Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán - Quỹ tích

i.Các bài toán tìm tập hợp điểm
Bài 1: Cho đường tròn (O; R) và tam giác cân ABC có AB = AC nội tiếp đường tròn (O; R) Kẻ đường kính AI. Gọi M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC. Mx là tia đối của tia MC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MC.
a) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của của góc BMx.
b) Gọi K là giao thứ hai của đường thẳng DC với đường tròn (O). Tứ giác MIKD là hình gì? vì sao?
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác MDK. Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ AC thì G luôn nằm trên một đường tròn cố định.
d) Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AD với đường tròn (O). P là giao điểm thứ hai của phân giác góc IBM với đường tròn. Chứng minh rằng, đường thẳng DP luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung nhỏ AC.
Hướng dẫn:
a) Góc AMB = (1/2)sđAB (góc nội tiếp (O) chắn AB )
Góc AMx = 180độ - Góc AMC = 180độ - (1/2)sđcungABC = (1/2)sđcungAC =(1/2)sđcungAB 
vậy: Góc AMB = Góc AMx hay MA là tia phân giác của Góc BMx
b) +Tam giác MCD cân => Góc MCD = Góc MDC = (1/2)Góc BMC ( góc ngoài của tam giác)
lại có Tam giác ABC cân => I là điểm chính giữa của cung BC => Góc IMC = Góc IMB = (1/2)Góc BMC
vậy Góc MCD = Góc IMC => IM song song với CD
 + Góc MCD = Góc MDC = Góc BMI => BI = MK =>Góc MIK = Góc IMB => IK song song với MD
Vậy MIKD là hình bình hành.
c) D thuộc đường tròn (A; AC)
Gọi N là điểm trên AI sao cho NA = (1/3)AI.=> NG = (2/3)AD = (2/3)AC = hs
=> G thuộc đường tròn (N; (2/3)AC)
----------------------------
Bài 2: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O; R). Gọi D là điểm chính giữa của cung BC không chứa A. Vẽ đường tròn qua D và tiếp xúc với AB tại B. Vẽ đường tròn qua D và tiếp xúc với AC tại C. Gọi E là giao điểm thứ hai của hai đường tròn này.
a) Chứng minh 3 điểm B, C, E thẳng hàng.
b) Một đường tròn tâm K di động luôn đi qua A và D, cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng BM = CN.
c) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN.
Hướng dẫn:
a) + góc BED = góc DBx = góc ACB
 + góc CED = góc DCy = góc ABD 
=> góc BEC = gócABD + gócACD = 180 độ.
=> B, E, C thẳng hàng.
b) cung BD = cung DC => góc BAD = góc CAD => cung DN = cung DM
=> DM = DN 
cung BD = cung DC => DB = DC
góc DCN = góc DBM
=> Tam giác BMD = tam giác CND => BM = CN.
c) Tính được DI = 2KD sin2 (A/2) =>(DI/DK) =2 sin2(A/2) =hs
K thuộc trung trực của AD => I thuộc đường thẳng vuông góc với AD cắt AD tại P sao cho (DP/DA )=sin2(A/2)
-----------------------------------
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Các điểm M, N theo thứ tự chuyển động trên các cạnh AB, AC sao cho AM = CN.
a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định khác A.
b) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.
Hướng dẫn:
a) Đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN tại P 
=> tam giác AMP = tam giác CNP => PA = PC 
=> P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC => P cố định.
b) Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN nằm trên đường trung trực của AP.
------------------------------
Bài 4. Tìm quỹ tích đỉnh C các tam giác ABC có AB cố định, đường cao BH bằng cạnh AC.
Hướng dẫn:
Kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại A, trên đó lấy E sao cho AE = AB
=> tam giác ACE = tam giác BHA
=> góc ACE = 90 độ => C thuộc cung chứa góc 90 độ dựng trên AE.
Bài 5: Tứ giác lồi ABCD có AC cố định, góc A =450, góc B = góc C = 900.
a) Chứng minh rằng BD cố độ dài không đổi.
b) Gọi E là giao của BC và AD, F là giao của DC và AB. Chứng minh EF có độ dài không đổi.
c) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.
