SKKN Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9 tại trường THCS Lương Thế Vinh

ọc tập đối tự rèn chưa cao, vì vậy muốn các em áp dụng kiến thức đã học vào các bài tập cụ thể thì giáo viên sẽ phải trình bày bài tập mẫu, chỉnh sửa, uốn nắn nhiều, có như thế các em mới có thể hiểu và nắm chắc kiến thức được học một cách có hệ thống, giúp các em có thể tự làm những bài tập tương tự tốt hơn.
SKKN được áp dụng trực tiếp vào giảng dạy học sinh giỏi trong nhiều tiết theo chuyên đề của mảng kiến thức này (những dạng bài tập cơ bản) tại trường đã đạt kết quả tốt. Học sinh nắm kiến thức chắc chắn hơn, chính xác hơn và kĩ năng trình bày bài làm được cải thiện rõ rệt. Đây là tiền đề vững chắc, những thuận lợi đáng kể góp phần thúc đẩy kết quả bồi dưỡng HSG đối với nội dung kiến thức này của bản thân tôi trong thời gian vừa qua.
Học sinh khối 8 mới bắt đầu làm quen bất đẳng thức. Vì thế, năng lực tư duy logic của các em chưa phát triển cao, các em phải làm quen với nhiều kí hiệu toán học và các thuật ngữ mới cũng như lượng kiến thức lí thuyết tương đối nhiều. Do vậy, việc áp lý thuyết để làm bài tập toán về bất đẳng thức nói riêng đối với các em là một điều khó. Hầu hết chỉ có các học sinh giỏi mới có thể tự làm đúng hướng và trọn vẹn yêu cầu của bài toán. Còn hầu hết các học sinh khá lúng túng không biết cách làm, cách thức thực hiện và trình bày lời giải như thế nào là đúng mặc dù được giáo viên hướng dẫn hoặc đã được trình bày bài tập mẫu.
Đây là một vấn đề hay trong toán học, vận dụng được rộng rãi, có giá trị sử dụng lâu dài và có thể tiếp tục mở rộng theo hướng chuyên sâu hơn. Nội dung này là một phần kiến thức tuy ngắn gọn song được bao hàm có thể áp dụng được trực tiếp vào giảng dạy trên lớp cũng như dạy tạo nguồn kiến thức bồi dưỡng HSG.
Vấn đề hay, nhiều nội dung nhỏ, đơn giản nhưng dễ mắc sai lầm trong suy nghĩ, trong lời giải, trong trình bày, Vì vậy, đây là một chú ý để chúng ta thật thận trọng, tự rút kinh nghiệm cho bản thân với mục đích cuối cùng là đạt được kết quả cao về nội dung của SKKN đề ra.
Thực tế cho thấy có nhiều nguyên nhân, nhiều yếu tố tác động tạo nên những khó khăn, hạn chế nêu trên. Trước hết phải kể đến là ý thức tự giác trong học tập của người học chưa cao, khả năng tự học, tự rèn của học sinh hiện nay giảm sút nhiều. Nhiều học sinh thông minh nhưng ngại va chạm ý thức vươn lên chưa cao. Các em ít có những suy nghĩ, trăn trở khi làm bài tập khó hoặc khi làm bài tập sai thì động lực để các em quyết tâm tự làm lại cho đúng chưa nhiều. Một điều nữa là việc lưu giữ (quá trình ghi nhớ), tái hiện (trình bày bằng lời hoặc viết) của học sinh chưa tốt, các em lười làm bài tập ở nhà,. Trong mảng kiến thức về bất đẳng thức, các em tỏ ra lúng túng khi lập luận, khi trình bày một số dạng bài tập nêu trên. Vì vậy mà các em quên nhanh nhiều kiến thức cơ bản của phần này dẫn đến ngại làm bài tập. Trong khi đó, để học môn toán tốt, nhớ lâu kiến thức thì con đường vô cùng hiệu quả là luyện giải bài tập.
III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.
Nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi cấp huyện và cấp tỉnh và chia sẻ một số kinh nghiệm cùng đồng nghiệp nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi toán trên địa bàn Krông Ana. Để đạt được kết quả như mong muốn khi dạy kiến thức về bất dẳng thức, theo ý kiến chủ quan của bản thân, tôi suy nghĩ và đã thực hiện như sau:
III.1. Trước hết, truyền đạt chính xác, đầy đủ các kiến thức cơ bản của bất đẳng thức trong sách giáo khoa. 
* Một số bất đẳng thức cơ bản cần nhớ
 với A
 với A và k là số tự nhiên
 với 
"x1, x2, x3 ,...,xn không âm ta có:
	Dạng 1: 	
	Dạng 2: 	
	Dạng 3:	
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi: 
Mục đích giúp cho học sinh có kiến thức nền tốt. Giáo dục được ý thức ham học và nghiêm túc trong học tập, nghiêm khắc với bản thân cho học sinh ngay từ đầu vì thói quen xấu rất khó bỏ và nề nếp chặt chẽ mau vững bền.
III.2. Đưa ra dạng bài tập cơ bản thường hay gặp.
Ví dụ :
 .
Yêu cầu và bắt buộc học sinh phải học thuộc lòng các bất đẳng thức thường gặp để từ đó hình thành tư duy, kỹ năng nhận dạng bất đẳng thức thuộc loại nào để đưa ra cách giải hợp lí đở tốn thời gian.
Mục đích cho các em làm bài tập áp dụng trong tiết dạy lý thuyết và trong tiết dạy luyện tập với các dạng bài tập cụ thể đa dạng từ dễ đến khó có hướng dẫn gợi mở của giáo viên, được trình bày ngắn gọn có các căn cứ rõ ràng. Ngoài ra, có thể tổ chức thi làm bài nhanh giữa các em, để kích thích tính tích cực, ganh đua trong học tập. Giao bài tập về nhà đồng thời tăng cường biện pháp để kiểm tra việc học bài và làm bài ở nhà của học sinh để đảm bảo chất lượng của bài dạy và để tiến hành loại bỏ học sinh lười học khỏi đội tuyển.
III.3. Đưa ra dạng bài có quy tắc để học sinh dễ nhận dạng, không lúng túng khi làm bài trong các kì thi học sinh giỏi các cấp.
Bài 1. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. Chứng minh rằng:(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Đắk Lắk năm 2018-2019)
Bài giải: Ta luôn có : 
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên
Hoàn toàn tương tự ta cũng có: 
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có: 
 (Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Bài 2. Chứng minh về mọi số dương a, b, c có a+b+c=3 thì ta có:
Ta có: 
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:  ;
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta cũng có:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
 Nhìn thấy bài tập trên là học sinh nghỉ ngay đến kĩ thuật Cô-Si ngược dấu để chứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các phương pháp khác sẽ rất dài thậm chí không giải được. Bài tập toán muôn hình, muôn vẻ nên với mỗi dạng tuy không có quy tắc tổng quát hoặc phương pháp làm bài riêng, song sau khi giải hoặc hướng dẫn xong giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm, một hướng giải quyết nào đó để khi gặp bài tương tự, học sinh có thể tự liên hệ và áp dụng được với kiến thức cũ.
Giáo viên nên tránh nôn nóng, bỏ qua bước làm chắc cơ bản, cho ngay bài khó, học sinh mới đầu đã gặp ngay một khó cảm thấy nản chí không đam mê, không nhận ra và ghi nhớ đợt từng đơn vị kiến thức kỹ năng, kết quả là không định hình được phương pháp từ đơn giản đến phức tạp, càng học càng hoang mang. Giáo viên không nên coi những bài đơn lẻ không có quy luật chung là quan trọng, cho học sinh làm nhiều hơn và trước những bài có nguyên tắc chung coi những bài đó mới là tối ưu, kết quả là học sinh bị rối loạn, không học được phương pháp tư duy theo kiểu đúng đắn khoa học và thông thường là: mỗi loại sự việc có một nguyên tắc giải quyết, chỉ cần nắm vững một số nguyên tắc là giải quyết được hầu hết các sự việc.
