Sáng kiến kinh nghiệm Tam giác đồng dạng và vận dụng

ệu thầy cô và các bạn đọc cùng tham khảo. Vấn đề mà tôi đã vận dụng và truyền đạt cho học sinh trong những buổi học chính khoá, đặc biệt là các buổi học bồi dưỡng và phụ đạo học sinh trong những năm gần đây.
II. nội dung
A. Các vấn đề về lí thuyết
	Trước khi giải các bài tập, cần cho học sinh nắm vững được các nội dung cơ bản về lí thuyết trong phần tam giác đồng dạng.
1/ Các cách chứng minh tam giác đồng dạng:
Cách 1: Dựa vào định lí về tam giác đồng dạng:
	Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.
Cách 2: (Trường hợp đồng dạng thứ nhất):
	Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Cách 3: (Trường hợp đồng dạng thứ hai):
	Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng với nhau.
Cách 4: (Trường hợp đồng dạng thứ ba):
	Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
 * Đối với tam giác vuông: 
Cách 1: Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.
Cách 2: Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.
Cách 3: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.
2/ Từ định nghĩa hai tam giác đồng dạng suy ra:
Các cặp góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng nhau.
Các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng tỉ lệ (lập được hệ thức tỉ lệ giữa các cạnh).
Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường cao tương ứng, tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng, tỉ số hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.
Tỉ số chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
3/ Cách xác định các đỉnh tương ứng, các góc tương ứng, các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng.
Nếu hai tam giác đồng dạng:
a. Cách xác định đỉnh tương ứng:
 Hai góc của tam giác bằng nhau thì hai đỉnh của hai góc đó tương ứng.
 Hai đỉnh đối diện với hai cạnh tương ứng là hai đỉnh tương ứng.
b. Cách xác định góc tương ứng:
- Hai đỉnh tương ứng thì hai góc có hai đỉnh đó tương ứng (tức hai góc đó bằng nhau).
- Hai góc đối diện với hai cạnh tương ứng là hai góc tương ứng.
c. Cách xác định cạnh tương ứng:
- Hai cạnh đối diện với hai đỉnh tương ứng là hai cạnh tương ứng.
- Hai cạnh đối diện với hai góc tương ứng là hai cạnh tương ứng.
d. Lưu ý:
	Nên rèn luyện cho học sinh nhận biết các đỉnh tương ứng, các góc tương ứng, các cạnh tương ứng trên hình vẽ để học sinh dễ hiểu, dễ nhận biết, nhớ lâu và khắc sâu được kiến thức.
4/ Các sai sót khi vận dụng kiến thức của tam giác đồng dạng vào giải toán. 
Xác định không đúng các đỉnh tương ứng, các góc tương ứng, các cạnh tương ứng.
 Ghi kí hiệu các tam giác đồng dạng không đúng thứ tự các đỉnh tương ứng, dẫn đến xác định sai các cặp góc bằng nhau, lập hệ thức tỉ lệ giữa các cạnh sai.
 c.Lẫn lộn giữa sự tương ứng tỉ lệ giữa các cạnh với sự bằng nhau của các cạnh.
B. các vận dụng vào giải bài tập.
1/ Một vài đặc điểm về các dạng bài toán trong phần tam giác đồng dạng .
Chứng minh hai góc bằng nhau:
 	Để chứng minh hai góc bằng nhau, trong một số trường hợp khó có thể áp dụng được cách chứng minh thông thường đã biết, mà chỉ có thể vận dụng kiến thức về tam giác đồng dạng mới giải quyết được, đặc biệt là trường hợp các cạnh của các góc không cố định, số đo các góc có thể thay đổi.
Chứng minh các hệ thức hình học:
	Ta có thể dựa vào các tam giác đồng dạng, từ các tam giác đồng dạng ta lập được hệ thức tỉ lệ giữa các cạnh của tam giác, so sánh các tỉ số để được tỉ lệ thức theo yêu cầu của đề bài, lập được các đẳng thức tích giữa các đoạn thẳng. 
