Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh giải tốt bài tập Đại số 9 – Phần phương trình bậc hai một ẩn Bằng Phương pháp thảo luận nhóm

Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh giải tốt bài tập Đại số 9 – Phần phương trình bậc hai một ẩn Bằng Phương pháp thảo luận nhóm

Trong thời gian học sinh thảo luận, giáo viên cần phải đi tới các nhóm quan sát, theo dõi, khuyến khích và giúp đỡ học sinh khi cần thiết, điều chỉnh, bổ sung để cuộc thảo luận đi đúng hướng, gợi ý khi cuộc thảo luận gặp khó khăn bế tắc, đồng thời nhắc nhở học sinh tập trung thảo luận, không nói chuyện, không làm việc riêng, đặc biệt là động viên những học sinh nhút nhát tham gia ý kiến thảo luận.

Sau khi các nhóm trình bày kết quả thảo luận, giáo viên phải là người trọng tài, chốt lại những kiến thức đúng- sai, cần bổ sung, tóm tắt, tổng hợp và liên kết các ý kiến của từng nhóm thảo luận theo thứ tự, để nêu bật được những nội dung cơ bản của bài học. Cần khen thưởng những nhóm thảo luận tốt, động viên khuyến khích để tạo hứng thú cho học sinh.

 

doc 19 trang Người đăng hungphat.hp Lượt xem 1871Lượt tải 1 Download
Bạn đang xem tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh giải tốt bài tập Đại số 9 – Phần phương trình bậc hai một ẩn Bằng Phương pháp thảo luận nhóm", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
, rõ ràng 
3.2. Giao nhiệm vụ thảo luận. 
 Yêu cầu nêu nhiệm vụ thảo luận phải ngắn gọn, rõ ràng, xác định rõ thời gian 
( thường từ 5 đến 7 phút), tùy vào bài tập chọn để thảo luận, không gian, địa điểm, phương tiện thảo luận, cách thức thảo luận cũng như trình bày, biểu đạt kết quả thảo luận. Để đảm bảo chất lượng của quá trình thảo luận cũng như chất lượng của giờ học, giáo viên nên hướng dẫn học sinh đọc trước bài và suy nghĩ về những vấn đề cần thảo luận. Điều đó giúp học sinh chủ động hơn trong thảo luận nhóm.
 Cụ thể, khi giải phương trình bậc hai một ẩn sau khi học sinh đã học hết chương “ Phương trình bậc hai một ẩn – Đại số 9 ”. Giáo viên chia nhóm và yêu cầu các nhóm thảo luận và làm các dạng bài tập sau:
 Dạng 1: Phương trình dạng ax+ bx = 0 ( khuyết c )
 Bài 1: Giải phương trình: 
2x- 8x = 0
4x+ 9x = 0
120x+ 3x = 0
 Học sinh thảo luận nhóm và đưa ra các phương pháp giải cho từng bài tập, các em dễ dàng nhận thấy phương pháp giải là đưa về phương trình tích mà các em đã biết cách giải 
 a. 2x- 8x = 0 2x ( x – 4 ) = 0 x = 0 hoặc x = 4 
 Qua quá trình giải một vài học sinh có thể đưa ra phương pháp giải như chuyển vế rất rườm rà và phức tạp, thậm chí tìm ra nghiệm không chính xác như sau: 
 2x- 8x = 0 2x= 8x x = = 4x 	
Học sinh thảo luận nhóm sẽ chỉ ra cái sai của bạn trong bài giải và giúp bạn có phương pháp giải đúng.
 b. 4x+ 9x = 0 x ( 4x + 9 ) = 0 x = 0 hoặc x = - = - 
 c. 120x+ 3x = 0 3x ( 40x + 1 ) = 0 x = 0 hoặc x = -
 Bài 2: Giải phương trình: 
 0,2x+ 0,5x = 0
b. x+ 3x = x+ 0,5x
c. x- 3x = 0
Đối với các bài tập phần này hệ số toàn là số lẻ, kể cả phân số hay căn bậc hai, quá trình thảo luận nhóm số học sinh khá giỏi sẽ giúp số học sinh trung bình và yếu hơn biết cách đưa hệ số về số nguyên hay làm mất mẫu ở phân số để đưa về dạng định nghĩa: ax+ bx = 0 rồi giải. Với dạng bài tập này khi chia nhóm cần lưu ý chia đều số học sinh khá giỏi về các nhóm. 
