Sáng kiến kinh nghiệm Chuyên đề '' Phương trình vô tỉ'' được viết theo chương trình SGK hiện hành nhằm dạy học sinh đại trà trên lớp cũng như ôn thi vào lớp 10, ôn thi học sinh giỏi

. 
 Chuyên đề đã giới thiệu một số phương pháp hay dùng để giải phương trình 
vô tỉ: 
 Trong chuyên đề mỗi một phương pháp có dành nhiều bài tập cho học sinh tự 
luyện. Tôi hy vọng chuyên đề này sẽ mang lại cho bạn đọc nhiều điều bổ ích và 
giúp các bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp của Toán học qua các phương trình vô tỷ. 
 Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng chuyên đề không tránh khỏi những sai 
sót. Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu từ các thầy cô và các 
em học sinh để chuyên đề ngày càng hoàn thiện hơn! 
2. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu 
 Đề tài được nghiên cứu thực hiện khi giảng dạy HS lớp 9 từ năm học 2018-
2019 và tiếp tục áp dụng, có bổ sung trong năm học 2019-2020. 
3. Phương pháp nghiên cứu 
 Tôi sử dụng phối hợp các phương pháp nghiên cứu sau: 
- Tìm đọc các tài liệu tham khảo: SGK đại số 8, SGK đại số 9, Sách bồi 
dưỡng đại số 8 và 9, Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 9, Các đề thi vào 
lớp 10, các đề thi HSG môn Toán. 
 4
- Khảo sát thực trạng HS, trắc nghiệm trên 3 đối tượng: Khá giỏi- trung 
bình- yếu kém. 
- Phương pháp quan sát; 
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm giáo dục; 
4. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài: 
- Nghiên cứu về khái niệm của phương trình một ẩn, khái quát và giải phương 
trình đó. 
- Kỹ năng giải các phương trình: Phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình 
bậc nhất một ẩn, phương trình chứa hệ số ba chữ, phương trình chứa dấu giá 
trị tuyệt đối, phương trình tích, thương, phương trình bậc cao 
- Kỹ năng giải các phương trình bậc cao đưa về phương trình bậc 1, bậc 2, 
phương trình vô tỉ  
- Làm các bài tập minh họa. 
- Một số phương pháp và dạng bài tập thường gặp. 
5. Cấu trúc của đề tài 
 Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và khuyến nghị, phần nội dung chính 
của đề tài gồm 3 chương: 
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ 
CHƯƠNG II: CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁC VÍ DỤ CỤ THỂ 
CHƯƠNG III: KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÓ SO SÁNH VÀ ĐỐI CHỨNG 
 5
NỘI DUNG ĐỀ TÀI 
Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ 
1. Cơ sở lý luận 
 Khi giảng dạy bộ môn đại số lớp 9, chúng ta bắt gặp môt số dạng phương 
trinh vô tỉ đã được đề cập trong sách giáo khoa nhưng không phải mọi học 
sinh đều giải được các dạng bài tập này một cách nhuần nhuyễn và thành 
thạo. Thực tế cho thấy các dạng phương trình vô tỉ rất phong phú, đa dạng và 
nó cũng là một trong các dạng bài tập khó đối với học sinh cấp 2. 
 Với suy nghĩ đó, tôi đã mạnh dạn đưa ra một số dạng phương trình vô tỉ cơ 
bản và cách giải từng dạng phương trình đó nhằm giúp các em nắm được cách 
thức giải từng dạng bài từ đó giúp các em dễ dàng hơn khi giải phương trình vô 
tỉ và bồi đắp thêm cho các em niềm say mê, hứng thú học tập bộ môn toán. 
2. Cơ sở thực tiễn của vấn đề 
 Trong quá trình giảng dạy môn Toán lớp 9, tôi thấy đa số HS có nhận dạng 
được phương trình vô tỉ, nhưng đại đa số đều thấy khó, chưa nắm được cách giải 
của từng bài. Do đó, tôi mạnh dạn phân dạng một số bài tập nhằm giúp HS nhận 
dạng nhanh phương trình đó và từ đó tìm ra hướng giải quyết vấn đề. Khi giải 
phương trình vô tỉ, chúng ta cần định hướng học sinh nắm vững các vấn đề sau: 
2.1 Khái niệm về phương trình vô tỉ 
Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn ở dưới dấu căn. 
VD: 321  xx 
2.2 Các bước giải phương trình vô tỉ (dạng chung) 
- Tìm TXĐ (còn gọi là ĐK) của phương trình 
- Biến đổi đưa phương trình về các dạng phương trình đã học. 
- Giải phương trình vừa tìm được. 
- Đối chiếu với TXĐ rồi kết luận. 
2.3 Các phương pháp giải phương trình vô tỉ 
Phương pháp 1. Nâng lên luỹ thừa để làm mất căn ở 2 vế của phương trình 
(thường dùng khi 2 vế có luỹ thừa cùng bậc). 
Phương pháp 2: Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị 
tuyệt đối. 
Phương pháp 3: Phương pháp đặt ẩn phụ. 
 Ngoài các phương pháp trên, thực tế giảng dạy còn một số phương pháp khó 
như: dùng bất đẳng thức, dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy 
nhất, phương pháp nhân với biểu thức liên hợp, phương pháp đánh giá. Nhưng 
 6
vì điều kiện không cho phép nên xin được bổ sung nghiên cứu các phương pháp 
trên ở các năm học tiếp theo. 
 Để làm được điều đó, các em cần nắm chắc các kiến thức sau: 
- Các tính chất của luỹ thừa bậc 2, bậc 3, tổng quát hoá các tính chất của luỹ 
thừa bậc chẵn và luỹ thừa bậc lẻ. 
- Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức . 
- Cách giải phương trình, bất phương trình bậc nhất bậc 2 một ẩn, cách giải hệ 
phương trình. 
- Bổ sung các kiến thức để giải các phương trình đơn giản: 
Chương II: CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁC VÍ DỤ CỤ THỂ 
1. Một số phương pháp cơ bản. 
PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA 
I-KIẾN THỨC: 
1/ 
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x g x
f x g x