 Chứng minh tích các đoạn thẳng không đổi.
 Để chứng minh điều này, trước hết ta phải xác định trong bài toán có những đại lượng nào cố định: (cạnh tam giác, bán kính đường tròn,). Tìm mối liên hệ giữa các đoạn thẳng cố định với các đoạn thẳng khác. Dựa vào tam giác đồng dạng lập ra các tỉ lệ thức, từ đó lập được đẳng thức tích của các đoạn thẳng trong đó có tích của các đoạn thẳng không đổi.
Liên hệ với thực tế đo gián tiếp chiều cao của vật, xác định khoảng cách giữa hai địa điểm trong đó có một điểm không tới được.
Vận dụng vào để chứng minh tứ giác nội tiếp và giải các bài tập liên quan
2/ Vận dụng kiến thức về tam giác đồng dạng vào giải toán như thế nào?
	Kiến thức về tam giác đồng dạng có thể vận dụng để giải được nhiều dạng toán hình học. Tuy nhiên vì điều kiện trong đề tài này ta chỉ nghiên cứu và xét một số dạng đặc biệt thường gặp trong chương trình, phục vụ cho việc dạy và học trong nhà trường THCS, một số ví dụ đại diện cho các dạng toán.
Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau (lớp 8)
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A và H là trung điểm của BC. Gọi I là hình chiếu của H trên cạnh AC, O là trung điểm của HI.
Chứng minh rằng: éHAO = éCBI.
	Phân tích bài toán:
- Để chứng minh éHAO = éCBI ta đưa về chứng minh hai tam giác đồng dạng.
- Hai tam giác nào có chứa cặp góc trên? Hãy chứng minh hai tam giác đó đồng dạng?
Thật vậy:	 A
Từ DAHC ~ DHIC (vì có éH = éI = 900, góc C chung)
I
Suy ra , mà và HI = 2HO 
O
nên ta có: 
 (1) B H C
Mặt khác: éAHO = éBCI (cùng phụ với éHAI). (2) 
Nên từ (1) và (2) ta suy ra DAHO ~ DBCI (c-g-c) 
 ị éHAO = éCBI (hai góc tương ứng). 
Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB, trung điểm M.
 Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB lấy hai điểm C và D sao cho éACM = éDMB và éCAM = éMBD.
Chứng minh éMCD = éACM.
	Phân tích bài toán:
- Từ giả thiết éACM = éDMB và éCAM = éMBD ta có được hai tam giác nào đồng dạng?
- Từ hai tam giác đó đồng dạng suy ra điều gì?
- éMCD và éACM là hai góc của tam giác nào?
- Nếu DCMD ~ DCAM thì có suy ra được điều cần chứng minh không?
Từ đó giúp học sinh hình thành lời giải bài toán.
	Hai tam giác ACM và BMD có: D
éACM = éDMB và éCAM = éMBD C
Nên DACM ~ DBMD (g-g)
 Mà BM = AM nên A M B
 hay (1)
Ta lại có: éCMD = 1800 - (éCMA + éDMB)
 = 1800 - (éCMA + éACM) = éCAM
Vậy éCMD = éCAM (2)
Từ (1) và (2) suy ra DCMD ~ DCAM (c-g-c)
	ị éMCD = éACM (hai góc tương ứng).
Tương tự học sinh có thể giải được bài tập khác như:
Bài tập: Cho tam giác ABC với éC < éB. 
Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AB2 = AD.AC. Chứng minh éABD = éACB.
Dạng 2: Chứng minh hệ thức – tỉ lệ thức (lớp 8).
 Dạng toán này thường gặp nhiều trong các bài tập chứng minh tam giác đồng dạng.
Ví dụ 3: Cho hình thoi ABCD có éA = 600, P là một điểm thuộc cạnh AB, N là giao điểm của hai đường thẳng AD và CP.
Chứng minh hệ thức AB2 = BP.DN
Gọi M là giao điểm của BN và DP. Chứng minh éDMB = 600.
 Chứng minh rằng PA.PB = PD. PM.
