SKKN Trao đổi cách sử dụng một vài kí hiệu toán học thay cho ngôn ngữ trong giải bài tập

 dung ngắn gọn, xuyên suốt cấp học, trình bày dễ hiểu, dễ vận dụng. Đảm bảo tính thực tiễn, đem lại lợi ích thực sự cho người học. 
+ Bộ môn Toán luôn là môn học đã và đang được xã hội quan tâm. Xu thế học sinh hiện nay thích khoa học tự nhiên hơn khoa học xã hội. 
+ Hiện nay công nghệ thông tin phát triển, sân chơi dành cho bộ môn Toán học ngày càng rộng. Ngoài cuộc thi học sinh giỏi văn hoá môn Toán, còn có cuộc thi: “Giải toán trên máy tính cầm tay CasiO; Giải toán trên mạng Internet; Toán học tuổi thơ”, ...
- Nguyên nhân dẫn đến mặt hạn chế, mặt yếu của đề tài là: 
+ Kí hiệu toán học quá nhiều, số lượng công thức thức toán học cũng không hẳn là ít. Ngôn ngữ Việt nam lại phong phú đa dạng.
+ Đề tài đòi hỏi người học phải có trí nhớ tốt, ghi nhớ và học thuộc nhiều công thức, tư duy cao, phối hợp giữa vận dụng kí hiệu, ngôn ngữ và công thức một cách chặt chẽ logic. 
+ Hiện nay học sinh ít học lí thuyết, ít ghi nhớ công thức, hiểu và sử dụng kí hiệu toán học không chắc chắn. Tình trạng “học vẹt” vẫn còn nhiều. Ngôn ngữ cụt, lập luận thiếu căn cứ khoa học, sử dụng kí hiệu toán học một cách máy móc, ... Bởi trong suy nghĩ của học sinh: Cần ngôn ngữ đã có chị “Google”, nếu tính toán thì đã có máy tính cầm tay, điện thoại di động, ... 
II. 3. Các giải pháp, biện pháp:
a. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp: Thực ra, việc dùng kí hiệu thay cho ngôn ngữ trong học tập và giải bài tập và ngược lại là việc làm muôn thuở của người học sinh và công việc thường ngày của mỗi giáo viên chúng ta. Vận dụng một cách khéo léo, hợp lý, khoa học giữa ngôn ngữ nói và ngôn ngữ viết góp phần đem lại thành công nâng cao hiệu quả dạy – học. Đây là việc làm mang tính phổ biến, được sử dụng rộng rãi trong tất cả các môn học nói chung và môn Toán học nói riêng. Với bộ môn Toán, nếu học sinh biết sử dụng kí hiệu toán học thay cho ngôn ngữ trong việc ghi nội dung bài học, ghi đề bài tập thì xem như đã thành công được một nửa yêu cầu của bài. Tuy nhiên với đề tài này, bản thân tôi chỉ đơn cử một vài kí hiệu toán học thông thường, phổ biến, hay sử dụng trong việc dạy – học lý thuyết cũng như giải bài tập đối với chương trình cấp trung học cơ sở mà học sinh và ngay cả giáo viên chúng ta vẫn thường mắc sai lầm khi vận dụng. Đó là các kí hiệu: >; < ; ;. Hy vọng sau khi trao đổi bản thân lại được tích thêm chút kinh nghiệm quý báu từ đồng nghiệp để việc dạy học ngày một tốt hơn, góp phần nâng cao chất lượng bộ môn toán và nghiệp vụ chuyên môn cho bản thân. 