  
 
2/ 
2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
g x
f x g x
f x g x

  

3/ 
( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( )
f x
f x g x h x g x
f x g x f x g x h x
 

   

  
4/ *2 2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0 ( )
( ) ( )
n n
f x
f x g x g x n N
f x g x


   
 
5/ *2
2
( ) 0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
n
n
g x
f x g x n N
f x g x

  

6/ *2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nf x g x f x g x n N     
7/ 2 1 *2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn f x g x f x g x n N     
 7
II-BÀI TẬP 
Bài 1: Giải phương trình: x 1 x 1   (1) 
HD: (1)  
2 2
x 1 0 x 1 x 1
x 3x 1 (x 1) x 3x 0
     
   
      
3x  
Bài 2: Giải phương trình: 2 3 0x x   
HD: Ta có: 2 3 0x x   2 3x x   
























3
1
0
032
0
32
0
22
x
x
x
xx
x
xx
x
 Trong 2 giá trị trên, dễ dàng nhận thấy chỉ có x=3 là nghiệm của phương trình. 
Bài 3: Giải phương trình: 4 1 1 2x x x     
HD: Vế trái của phương trình chưa xác định được dương hay âm, nên không 
thể bình phương luôn hai vế. 
Ta có: 4 1 1 2x x x     4 1 2 1x x x      
1 2 0
1 0
4 1 2 1 2 (1 2 )(1 )
x
x
x x x x x
  

  

       
2
1
2
2 1 2 3 1
x
x x x


 
    
2 2
1
2
2 1 0
(2 1) 2 3 1
x
x
x x x



  

   

2
1 1
1 1
2 2
02 2
0
7 0
7
x
x
x
x
x x
x

    
           