Mục đích hướng dẫn phương pháp học tập đặc trưng của bộ môn cho học sinh là học ngay tại lớp, thường xuyên ôn lại kiến thức và rèn luyện làm bài tập nhiều, hiệu quả để khắc sâu kiến thức giúp các em tốn ít thời gian nhất mà nhớ lâu, vận dụng tốt.
III.4. Lựa chọn một số kỹ thuật cơ bản trong phép biến đổi tương đương thường hay ra trong đề thi học sinh giỏi các cấp những năm gần đây. 
Phân tích: Các bất đẳng thức dưới đây khá quen thuộc, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành tổng các bình phương.
Bài 1. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh
Lời giải
a) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức
Suy ra 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 
b) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức
Suy ra: 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi .
Bài 2. Chứng minh rằng: 
( Đề thi học sinh giỏi toán 9 huyện Krông Ana năm học 2014-2015)
Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức
Bất đẳng thức cuối luôn đúng với mọi x, y. Vậy
Bài 3. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng: 
Lời giải
Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức
 Suy ra: 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi .
Do đó trước khi biến đổi bất đẳng thức ta nên dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra để từ đó có hướng đi hợp lí.
Bài 4. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng:
Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức tương tự như các bất đẳng thức trên, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành tổng các bình phương. Để được các tích vào trong bình phương ta cần ghép a với b, c, d, e, và vì vai trò của b, c, d, e như nhau nên ta có thể nghĩ đến việc biến đổi như sau 
 Trong trường hợp trên ta có thể chọn , tức là ta phải nhân hai vế với 4.
Lời giải
Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức :
 Suy ra: 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi .
Nhận xét: Với bất đẳng thức trên, ngoài phép biến đổi tương đương ta còn có thể dùng tính chất của tam thức bậc hai để chứng minh.
Bài 5. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
a) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có
 	Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 
b) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có
Chứng minh tương tự ta được 
Nhân vế các bất đẳng thức ta được 
Mà ta lại có 
Nên từ bất đẳng thức trên ta được 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi .
Nhận xét: Bất đẳng thức không chỉ đúng với a, b, c là các cạnh của một tam giác, mà nó còn đúng cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Bất đẳng này là một trường hợp của bất đẳng thức Schur.
Bài 6. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Bất đẳng thức cần chứng minh là bất đẳng thức Neibizt nổi tiếng, hiện nay có rất nhiều cách chứng minh cho bất đẳng thức này. Để chứng minh bằng phương pháp biến đổi tương đương ta có các ý tưởng như sau
 	Thứ nhất ta xét hiệu hai vế và chú ý , khi đó ta có 6 phân thức. Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra khi , nên ta ghép hai phân thức làm một nhóm sao cho có thể phân tích được thành bình phương của hiệu hai trong ba số a, b, c. Để ý là 
.
 Thứ hai ta để ý đến biến đổi . Do đó ta cộng vào hai vế của bất đẳng thức với 3, thực hiện biến đổi như trên ta đươc được bất đẳng thức về dạng như sau , đến đây ta có thể đơn giản hóa bất đẳng thức bằng việc đặt biến phụ .
Thứ ba là ta tiến hành đặt biến phụ ngay từ đầu, khi đó ta được và bất đẳng thức cần chứng minh thu được ở đây là sẽ chứng minh dễ dàng hơn.
Lời giải
Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi .
Cách 2: Bất đẳng thứ cần chứng minh tương đương với 
Đặt , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi .
Cách 3: Đặt , khi đó ta được 
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 
 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi .
Bài 7. Cho biểu thức . Với giá trị nào của a và b thì P đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
(Đề thi học sinh giỏi toán 9 huyện Krông Ana năm học 2012-2013)
Bài giải:
2P = (a – b – 2)2 + (a – 1)2 + (b + 1)2 + 2.2010 ≥ 2.2010
Þ P ≥ 2010.