 Để đạt được mục tiêu nhiệm vụ đề tài nêu ra, mỗi giáo viên chúng ta cần có sự phối hợp chặt chẽ, trước khi dạy bài tập thuộc đơn vị kiến thức nào cũng cần cho học sinh điểm lại lý thuyết của đơn vị kiến thức đó. Đặc biệt ôn lại các kí hiệu toán học, các kiến thức liên môn, tích hợp cần hỗ trợ cho việc giải bài tâp. Chọn lọc, sắp xếp hệ thống bài tập theo từng thể loại theo chuỗi bài logic. Nâng dần khả năng sử dụng kí hiệu tuỳ theo từng đối tượng học nhằm giúp học sinh dễ hiểu, dễ ghi nhớ, nắm chắc kiến thức để từ đó khích lệ các em, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong việc sử dụng kí hiệu để giải các dạng bài tương tự hoặc các dạng bài tập có một số dự kiện thay đổi. Hơn thế nữa phải giúp học sinh luôn có ý thức làm chủ kí hiệu toán học, phát huy tối đa tác dụng và hiệu quả của kí hiệu toán học trong giải bài tập. 
b. Nội dung và cách thức thực hiện: 
b.1: Ý nghĩa và tác dụng của một số kí hiệu Toán học: 
- Kí hiệu “” : Thường được dùng diễn đạt thay cụm từ “Tương đương” hoặc “khi và chỉ khi”, tác dụng diễn đạt nội dung nào đó mang tính hai chiều. 
- Kí hiệu “; ”: Thường được dùng để thay thế cho từ “ và; hoặc”, tác dụng diễn tả một nội dung đồng thời có nhiều điều kiện, chỉ lấy một trong các điều kiện của nội dung nào đó. 
- Kí hiệu “ ”: Thường dùng thay thế cho các cụm từ: “Thuộc, không thuộc, 
 con, không con ( hoặc chứa, không chứa ”; riêng kí hiệu “” cũng được hiểu và đọc là quan hệ bao hàm giữa các tập hợp.
- Kí hiệu “”: Tương ứng với từ viết tắt thông thường “Giao (hoặc cắt); vuông góc” 
- Kí hiệu “ >; < ; ;” tương ứng với từ “lớn, bé, bé hơn hoặc bằng (không dương), lớn hơn hoặc bằng (không âm). 
b.2: Ứng dụng của các kí hiệu toán học trong dạy – học:
Nói đến kí hiệu toán học hẳn ai cũng phải biết, bởi kí hiệu toán học là cẩm nang, là kho tàng kiến thức, luôn là hành trang trên cả chặng đường của người đi học và người dạy học. Biết nhiều hay biết ít, vận dụng thường xuyên hay không thường xuyên, có hiệu quả hay không hiệu quả ? phần lớn phụ thuộc vào sự am hiểu kí hiệu toán học của mỗi một người. Nhận định của bản thân, kí hiệu toán học có tầm quan trọng quý báu đối với cả người học và người dạy học. Nhờ có kí hiệu toán học và niềm đam mê nghiên cứu, tìm tòi ứng dụng của kí hiệu toán học thay cho ngôn ngữ mà hiệu quả học tập cũng như chất lượng giải bài tập ngày một cao. Vậy sử dụng kí hiệu toán học như thế nào và hiệu quả được đánh giá ra sao? Sau đây là một số ứng dụng kí hiệu toán học thông thường. 
 Kí hiệu “”: Đây là loại kí hiệu đơn giản, phổ biến, được sử dụng thường xuyên trong các phân môn toán nói riêng và tất cả các môn khoa học tự nhiên nói chung, dành cho nhiều đối tượng học sinh trong cùng cấp học. Tuy nhiên cách thức và mức độ sử dụng kí hiệu lại phụ thuộc vào từng nội dung đơn vị kiến thức, phụ thuộc vào yêu cầu của đối tượng học. 
Đối với lớp 6, lớp 7 kí hiệu “” thường dùng trong dạy – học định nghĩa toán học, hoặc các định lý có tính hai chiều( thuận, đảo) của nhau. Giúp học sinh có thể hiểu định nghĩa luôn có tính hai chiều. Có A suy ra B và ngược lại có B suy ra A thì ta có thể hiểu theo ngôn ngữ “ khi và chỉ khi” rồi dùng kí hiệu để viết A B. 