Cái khó nữa trong dạng phương trình này là HS cần giải 2 lần TXĐ. Khi giải 
tiếp phương trình 2x+1= 132 2  xx HS rất hay quên TXĐ, thực tế đây lại là 
dạng phương trình giống như ở bài tập 1 và 2 vừa giải. 
Bài 4: Giải phương trình: 22 3 4 0x x    (1) 
HD:ĐK:
2
2 0
2
4 0
x
x
x
 
 
 
 (*) 
PT (1) 
  
 
2 3 ( 2)( 2) 0
2. 1 3 2 0
22 0
(2)17
1 3 2 0
9
x x x
x x
xx
xx
     
    
  
      
 
Kết hợp (*) và (2) ta được: x = 2 
Bài 5. Giải phương trình : 3 3x x x   
 8
HD: ĐK: 0 3x  khi đó pt đã cho tương đương: 
3 23 3 0x x x   
3 31 10 10 1
3 3 3 3
x x
 
     
 
Bài 6. Giải phương trình sau : 22 3 9 4x x x    
HD: ĐK: 3x   phương trình tương đương : 
 
2
2
1
3 1 3
1 3 9 5 97
3 1 3
18
x
x x
x x
xx x
               
Bài 7. Giải phương trình sau :    
22 332 3 9 2 2 3 3 2x x x x x     
HD: pt  
3
3 32 3 0 1x x x      
Bài 8. Giải và biện luận phương trình: 2x 4 x m   
HD: Ta có: 2x 4 x m    
2 2 2 2
x m x m
x 4 x 4xm m 2mx (m 4) 0
  
 
       
 – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm 
 – Nếu m ≠ 0: 
2m 4
x
2m

 . Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m  
2m 4
2m

 ≥ m 
 + Nếu m > 0: m2 + 4 ≥ 2m2  m2 ≤ 4  0 m 2  
 + Nếu m < 0: m2 + 4 ≤ 2m2  m2 ≥ 4  m ≤ –2 
Tóm lại: 
 – Nếu m ≤ –2 hoặc 0 < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm 
2m 4
x
2m

 
 – Nếu –2 2: phương trình vô nghiệm 
Bài 9. Giải và biện luận phương trình với m là tham số: mxx  32 
(Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1999 – 2000) 
HD: Ta có: 2
2 2 2 2
x m x m
x 3 x m
x 3 x m 2mx 2mx (m 3) 0
  
     
       
 – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm 
 – Nếu m ≠ 0:
2m 3
x
2m

 . Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m  
2m 3
m
2m

 
 + Nếu m > 0: m2 + 3 ≥ 2m2  m2 ≤ 3  0 m 3  
 + Nếu m < 0: m2 + 3 ≤ 2m2  m2 ≥ 3  m ≤ 3 
Tóm lại: 
 – Nếu 0 m 3  hoặc m 3  . Phương trình có một nghiệm: 
2m 3
x
2m

 
 – Nếu 3 m 0   hoặc m 3 : phương trình vô nghiệm 
Bài 10. Giải và biện luận theo tham số m phương trình: x x m m   
HD: Điều kiện: x ≥ 0 
– Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm 
 9
– Nếu m = 0: phương trình trở thành x( x 1) 0  
 có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = 1 
– Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với 
 ( x m)( x m 1) 0    
x m 0
x 1 m
  
 
 
 + Nếu 0 < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = 
2(1 m) 
 + Nếu m > 1: phương trình có một nghiệm: x = m 
III- BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
Bài 1:Giải các phương trình sau: 
a) 1 13x x   b) 3 34 3 3 1x x    c) 2 5 3 5 2x x    
d) x 3 5 x 2    e) 2 5 0x    f) x 1 x 7 12 x     
 Bài 2: Giải phương trình: 
a) 2 1 1x x   b) 2 3 0x x   c) 
2 1 1x x   
d) 3 6 3x x    e) 3 2 1 3x x    f) 3 2 1x x    
g) 9 5 2 4x x    h) 3 4 2 1 3x x x     i) 4 3 2x x   
Bài 3: Cho phương trình: 2 1x x m   
a) Giải phương trình khi m = 1 
b) Tìm m để phương trình có nghiệm. 
PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI 
I-KIẾN THỨC: 
Sử dụng hằng đẳng thức sau: 
2 ( ) ( ) ( ( ) 0)( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) 0)
f x g x f x
f x g x f x g x
f x g x f x
 
