Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán thực tế cho học sinh Trung tâm GDNN-GDTX Yên Lạc

ài toán đã xác lập hàm nên ta có thể dùng công cụ đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức trên.
Lời giải
Ta có: 
Bảng biến thiên:
t
+
0
3,9665
0
Dựa vào bảng biến thiên ta có khối lượng riêng lớn nhất của vật khi thể tích nhỏ nhất lúc vật có nhiệt độ xấp xỉ bằng 
Bình luận: Trong thực tế, ở nhiệt độ thì nước có khối lượng riêng lớn nhất. Đây là kiến thức ta đã được học từ Vật lý lớp 7.
Bài tập tương tự 1: Nhiệt độ T của một người trong cơn bệnh được cho bởi công thức với trong đó T là nhiệt độ ( - Fahrenheit) theo thời gian t trong ngày. Tìm nhiệt độ lớn nhất độ celcius ( - Celcius) của người bệnh trong ngày và thời điểm mà nó xảy ra? (Biết rằng )
Lời giải
Ta có: 
Đồng thời ta có: 
Vậy nhiệt độ lớn nhất của người bệnh trong ngày là khi 
Bài tập tương tự 2: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là (kết quả khảo sát được trong tháng 8 vừa qua). Nếu xem f '(t) là tốc độ truyền bệnh (người/ ngày) tại thời điểm t. Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ bao nhiêu?
Lời giải
Ta có 
Đặt 
Lập bảng biến thiên của ta suy ra là giá trị cần tìm.
Bài toán 10. Hai con tàu A và B đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai tàu cùng khởi hành, tàu A chạy về hướng Nam với 6 hải lý/giờ, còn tàu B chạy về vị trí hiện tại của tàu A với vận tốc 7 hải lý/giờ. Hãy xác định thời điểm mà khoảng cách giữa hai tàu là lớn nhất?
Phân tích:
Trên Trái Đất hay các hành tinh hoặc thiên thể hình cầu, vĩ tuyến là một vòng trong tưởng tượng nối tấtcả các điểm có cùng vĩ độ. Trên Trái Đất, vòng tròn này có hướng từ đông sang tây. Vị trí trên vĩ tuyến được xác định bằng kinh độ. Một vĩ tuyến luôn vuông góc với một kinh.
Kinh tuyến là một nửa đường tròn trên bề mặt Trái Đất, nối liền hai Địa cực, có độ dài khoảng 20.000 km, chỉ hướng bắc – nam và cắt thẳng góc với đường xích đạo. Mặt phẳng của kinh tuyến (chạy qua đài quan sát thiên văn tại Greenwich thuộc Luân Đôn) và kinh tuyến, chia Trái Đất ra làm hai bán cầu – Bán cầu đông và Bán cầu tây. (theo wikipedia.org).
Như vậy khi các tàu, thuyền đi trên biển chúng ta sẽ dùng một đơn vị đo khoảng cách khác là hải lý (1 hải lý = 1852 mét). Từ mô hình và mô tả của bài toán ta có thể gọi t là thời gian mà sau khi xuất 2 tàu cách nhau một khoảng d.
Khi đó , trong đó chính là quãng đường của tàu A đi được. Dựa vào gợi ý 2 tàu cách nhau ban đầu 5 hải lý theo đường vĩ tuyến, nên ta có thể tính 
Cuối cùng, ta vận dụng công thức liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian là: 
Lời giải
Tại thời điểm t sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai tàu là d. Khi đó tàu A đang ở vị trí và tàu đang ở vị trí như hình vẽ.
Ta có: 
Với là quãng đường tàu B đi được 
Và là quãng đường tàu A đi được 
Suy ra 
Đặt với 
Bảng biến thiên:
t
+
0
0
Dựa vào bảng biến thiên ta có: (hải lý)
Bài tập tương tự 1: Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định một trạm trung chuyển hàng hóa C và xây dựng một con đường từ C đến D. Biết rằng vận tốc trên đường sắt là và trên đường bộ là . Hãy xác định phương án chọn địa điểm C để thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D là ngắn nhất?
Lời giải
Gọi t là thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D
Thời gian là: 
Xét hàm số 
Bài toán trở thành tìm 
Ta có: 
Khi đó: 
Lập bảng biến thiên, ta suy ra 
Bài tập tương tự 2: Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí cách bờ , trên bờ biển có một kho hàng ở vị trí cách một khoảng Người canh hải đăng có thể trèo thuyền từ đến với bận tốc /h rồi đi bộ từ đến với vận tốc /h. Xác định độ dài đoạn để người đó đi từ đến nhanh nhất?
