Đề tài Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9

ã cho. 
 2.3 Mặt mạnh, mặt yếu:
 Mặt mạnh:
Công nghệ thông tin ngày một phát triển, có nhiều phần mềm trình chiếu phục vụ cho tiết dạy khiến tiết dạy sinh động hơn sẽ kích thích trí tò mò và tăng hứng thú học tập cho học sinh.
Nhiều cuộc thi Toán học được tổ chức hàng năm như: cuộc thi học sinh giỏi văn hoá môn Toán, giải toán trên máy tính cầm tay CasiO, giải toán trên mạng Internet, ... là những sân chơi bổ ích góp phần rất lớn trong việc thu hút và lôi cuốn học sinh đến với Toán học. 
 Mặt yếu: 
Nhiều học sinh bị mất kiến thức ngay từ lớp dưới, chưa nắm được kiến thức cơ bản của hình học nên rất khó khăn trong việc phân tích tìm lời giải, khả năng tư 
duy, kỹ năng vẽ hình và trình bày bài giải chưa tốt
Học sinh còn thụ động khi tiếp thu kiến thức, khả năng tư duy toán học ở học sinh còn mờ nhạt, nhiều em học không đi đôi với hành, làm cho bản thân ít được củng cố, khắc sâu kiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết.
 2.4 Các nguyên nhân, các yếu tố tác động:
- Học sinh còn yếu về khả năng phân tích bài toán để tìm lời giải.
- Học sinh không nhớ những kiến thức Hình học đã được lĩnh hội ở các lớp dưới nên khả năng vận dụng kiến thức vào giải một bài toán còn hạn chế.
- Sự hứng thú, tính tích cực của học sinh với môn Hình học chưa cao.
- Đa số học sinh chưa có thói quen khai thác bài toán đã giải, chưa có tính sáng tạo trong giải toán, khả năng vận dụng kiến thức còn chưa linh hoạt.
 	- Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa có thời gian để ôn tập, giải bài tập nhiều. 
 2.5 Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:
Hình học là một môn học khó đối với học sinh, đặc biệt là học sinh trung bình, yếu, kém. Đa số học sinh sợ học môn Hình học, khả năng tư duy, phân tích tổng hợp của học sinh còn hạn chế, nhiều học sinh không xác định được bài toán, không vẽ được hình hoặc vẽ hình không chính xác nên rất khó khăn trong quá trình chứng minh. Với đặc thù của phân môn Hình học là mọi suy luận đều phải có căn cứ, đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng trình bày suy luận một cách logic. Kĩ năng này đối với học sinh thì tương đối khó, vì mức độ ghi nhớ các kiến thức Hình học từ những lớp dưới của nhiều học sinh còn hạn chế. Do đó khi gặp một bài toán Hình học học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu, trình bày chứng minh như thế nào. Chính vì thế mà việc giúp HS nắm vững kiến thức, hiểu một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, vận dụng linh hoạt các kiến thức vào làm bài tập, tạo niềm say mê, hứng thú học Toán nói chung và Hình học nói riêng cho các em học sinh là rất quan trọng đối với người giáo viên. 
Để giúp học sinh học tập tốt môn Hình học, hãy bắt đầu bằng những bài tập trong sách giáo khoa và đừng quên khai thác bài toán sau khi giải. Với đề tài nghiên cứu: “Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hình học lớp 9” sẽ đáp ứng được phần nào yêu cầu này, bên cạnh đó còn góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích và suy luận cho học sinh, đồng thời khơi dậy cho các em sự tự tin trong học tập và niềm đam mê bộ môn.
