình nâng cao quan tâm còn các giáo viên khác chưa để ý tới.
	Trong đề thi đại học, cao đẳng và đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh thường xuất hiện bài toán tính thể tích khối đa diện. Học sinh thường bỏ qua hoặc rất lúng túng khi giải . 
Qua tìm hiểu và tập hợp thông tin tôi nhận thấy, học sinh hầu hết không biết đến cách tính thể tích bằng phương pháp tỉ số thể tích. Tuy nhiên, khi được trình bày phương pháp này học sinh nắm bắt rất nhanh và sử dụng ưu thế cho các bài tập tính thể tích khối đa diện.
2.2.Các phương pháp tính thể tích khối đa diện bằng tỉ số thể tích
2.2.1.Các phương pháp tính thể tích khối đa diện bằng tỉ số thể tích
2.2.1.1. Phương pháp tính thể tích khối chóp tam giác bằng tỉ số thể tích 
a) Bài toán 1( Bài tập 4 SGK HH12CB trang 25)
Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ khác S. Chứng minh : 	(*)
Lời giải:
Gọi H, H’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của C, C’ lên (SAB)
Ta có: 
Chú ý : Trong bài toán trên nếu A’ trùng với A, B’ trùng với B thì kết quả vẫn đúng và 
b) Phương pháp áp dụng
Trong công thức (*) ở trên , để tính thể tích của khối chóp S.A’B’C’ ta cần tính các tỉ số và để suy ra 
A
C
B
S
M
c) Một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC 
vuông cân ở B, AC = , SA vuông góc với
mp(ABC), SA = a. Gọi G là trọng tâm tam giác 
SBC; mặt phẳng (P) qua G và song song với BC
 cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Tính thể tích khối chóp S.AMN.
Lời giải:
Do (P) // BC nên suy ra MN//BC. Áp dụng bài toán 1,
Ta có 
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C và vuông góc với BD, cắt BD tại F, cắt AD tại E. Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
Lời giải:
+ Ta có . Mặt khác,
. 
+Áp dụng hệ thức trong các tam giác vuông DCA, DCB:
+Từ đó:
Ví dụ 3. Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết AB = 2, AC = 3, AD = 4 và .
Lời giải:
A
C
B
S
M
+ Trên cạnh AD, AC lần lượt lấy các điểm D’, 
C’ sao cho AD’ = AC’ = 2.
+ 
+ABC’D’ là tứ diện đều cạnh bằng 2 nên 
Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm AB, CD và R là một điểm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Mặt phẳng (PQR) cắt AD tại S. Tính thể tích khối tứ diện SBCD theo a.
Lời giải:
+ Gọi L là giao điểm của PQ và BD. Khi đó S là giao
điểm của PL và AD. Dựng đường thẳng qua D và 
song song với BC cắt RQ tại K. Dựng đường thẳng qua P và song song với AD cắt BD tại I.
Ta có:
+Từ đó : 
Ví dụ 5.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = SA = a, AD = a√2, SA vuông góc với mp(ABCD). Gọi I, J lần lượt là trung điểm AD, SC và K là giao điểm của BI và AC. Tính thể tích khối tứ diện ẠIK theo a.
Lời giải:
+ Gọi H là giao điểm của AC và BD.
Ta có K là trọng tâm tam giác ABD, do đó 
Ví dụ 6.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho 
AC = 4 AH.Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. 
Lời giải
+Theo giả thiết ta tính được 
Do đó tam giác SAC cân tại C , CM SA nên M là trung điểm SA. 
d) Bài tập đề nghị :
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi M là trung điểm AB. Trên cạnh AC lấy điểm N, trên cạnh CD lấy điểm P sao cho AN = 2 NC, Dp = 2 PC. Gọi Q là giao điểm của (MNP) với BD. Tính thể tích khối đa diện ABMNPQ.
Bài 2. Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = a. (P) là mặt phẳng đi qua trọng tâm G của tứ diện cắt SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’ khác S. 
Chứng minh : từ đó hãy tìm giá trị lớn nhất của 
Bài 3. Cho hình chóp đều SABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng α. Mặt phẳng (P) tạo bởi AB và đường phân giác của góc tạo bởi (SAB) và (ABC) cắt cạnh SC tại N. Tính thể tích khối tứ diện SABN.
2.2.1.2. Phương pháp tính thể tích khối chóp tứ giác bằng tỉ số thể tích
a)Bài toán 2. 
	Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có thể tích V, chiều cao h, ABCD là tứ giác lồi có diện tích S. Trên các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’, D’ khác S. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ .
b) Phương pháp giải.