Lời giải
Gọi với Khi đó: và 
Theo đề bài ta có 
Xét hàm số 
Khi đó:	;	; 
Vậy 
Bài toán 11. Một công ty đánh giá rằng sẽ bán được N lô hàng nếu tiêu phí hết số tiền là x (triệu đồng) vào việc quảng cáo. Biết rằng N và x liên hệ với nhau bằng biểu thức. Hãy tìm số lô hàng lớn nhất mà công ty có thể bán sau đợt quảng cáo và số tiền đã dành cho việc quảng cáo đó?
Lời giải
Ta có: 
Đồng thời: 
Vậy nếu công ty dành 15 triệu cho việc quảng cáo thì công ty sẽ bán được nhiều nhất là 231 lô hàng.
Bình luận: Ta có thể sử dụng tam thức bậc hai:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi .
Do bài toán đã cho sẵn hàm nên ta không quá khó để vận dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên. Tuy nhiên với các bài toán cần phải có một bước thiết lập hàm thì không dễ chút nào. Các bài toán tiếp theo bạn đọc sẽ thấy rõ hơn.
Bài tập tương tự 1: Một công ty xác định rằng tổng thu nhập (USD) từ việc sản xuất và bán x đơn vị sản phẩm được cho bởi công thức: Hãy tìm số x đơn vị sản phẩm cần sản xuất và bán để tổng thu nhập lớn nhất?
Lời giải
Ta có: 
 Ta có bảng biến thiên:
x
+
30
0
Từ bảng biến thiên, ta có: 
Vậy, để tổng thu nhập lớn nhất thì cần sản xuất và bán 30 đơn vị sản phẩm.
Bài tập tương tự 2: Một công ty đang lập kế hoạch cải tiến sản phẩm và xác định rằng tổng chi phí dành cho việc cải tiến là với là số sản phẩm được cải tiến. Tìm số sản phẩm mà công ty cần cải tiến để tổng chi phí là thấp nhất?
Lời giải
Ta có 
Bảng biến thiên:
x
+
6
 7
0
Dựa vào bảng biến thiên ta có: 
Lưu ý: Để xét dấu các khoảng của , ngoài việc sử dụng dấu của tam thức bậc hai thông thường ta có thể "trong vùng của số, chọn số thế vào, nếu ra số dương thì ghi + và ngược lại"
Bài toán 12. Doanh nghiệp A chuyên kinh doanh xe gắn máy và tay ga các loại. Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe tay ga Lead với chi phí mua vào một chiếc là 27 (triệu đồng) và bán với giá 40 (triệu đồng) mỗi chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua là 2.000 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 (triệu đồng) mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra sẽ tăng thêm 800 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện việc giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất?
Phân tích:
Ta có thể thử mô tả bài toán bằng bảng sau:
Ban đầu
Giá mua vào 1 chiếc xe
Giá bán ra 1 chiếc xe
Lợi nhuận khi bán 1 chiếc xe
Số lượng
Tổng lợi nhuận
27
(triệu đồng) 
40
(triệu đồng)
13
(triệu đồng)
2000
26 tỷ
Như vậy việc giảm giá bán trên 1 chiếc xe sẽ làm giảm lợi nhuận thu được khi bán 1 chiếc nhưng đồng thời cũng làm tăng lên nhu cầu mua xe của khách hàng. Theo giả thiết nếu giảm giá 1 (triệu đồng) thì số lượng xe bán ra sẽ tăng thêm 800 chiếc.
 Từ đây nếu gọi x là giá bán mới của mỗi chiếc Lead. Ta thấy rằng giá bán chỉ có thể dao động trong khoảng 27 triệu đồng đến 40 triệu đồng.
 Ta xác định lại số lượng xe bán ra sau khi giảm giá ứng với giá bán mới là x. Khi đó lợi nhuận của doanh nghiệm sẽ bằng tổng doanh thu – Tổng chi phí và là một hàm phụ thuộc theo biến x. Ứng dụng đạo hàm ta sẽ tìm được giá trị x thỏa yêu cầu bài toán.