Dấu “=“ xảy ra khi có đồng thời: 
Vậy minP = 2010 Û a = 1 và b = –1
Bài 8. Tìm x (x > 0) để biểu thức đạt giá trị lớn nhất.
( Đề thi học sinh giỏi toán 9 huyện Krông Ana năm học 2011-2012)
Theo bài ra ta có x > 0, đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất với y 0.
hay . Vì 4024 không đổi nên ta tìm giá trị nhỏ nhất của . Ta thấy hai số x và đều dương và có tích bằng 20122 không đổi nên tổng của chúng sẽ nhỏ nhất khi chúng bằng nhau, tức là: 
 hay x2 = 20122, x = 2012 (Không lấy giá trị âm).
Vậy với x = 2012 thì y đạt giá trị lớn nhất và giá trị đó là
Bài 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = với a + b = 2.
 (Đề thi học sinh giỏi toán 8 huyện Krông Ana năm học 2014-2015)
Bài giải :
Đặt a = 1 + m b = 2 - ( 1 + m) = 1 – m 
Khi đó = 
 = 2 + 20m2 + 10m4 
Vì 20m2 + 10m4 0 với m 2 + 20m2 + 10m4 2
Dấu «  = » xảy ra khi m = 0 a= b = 1 , Vậy giá trị nhỏ nhất của là 2 khi a = b = 1
Bài 10. Cho là các số thực dương thỏa mãn: Chứng minh rằng: 
(Đề thi học sinh giỏi huyện Krông Ana năm học 2016-2017)
Bài giải:
Trước hết ta chứng minh BĐT Cosy- Bunhiacopxky cho 6 số bất kỳ:
 Cho 6 số bất kỳ a, b, c, x, y, z ta luôn có BĐT:
Dấu “=” xảy ra khi (với t là hằng số).
Từ đó ta có kết quả sau: 
Hay . Dấu bằng xảy ra khi: x=y=z=1
Áp dụng BĐT (1) và kết quả (*) cho 6 số ta có:
Hay: 
Dấu bằng xảy ra khi .
	III.5. Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc về các bài toán bất đẳng thức.
Bài 1. Cho a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của 
Giải
Sai lầm thường gặp của học sinh: 2=2
Dấu “ = ” xảy ra Û Û a = 1 Þ vô lí vì giả thiết là a 2.
Cách làm đúng
Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử để sao cho khi áp dụng BĐT Côsi dấu “ = ” xảy ra khi a = 2. Có các hình thức tách sau:
Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1):
( sơ đồ điểm rơi (2),(3),(4) học sinh tự làm)
 Þ Þ a = 4. 
Vậy ta có : . 	
Dấu “ = ” xảy ra Û a = 2.
Ta sử dụng điều kiện dấu “ = ” và điểm rơi là a = 2 dựa trên quy tắc biên để tìm ra a = 4
Bài 2. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Giải 
Sai lầm thường gặp của học sinh: Þ Min S = 6
Nguyên nhân sai lầm :
Min S = 6 Û trái với gải thiết.
Phân tích và tìm tòi lời giải
Do S là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt tại điểm rơi 
Sơ đồ điểm rơi: Þ Þ 
Hoặc ta có sơ đồ điểm rơi sau :
 Þ Þ 
Vậy ta có cách giải theo sơ đồ 2 sau:
. Với thì MinS = 
Việc chọn điểm rơi cho bài toán trên đã giải quyết một cách đúng đắn về mặt toán học nhưng cách làm trên tương đối cồng kềnh. Nếu chúng áp dụng việc chọn điểm rơi cho bất đăng thức Bunnhiacôpski thì bài toán sẽ nhanh gọn hơn, đẹp hơn.