Hướng dẫn:
a) góc B = góc D = 90 độ => B, D thuộc đường tròn đường kính AC
góc A = 45 độ => BD = R = hs.
b) Tam giác CDE vuông cân => CD = ED
 tam giác ADF vuông cân => DA = DF
=>Tam giác ACD = tam giác FED
=> EF = AC = hs
c) Trung trực của AF cắt trung trực của AE tại J, cắt (O) tại H và I
=> H, I là điểm chính giữa của hai cung AC => H, I cố định.
góc HJI = góc BCD = 135 độ
=> J thuộc cung chứa góc 135 độ dựng trên HI.
----------------------------------
Bài 6: Cho đoạn thẳng AB cố định. Một điểm M di động trên đoạn AB. Dựng về cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB các hình vuông AMDE, MBGH. Gọi O, O' tương ứng là tâm các hình vuông trên.
a) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn OO'.
b) Chứng minh rằng AH và EG đi qua giao điểm N khác M của các đường tròn ngoại tiếp các hình vuông AMDE và MBGH.
c) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 7: Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại A và D có các đường kính AOB và AO'C vuông góc với nhau tại A. Một đường thẳng d đi qua A và cắt các nửa đường tròn không chứa điểm D của (O), (O') tương ứng tại các điểm M, N khác A.
a) Chứng minh tam giác ABM và tam giác CAN đồng dạng.
b) Tìm quỹ tích giao điểm P của OM và O'N khi d di động.
c) Tiếp tuyến M của (O) cắt AD tại I. Chứng minh rằng: IM2 = IA. ID.
d) Tìm vị trí của cát tuyến d để cho tiếp tuyến tại M của (O) và tiếp tuyến tại N của (O') cắt nhau tại một điểm thuộc đường thẳng AD.
d) Xác định vị trí của d sao cho tứ giác MNCB có diện tích lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó theo R và R'.
Hướng dẫn
a) Tam giác AMB và tam giác CAN đồng dạng
b) góc PMA + góc PNA = góc OAM + góc O'AN = 90 độ
=> góc OPO' =90 độ => P thuộc đường tròn đường kính OO'
c) Tam giác IMA và tam giác IDM đồng dạng
=> IM2 = IA.ID
d) tương tự câu c giả sử tiếp tuyến tại N của (O') cắt AD tại I' => I'M2 = I'A.I'D . Vậy I trùng I' IM = I'N I thuộc trung trực của NM
Vậy khi I là giao của AD và trung trực của MN thì tiếp tuyến tại M của (O) và tiếp tuyến tại N của (O') cắt nhau tại một điểm thuộc đường thẳng AD.
e) diện tích Tứ giác BMNC lớn nhất (SBMA +SANC)min (SBMA)min (BM.AM)min lại có: BM2 + AM2 = R2 vậy: BM.AM dấu bằng khi BM = AM d tạo với AB một góc 45 độ
Khi đó diện tích tứ giác BMNC là: .
Bài 8: Một điểm A đi động trên nửa đường tròn đường kính BC cố định. Đường thẳng qua C song song với BA cắt đường phân giác ngoài của góc BAC của tam giác ABC tại D. Tìm quỹ tích D.
Hướng dẫn
AD cắt (O) tại E => E cố định
lại có góc CDE = 45 độ
Vậy D thuộc cung chứa góc 45 độ dựng trên CE.
Bài 9: Cho đường tròn (O; R) cố định và đường thẳng d cắt (O; R) tại hai điểm A, B cố định. Một điểm M di động trên d và ở bên ngoài đoạn AB. Vẽ các tiếp tuyến MP và MN với (O; R). Gọi N, P là hai tiếp điểm.
a) Chứng minh rằng khi M di động, đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua hai điểm cố định.
b) Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
c) Trình bày cách dựng điểm M sao cho tam giác MNP là tam giác đều.