 a. 0,2x+ 0,5x = 0 2x+ 5x = 0 x ( 2x + 5 ) = 0 hoặc x = - 
 b. x+ 3x = x+ 0,5x 5x+ 30x = 6x+ 5x 
 5x+ 30x - 6x- 5x = 0
 - x+ 25x = 0 x ( - x + 25 ) = 0 
 x = 0 hoặc x = 25 
 c. x- 3 x = 0 x (x - 3 ) = 0 x = 0 hoặc x = 
 Dạng 2: Phương trình dạng ax+ c = 0 ( khuyết b ) 
 Phương pháp : Nếu a, c cùng dấu thì phương trình vô nghiệm.
 Nếu a, c trái dấu thì phương trình có hai nghiệm x = 
 a. - 4x+ 81 = 0 
 b. x+ 6 = 0 
 c. 4,8x- 0,768 = 0 
 . d. (x + 1 ) -2x = 0
Trong bài này có nhiều học sinh nhầm tưởng cách giải như sau: 
 b. x+ 6 = 0 2x+ 18 = 0 x= = 9 x = 3 ( x 0 )
 d. (x + 1 ) -2x = 0 ( x + 1 )2 = 2 x x = + 1.
Học sinh thảo luận nhóm sẽ chỉ ra cái sai của bạn trong bài giải và giúp bạn có phương pháp giải đúng. 
 a. - 4x+ 81 = 0 x2 = 
 b. x+ 6 = 0 2x+ 18 = 0. Ta thấy a =2, b = 0, c = 18 a và c cùng 
 dấu dương phương trình vô nghiệm. 
 c. 4,8x- 0,768 = 0 x= = 0,16 x = = 0,4
 d. (x + 1 ) -2x = 0 2x+ 2x + 1 – 2x = 0 2x+ 1 = 0
 ( a = 2 , b = 0 , c = 1) a và c cùng dấu dương phương trình vô nghiệm.
 Dạng 3: Phương trình dạng ax+ bx + c = 0 ( a 0 ) 
Phương trình bậc hai đầy đủ các hệ số a, b, c nên phương pháp chủ yếu của phương trình bậc hai này là ta áp dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn, hoặc Hệ thức Vi Ét để nhẩm nghiệm. 
Bài tập 1: Giải phương trình: 
 a. 3x- 4x + 3 = 0 
 b. 5x+ 2x + 2 = 0 
 c. x+ 7x + = 0 
 - Đối với phương trình bậc hai đầy đủ khi có tham số m học sinh rất dễ mắc sai lầm, mà dạng toán này lại rất hay thi trong các kỳ thi vượt cấp.
 Ví dụ: Cho phương trình : 
 mx- 2( m – 1 )x + ( m + 1 ) = 0 ( m là tham số ) ( 1 )
Giải phương trình với m = - 2 
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
3.3. Vai trò của nhóm trưởng:
 Đối với dạng bài tập này khi các nhóm thảo luận thì vai trò của nhóm trưởng hết sức quan trọng, Nhóm trưởng là người phải xác định đúng mục tiêu của phần thảo luận, hướng dẫn, phân công nhiệm vụ cho các thành viên nhóm.Trong buổi thảo luận, người nhóm trưởng phải điều động được tất cả các nhóm viên tham gia tích cực vào buổi thảo luận, nhóm trưởng phải biết lắng nghe, khuyến khích các bạn rụt rè, ngăn chặn những người nói nhiều, theo dõi và quan sát phản ứng của từng người để điều chỉnh buổi thảo luận. Khai thác nội dung bằng cách đặt câu hỏi kích thích tư duy của từng người. Phát hiện những mâu thuẫn trong cách trình bày của mỗi thành viên, tổng kết lại ý kiến của nhóm ở cuối buổi thảo luận. Nói chung, nhóm trưởng là người có vai trò quan trọng, nhưng không phaỉ là người quyết định thành công cho việc thảo luận của nhóm. Để lựa chọn một học sinh làm nhóm trưởng thì giáo viên phải biết quan sát thái độ và cách làm việc của từng học sinh để lựa chọn. đồng thời tạo điều kiện để mọi học sinh đều có cơ hội thể hiện vai trò và rèn luyện năng lực tổ chức của mình, giáo viên có thể chỉ định hoặc cho học sinh chọn cử nhóm trưởng luân phiên nhau trong nhóm của mình. 