Mỗi bài toán đưa ra trong đề tài đều có phân tích cụ thể, định hướng chứng minh, chỉ ra được kiến thức cần vận dụng để chứng minh bài toán, sau khi trình bày lời giải đều có những nhận xét từ các kết quả có được của bài toán và đề xuất các bài toán mới. Qua đó, củng cố, khắc sâu, mở rộng và nâng cao kiến thức cho học sinh, giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong giải Toán, đồng thời giúp học sinh tự tin hơn, thích thú hơn với phân môn Hình học 
Đề tài này được lồng ghép vào các tiết luyện tập, ôn tập chương, các tiết ôn tập học kì , các tiết phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Sau khi áp dụng đề tài nhìn chung học sinh nắm vững kiến thức cơ bản, các em đã hứng thú hơn trong học tập, nhìn nhận bài toán một cách rộng hơn, yêu thích bộ môn hơn và đặc biệt nhiều em đã có phương pháp tự học tốt, biết cách phát triển bài toán và tự tin hơn khi học Hình học.
3. Giải pháp, biện pháp:
 3.1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp:
Đề tài: “Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán Hình học cơ bản lớp 9” nhằm mục đích giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của bài toán, tạo cho các em phong cách học tập chủ động và sáng tạo. Từ việc suy luận và phát triển bài toán sẽ có nhiều bài toán hay được hình thành, góp phần làm cho kho tàng toán học ngày càng phong phú.
 3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:
 Việc suy luận và phát triển một bài toán Hình học có thể theo nhiều hướng 
khác nhau. Tuy nhiên, trong phạm vi đề tài này tôi chỉ nghiên cứu việc khai thác thêm các kết quả có thể có được của bài toán và đề xuất các bài toán mới nhằm rèn luyện khả năng sáng tạo cho học sinh, giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong giải toán, đồng thời giáo dục lòng say mê học Toán cho học sinh. Đề tài này không đề cập nhiều đến việc hình thành kĩ năng giải toán cho học sinh mà quan tâm đến hướng khai thác, suy luận để phát triển bài toán. Bắt đầu từ bài toán cơ bản và quen thuộc sau:
a) Bài toán 1: ( Bài tập 11 trang 104 - SGK Toán 9 tập 1)
 Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng: CH = DK. Gợi ý: Kẻ OM vuông góc với CD.
Giải:
GT
Đường tròn (O) đường kính AB; dây CD; CD AB =; 
AHCD (HCD);
 BKCD (KCD)
KL
CH = DK
Hướng dẫn chứng minh: Kẻ OM CD (M CD)
Hướng dẫn học sinh phân tích theo sơ đồ sau: CH = DK
 MH – MC = MK – MD
 MH = MK ; MC = MD
Ta có: MH = MK vì AHKB là hình thang, hình thang này có O AB, OA = OB, OM//AH//BK
Ta cũng có: MC = MD vì OM CD (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây).
Chứng minh: 
AHCD và BK CD (gt) AH // BK AHKB là hình thang
Kẻ OM CD (M CD) MC = MD (1) (Quan hệ giữa đường kính và dây)
Xét hình thang AHKB có O AB, OA = OB (Bán kính); OM//AH//BK (cùng vuông góc với CD) MH = MK (2)
Từ (1 ) và (2) ta có: MH – MC = MK – MD hay CH = DK
Suy luận và phát triển các bài toán mới từ bài toán 1:
* Nhận xét 1.1: Từ việc vẽ OM CD ta có MH = MK ta nhận thấy rằng:
Hay 
Kẻ MM’ AB (M’ AB)
Vì nên HK.OM = AB.MM’ (1)
Mặt khác, ta có OM là đường trung bình của hình thang AHBK nên 
 (2)
Từ (1 ) và (2) ta có: 
Vẽ thêm CC’AB, DD’AB (C’, D’ AB), ta có: 
MM’ là đường trung bình của hình thang CDD’C’ 
Qua nhận xét 1.1, ta có bài toán khó hơn bài toán 1 như sau:
Bài toán 1.1: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng: 
* Nhận xét 1.2:
Từ bài toán 1, nếu giả thiết dây CD không cắt đường kính AB được thay thế bằng giả thiết dây CD cắt đường kính AB thì kết luận CH = DK vẫn đúng. 