Hướng dẫn:
a) Giả sử (I) cắt AB tại H khác M => góc OHM = 90 độ => HA = HB hay H cố định. Vậy (I) đi qua O và H cố định.
b) IO = IH => I thuộc trung trực của OH.
 c) Tam giác MNP đều góc OMN = 30 độ OM = 2ON = 2R Vậy M thuộc (O; 2R)
Bài 10: Cho hình vuông ABCD cố định. Một điểm I di động trên cạnh AB (I khác A và B). Tia DI cắt tia CB tại E. Đường thẳng CI cắt đường thẳng AE tại M. Đường thẳng BM cắt đường thẳng DE tại F. Tìm quỹ tích điểm F.
Hướng dẫn:
Trên BC lấy G sao cho AI = BG => AI vông góc với ED
áp dụng định lí Meleneut trong tam giác AEB với 3 điểm thẳng hàng C, I, M có 
lại có thay vào (1) => => MB song song với AG hay góc DFB vuông
Vậy F thuộc đường tròn đường kính BD ( cung nhỏ AB ).
Bài 11: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định trên đường tròn. Điểm M lưu động trên tiếp tuyến xy tại A của (O; R). Qua M vẽ tiếp tuyến thứ hai với (O; R). Gọi tiếp điểm là B.
a) Tìm quỹ tích tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB.
b) Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác AMB.
Hướng dẫn:
a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB là đường tròn đường kính OM
=> E thuộc trung trực của OA
b) Tứ giác AOBH là hình thoi => AH = R. Vậy H thuộc đường tròn (A; R) ( thuộc nửa mặt phẳng bờ xy chứa B)
Bài 12: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Đường phân giác của góc A cắt đường tròn tại điểm D. Một đường tròn (L) thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm A và D. (L) cắt hai đường thẳng AB, AC ở giao điểm thứ hai là M, N (có thể trùng với A).
a) Chứng minh rằng: BM = CN.
b) Tìm quỹ tích trung điểm K của MN. 
Hướng dẫn:
a) góc BAD = góc DAN => DB = DC; DM = DN
lại có góc MBD = góc NCD; góc BMD = góc NCD => góc BDM = góc CDN
vậy tam giác BDM = tam giác CDN => BM = CN.
b) Tương tự câu c bài 2
Bài 13: Cho góc vuông xOy. Một chiếc êke ABC trượt trong mặt phẳng của góc xOy sao cho đỉnh B di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh C di chuyển trên cạnh Oy và đỉnh góc vuông A di chuyển trong góc xOy. Tìm quỹ tích điểm A.
Hướng dẫn:
Tứ giác OBAC nội tiếp => góc yOA = góc CBA = 
Vậy A thuộc tia tạo với tia Oy một góc ( phần nằm trong góc xOy )
Bài 14: Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm P cố định ở ngoài đường tròn. Vẽ tiếp tuyến PA và cát tuyến PBC bất kì (A, B, C trên (O; R)). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Khi cát tuyến PBC quay quanh P.
a) Tìm quỹ tích điểm đối xứng của O qua BC.
b) Tìm quỹ tích điểm H.
Hướng dẫn:
a) ta có PO' = PO = hs; P cố định => O' thuộc đường tròn ( P; PO)
b) Tứ giác OO'HA là hình bình hành vẽ hình bình hành AOPK => K cố định. => HO'PK cũng là hình bình hành => HK = O'P = OP = hs. Vậy H thuộc đường tròn (K; OP).
Bài 15: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Vẽ đường thẳng d quay quanh O cắt hai cạnh AD và BC lần lượt tại E và F ( E và F không trùng với các đỉnh của hình vuông). Từ E, F lần lượt vẽ các đường thẳng song song với DB, AC chúng cắt nhau tại I.
a) Tìm quỹ tích I.
b) Từ I vẽ đường thẳng vuông góc với EF tại H. Chứng tỏ H thuộc một đường cố định và đường thẳng IH đi qua một điểm cố định. 
Bài 16: Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm P di động trên cạnh BC. Vẽ PQ song song với AC ( Q thuộc AB), vẽ PR song song với AB ( R thuộc AC). Tìm quỹ tích các điểm D đối xứng với P qua QR.