 Khi thảo luận nhóm trưởng cần tinh tế dành câu dễ cho số học sinh trung bình và yếu hơn làm để khích lệ tinh thần học và làm bài, khuyến khích các bạn rụt rè. Như ở ví dụ trên câu a nên ưu tiên cho đối tượng này: 
 Giải ví dụ trên: Từ phương trình : 
 mx- 2( m – 1 )x + ( m + 1 ) = 0 ( m là tham số ) ( 1 )
 a. Với m = - 2 ta có : 
 - 2x+ 6x – 1 = 0 2x- 6x + 1 = 0 
 = 3- 2.1 = 7 ; . 
 Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. 
 x1 = . 
 Giải xong ý này cùng với sự khích lệ của bạn bè các em sẽ phấn chấn, tự tin, hứng thú, tập trung học bài hơn.
 Câu b và c mức độ cao hơn vì liên quan đến điều kiện, nên cả nhóm tập trung thảo luận và đi đến thống nhất kết quả: 
 b. Điều kiện để ( 1 ) có hai nghiệm phân biệt là : 
 = ( m – 1 )2 – m ( m + 1) = - 3m + 1. 
 > 0 m < . 
Vậy phương trình ( 1 ) có hai nghiệm phân biệt 0 m < 
 c. Với m = 0 Phương trình ( 1) có dạng 2x + 1 = 0
 có nghiệm duy nhất x = 
Với m 0 Phương trình ( 1) là phương trình bậc hai, có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi = 0 m = 
 Vậy phương trình ( 1 ) có nghiệm duy nhất 
3.4. Vai trò của giáo viên:
Trong thời gian học sinh thảo luận, giáo viên cần phải đi tới các nhóm quan sát, theo dõi, khuyến khích và giúp đỡ học sinh khi cần thiết, điều chỉnh, bổ sung để cuộc thảo luận đi đúng hướng, gợi ý khi cuộc thảo luận gặp khó khăn bế tắc, đồng thời nhắc nhở học sinh tập trung thảo luận, không nói chuyện, không làm việc riêng, đặc biệt là động viên những học sinh nhút nhát tham gia ý kiến thảo luận.
Sau khi các nhóm trình bày kết quả thảo luận, giáo viên phải là người trọng tài, chốt lại những kiến thức đúng- sai, cần bổ sung, tóm tắt, tổng hợp và liên kết các ý kiến của từng nhóm thảo luận theo thứ tự, để nêu bật được những nội dung cơ bản của bài học. Cần khen thưởng những nhóm thảo luận tốt, động viên khuyến khích để tạo hứng thú cho học sinh. 
 - ở bài tập vừa nêu trên: Sau khi các nhóm giải xong, nạp kết quả GV nhận xét và đi đến kết luận nhắc nhở học sinh cần lưu ý: với bài tập này các em thường mắc sai lầm cho rằng điều kiện để ( 1) có hai nghiệm phân biệt chỉ là > 0 . Chỉ được xét khi phương trình là bậc hai, tức là khi m 0. 
Rõ ràng với m = 0, ( 1 ) là phương trình bậc nhất một ẩn, không thể có hai nghiệm phân biệt.
 Các em cũng cần phân biệt nghiệm duy nhất với nghiệm kép, ở câu c, với m = 0 hoặc m = ( 1 ) có nghiệm duy nhất. với m = thì ( 1 ) có nghiệm kép, còn với m = 0 thì ( 1 ) có nghiệm duy nhất nhưng không là nghiệm kép. 