Thật vậy, để chứng minh CH = DK ta chứng minh CD và HK có chung trung điểm.
Qua O vẽ đường thẳng song song với BK và AH, cắt CD và AK lần lượt tại I và F.
Vì OI // BK mà BK CD nên OI CD
 IC = ID (1) (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)
 có O AB, OA = OB và OF // BK FK = FA
 có F KA, FK = FA (chứng minh trên) và FI // AH IH = IK (2) 
Từ (1 ) và (2) ta có: IC – IH = ID – IK hay CH = DK
 Từ nhận xét 1.2 ta có bài toán 1.2 như sau:
Bài toán 1.2: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD cắt AB tại G. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD. Chứng minh: CH = DK.
* Nhận xét 1.3:
Từ bài toán 1, nếu sử dụng phương pháp phản chứng ta sẽ chứng minh được H và K ở bên ngoài đường tròn (O). Thật vậy, giả sử chân đường vuông góc hạ từ A đến đường thẳng CD là H’, H’ là điểm nằm giữa 2 điểm C và D.
Xét ta có: 
Mà (theo giả sử) 
 Tổng các góc trong của lớn hơn . Điều này vô lí.
Vậy H’ phải nằm ngoài đường tròn (O) H nằm ngoài đường tròn (O)
Chứng minh tương tự đối với điểm K 
Từ nhận xét 1.3 ta có bài toán 1.3 như sau:
Bài toán 1.3: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng: H và K ở bên ngoài (O)
* Nhận xét 1.4: Ở bài toán 1, để chứng minh CH = DK ta chứng minh hai đoạn thẳng CD và HK có chung trung điểm bằng cách vận dụng định lí : "Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy” và định lí : "Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai”. Với ý tưởng này, ta xây dựng một bài toán mà cách giải hoàn toàn tương tự như cách giải của bài toán 1: 
Bài toán 1.4: Cho đường tròn O đường kính AB, dây CD không cắt đường kính. Qua C và D kẻ các đường vuông góc với CD lần lượt cắt AB tại H và K. Chứng minh rằng AH = BK.
Giải: 
GT
Đường tròn (O) đường kính AB; dây CD; CD AB =;
 CHCD (HAB);
 DKCD (KAB)
KL
AH = BK
Hướng dẫn chứng minh: Hướng dẫn học sinh phân tích theo sơ đồ sau:
AH = BK
OA - OH = OB – OK 
OA = OB; OH = OK
Ta có OA = OB (Bán kính)
Để chứng minh OH = OK ta kẻ OI CD(I CD) IC = ID (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây). Tiếp tục vận dụng định lí : "Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai” để có OH = OK.
Chứng minh: HCCD và KD CD (gt) HC // KD CDKH là hình thang
Kẻ OI CD (I CD) IC = ID (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)
Xét hình thang CDKH có IC = ID (Chứng minh trên); 
OI//HC//KD (cùng vuông góc với CD) OH = OK (1) 
Lại có : OA = OB (2) (Bán kính)
Từ (1 ) và (2) ta có OA - OH = OB – OK Hay AH = BK
b) Bài toán 2: ( Bài tập 30 trang 116 - SGK toán 9 tập 1)
 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và của đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng: a) 
b) CD = AC + BD 
c) AC.BD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn.
Giải:
GT
nửa (O;R); AB = 2R ; Ax AB; ByAB; Mnửa(O;R); MA, B; Mz(O) =; MzAx=; 
Mz By= 
KL
a) 
b) CD = AC + BD
c) AC.BD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn
Hướng dẫn chứng minh:
 Ở câu a) để chứng minh = 900 ta cần chứng minh OC và OD là các tia phân giác của hai góc kề bù AOM và BOM 
Ở câu b) ta nhận thấy rằng CD = CM + MD. Do đó để chứng minh CD = AC + BD ta cần chứng minh CM = AC và MD = BD.