    
  
II-BÀI TẬP: 
Bài 1: Giải phương trình: 2x 4x 4 x 8    (1) 
HD: (1)  2(x 2) 8 x   
  |x – 2| = 8 – x 
 – Nếu x < 2: (1)  2 – x = 8 – x (vô nghiệm) 
 – Nếu x  2 : (1)  x – 2 = 8 – x  x = 5 (thoả mãn) Vậy: x = 5. 
Bài 2: Giải phương trình: x 2 2 x 1 x 10 6 x 1 2 x 2 2 x 1           
(2) 
HD: (2)  
x 1 0
x 1 2 x 1 1 x 1 2.3 x 1 9 2 x 1 2 x 1 1
 

             
  
x 1
x 1 1 | x 1 3 | 2.| x 1 1 |
 

       
 (*) 
Đặt y = x 1 (y ≥ 0)  phương trình(*) đã cho trở thành: 
 y 1 | y 3 | 2 | y 1 |     
 10 
 – Nếu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y  y = –1 (loại) 
 – Nếu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2  y = 3 
 – Nếu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm) 
Với y = 3  x + 1 = 9  x = 8 (thoả mãn) Vậy: x = 8 
Bài 3:Giải phương trình: 2 2 5 2 3 2 5 7 2x x x x        
HD:ĐK:
5
2
x  
PT 2 5 2 2 5 1 2 5 6 2 5 9 14x x x x           
 2 5 1 2 5 3 14x x       
 2 5 5x   
 15x  (Thoả mãn) Vậy: x = 15 
Bài 4:Giải phương trình: 2 1 2 1 2x x x x      
HD:ĐK: 1x  
Pt 1 2 1 1 1 2 1 1 2x x x x           
 1 1 1 1 2x x       
Nếu 2x  pt 1 1 1 1 2x x       2x  (Loại) 
Nếu 2x  pt 1 1 1 1 2x x       0 0x  (Luôn đúng với x ) 
Vậy tập nghiệm của phương trình là:  |1 2S x R x    
III- BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
Giải các phương trình sau: 
a) 2 2 1 5x x   b) 4 4 3x x   
c) 2 6 9 2 1x x x    d) 4 4 5 2x x x    
e) 2 22 1 4 4 4x x x x      f) 2 1 4 4 10x x x x      
g) 2 1 2 1 2x x x x      h) 3 2 4 4 4 1x x x x       
i) 2 4 4 2 10x x x    k) 2 4 4 2x x x    
PHƯƠNG PHÁP 3: ĐẶT ẨN PHỤ 
Bài 1: Giải các phương trình sau: 
a) 02 xx 
b) 0827
22  xx 
 Lời giải: 
a) Điều kiện: 0x 
Đặt 2)0( txttx  , ta có phương trình 
 2),/(1)0(02 21
2  tmttcbatt (loại). 
 1111  xxt . 
Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. 
 11 
b) Điều kiện: 







2
2
202 22
x
x
xx 
Ta có: 0102720827 2222  xxxx . 
Đặt 
222 2)0(2 txttx  , ta có phương trình ẩn t: 0107
2  tt 
 )/(2
2
37
);/(5
2
37
3910.1.4)7( 21
2 mttmtt 