	Phân tích bài toán:
Câu 1) Vì ABCD là hình thoi nên ta có AB = BC = CD.
D
 Do đó : AB2 = CD.BC
Vậy nên muốn chứng minh AB2 = BP.DN 
P
ta chứng minh CD.BC = BP.DN A C 
Dễ nhận thấy: 
 CD và DN là hai cạnh của tam giác CDN N M B
 BC và BP là hai cạnh của tam giác PBC
Do đó nếu có DPBC ~ DCDN thì
( Thật vậy: Hai tam giác PBC và CDN có:
	 éPBC = éCDN (hai góc đối diện của hình thoi)
	 éBPC = éDCN (cặp góc so le trong)
	 Nên DPBC ~ DCDN (g-g)).
Câu 2) Vì tam giác ABD đều nên
Từ câu 1 suy ra được ( Vì Có BD = AB)
	Mặt khác éPBD = éBDN = 600 nên ta có:
DBPD ~ DDBN (c-g-c) ị éBDP = éDNB (hai góc tương ứng).
Từ đó suy ra éDMB = éDNM + éNDM = éBDP + éNDM = éBDN = 600
Vậy: éDMB = 600.
Câu 3) Khi đó ta thấy vì éDMB = 600 nên DMPB ~ DAPD (g-g)
	ị 
Ví dụ 4: Giả sử AC là đường chéo lớn của hình bình hành ABCD. Từ C kẻ các đường CE, CF lần lượt vuông góc với các đường thẳng AB và AD (E ẻ AB, F ẻ AD)
	Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC2.
	Phân tích bài toán:
- Vì ABCD là hình bình hành có AD = BC nên AD.AF = BC.AF
- AF là một cạnh của tam giác vuông AFC, Nếu từ B kẻ BI ^ AC thì tam giác CBI có đồng dạng với tam giác ACF không?
- Kẻ BI ^ AC : E B A 
*) DACF và DCBI có 
I
	éAFC = éBIC = 900 
 éFAC = éBCI (có AF // BC) C D 
Suy ra DACF ~ DCBI (g-g) 
Do đó . F 
Vì BC = AD (hai cạnh đối của hình bình hành)
 Nên AF.AD = AC.CI (1) 
- AC, AE là hai cạnh của tam giác vuông AEC, vậy thì AB là một cạnh của tam giác vuông nào đồng dạng với tam giác AEC? 
*) DACE và DABI có:
éAEC = éAIB = 900, Góc CAE chung
Suy ra DACE ~ DABI (g-g)
Do đó: (2)
Từ (1) Và (2) ta có: AF.AD + AB.AE = AC.CI + AC.AI
Hay AF.AD + AB.AE = AC (CI + AI) = AC.AC = AC2
	Vậy: AB.AE + AD.AF = AC2.
* Lưu ý: 
	- Trong chứng minh các hệ thức nhiều khi ta cần chứng minh thông qua nhiều cặp tam giác đồng dạng để tìm ra mối liên hệ giữa các đẳng thức, từ đó rút ra điều cần chứng minh.
	- Thông qua các tam giác đồng dạng ta rút ra được nhiều hệ thức và điều này còn phục vụ cho chương trình hình học lớp 9 sau này.
Chẳng hạn như bài tập:
	Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H ẻ BC).
Chứng minh rằng:
AB2 = BH.BC; AC2 = CH. BC
AH2 = BH.CH
.
Và đó cũng là các hệ thức lượng trong tam giác vuông mà lên lớp 9 ta sẽ tìm hiểu.
Dạng 3: Chứng minh tích các đoạn thẳng không đổi - chứng minh hệ thức (l. 8)
	Trong một bài toán, dựa vào tam giác đồng dạng ta có thể rút ra được các hệ thức để chứng minh cho tích của các đoạn thẳng không đổi khi có một yếu tố nào đó thay đổi và còn phục vụ để chứng minh cho các yêu cầu khác liên quan.
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của cạnh đáy BC. Trên AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho éDME = éB.
	a, Chứng minh rằng tích BD. CE không đổi khi vị trí của D và E thay đổi trên AB và AC.
	b, Chứng minh DM là tia phân giác của góc BDE.