Ở câu c) ta có AC.BD = CM.MD (theo chứng minh trên). 
Do đó để chứng minh AC.BD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn ta cần chứng minh CM.MD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn
Chứng minh:
a) Ta có OC và OD là các tia phân giác của hai góc kề bù AOM và BOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó OC OD = 900.
b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CM = AC, DM = AD.
Do đó CD = CM + DM = AC + BD.
c) Ta có AC.BD = CM.MD
Xét COD vuông tại O và OM CD nên CM.MD = OM2 = R2 (R là bán kính của đường tròn O) AC.BD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn.
Suy luận và phát triển các bài toán mới từ bài toán 2:
* Nhận xét 2.1: 
Chu vi tứ giác ABDC nhỏ nhấtAC + AB + BD + CD nhỏ nhất
 AC + BD + CD nhỏ nhất 2CD nhỏ nhất CD nhỏ nhất
CD // AB M là giao điểm nửa đường tròn tâm O và trung trực của AB. (hay M là điểm chính giữa của cung AB)
Vậy nếu M là điểm chính giữa của cung AB thì tứ giác ABDC có chu vi nhỏ nhất.
Qua nhận xét 2.1, ta có bài toán 2.1:
Bài toán 2.1: Thêm vào bài toán 2 câu d: Xác định vị trí của điểm M để chu vi tứ giác ABDC nhỏ nhất.
* Nhận xét 2.2: 
 Nếu gọi N là giao điểm của BC và AD, ta chứng minh được MN//AC (MN//BD)
Thật vậy:
Ta có AC//BD (gt)
Xét có AC//BD 
 (1) (Định lí Talet)
Vì CA, CM là tiếp tuyến của nửa (O) nên CM = CA (2) 
Tương tự ta có DB = DM (3)
Từ (1), (2) và (3) MN//AC (Theo định lí ta lét đảo) 
 MN//BD (AC//BD)
Qua nhận xét 2.2, ta có bài toán 2.2:
Bài toán 2.2: Thêm vào bài toán 2 câu e: Gọi N là giao điểm của BC và AD. Chứng minh rằng: MN//AC (MN//BD)
* Nhận xét 2.3:
Sau khi c/m được MN//AC ta có thể có thêm yêu cầu đối với học sinh trung bình là chứng minh CD.MN = CM.DB
Chứng minh: Theo chứng minh trên MN//AC
S
 CD.MN = CM.DB
Bài toán 2.3: Thêm vào bài toán 2 câu f: Chứng minh rằng: CD.MN = CM.DB
* Nhận xét 2.4:
Từ bài toán 2, nếu cải tiến một chút thì ta có bài toán mới như sau:
Bài toán 2.4: (Trích đề kiểm tra học kì I của phòng GD & ĐT Krông Ana năm học 2011 - 2012)
 Cho vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Kẻ các tiếp tuyến BD, CE (D, E là các tiếp điểm).
a) BC có phải là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH) hay không? Vì sao?
b) Chứng minh rằng ba điểm D, A, E thẳng hàng;
c) DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
Chứng minh:
a) BC là tiếp tuyến của đường tròn 
(A; AH) vì HBC; H(A; AH) và AH BC (gt)
b) Ta có: 
mà ; (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)
Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng.
c) Vì D, A, E thẳng hàng nên A DE (1)
Gọi O là trung điểm của BC. Ta có AO = BC (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) A (O; ) (2)
Mặt khác, ta có: BD DE; CE DE (tính chất tiếp tuyến)BCED là hình thang
Lại có: AD = AE; OB = OC OA // BD mà BD DE nên OA DE (3)
Từ (1), (2), (3) ta có DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
c) Bài toán 3: ( Bài tập 39 trang 123 - SGK toán 9 tập 1)
 Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC , tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I. Chứng minh rằng: 
a) 
b) Tính số đo góc IOI’
c) Tính độ dài BC biết OA = 9cm; OA’ = 4cm
Giải:
GT
O) tiếp xúc ngoài (O’) tại A; BC là tiếp tuyến chung ngoài; B(O) ; C(O’); IA là tiếp tuyến chung trong tại A; IA BC =;
OA = 9cm, O’A = 4cm.