 
Với )/(3327),/(332727525 21
22
1 mtxmtxxxt  
Với )/(6),/(66222 43
22
2 mtxmtxxxt  . 
 Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt: 
 6,6,33,33 4321  xxxx . 
Bài 2: Giải phương trình: 
x-2 + 2x - 5 + x + 2 + 3 2x - 5 = 7 2 (1) 
Hướng dẫn: (Đây chính là bài 3 ở dạng trên, như vậy chúng ta có thể giải bài 
tập này theo 2 cách) 
Điều kiện: x  
5
2
Đặt: 2x - 5 = y  0  2x - 5 = y2 
(1)  2( 2) 2 2 5 2x 4 6 2x 5 14x         
 Có: 2(x – 2) + 2 2x 5 = ( 2x 5 )2 + 2 2x 5 + 1 
 = y2 + 2y + 1 = (y + 1)2 
 2x + 4 + 6 2x 5 = ( 2x 5 )2 + 6 2x 5 + 9 
 = y2 + 6y + 9 = (y + 3)2 
(1)  y2 + 2y + 1 + y2 + 6y + 9 = 14 
   y + 1 +  y + 3 = 14 do y  0 nên: 
  y + 1 + y + 3 = 14 
  2y = 10 
  y = 5 (thỏa mãn điều kiện y  0) 
 2x - 5 = 5 với điều kiện x  
5
2
 thì cả 2 vế không âm 
Bình phương cả 2 vế ta có: 
  2x - 5 = 25 
  2 x = 30 
  x = 15 
Phương trình đã cho có một nghiệm x = 15. 
Nhận xét : Cách này có phần phức tạp hơn cách ở phương pháp 2 nói trên. 
 12 
Bài 3: Giải phương trình: 
 x2 + x2 - 3x + 5 = 3x + 7 (1) 
 (Toán bồi dưỡng đại số lớp 9) 
Hướng dẫn: 
Điều kiện: x2 – 3x + 5 = x2 – 2x.
3
2
 + 
9
4
 + 
11
4
 = (x - 
3
2
)2 + 
11
4
 > 0; x  R 
(1)  x2 - 3x + 5 + x2 - 3x + 5 - 12 = 0 (2) 
Đặt: x2 - 3x + 5 = t (t  0) 
(2)  t2 + t - 12 = 0 
  = 49 > 0   = 7 
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: t1 = 3 (thỏa mãn); t2 = - 4 (loại) 
 x2 - 3x + 5 = 3 
  x2 - 3x - 4 = 0 
Vậy nghiệm của phương trình là: x = -1; x = 4. 
Bài 4: Giải phương trình: 
 2 23x 21x + 18 + 2 7x 7 2x    (1) 
Hướng dẫn: 
Điều kiện: x2 + 7x + 7  0 
Đặt: 2 7x 7 0x y    => x2 + 7x + 7 = y2 
(1)  3y2 – 3 + 2y = 2 
  3y2 + 2y – 5 = 0 
  (y – 1)(3y + 5) = 0 
  y1 = 1 (thỏa mãn); y2 = 
5
3
 < 0 (loại) 
2 7x 7 1x     x2 + 7x + 6 = 0  (x + 1) (x + 6) = 0 
  x1 = -1; x2 = -6 (thỏa mãn điều kiện x
2 + 7x + 7  0) 
Vậy nghiệm của phương trình (1) là: x = -1; x = -6 
Nhận xét: Cách đặt ẩn phụ: 2 7x 7 0x y    làm cho phương trình được 
chuyển về dạng hữu tỉ. 
Bài 5: Giải phương trình: 
 x2 + 2x + 4 = 3 3 4xx  (1) 
(Trích đề thi vào 10 chuyên toán trường ĐHKHTN năm 1994) 
Hướng dẫn: 
(1) 2 24 2x 3 ( 4) 0x x x      
Điều kiện: x  0 
 13 
Đặt: 2 4 ;x u x v   , thì phương trình có dạng: 
 u2 + 2v2 – 3uv = 0 
  (u – v)(u – 2v) = 0 
  u = v hoặc u = 2v 
* Với u = v: 2 24 4x x x x     => Phương trình vô nghiệm 
* Với u = 2v: 2 24 2 4 4x 2x x x x       (thỏa mãn) 
Vậy phương trình có nghiệm x = 2 
Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: 
a) 1)3(13 22  xxxx 
b) 1220)3(24 33  xxxx 
c) 2)3)(1(31  xxxx 
2. Một số sai lầm mắc phải khi giải phương trình vô tỉ: 