Ta chia khối chóp tứ giác S.ABCD thành 2 khối chóp tam giác có diện tích đáy bằng S1 và S2 ( chẳng hạn chia bằng mp(SBD))
Áp dụng bài toán 1, ta có:
+Tương tự : 
Chú ý : Không áp dụng được kết quả của bài toán 1 đối với chóp tứ giác.
c)Một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a√3, SA = 2a và SA vuông góc với mp(ABCD). Một mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, I, K. Tính thể tích khối chóp S.AHIK theo a.
Lời giải:
+Ta có: 
+Tương tự : 
+
Ví dụ 2 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a.
Lời giải
Gọi H là trung điểm AD, do (SAD) (ABCD) 
nên SH (ABCD). Do đó 
Ví dụ 3 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, P lần lượt là trung SA, SC, mp(DMP) cắt SB tại N.Tính thể tích khối chóp S.DMNP theo a.
Lời giải
+Gọi O là tâm hình vuông ABCD, I = MP SO, 
N = DISB. Dựng đường thẳng qua O và song song với DN, cắt SB tại K.
+Ta có 
Ví dụ 4 . Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy
 là hình thang , . Gọi M, N lần lượt là trung SA, SD. Tính thể tích khối đa diện ABCDNM theo a.
Lời giải
+Ta có: 
Ví dụ 5 . Cho hình chóp S.ABCD , trong đó ABCD là hình thang , AB//CD và CD = 4 AB. Mặt phẳng (P) qua CD cắt SA, SB lần lượt tại M, N. Tìm vị trí của M trên SA để thể tích khối chóp S.BCNM bằng thể tích khối chóp S.ABCD.
Lời giải
Đặt 
Ta có MN//CD nên .
+Từ đó 
Vậy M thuộc SA và SM/SA = 1/3 thỏa mãn đề bài. 
Ví dụ 6 . Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích V. Gọi K là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) chứa AK cắt SB, SD lần lượt tại M, N.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMKN.
Lời giải
Đặt Ta có:
Vậy:
VSAMKN đạt giá trị lớn nhất bằng khi M là trung điểm SB hoặc M trùng B. VSAMKN đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi SM/SB = 2/3.
d) Bài tập đề nghị
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.Tính thể tích khối đa diện ABCDC’B’D’.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , SA là đường cao, 
SA = a, AB = b, AD = c. Trong (SBD), vẽ đường thẳng qua trọng tâm G của tam giác SBD cắt SB tại M, cắt SD tại N. Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại K. Xác định vị trí điểm M trên SB để thể tích khối chóp S.AMKN đạt lớn nhất, nhỏ nhất . Tính các giá trị đó theo a, b, c.
Bài 3. Cho tứ diện SABC. M là điểm bất kì trong tứ diện. Mặt phẳng (P) qua M cắt các cạnh SA,SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’. Đặt V, VA, VB, VC lần lượt là thể tích các khối tứ diện SABC, SMBC, SMCA, SMAB. Chứng minh:
2.2.1.3. Phương pháp tính thể tích khối chóp tam giácbằng tỉ số thể tích khi hai khối chóp đó có góc tam diện tại hai đỉnh tương ứng bằng nhau
a) Bài toán 3. 
	Cho khối chóp tam giác S.ABC và khối chóp S’.A’B’C’ có. 
Chứng minh: 
b) Phương pháp giải.
Lời giải:
Trên các tia SA,SB,SC lần lượt lấy các 
điểm A1,B1,C1 sao cho S’A’ = SA1, 
S’B’ = SB1, S’C’ = SC1. Theo giả thiết 
Suy ra hai khối tứ diện S’A’B’C’ 
và SA1B1C1 nên có thể tích bằng nhau. Từ đó 
c)Một số ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1 :Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Các đường thẳng qua G ,song song với 
AD, AB, AC cắt (ABC), (ACD), (ABD) lần lượt tại 
A’, B’, C’ tương ứng. Tính thể tích khối tứ diện
GA’B’C’.
Lời giải:
+Do GA’//AD, GB’//AB, GC’//AC nên hai tứ 
GA’B’C’ và ADBC có góc tam diện đỉnh 
G và A bằng nhau. Ta có : 
Ví dụ 2: Cho tứ diện SABC có thể tích V. M là một điểm tùy ý trong đáy ABC. Qua M kẻ các đường thẳng song song với SA, SB, SC lần lượt cắt (SBC), (SAC), (SAB) tại A’, B’, C’. Chứng minh: .
Lời giải:
+Do MA’//AS, MB’//SB, MC’//SC nên hai tứ 
MA’B’C’ và SABC có góc tam diện đỉnh M 
và đỉnh S bằng nhau nên ta có
+ AM,BM,CM lần lượt cắt BC, AC,
 AB tại P,Q,R.
Theo định lí Sêva , ta có: 
.