Giáo viên cũng cần nhắc các em, đối với dạng bài tập cho dưới dạng tham số m, 
n, a, b, mà không cho biết giá trị của nó thì ta xem như số bình thường để giải. 
 Giáo viên có thể chuẩn bị một số bài tập ở mức độ cao hơn SGK để học sinh làm quen và tiếp cận, đặc biệt là chuẩn bị cho kỳ thi cuối cấp và kỳ thi học sinh giỏi. Học sinh thảo luận và nêu phương pháp giải như trình tự nêu trên.
 Một số bài tập nâng cao:
 Đối với phần bài tập này, đòi hỏi học sinh phải vận dụng nhiều kiến thức tổng hợp, chính vì vậy yêu cầu học sinh phải nắm kiến thức cơ bản thật chắc.
Bài 1: Với giá trị nào của m thì : 
a . ( m + 2 )x- 3 ( m – 1 )x – 15 = 0 có một nghiệm x = 1
b. 4 x- 2 ( 4m + 1 )x – ( m – 1 ) = 0 có một nghiệm x = - 3 
 Giải: 
a. Vì x = 1 là một nghiệm của phương trình nên ta có:
 ( m + 2 ). 1- 3 ( m – 1 ). 1 – 15 = 0 m + 2 – 3m + 3 – 15 = 0
 - 2m – 10 = 0 m = - 5 
 Vậy với m = - 5 thì phương trình có nghiệm x = 1 
b. Vì x = - 3 là một nghiệm của phương trình nên ta có: 
 4. ( - 3 )- 2( 4m + 1 ).( - 3 ) – ( m – 1 ) = 0 36 + 24m + 6 – m + 1 = 0
 23m + 43 = 0 m = - 
 vậy với m = - thì phương trình có nghiệm x = - 3
Bài 2: Xác định m để phương trình sau có nghiệm : 
a. 4 x+ 4 ( m – 1 )x + m+ 1 = 0. 
b. 
 Giải: a. 4 x+ 4 ( m – 1 )x + m+ 1 = 0.
 = 4 ( m – 1 )- 4 ( m+ 1 ) = - 8m 
 phương trình có nghiệm khi 0 - 8m 0 m 0
b. ĐK : x 0
 Phương trình đã cho tương đương với 9x+ mx = 7mx - m+ 2m
 9x- 6mx + m- 2m = 0 
 = ( 3m ) - 9 (m- 2m ) = 18m
 Để phương trình có nghiệm thì 0 18m 0 m 0 
Bài 3: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 
 ( m – 3 )x - 2mx + m + 4 = 0 
Giải: = m - ( m - 3 ) ( m + 4 ) = - m + 12
 Để phương trình có nghiệm thì > 0 - m + 12 > 0 m < 12 và m 3
Bài 4: Xác định m để phương trình sau có nghiêm kép và tìm số nghiệm kép đó. 
 ( m + 7 )x - 2 ( m – 9 )x + m – 15 = 0
Giải: = - 10m + 186 vậy để phương trình có nghiệm kép thì = 0. 
 - 10m + 186 = 0 m = x = x = 
Bài 5: Cho phương trình : mx+ ( 2m + 1 )x + m – 5 = 0 ( m 0 ) 
 a. Giải và biện luận theo m phương trình trên. 
 b. Tìm giá trị của m biết rằng phương trình trên có một nghiệm x = 1 tìm 
 nghiệm còn lại. 
 Giải: 
 a. = 24m + 1 ; Nếu > 0 24m + 1 > 0 m > - 
 phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
 x = ; x = 
 Nếu = 0 24m +1 = 0 m = - phương trình có nghiệm kép
 x = x = - = 11 
 Nếu < 0 24m + 1 < 0 m < - thì phương trình đã cho vô nghiệm. 
 c. Vì x = 1 là một nghiệm của phương trình đã cho nên : 
 m. 1+ ( 2m + 1 ). 1 + m – 5 = 0 4m – 4 = 0 m = 1
 với m = 1 thì nghiệm còn lại là = - 4	
 Một số bài tập luyện thi:
Bài 1: Cho phương trình : ( 2m – 1 )x- 2 ( m + 4 )x + 5m + 2 = 0 ( m ) 
 Giải phương trình với m = - 2 
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
c. Xác định m để phương trình có nghiêm kép. 