Thông thường khi giải phương trình vô tỉ, học sinh thường hay mắc một trong 
các sai lầm sau: 
- Quên không tìm tập xác định khi giải phương trình 
- Không đặt điều kiện khi biến đổi tương đương 
2.1. Quên không tìm tập xác định của phương trình: 
Ví dụ: Giải phương trình: 
 2 + 2 1x  = x (1) 
Học sinh thường giải: 
 (1)  2 1x  = x- 2 
  2x – 1 = x2 – 4x + 4 
  x2 – 6x + 5 = 0 
Vậy phương trình có 2 nghiệm là: x1 = 1; x2 = 5 
* Sai lầm trong cách giải trên là: 
Học sinh không tìm điều kiện xác định của phương trình nên kết luận 
nghiệm của phương trình không chính xác (giá trị x = 1 không là nghiệm của 
phương trình) 
2.2. Không đặt điều kiện khi biến đổi tương đương: 
Ví dụ: Giải phương trình: 
 x + 2 - 2x - 6 = 2 (1) 
Học sinh giải: 
 (1)  x + 2 = 4 + 4 2 6x  +2x - 6 
  4 2x - 6 = 4 - x (3) 
 14 
Bình phương 2 vế ta có: 
 (3)  16 (2x - 6) = 16 - 8x + x2 
  32x - 96 = 16 - 8x + x2. 
  x2 - 40 + 112 = 0. 
 ' = 400 - 112 = 288 > 0  ' = 12 2 . 
  x1 = 20 + 12 2 ; x2 = 20 - 12 2 
Vậy nghiệm của phương trình (1) là: x = 20  12 2 . 
* Sai lầm trong cách giải là: 
+ Không tìm điều kiện của (1) là: x  3. 
+ Khi biến đổi tương đương đến phương trình (3), học sinh không đặt điều 
kiện 4 - x  0  x  4. 
+ Kết luận nghiệm không chính xác do không đặt điều kiện 
Chương III: KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÓ SO SÁNH VÀ ĐỐI CHỨNG 
1. Kết quả chung: 
 Sau khi học sinh được thực hành sáng kiến “Phương pháp giải phương trình vô 
tỉ”, đa số học sinh khá, giỏi không những nắm vững các dạng bài và phương pháp giải 
chúng mà còn biết vận dụng linh hoạt các phương pháp giải dạng bài này. 
2. Kết quả cụ thể: 
 Qua việc dạy chuyên đề về phương trình vô tỉ đối với học sinh nói chung và đội 
tuyển học sinh giỏi nói riêng, sau khi trắc nghiệm ở một số học sinh tôi đã thu được 
kết quả dưới đây: 
 - Học sinh không còn ngại khi gặp dạng toán giải phương trình vô tỉ. 
 - Một số học sinh đã thấy hứng thú hơn khi thực hiện bài toán giải phương trình 
đặc biệt là phương trình vô tỉ 
Qua việc kiểm tra đánh giá chất lượng sau 2 lần kiểm tra đối với 28 học 
sinh với 2 đề bài như sau: 
Đề 1: Giải các phương trình: 
 1. 3 1 2 3x x    
 (Trích đề thi vào 10 chuyên ĐHQG năm 2013) 
 2. 2 6x 9 2011x x    
 (Trích đề thi vào 10 tỉnh Tuyên Quang năm 2012 - 2013) 
 3. 1 (1 ) 1x x x x     
Đề 2: Giải các phương trình sau: 
 1. 1 5x 1 3x 2x      
 2. 2 1 2 1 2x x x x      
 15 
 3. 1 3x x    
Tôi đã có kết quả cụ thể như sau: 
Điểm < 5 5 - 6 7 8 - 10 Từ 5 - 10 
 SL % SL % SL % SL % SL % 
Chưa triển khai 
chuyên đề 
16 57,1 8 28,6 4 14,3 0 0 12 42,9 
Đã triển khai 
chuyên đề 
2 7,1 9 32,2 10 35,7 7 25 26 92,9 