Đối với học sinh lớp 8, 9 Kí hiệu tương đương “” ngoài ý nghĩa diễn đạt định nghĩa hoặc định lý có tính chất thuận, đảo còn giúp ta có cơ sở trong biến đổi phương trình, bất phương trình. Thay ngôn ngữ trong diễn đạt nội dung với điều kiện cần và đủ. Rõ ràng trong minh hoạ nội dung bài học bằng cách chuyển đổi ngôn ngữ bởi kí hiệu toán học không chỉ giúp giáo viên và học sinh giảm bớt việc ghi chép dài dòng mà còn giúp học sinh biết ghi cô đọng kiến thức trọng tâm, dễ học, dễ nhớ, dễ vận dụng. 
Phối hợp với một số kí hiệu toán học đi kèm thì việc giảng bài của giáo viên,việc lĩnh hội kiến thức bài học, ghi chép nội dung bài học của học sinh không còn mấy khó khăn. Tạo được hứng thú học tập, thích tìm tòi khám phá ứng dụng của nhiều kí hiệu toán học hơn nữa. 
Ví dụ 1: Ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng thì ba điểm đó thẳng hàng. 
 Ba điểm A, B, C thẳng hàng thì ba điểm đó cùng nằm trên một đường thẳng.
-Minh họa: 
 	+ Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng. 
 + Ba điểm A, B, C thẳng hàng A, B, C d 
Ví dụ 2: M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi M nằm giữa A, B và M cách đều hai đầu đoạn thẳng AB. Điểm M nằm giữa A, B và M cách đều hai đầu đoạn thẳng AB thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB. 
- Minh hoạ: 
+ M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi M nằm giữa A, B và M cách đều hai đầu đoạn thẳng AB. 
+ M là trung điểm của đoạn thẳng AB 
 Ví dụ 3: Tam giác ABC cân tại A khi có hai cạnh AB, AC bằng nhau. Nếu ABC có cạnh AB và AC bằng nhau thì tam giác ABC cân tại A
-Minh hoạ: 	+ ABC cân tại A khi và chỉ khi cạnh AB và cạnh AC bằng nhau. 
 	 +ABC cân tại A AB = AC 
Ví dụ 4: Tam giác cân thì có hai góc đáy bằng nhau. Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó cân. 
 Minh hoạ: Tam giác ABC cân tại A khi và chỉ khi góc B và góc C bằng nhau. 
 Minh họa: ABC cân tại A 
 	Ví dụ 5:Trong một tam giác vuông, bình phương cạch huyền bằng tổng các bình phương hai cạnh góc vuông. Nếu một tam giác có bình phương độ dài một cạch bằng tổng các bình phương độ dài hai cạnh còn lại thì tam giác đó vuông. 
 Minh họa: ABC vuông tại A 
Ví dụ 6: Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong phân môn đại số: Xét đồ thị của hai hàm số bậc nhất hay hai đường thẳng (d1): y = a1x + b1 (a1 0) và (d2) : y = a2x + b2
 (d1) cắt (d2) a1 a2	(d1) // (d2) a1 = a2 và b1 b2
 (d1) (d2) a1 . a2 = - 1 (d1) (d2) a1 = a2 và b1 b2 
Ví dụ 7: Nhận định số nghiệm của hệ phương trình dựa vào số giao điểm của hai đường thẳng hay các hệ số của hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
 	(d) //(d’) hệ vô nghiệm 
(d) cắt (d’)hệ có nghiệm duy nhất 
(d) trùng (d’)hệ có vô số nghiệm 
Ví dụ 8: Nói về số nghiệm của phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 ( a 0) (1) 
 Phương trình (1) có nghiệm ; Phương trình (1) có nghiệm kép 
 Phương trình(1)có 2 nghiệm phân biệt; Phương trình (1) vô nghiệm 
Ví dụ 9: Điểm M nằm trên đường tròn tâm O, bán kính R khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến tâm đường tròn bằng bán kính. Điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O, bán kính R khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến tâm đường tròn lớn hơn bán kính. Điểm M nằm trong đường tròn tâm O, bán kính R khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến tâm đường tròn bé hơn bán kính. 