 ( Cho học sinh giải )
Đáp án: 
 a. m = 1 thì x = 5 - ; x = 5 + 
 b. > 0 - 1 < m < 2
 c. = 0 m = -1 Hoặc m = 2
Bài 2: Cho phương trình : ( m – 4 )x- 2mx + m – 2 = 0 ( x là ẩn )
 Giải phương trình với m = 3
Tìm m để phương trình có nghiệm x = tìm nghiệm còn lại.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Đáp số: 
 a. Với m = 3 thì x = - 3 + hoặc x = - 3 - 
 b. m = 7 ( 2 + )
 c. m > 
Bài 3: Cho phương trình : x- 2 ( m + 1 )x + 4m – 3 = 0 	
Chứng tỏ rằng phương trình trên luôn luôn có nghiệm với mọi m. 
Giải phương trình trên. 
Đáp số: 
 a. = ( m – 2 ) 0 với mọi m. 
 b. x = 2m – 1 hoặc x = 3 
Bài 4: ( Đề luyện thi vào lớp 10 PTTH ) 
 Cho phương trình : x- 2( m + 1 )x + 2m +3 = 0 
 a. Giải phương trình với m = - 3
 b. Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x ; x thỏa mãn 
 (x- x)= 4 
Giải : 
Với m = -3 phương trình ( 1 ) có dạng : x+ 4x – 3 = 0, nghiệm phương trình là x = - 2 
 b. Để phương trình ( 1 ) có nghiệm thì = m- 2 0 m 
 hoặc m - 
 (x- x)= 4 m = 2 thỏa mãn điều kiện có nghiệm.
 Bài 5: ( Đề thi học sinh giỏi tỉnh năm học 2010 – 2011 ) 
 Cho phương trình : x- 2 mx + 2m – 1 = 0 
 Chứng minh phương trình trên luôn luôn có hai nghiệm x ; x với mọi m.
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = khi m thay đổi.
Giải : Ta có: . = ( m – 1 ) 0 với mọi m nên phương trình có hai nghiệm với mọi m.
 Theo định lý Vi Ét ta có: x + x= 2m 
 x . x = 2m – 1 
 P = = 1- 1
 Vậy giá trị lớn nhất của P = 1 khi m = .
4. Kết quả.
 Qua việc áp dụng đề tài vào nghiên cứu và theo dõi kết quả học tập của các em khi học xong chương này đã thu được kết quả cụ thể như sau: 
 1. Chất lượng đại trà: 	
 Chưa áp dụng SKKN đối với khối lớp 9 năm học 2013 – 2014.
Năm
Lớp
Sĩ sô
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
2013-
2014
Khối 9
52
10
19,2
14
26,9
22
42,3
6
11,5
0
0
Đã áp dụng SKKN đối với khối lớp 9 năm học 2014 – 2015.
Năm
Lớp
Sĩ sô
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
2014-
2015
Khối 9
48
11
22,9
17
35,4
18
37,5
2
4,2
0
0
1. Chất lượng học sinh giỏi: 
 Nhờ vận dụng các phương pháp dạy học đổi mới trên đặc biệt là phương pháp thảo luận nhóm, đã phát huy được tính tích cực sáng tạo và giờ học sôi nổi, học sinh say mê môn học hơn, nhận thấy môn toán không còn là môn học khó nữa, qua vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 đã khẳng định vị trí qua thành tích cụ thể : 
 Năm học 2012 – 2013 đã có 5 học sinh đạt giải thi học sinh giỏi máy tính bỏ túi cấp huyện vì đã thực hiện vận dụng SKKN vào công tác bồi dưỡng HSG và 1 học sinh đạt học sinh giỏi cấp tỉnh.
 Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện năm nay đã có 2 học sinh đạt giải và lọt vào vòng đi dự thi toán học sinh giỏi cấp tỉnh. 