* Nhận xét: Kết quả trên tôi thu được từ việc kiểm tra 28 học sinh trong đợt ôn 
tập thi vào 10 với chuyên đề giải phương trình vô tỉ sau khi các em đã được làm 
quen và trực tiếp học chuyên đề “Phương pháp giải phương trình vô tỉ”. Qua kết 
quả trên tôi nhận thấy sau khi học chuyên đề này thì việc giải phương trình vô tỉ 
không còn khó đối với học sinh đối tượng khá, giỏi, điều cần lưu ý ở đây là giáo 
viên cần giúp các em nắm được các dạng bài, phương pháp giải các dạng bài và 
biết cách nhận xét với mỗi bài toán để tìm ra cách giải phù hợp nhất. 
 16 
PHẦN KẾT LUẬN 
1. Kết luận chung: 
 Sau một thời gian tự nghiên cứu cùng với các phương pháp tìm đọc tài liệu tham 
khảo, sưu tầm các bài tập và kết hợp với thực tế giảng dạy tôi thấy rằng chuyên đề 
“Phương pháp giải phương trình vô tỉ” đã phần nào có nhiều tác dụng đối với học 
sinh lớp 9 cũng như đối với các giáo viên. Sau khi học xong chuyên đề này, đa số các 
em học sinh rất hứng thú học Toán, đặc biệt là dạng bài giải phương trình vô tỉ. Khi 
xây dựng đề tài này, tôi đã có gắng xây dựng một hệ thống kiến thức từ dễ đến khó, từ 
đơn giản đến phức tạp nhằm giúp học sinh có thể vận dụng một cách linh hoạt từng 
phương pháp cụ thể trong từng trường hợp nhất định. Bên cạnh đó, các ví dụ có thể 
giúp học sinh rèn kĩ năng, làm quen được với nhiều dạng bài tập khác nhau, các loại 
phương trình vô tỉ khác nhau, góp phần nhỏ bé trong sự nghiệp phát triển trí tuệ, tính 
cẩn thận, khoa học, năng lực nhận xét, phân tích, phán đoán tổng hợp kiến thức  
Tuy nhiên không phải đối với tất cả các đối tượng học sinh chúng ta đều có thể truyền 
tải các nội dung trên mà cần xác định đúng đối tượng để cung cấp kiến thức cơ bản 
phù hợp với trình độ của học sinh. 
 Khi giảng dạy chuyên đề này, giáo viên cần lưu ý: 
- Cần phân dạng phương trình vô tỉ và hướng dẫn các em phương pháp cơ bản để giải 
các dạng bài đó. 
- Những dạng bài tập giao cho học sinh phải thực tế, dễ hiểu, gợi mở giúp kích thích 
óc sáng tạo của học sinh, không quá trìu tượng, cao siêu 
- Hướng dẫn HS trước khi giải bài cần xác định rõ dạng của phương trình bằng cách 
phân tích bài toán. 
- Rèn kĩ năng giải phương trình vô tỉ cho học sinh thông qua nhiều dạng phương trình 
và nhắc nhở những sai lầm thường gặp. 
2. Đề xuất và kiến nghị: 
 Sau khi thực tế giảng dạy, tôi xin lưu ý với các đồng chí khi vận dụng đề tài trên 
cần: 
- Dạy cho học sinh hiểu chắc chắn các khái niệm về phương trình, đặc biệt là những 
khái niệm đơn giản và rất quan trọng như: các phép biến đổi tương đương phương 
trình, các hằng đẳng thức đáng nhớ, định nghĩa và công thức bỏ dấu giá