KL
a) 
b) 
c) BC = ?
Hướng dẫn chứng minh: Ở câu a) để chứng minh ta phân tích theo sơ đồ: 
ABC vuông tại A
AI = BI = CI
Ở câu b) vận dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù.
Ở câu c) Để tính BC trước hết ta tính IA vì BC = 2IA. Cách tính: IA2= OA.AO’ 
Chứng minh: a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: IB = IA và IA = IC.
ABC có trung tuyến AI bằng nên ABC vuông tại A 
b) Ta có IO là tia phân giác góc BIA, IO’ là tia phân giác của góc AIC. (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) mà và là hai góc kề bù nên 
c) Xét vuông OIO’ có IA OO’ nên IA2= OA.AO’ (hệ thức lượng trong vuông)
Do đó IA2 = 9.4 = 36 IA = 6cm. Khi đó BC = 2IA = 2.6 =12cm.
Suy luận và phát triển các bài toán mới từ bài toán 3:
* Nhận xét 3.1: Nếu hai đường tròn (O) và (O’) không tiếp xúc ngoài tại A mà hai đường tròn đó ở ngoài nhau thì có chứng minh được hay không?
Ta có:
 và (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
mà (vì OB//O’C)
có
Qua nhận xét trên, ta có bài toán sau:
 Bài toán 3.1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, , , đoạn nối tâm OO’ cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại D và E, các đường thẳng BD và CE cắt nhau tại A. Chứng minh rằng:
a) b) AD. AC = AE . AC c) Tứ giác BCED nội tiếp
Giải: a) Chứng minh như nhận xét 3.1
 b) Ta có: (vì cùng phụ với )
 (vì cân tại O’)
 Mà (đối đỉnh)
 Do đó : 
và có: (chứng minh trên)
 chung
S
 (g.g) 
c) Theo câu b) ta có: Tứ giác BCED nội tiếp
* Nhận xét 3.2:
 Nếu hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau thì kết luận có còn đúng 
không?
Ta có:
 và 
(theo tính chất của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
Mà (vì OB//O’C)
 hay 
 có 
Qua nhận xét trên, ta có bài toán 3.2:
 Bài toán 3.2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm M và N. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, , đoạn nối tâm OO’ cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại D và E, các đường thẳng BD và CE cắt nhau tại A. Chứng minh rằng:
a) 
b) Tứ giác BCDE nội tiếp 
c) AB.AD = AC.AE
Giải: a) Chứng minh như nhận xét 3.2
 b) (vì cùng phụ với ) mà (vì cân tại O’)
 hay 
 Tứ giác BCDE có hai đỉnh B và E cùng nhìn cạnh CD dưới một góc bằng nhau nên nội tiếp được trong một đường tròn.
c) và có: (theo chứng minh câu b)
 (đối đỉnh)
S
 (g.g) 
d) Bài toán 4: ( Bài tập 95 trang 105 - SGK toán 9 tập 2)
 Các đường cao hạ từ đỉnh A và B của cắt nhau tại H () và cắt đường tròn ngoại tiếp lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a) CD = CE 
 	b) cân 
c) CD = CH
Giải:
GT
; ; đường tròn (O) ngoại tiếp ;
ADBC ; D (O);
BEAC ; E (O);
KL
a) CD = CE
b) cân
c) CD = CH
Chứng minh: 
Gọi M là giao điểm của AD và BC, N là giao điểm của BE và AC
a) Ta có: và 
 mà (đối đỉnh)
 (các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau)
 CD = CE (liên hệ giữa cung và dây)
b) Ta có (chứng minh trên) 
(hệ quả góc nội tiếp)
cân (vì có BM vừa là đường cao vừa là đường phân giác)
c) Ta có cân tại B BC là đường trung trực của HD (vì BC chưa BM)
CD = CH (tính chất đường trung trực)
Suy luận và phát triển các bài toán mới từ bài toán 4:
* Nhận xét 4.1:
Ta có CH là đường cao của nên ta kẻ đường cao CH cắt AB tại Q và cắt đường tròn ngoại tiếp tại F. 