 PHẦN III. KẾT LUẬN
Qua việc vận dụng Phương pháp thảo luận nhóm, có kết hợp phê bình, đánh giá, tranh luận, nghiên cứu, xử lí tình huống, tôi nhận thấy đây là một trong những phương pháp dạy học tích cực, có hiệu quả trong dạy học môn toán ở Trường THCS hiện nay: vì môn toán là bộ môn học rất sôi động, mang tính thông minh và sáng tạo.
- Sử dụng phương pháp thảo luận nhóm đã tạo ra một môi trường học tập thân thiện tích cực, có sự tương tác giữa học sinh với giáo viên, giữa các học sinh với nhau. Các em được tham gia một cách chủ động, tích cực vào quá trình học tập trên cơ sở của sự hợp tác, chia sẻ kinh nghiệm, học hỏi lẫn nhau, các em được cùng nhau xây dựng kế hoạch, cùng chuẩn bị, thực hiện và đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập được giao. Các em được tự do bày tỏ quan điểm, ý kiến cá nhân về vấn đề đang học, được nêu những băn khoăn thắc mắc, được đặt câu hỏi cho thầy, cho bạn, được trao đổi , tranh luận, học hỏi những kinh nghiệm, những ý kiến, quan điểm, thông tin từ những người bạn học, vừa củng cố kiến thức đồng thời làm phong phú hơn vốn tri thức của mình, từ đó có thể phát hiện và chiếm lĩnh nội dung bài học một cách hứng thú và sâu sắc hơn. Vì vậy mà kết quả học tập của các em ngày càng được nâng cao và có sự đồng đều hơn. 
-Từ quá trình áp dụng SKKN vào dạy học trong hoạt động học tập theo nhóm, tôi nhận thấy tiết học toán sôi động, học sinh cùng làm việc tích cực, tính cách và năng lực của mỗi học sinh được bộc lộ rõ nét , các em có điều kiện để thể hiện, phát huy những ưu điểm trước tập thể, cũng như khắc phục,điều chỉnh được những nhược điểm của mình. Nhiều em đã có sự tiến bộ rõ rệt, tình bạn, ý thức tổ chức kỉ luật, ý thức trách nhiệm với tập thể và tinh thần tương trợ hợp tácđược phát triển, tạo ra mối quan hệ gần gũi, cởi mở, đoàn kết, tin cậy và tôn trọng giữa các học sinh với nhau trong học tập, góp phần nâng cao hiệu quả,chất lượng giảng dạy và học tập.
 Bản thân rất mong được PGD cung cấp tên một số tài liệu chuẩn, thiết thực về 
môn toán và một số đề tài được xếp giải cao cấp huyện và tỉnh về các nhà trường qua hộp thư điện tử từ các trường để tôi cũng như các giáo viên được tham khảo và học hỏi kinh nghiệm.
 Trên đây là những kinh nghiệm mà tôi đã rút ra trong quá trình dạy học, tuy nhiên không tránh được những sai sót, tôi rất mong được sự góp ý chân thành của quý thầy cô và đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn. 
 Cẩm tân, ngày 20/ 03/ 2015
 Tác giả
 Phạm Thị Huyền 
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình tự viết, không sao chép nội dung của người khác, nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
SGS, SGV toán 9
Sách ôn thi vào lớp 10.
Sách nâng cao và bồi dưỡng Đại số 9.
Các đề thi vào lớp 10 và thi học sinh giỏi các cấp. 
MỤC LỤC
TT
Tên đề mục
Trang
1
Phần I: Đặt vấn đề
1
2
Phần II: Nội dung 
3
3
Cơ sở lý luận của vấn đề cần nghiên cứu
3
4
Thực trạng của vấn đề 
3
5
Các nội dung, biện pháp tiến hành để giải quyết vấn đề
4
6
Kết quả 
12
7
Phần III: Kết luận
13
8
Kết luận chung
9
Tài liệu tham khảo
15
 DUYỆT SKKN CỦA HỘI ĐỒNG TRƯỜNG THCS CẨM TÂN
...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
DUYỆT SKKN CỦA PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO CẨM THUỶ
.............................................................

Tài liệu đính kèm:

  • docToan THCS – Phạm Thị Huyền – THCS Cẩm Tân – Cẩm Thủy-Thanh hoa.doc