Lời giải
Gọi x là giá bán mới của mỗi chiếc Lead mà doanh nghiệp phải xác định để lợi nhuận thu được sau khi giảm giá là cao nhất, 
Suy ra số tiền đã giảm là Đồng thời số lượng xe tăng lên là .
Vậy tổng số sản phẩm bán được là: 
Doan thu mà doanh nghiệp sẽ đạt được là: 
Chi phí mà doanh nghiệp phải bỏ ra là: 
Lợi nhận công ty đạt được là:
Đặt . Bài toán trở thành tìm 
Ta có: 
 triệu đồng
Lập bảng biến thiên:
x
+
0
0
48050
ta thấy triệu đồng hay 48 tỷ và 50 triệu đồng.
Bình luận: Trong kinh doanh ta thấy tùy vào từng thời điểm khác nhau, dựa theo nhu cầu của thị trường mà các nhà kinh doanh không ngừng thay đổi chiến lược kinh doanh của mình trong đó có những lúc “đại hạ giá” mà chúng ta vận thường quen với tên gọi là “sale off”. Với tâm lý thích giá vừa túi tiền nên các ta luôn thấy các bảng hiệu “sale off” (giảm giá) trưng bày trước rất nhiều cửa hiệu. Dĩ nhiên kinh doanh là cả một sự tính toán nhiều biến số thay đổi từng giây, từng phút chứ không hẳn chỉ dựa trên chất lượng tốt của sản phẩm.
Bài tập tương tự 1: Một nhà sản xuất bóng đèn với giá là 30 USD, tại giá bán này khách hàng sẽ mua 3000 bóng mỗi tháng. Nhà sản xuất dự định tăng giá bán và họ ước tính rằng cứ giá mà tăng lên 1 USD thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 bóng. Biết rằng nhà sản xuất bóng đèn với chi phí 18 USD mỗi bóng. Hỏi nhà sản xuất tăng giá bán là bao nhiêu để lợi nhuận là lớn nhất?
Lời giải
Gọi x là giá bán mới, 
Lượng tiền tăng trong giá bán là: 
Với giá bán mới, lượng bóng đèn bán ra trong tháng sẽ giảm 
Số bóng đèn bán ra hàng tháng theo giá mới là: 
Lợi nhuận mỗi bóng đèn là: 
Lợi nhuận thu được hàng tháng là:
Đặt . Bài toán trở thành tìm 
Ta có: 
 USD.
Bảng biến thiên:
x
+
39
0
Dựa vào bảng biến thiên ta có: USD.
Vậy nhà sản xuất cần bán USD/ bóng để đạt giá trị lợi nhuận cao nhất.
Bài tập tương tự 2: Một công ty nhận sản xuất 400000 huy chương bạc nhân ngày kỷ niệm lần thứ 30 Apollo 11 đổ bộ lên mặt Trăng. Công ty sở hữu 20 máy, mỗi máy có thể sản xuất 200 huy chương/ giờ. Chi phí lắp đặt máy để sản xuất huy chương là 80 USD/máy và tổng chi phí vận hành là 5,76 USD/giờ. Hãy biểu diễn chi phí sản xuất 400000 huy chương bằng một hàm theo số máy đã dùng. Hãy ước tính số máy mà công ty nên dùng để chi phí nhỏ nhất.
Lời giải
Gọi là số máy sử dụng và là hàm tổng chi phí sản xuất tương ứng. Chi phí lắp đặt các máy là 
Chi phí vận hành các máy là: 
Tổng chi phí là: 
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số với 
Ta có: 
Đồng thời: 
Vậy công ty nên sử dụng 12 máy để sản xuất thì tổng chi phí sẽ là nhỏ nhất.
Bài toán 13. (Ứng dụng trong sinh học). Trong một môi trường dinh dưỡng có 1000 vi khuẩn được cấy vào. Bằng thực nghiệm xác định được số lượng vi khuẩn tăng theo thời gian bởi quy luật (con vi khuẩn), trong đó t là thời gian (đơn vị giây). Hãy xác định thời điểm sau khi thực hiện cấy vị khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên là lớn nhất? 
Phân tích: Tương tự như những bài trước, do đề bài đã mô hình hóa bài toán dưới dạng hàm nên ta chỉ cần vận dụng kiến thức đạo hàm là có thể tìm được số lượng tăng nhanh nhất của vi khuẩn.
Lời giải
Ta có tốc độ phát triển của đàn vi khuẩn tại thời điể