Minh hoạ: M (O; R)OM = R; M (O; R) OM = R; M (O; R) OM = R
Ví dụ 10: Tương tự như ví dụ 9 đối với đường thẳng và đường tròn, đối với hai đường tròn. 
Đường thẳng a và (O;R) có một điểm chung đường thẳng a tiếp xúc với (O;R) d = R 
Đường thẳng a và (O;R) có hai điểm chung đường thẳng a cắt (O;R) d < R 
Đường thẳng a với (O;R) không có điểm chung d > R 
Kí hiệu “; ” thường được dùng để thay thế cho từ “và; hoặc” trong lập luận dạy - học các đơn vị kiến thức có điều kiện. Đối với học sinh lớp 6,7, kí hiệu “” ; “ ” thường được xuất hiện riêng lẻ, do đó bài tập chỉ dừng lại với mức độ yêu cầu đơn giản. Chẳng hạn khi dạy về dấu hiệu chia hết ( dấu hiệu gộp), Tìm điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu (mẫu có dạng tích). Giải phương trình tích, phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối( lớp 8), phương trình chứa dấu căn, hệ phương trình ( lớp 9), ...
Ví dụ 1: Dấu hiệu chia hết cho 5, xét chữ số tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5. Thay ngôn ngữ ( từ hoặc ) bằng kí hiệu “ ”
Xét số : n = . Thay dấu * bởi chữ số nào để n chia hết cho 5? 
Chiếu theo dấu hiệu chia hết cho 5 ta có : n = 5 
Ví dụ 2: Dấu hiệu (gộp) chia hết cho cả 2, 3 5 dùng kí hiệu “ ”. Chữ số tận cùng bảng 0 và tổng các chữ số chia hết cho 3. 
 Xét số : n = . Thay dấu * bởi chữ số nào để n chia hết cho cả 2, 3 và 5? 
Chiếu theo dấu hiệu chia hết, ta có n chia hết cho cả 2,3 và 5 khi và chỉ khi 
( dấu * hàng đơn vị xét trước, hàng nghìn xét sau)
Ví dụ 3: x là ước chung của a , b, cx 
 x là bội chung của a,b và c x 
Ví dụ 4: Trong bài Ước chung và bội chung (Sách hướng dẫn học Toán 6 –VNEN) trang 74. Tác giả đã huy động đồng thời các kí hiệu ( ) hỗ trợ trong một bài học, vì vậy đòi hỏi giáo viên và học sinh phải biết khôn khéo sử dụng và sắp đặt một cách hợp lý các kí hiệu toán học nhằm biến bài toán ở dạng ngôn ngữ dài dòng bởi lời văn thành bài toán đơn giản, ngắn gọn , dễ hiểu ( bằng kí hiệu). Chẳng hạn, trong truyện “ Dế mèn phiêu lưu kí” có đoạn miêu tả chú Dế mèn đếm số kiến đang hành quân trên đường là một số tự nhiên nhỏ hơn 200. Số kiến này sắp hàng 3, hàng 5, hàng 7 đều vừa hết. Em đoán xem số kiến này là bao nhiêu con?
Để tìm ra kết quả bài toán thú vị này, học sinh có thể tóm tắt bài toán ở dạng ngôn ngữ thành bài toán có dạng kí hiệu, dễ hiểu. 
Tìm x , biết 
Ví dụ 5: Xác định hai số a và b, biết: a.b = 0; 	a.b 0; 	a.b > 0; 	a.b 0 
Ý 1: dùng kí hiệu “ ” Ý 3 : dùng kí hiệu gộp “; ” 
Ý 2 dùng kí hiệu “” Ý 4 : dùng kí hiệu gộp “; ” 
Đối với kí hiệu “”Thường được sử dụng khi dạy – học về quan hệ giữ phần tử và tập hợp trong môn số học và đại số (lớp 6,7). Quan hệ giữa điểm với đường thẳng, với đường tròn, với mặt phẳng ( hình học lớp 6,7,8,9). 