Trong bài toán trên chúng ta đã dùng một kĩ thuật đánh giá từ TBN sang TBC , chiều của dấu của dấu bất đẳng thức không chỉ phụ thuộc vào chiều đánh giá mà nó còn phụ thuộc vào biểu thức đánh nằm ở mẫu số hay ở tử số.
Bài 3. Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Giải 
Sai lầm thường gặp
 Þ S 2 + 2 + 2 + 2 = 8
Sai lầm thường gặp của học sinh: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 8 số:
Nguyên nhân sai lầm:
Min S = 8 Û Þ a + b + c + d = 3(a + b + c + d) Þ 1 = 3 Þ vô lí.
Phân tích và tìm tòi lời giải: Để tìm MinS ta cần chú ý S là một biểu thức đối xứng với a,b,c,d > 0 do đó MinS nếu có thường đạt tại điểm rơi tự do là “ là a = b = c = d > 0.( nói là điểm rơi tự do vì a,b,c,d không mang một giá trị cụ thể). Vậy ta cho trước a = b = c = d dự đoán . Từ đó suy ra các đánh giá của BĐT bộ phận phải có điều kiện dấu bằng xảy ra là tập con của điều kiện dự đoán: a = b = c = d > 0 .
Ta có sơ đồ điểm rơi : Cho a = b = c = d > 0 ta có:
Cách 1: Sử dụng BĐT Côsi ta có :
Với a = b = c = d > 0 thì Min S = 40/3.
Trên cơ sở nội dung chương trình toán ở các lớp 8, 9 giáo viên phải hệ thống hoá kiến thức và kỹ năng tính toán đưa các đề cho học sinh làm thêm tại nhà sau đó giáo viên phân tích cho học sinh cách chấm bài để hạn chế sai lầm trong quá trình thi cử. Tăng cường phối hợp các phương pháp, kết hợp đan xen các chuyên đề để tạo hứng thú học tập, tạo sự hấp dẫn của bài toán đối với học sinh. Tiến hành chấm bài cùng các em chỉ ra các sai lầm lỗi bị trừ điểm trong bài thi, để các em tự chấm lẩn nhau tự nhận xét.
 III.6. Hướng dẫn phương pháp giải toán thích hợp trong từng trường hợp cụ thể giúp học sinh có kỹ năng nhận dạng, có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
Bài 1. Chứng minh rằng: 
Phân tích và tìm tòi lời giải: Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả được BĐT cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không không âm.
Cần chú ý rằng: x2 + y2 2 = 2|xy| vì x, y không biết âm hay dương.
Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Côsi như bài toán nói trên mà phải qua một vài phép biến đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT Côsi.
Trong bài toán trên dấu “ ” Þ đánh giá từ TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 gợi ý đến sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số, 3 cặp số.
	Sai lầm thường gặp của học sinh: 
Sử dụng: " x, y thì x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2 0 Û x2 + y2 2xy. Do đó:
	 Þ (Sai)
Ví dụ: Þ 24 = 2.3.4 (-2)(-5).3 = 30 ( Sai )
Lời giải đúng:
 Sử dụng BĐT Côsi : x2 + y2 2 = 2|xy| ta có:
Þ(đúng)
Bài 2. Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) 9ab " a, b 0.
Phân tích và tìm tòi lời giải: 9 = 3.3 gợi ý sử dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số, 2 cặp. Mỗi biến a, b được xuất hiện ba lần, vậy khi sử dụng Côsi cho ba số sẽ khử được căn thức cho các biến đó.
Giải
Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) .
Bài 3. Chứng minh rằng: 3a3 + 7b3 9ab2 " a, b 0
Phân tích và tìm tòi lời giải: 9ab2 = 9.a.b.b Þ gợi ý đến việc tách hạng tử 7b3 thành hai hạng tử chứa b3 để khi áp dụng BĐT Côsi ta có b2. Khi đã có định hướng như trên thì việc tách các hệ số không có gì khó khăn.