Theo BĐT Côsi, ta có:
2.2.2. Phương pháp áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tiễn
+ Đối tượng áp dụng:
Giáo viên có thể áp dụng phương pháp tỉ số thể tích trình bày cho tất cả học sinh ở các lớp 12. Trong đó, phần (2.2.1.3)áp dụng cho 2 khối chóp tam giác có một góc tam diện bằng nhau chỉ trình bày cho đối tượng học sinh giỏi.
+ Phương pháp áp dụng:
Bước 1: Giáo viên đặt vấn đề và nêu phương pháp , hướng dẫn học sinh chứng minh.
Bước 2: Lấy ví dụ minh họa phương pháp
Bước 3: Rèn luyện kĩ năng qua bài tập vận dụng
Bước 4: Giao bài tập về nhà vận dụng phương pháp
Bước 5: Kiểm tra kết quả thực hiện của học sinh.
2.2.3. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Sau khi trình bày phương pháp tỉ số thể tích ở trên, tôi đã kiểm chứng kết quả đối với 2 lớp 12A1 và 12A2 như sau:
a) Đối tượng khảo sát:
	- 2 lớp: 12A1, 12A2
	- Lớp thực nghiệm : 12A1
	- Lớp đối chứng: 12A2
b)Tiến hành:
 - Sau bài “Thể tích các khối đa diện” giáo viên dạy một tiết luyện tập trình bày phương pháp tỉ số thể tích cho học sinh lớp 12A1, còn ở lớp 12A2 thì dạy theo phương pháp áp dụng công thức sách giáo khoa
- Cho học sinh 2 lớp làm bài kiểm tra 15 phút
-Nội dung bài kiểm tra : GV cho đề bàitính thể tích khối chóp (có thể sử dụng cách tính trực tiếp hoặc dùng tỉ số thể tích).
c)Kết quả thu được cho ở bảng sau:
Lớp
12A1(TN)
12A2( ĐC)
T. số
44
45
Điểm
SL
%
SL
%
Giỏi
13
29,5
8
17,7
Khá
18
40,9
12
26,7
T. bình
11
25,1
16
35,6
Yếu
2
4,5
9
20,0
Kém
0
0,0
0
0,0
d) Nhận xét: Qua tiết học trên lớp và kết quả kiểm tra, tôi nhận thấy:
- Năng lực học tập của học sinh ở 2 lớp như nhau nhưng kết quả thu được khác nhau khá nhiều
- Ở lớp 12A1 (TN) có số lượng điểm khá, giỏi nhiều hơn lớp 12A2(ĐC), số lượng điểm yếu tập trung chủ yếu ở lớp đối chứng.
- Ở lớp thực nghiệm tiết học sôi nỗi và hứng thú hơn. Bài giải của học sinh lớp thực nghiệm rõ ràng, ít sai sót hơn lớp đối chứng.
3. PHẦN KẾT LUẬN
3.1. Ý nghĩa, phạm vi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
	Trong dạy và học môn toán, việc tìm ra lời giải của một bài toán là vấn đề khó nhưng để có được lời giải hay lại càng khó hơn. Qua nhiều năm giảng dạy, tôi đã nghiên cứu và đã áp dụng phương pháp tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện. Phương pháp này tạo cho học sinh học tập hứng thú, linh hoạt và đạt hiệu quả cao. Việc áp dụng phương pháp tỉ số thể tích giúp học sinh dễ dàng hơn trong tính toán, cho lời giải rõ ràng hơn; đặc biệt khi sử dụng phương pháp này học sinh còn hạn chế về kiến thức hình học không gian cũng có thể giải được bài toán. 
	Giáo viên có thể áp dụng phương pháp tính thể tích khối đa diện bẳng tỉ số thể tích vào giảng dạy chương 1 hình học 12, ôn tập học kì, ôn thi đại học, cao đẳng và ôn thi học sinh giỏi.Phương pháp trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm này áp dụng được cho tất cả học sinh khối 12. Tùy theo mục đích cụ thể mà giáo viên chọn bài tập phù hợp để áp dụng phương pháp.
3.2. Kiến nghị, đề xuất
	Để tăng sự hứng thú và hiệu quả học tập môn toán ở trường phổ thông tôi mong rằng các đồng nghiệp cần đầu tư, mạnh dạn đề xuất những phương pháp mới áp dụng cho từng dạng bài toán cụ thể. 
	Nếu phương pháp bản thân tôi đề xuất trong sáng kiến kinh nghiệm này được truyền đạt đến học sinh chắc chắn học sinh sẽ đón nhận nhiệt tình và mang lại hiệu quả thiết thực. Mặc dù tôi đã cố gắng nhưng không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong sự góp ý, giúp đỡ của các thầy cô giáo và đồng nghiệp để phương pháp này được hoàn thiện . 
-----@ *** ?-----