Bài 17: Cho góc vuông xOy. Các điểm A và B tương ứng thuộc tia Ox, Oy sao cho OA = OB. Một đường thẳng d đi qua A và cắt OB tại M nằm giữa O và B. Từ B hạ đường thẳng vuông góc với AM cắt AM tại H và cắt đường thẳng OA tại I. 
a) Chứng minh rằng OI = OM và tứ giác OMHI nội tiếp.
b) Gọi K là hình chiếu của O lên BI. Chứng minh rằng OK = HK.
c) Tìm quỹ tích điểm K khi M di động trên đoạn OB.
Bài 18: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) và M di động trên cung BC.
a) Trên tia đối của tia CM, lấy đoạn CE = MB. Tìm tập hợp các điểm E khi M di động.
b) Trên tia đối của tia MC, lấy đoạn MF = MB. Tìm tập hợp các điểm F khi M di động.
Bài 19: Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến (d) bất kì qua B cắt (O0 tại C và (O') tại C'. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn CC' khi d quay quanh B.
Bài 20: Cho hai đường thẳng xx' và yy' vuông góc với nhau tại O và một điểm P cố định. Một góc vuông đỉnh P quay quanh P. các cạnh của góc vuông này cắt xx' tại A và yy' tại B. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB.
Bài 21: Trên mỗi bán kính OM của đường tròn (O) lấy đoạn OI bằng khoảng cách từ M đến đường kính cố định AB. Tìm tập hợp các điểm I.
Bài 22: Cho đường tròn (O) cố định và một dây AB cố định. Trên cung nhỏ AB, ta lấy điểm C di động. Tìm tập hợp tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 23: Cho đường tròn (O) và một dây AB cố định. Kể một dây AC. Trên đường thẳng AC lấy hai điểm M, M' sao cho CM = CM' = CB, M nằm ngoài đường tròn. Tìm tập hợp các điểm M và M' khi C vạch cung AB.
Bài 24: Cho đường tròn (O; R), 2 điểm B, C cố định trên (O) và một điểm A di động trên (O). Tìm tập hợp các trực tâm H của tam giác ABC.
Bài 25: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M trong mặt phẳng sao cho hình chiếu của M trên ba cạnh của tam giác là ba điểm thẳng hàng.
Bài 26: Cho đoạn thẳng AB và M là điểm tuỳ ý trên đoạn AB. Dựng trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB các hình vuông ANCD và BMEF. Các đường tròn ngoại tiếp chúng tâm P và Q cắt nhau tại M và N.
a) Chứng minh rằng: AE, BC đi qua N.
b) Chứng minh rằng: MN đi qua một điểm cố định khi M di động.
c) Tìm tập hợp trung điểm I của PQ khi M di động.
Bài 27: Cho đường tròn (O; R) và một điểm P cố định trong đường tròn không trùng với O. Qua P dựng dây cung APB, các tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại M. Tìm tập hợp các điểm M khi dây AB quay quanh P.
Bài 32: Hai đường tròn (O) và (O') giao nhau tại A và B. Một cát tuyến di động qua A cắt (O) tại C và (O') tại D. Tìm tập hợp tâm I của các đường tròn nội tiếp tam giác BCD.
Bài 33: Cho tam giác cân ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có AB = AC = 
a) Tính độ dài BC theo R
b) M là một điểm di động trên cung nhỏ AC, đường thẳng AM cắt đường thẳng BC tại D. Chứng minh rằng AM.AD luôn luôn là hằng số
c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD di động trên một đường cố định khi M di động trên cung nhỏ AC.
Hướng dẫn:
a) BC là đường kính của (O).
b) Tam giác AMC đồng dạng với tam giác ACD => 
AM.AD = AC2 = R.
c) góc ACM = góc MDC = 1/2 sđ cung CM => AC là tiếp tuyến của ( I ) => IC vuông góc với AC cố định => I thuộc đường thẳng qua C và vuông góc với CA. 
Bài 34: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Vẽ đường thẳng (d) quay quanh O cắt AD, BC tại E, F. Từ E, F lần lượt vẽ các đường thẳng song song với DB, AC chúng cắt nhau tại I.
a) Chứng minh rằng I thuộc một đường thẳng cố định
b) Từ I kẻ IH vuông góc với EF tại H. Chứng minh H thuộc một đường cố định và IH đi qua một điểm cố định.