Kí hiệu “” thường được dùng mô tả, biểu diễn quan hệ giữa hai tập hợp. Cụ thể các loại bài tập quan hệ giữa các tập hợp số ( số học, đại số 6,7), quan hệ giữa đường thẳng với mặt phẳng, quan hệ giữa hai mặt phẳng( Hình học lớp 8,9).
Ví dụ 6: -3 Z; -3 Q; Q; -3 R; -3 Z; I ; 
 R; 0 Q ; N Z Q R ; R ; I Q 
Ví dụ 7: Bài 2/20( Hướng dẫn học- Toán 6 tập một – VNEN) 
 Cho tập hợp A = . Điền chữ đúng (Đ); hoặc chữ sai (S) vào ô trống trong các câu sau. 
Bài này tuy đơn giản song đòi hỏi học sinh phải nắm vững đồng thời nhiều kí hiệu toán học. Hiểu rõ ý nghĩa của từng kí hiệu. Phân biệt được những điểm dễ nhầm lẫn. 
 S
 S
 S
 m A ; 0 A ; A
 Đ
 Đ
 S
 xA ; A ; y A
Kí hiệu vuông góc “” là một trong những kí hiệu được sử dụng thường xuyên trong bộ môn hình học, dùng để diễn tả vị trí tương đối đặc biệt của hai đường thẳng, của hai đoạn thẳng. Nhờ đó mà ta có thể ghi tóm tắt nội dung bài học cũng như tóm tắt các bài toán hình học một cách ngắn gọn, dễ hiểu. Học sinh viết được giả thiết, kết luận bài toán đồng nghĩa với việc đã giải quyết được một phần ba yêu cầu của bài. Ngoài tác dụng giúp ghi tóm tắt đề bài, kí hiệu “” còn giúp chúng ta tính toán số đo độ của góc. 
 Kí hiệu giao hoặc cắt “ ” biếu diễn mối quan hệ giữa hai tập hợp, đó là các phần tử chung của hai tập hợp. Trong số học và đại số thì giao của hai tập hợp số là một tập hợp số, còn trong hình học thì lại là tập hợp điểm. Tuỳ đặc thù nội dung bài học mà sử dụng kí hiệu cho phù hợp. Tuyệt đối không được để học sinh hiểu nhầm giữa hai kí hiệu “” và “ ”. 
Nếu dùng kí hiệu “” thì phải đi kèm với từ “tại” chẳng hạn : ABCD tại M hoặc AB là tiếp tuyến của đường tròn tâm O bán kính R với tiếp điểm là M, ta có thể ghi: AB OM tại M ( M (O; R) .
Nếu dùng kí hiệu “” thì phải đi kèm với tập hợp, nếu dụng ngôn ngữ “ Giao” thì dùng từ “tại” hoặc “ở”. Chẳng hạn : AB CD =hoặc AB giao với CD tại M. Đường thẳng a là cát tuyến của đường tròn tâm O, bán kính R tại E; F . Khi đó ta có thể diễn tả bằng kí hiệu : a (O; R) = 
Kí hiệu “>; ; <” cũng là một trong những kí hiệu đơn giản, thông dụng nhất, được học sinh tiếp cận và vận dụng ngay khi còn ở tiểu học, thường được vận dụng với các dạng bài tập so sánh, sắp xếp các số từ nhỏ đến lớn hoặc từ lớn đến nhỏ. Hoặc so sánh độ dài hai đoạn thẳng, so sánh số đo hai góc, hai cung,... Kí hiệu “;” cũng tương tự như kí hiệu lớn, bé tuy nhiên mức độ đòi hỏi cao hơn bởi đây là kí hiệu kép có 2 điều kiện. Ví dụ: Số a không dương thì ta viết (a 0); số b không âm ta viết ( b 0 ). 
 Ví dụ:Viết tập hợp M các số nguyên không âm, bé hơn 55 và chia hết cho 5.