	EM là tia phân giác của góc CED.
	Phân tích bài toán:
- Trong bài toán có những đại lượng nào cố định? BD và CE có mối quan hệ gì với các đại lượng này?
	Theo bài toán thì các đoạn thẳng AB, AC, BC, MB, MC cố định, dựa vào tam giác đồng dạng ta lập được mối quan hệ giữa BD và CE với các đoạn thẳng này.
Câu a) - Ta có: A
éBME = éBMD + éDME = éC + éCEM
(Vì éBME là góc ngoài của DCME). E
Mà éDME = éB = éC (gt) D
 Từ đó suy ra: éBMD = éCEM.
Xét DBMD và DCEM, chúng có: B M C
éB = éC (Vì DABC cân tại A)
éBMD = éCEM (chứng minh trên)
Nên DBMD ~ DCEM (g-g) 
Mà BM = CM = BC, vì BC không đổi nên BM = CM không đổi.
Do đó BM.CM không đổi. Vậy BD.CE không đổi.
Câu b) Để chứng minh DM là phân giác của góc BDE, ta phải chứng minh 
 éBDM = éMDE.
	Vì vị trí của D, E có thể thay đổi trên AB, AC nên số đo của các góc BDM, MDE có thể thay đổi
Do vậy, muốn chứng minh éBDM = éMDE ta dựa vào chứng minh hai tam giác BMD và MED đồng dạng.
	Vì DBMD ~ DCEM nên: . Mà CM = MB nên ta suy ra: 
 . 
Lại có éB = éDME (gt)
Nên: DBMD ~ DMED (c-g-c). Suy ra éBDM = éMDE (hai góc tương ứng).
 Vậy DM là phân giác của góc BDE.
- Chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của góc CED.
Ví dụ 6: Cho hình vuông ABCD, cạnh có độ dài là a. Một đường thẳng d bất kỳ đi qua đỉnh C cắt tia AB tại E và cắt tia AD tại F.
Chứng minh rằng tích BE.DF có một giá trị không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d.
Chứng minh hệ thức 
Xác định vị trí của đường thẳng để có hệ thức DF = 4.BE
 Phân tích bài toán:
 - Hình vuông ABCD có các cạnh AB, BC, CD, DA cố định. Đường thẳng d thay đổi nên BE và DF cũng thay đổi.
 - Để chứng minh tích BE.DF có giá trị không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d ta biểu thị tích BE.DF thông qua các đại lượng không đổi. Lập được điều đó bằng cách dựa vào hai tam giác đồng dạng.
Câu 1) Ta có hai tam giác vuông EBC và CDF đồng dạng nên
 Vì a2 không đổi nên BE.DF không đổi, suy ra
 BE.DF không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d. 
Câu 2) ABCD là hình vuông nên BC = CD 
Ta có thể viết: 
 E
Để có được 	 
ta chứng minh B C
Do đó phải xét tới hai tam giác đồng dạng.
A D F
Thật vậy:
 DEBC ~ DEAF (g-g) (1)
 DCDF ~ DEAF (g-g) (2)
Nhân (1) và (2) vế với vế, chú ý rằng DC = BC ta được 
- Sử dụng kết quả câu 2 ta giải được câu 3.
Câu 3) Khi DF = 4. BE Cho ta 
Mà 
Vậy để BF = 4.BE thì đường thẳng d phải cắt tia AB tại một điểm cách B một đoạn bằng .
Ví dụ 7: Cho hình bình hành ABCD, điểm F thuộc cạnh BC. Tia AF cắt BD và CD lần lượt tại E và G .
	Chứng minh: 1) AE2 = EF.EG
 2) BF.DG không đổi khi điểm F thay đổi trên BC.