Giải
Ta có: 3a3 + 7b3 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3 = 9ab2
Bài 4. Cho: 
Giải
Từ giả thuyết suy ra:
Vậy: Þ 
Từ bài tập, hướng dẫn HS nhận dạng qua bài toán tổng quát 1:
Cho: 
Đối với những bài toán có điều kiện là các biểu thức đối xứng của biến thì việc biến đổi điều kiện mang tính đối xứng sẽ giúp ta xử lí các bài toán chứng minh BĐT dễ dàng hơn.
Bài 5. Cho (1)
Giải
 (đpcm)
Từ bài tập, hướng dẫn HS nhận dạng qua bài toán tổng quát 2: 
Cho: 
Bài 6. 
CMR: Giải 
Ta có: 	 (1)
Ta có: 
	 	 (2)
Ta có: 	 (3)
Dấu “ = ” (1) xảy ra Û 1+a = 1+b = 1+c Û a = b = c
Dấu “ = ” (2) xảy ra Û ab = bc = ca và a = b = c Û a = b= c
Dấu “ = ” (3) xảy ra Û =1 Û abc = 1 
Từ bài tập, hướng dẫn HS nhận dạng qua bài toán tổng quát 3
Cho x1, x2, x3,..., xn 0. CMR: 
	Bài toán tổng quát trên thường được sử dụng cho 3 số, áp dụng cho các bài toán về BĐT lượng giác trong tam giác sau này. 
Mục đích phải luôn tạo được tình huống có vấn đề là các bài toán lạ mà quen, từ đó nâng dần mức độ, buộc các em phải tự tìm cách tháo gỡ có như vậy mới phát triển được năng lực tư duy sáng tạo của học sinh.
Rèn cho học sinh kỹ năng phân tích bài toán, nắm được những điều kiện của bài toán để nhìn thấy dạng bài tập quen thuộc hay lạ, thấy vấn đề tổng quát từ vấn đề cụ thể.
	III.7. Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích các dạng toán bất đẳng thức, thông qua các bài toán có tính tư duy, thông qua các bài toán trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán THCS, THPT và các kì thi tuyển sinh lớp 10 chuyên toán các năm gần đây. 
Bài 1. a) Cho các số dương a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng: 
 b) Cho các số dương a, b, c thoả mãn . Chứng ming rằng: 
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Hải Phòng năm 2009 - 2010
Lời giải
a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương 
 Suy ra 
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 
b) Ta có 
 Suy ra 
Áp dụng bất đẳng thức trong câu a, ta có 
 Suy ra 
Do đó ta được .
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi . 
Bài 2. Với số tự nhiên . Chúng minh rằng .
Với 
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bình Định năm 2009-2010
Lời giải
Với , ta có 
Do đó ta được 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 3. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nghệ An năm 2009-2010
Lời giải
 Dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại và giá trị nhỏ nhất của P là 4. Ta quy bài toán về chứng minh bất đẳng thức
Thật vậy, kết hợp với giả thiết ta có
Áp dụng bất đăngr thức Cauchy ta có 	 	 
Suy ra 
Do đó ta được 
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 
 Hay 	 
 Đặt . 
 Từ giả thiết , do đó ta được 
Bất đẳng thức trên trở thành 
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do . Vậy bài toán được chứng minh xong.
Bài 4. a) Cho k là số nguyên dương bất kì. Chứng minh bất đẳng thức sau: 
 b) Chứng minh rằng: 
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Thái Bình năm 2009-2010
Lời giải
a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi k nguyên dương. 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
b) Áp dụng kết quả câu a ta có
Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. 
Mục đích để các em thấy rằng các đề thì về bất đẳng thức không khó các em không nản lòng và thấy thích thú vì các dạng toán này còn liên quan đến dãy số ... Các em cảm thấy thú vị từ đó tạo động lực niêm đam mê bất đẳng thức cho các em
Trên đây giải pháp tôi chọn thông qua việc áp dụng dụng một số bất đẳng thức cơ bản để giải bài tập, học sinh sẽ nắm kiến thức một cách chắc chắn, rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy toán học một