Đối với bài này, giáo viên nhấn mạnh cho học sinh mỗi phần tử của tập hợp M thoả mãn 4 tiêu chuẩn: Không âm ( 0 ), bé hơn 55, chia hết cho 5 (chữ số tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5) 
+ Cách 1: Liệt kê các phần tử: M = 
+ Cách 2:Chỉ tính đặc trưng: M =( a là phần tử của tập hợp M )
Sau đây là một số ví dụ đơn giản, minh hoạ tác dụng của việc dùng kí hiệu toán học.
 thay cho ngôn ngữ trong giải bài tập.
Ví dụ 1: a. Tìm số tự nhiên là ước của 84, của 180 và lớn hơn 6.
Cách 1: Dùng kí hiệu toán học 
Gọi số tự nhiên cần tìm là x. Điều kiện cần tìm 
Ví dụ 1: 
Cách 2: Dùng ngôn ngữ
Gọi số tự nhiên cần tìm là x, khi đó x là ước của 84;180 và x lớn hơn 6 
Tập hợp ước của 84 là :
U(84) = 
Tập hợp ước của 84 là:
U(180) =
Tập hợp các ước chung của 84 và 180 là 
Đối chiếu điều kiện x > 6. Vậy x = 12
Câu b: Tìm số tự nhiên là bội của 12, 15, 18 lớn hơn 60 và nhỏ hơn 400.
Cách 1: Dùng kí hiệu toán học 
Gọi số tự nhiên cần tìm là x. Điều kiện cần tìm 
Cách 2: Dùng ngôn ngữ
Gọi số tự nhiên cần tìm là x, khi đó x là bội của 12,15,18 và x lớn hơn 60, và nhỏ hơn 400 
Tập hợp bội của 12 là :
B(12) = 
Tập hợp bội của 15 là:
B(15)=
Tập hợp bội của 18 là:B(18) = 
Tập hợp bội chung của 12,15,18 là :
Đối chiếu điều kiện của x. Kết luận 
 x 
Rõ ràng trong cả hai ví dụ trên, với hai cách trình bày khác nhau, cách sử dụng kí hiệu toán học thay cho ngôn ngữ đơn giản hơn, ngắn gọn và dễ hiểu hơn, thu hút được sự chú ý của học sinh nhiều hơn. 
Đối với học sinh lớp học càng cao (lớp 8,9) lại cần đòi hỏi phải tăng cường sử dụng kí hiệu. Bởi kí hiệu toán học được xem là công cụ chính, không thể thiếu trong học tập thường ngày của các em, nó không chỉ đơn thuần giúp chúng ta ghi bài ngắn gọn, làm lợi thời gian, chốt được trọng tâm của bài trong việc học lý thuyết mà còn hỗ trợ đắc lực trong việc giải bài tập( lập luận chặt chẽ, biến đổi logic, tính toán dễ dàng, đảm bảo độ chính xác cao). 
Sau đây là một số bài tập đòi hỏi sự cần thiết phải sử dụng kí hiệu toán học thay ngôn ngữ nhằm đem lại lợi ích cho người học. 
Bài 1/toán 9: Cho đường thẳng y = mx + 1 (dm) với m là tham số. Chứng minh rằng đường thẳng (dm) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. 
Giải: Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định của họ đường thẳng (dm) M (dm) với m
 y0 = mx0 + 1 mx0 = y0 – 1 với mọi m 
 Vậy họ đường thẳng y = mx + 1 ( dm) luôn đi qua một điểm cố định có toạ độ 
( 0; 1) hay đồng quy tại M(0 ; 1) với mọi m. 
Bài 2/ toán 9: Cho họ đường thẳng: mx + ( 2m – 1)y + 3 = 0 (dm) với m là tham số. 
Chứng minh rằng họ đường thẳng đó luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. 
 Giải: Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định của đường thẳng (dm) M (dm) với m
 mx0 +(2m –1)y0 + 3 = 0 mx0 +2my0 – y0 + 3 = 0( x0 + 2y0)m = y0 – 3 với m
 Vậy họ đường thẳng mx + ( 2m – 1)y + 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định có toạ độ 
( - 6; 3) hay đồng quy tại M(- 6; 3).