Từ câu a) ta có CD = CE 
FC là tia phân giác của .
 Tương tự ta cũng có DA là tia phân giác của và EB là tia phân giác của H là tâm đường tròn nội tiếp 
Từ nhận xét 4.1 ta có bài toán sau:
Bài toán 4.1: 
 Các đường cao hạ từ đỉnh A, B, C của cắt nhau tại H () và cắt đường tròn ngoại tiếp lần lượt tại D, E, F. Chứng minh rằng: H là tâm đường tròn nội tiếp 
* Nhận xét 4.2:
Từ câu b) và c) của bài toán 3 ta có BD = BH, CD = CH 
Tương tự ta cũng có , 
 Các đường tròn ngoại tiếp , , có bán kính bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp .
Từ nhận xét 4.2 ta có bài toán 4.2
Bài toán 4.2: Cho có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và H là trực tâm của . Chứng minh rằng: Các đường tròn ngoại tiếp , , có bán kính bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp .
* Nhận xét 4.3:
 Từ câu a) của bài toán 3 ta có CD = CE. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp thì OC là đường trung trực của ED
 Dễ dàng chứng minh được tứ giác ABMN nội tiếp đường tròn đường kính AB
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
Mặt khác, ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD) 
 MN//DE
Từ nhận xét trên, ta có thêm bài toán sau:
Bài toán 4.3: 
 Cho có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H và lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tại D, E, F (MBC, NAC, QAB). Chứng minh rằng: MN//DE
* Nhận xét 4.4:
Từ bài toán 3, nếu gọi P là trung điểm của BC, T là điểm đối xứng với H qua P. Khi đó tứ giác BHCT là hình bình hành CT//BN CTAC (vì BNAC) 
Tương tự, ta chứng minh được 
Tứ giác ABTC có 
Tứ giác ABTC nội tiếp đường tròn (O) 
Từ nhận xét trên, ta có thể khai thác thêm bài toán sau:
Bài toán 4.4: 
Cho có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H (MBC, NAC, QAB). Gọi P là trung điểm của BC, T là điểm đối xứng với H qua P. Chứng minh rằng: Tứ giác ABTC nội tiếp được trong một đường tròn
 e) Một số bài toán tham khảo:
Bài 1 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2004 – 2005):
 Cho tam giác ABC có AB < AC nội tiếp trong một đường tròn (O). Trên cung nhỏ AC lấy một điểm E sao cho 
	1) Chứng minh AE song song với BC
	2) Kẻ đường cao AK ( ) kéo dài AK cắt (O) tại D. Chứng minh:
	 a) Ba điểm E, O, D thẳng hàng.	 
 b) 
	3) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, giả sử AH = BC. Tính 
Bài 2 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2005 – 2006):
 Cho tam giác ABC không cân có ba góc nhọn, M là trung điểm của BC, AD là đường cao. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
	a) Chứng minh: 
	b) Chứng minh: DE vuông góc với AC và MN là đường trung trực của DE (với N là trung điểm của AB)
	c) Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp 
Bài 3 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2007 – 2008):
 Cho đường tròn tâm O bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm E trên đoạn AO sao cho , đường thẳng CE cắt đường tròn tâm O đã cho ở M.
	1/ Chứng minh tứ giác OEMD nội tiếp được trong một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó theo R.
	2) Trên tia đối của MC lấy điểm F sao cho MF = MD. Chứng minh: 
 . 
	3) Qua M kẻ đường thẳng song