 	Bài 3/toán 9: Cho phương trình: (m-1)x2 + 2(m-1)x – m = 0 (ẩn số là x) 
a. Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này
b. Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
a. Phương trình có nghiệm kép Vậy thì phương trình có nghiệm kép. Nghiệm kép là : 
b. Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm 
Vậy 
Có thể nói, nhờ có kí hiệu toán học và sự kết hợp khéo léo mà bài toán thoạt đầu tưởng chừng như khó có thể giải quyết lại được tiến hành một cách gọn nhẹ chỉ qua bốn bước biến đổi. Chính vì vậy mà mỗi giáo viên chúng ta quan tâm nhiều hơn việc truyền thụ tác dụng của kí hiệu toán học đến mọi học sinh. Giúp học sinh có thói quen vận dụng kí hiệu toán học trong học tập cũng như giải bài tập. 
	Kí hiệu toán không chỉ có tác dụng đối với môn đại số, số học mà còn có tác dụng nhiều hơn trong phân môn hình học. Nhờ thế mạnh của kí hiệu toán học mà ta có thể biến một bài toán có ngôn ngữ văn học dài dòng, phức tạp thành một bài toán dưới dạng kí hiệu, công thức, trong cũng dễ gần. 
Bài 4: ( Đề học kì I- toán 9 năm 2002-2003) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8 cm. Vẽ đường cao AH. Gọi E, F là hình chiếu của H trên cạch AB, AC. (O’; r) và (O; R) nội tiếp tam giác AEF và tam giác ABC. M, N lần lượt là trung điểm HB, HC.
 a) Tính FE 
 b) So sánh SMEH và SABC 
c) Tính tỉ số của hai bán kính (O) và (O’)
Bài 4: Tóm tắt: 
GT
ABC,;AB =6cm, AC = 8 cm
AHBC(HBC);HEAB (E AB);
 HFAC (FAC) . 
*MB = MH ( MBH);NC = NH 
( NHC)
*(O’; r) và (O; R) nội tiếp AEF và ABC.
KL
a) FE = ?
b) So sánh SMEH và SABC 
c) = ?
Bài 5: Đề 26/ Các đề thi HSG :
Từ một điểm P ở ngoài đường tròn tâm O bán kính R kẻ hai tiếp tuyến PA, PB với đường tròn. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC. D là giao điểm của hai đoạn thẳng PO và AB.
a. Chứng minh: 4DP.DO = BH.BC
b. Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH. 
Bài 5:
GT
P ngoài (O; R) PA OA tại A; 
PBOB tại B ; A, B (O; R) ; 
Đường kính BC = 2R
AH BC tại H ; PO AB = ;
CPAH = 
KL
a. 4DP.DO = BH.BC
b. EH = EA
 Đối với lớp 6, lớp 7, các kí hiệu toán học, chủ yếu dành cho việc dạy – học lý thuyết, còn sử dụng trong giải bài tập có chăng cũng chỉ là bài tập đơn giản có yêu cầu rõ ràng ở mức độ từ thấp đến cao, việc trình bày không mấy khó khăn. Do đó trong quá trình dạy học giáo viên chúng ta cố gắng tìm tòi, nghiên cứu, hướng dẫn học sinh thường xuyên sử dụng kí hiệu toán học. Nhằm giúp học sinh tập làm quen dần với kí hiệu, thấy được tác dụng của kí hiệu toán học, và đó là điều kiện là cơ sở để từng bước tiếp cận với công nghệ tin học. 
Đối với lớp 8, lớp 9, kí hiệu toán học được xem như là một “cẩm nang” luôn đồng hành trên suốt chặng đường của người học sinh. Ngoài tác dụng hỗ trợ cho giáo viên và học sinh trong việc dạy – học lý thuyết, kí hiệu toán học còn giúp chúng ta trong biến đổi ccông thức, biến bài toán có nội dung ngôn ngữ dài dòng phức tạp thành bài toán đơn giản, có yêu cầu nhẹ nhàng, dễ trình bày hơn. Chí