	Phân tích bài toán:
Câu 1) 
A B
- Vì AB // DG nên DAEB ~ DGED 
F
E
 (1) 
- BF // AD nên DEBF ~ DEDA 
	 (2) D C G 
Từ (1) và (2) suy ra 
Câu 2) Ta nhận thấy các cạnh AB, BC, CD, DA của hình bình hành có giá trị không đổi. Do đó cần phải tìm mối quan hệ giữa BF, DG với các đoạn thẳng này.
 Vì DEAB ~ DEGD nên (3)
	DBEF ~ DDEA nên (4)
Từ (3) và (4) 
Vì AB, DA không đổi nên AB.DA không đổi
	Vậy BF.DG không đổi.
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC và trung tuyến AM. Trên BC lấy điểm D (D ạM), từ D kẻ đường thẳng song song với AM cắt tia BA ở E, cắt tia CA ở F. 
Chứng minh rằng khi D di động trên BC thì:
DE + DF không đổi.
 Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE tại I. 
Chứng minh rằng I là trung điểm của EF. 
	Phân tích bài toán:
Câu 1) Theo bài toán các đoạn thẳng không đổi E 
là BC, AB, AC, AM. Ta tìm mối liên hệ của DE và 
DF với các đoạn thẳng trên. A I 
F
Ta có:
- DBDE ~ DBMA (vì AM // DE) 
 - DCDF ~ DCMA (vì DF // MA) B M D C
Cọng theo vế các đẳng thức trên ta được:
 hay (Vì BM = CM)
, mà BC = 2CM nên 
	Vì MA không đổi nên DE + DF không đổi.
Câu 2) Để chứng minh I là trung điểm của EF ta chứng minh IE = IF. Do đó ta cần dựa vào các tam giác đồng dạng để chỉ ra các tỉ số bằng nhau trong đó có chứa IE và IF.
- Dễ nhận thấy rằng:
	DAIE ~ DBMA (g-g) (1)
	DAIF ~ DCMA (g-g) (2)
Vì BM = CM nên từ (1) và (2) ta suy ra được 
	Vậy I là trung điểm của EF.
Dạng 4: ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng (lớp 8).
	 Kiến thức về tam giác đồng dạng không chỉ dùng để giải các các bài tập, mà nó còn được ứng dụng để phục vụ cho tính toán và đo đạc trong cuộc sống. Chẳng hạn như: Tính được chiều cao của một vật (đo gián tiếp) hay xác định khoảng cách giữa hai địa điểm, tạo ra dụng cụ đo bề dày của một số loại sản phẩm, ứng dụng vẽ hình đồng dạng (thước vẽ truyền), điều đó cũng được đề cập đến trong các bài tập ở sách giáo khoa (Bài tập 48, 50, 53, 54, 55 trang 84, 87 sách giáo khoa).
 * Không những được áp dụng rộng rãi trong chương trình hình học 8, tam giác đồng dạng còn là một công cụ hữu hiệu cho việc sử dụng vào chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh tích không đổi của các đoạn thẳng của hình học lớp 9.
Dạng 5: Vận dụng vào hình học 9.
Ví dụ 9: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O. D là một điểm trên cung nhỏ BC, BD cắt AC tại N; CD cắt AB tại M. Tia phân giác của góc CBM và góc BCN cắt nhau tại I. Chứng minh:
	1. Tích BM.CN không đổi.
	2. Ba điểm M, I, N luôn thẳng hàng khi D di động trên cung BC.
	Phân tích bài toán:
 - Các đoạn thẳng nào có giá trị không đổi?
 - Biểu thị tích BM.CN thông qua các đoạn thẳng đó như thế nào? Câu1) Ta nhận thấy AB = BC = AC không đổi. Dựa vào tam giác đồng dạng xét mối quan hệ giữa BM, CN với AB, BC, AC.
 Vì DABC là tam giác đều nên:
	éMBC = éNCB =120o (góc ngoài của DABC).
	éBMC = (sđ AC – sđ BD) = (sđ BC – sđ BD) = sđ CD.
	éCBN = sđ CD 
A
Từ đó suy ra éBMC = éCBN. 
Hai tam giác BCM và CNB có	
O.
éMBC = éBCN, éBMC = éCBN 
nên đồng dạng. C 
B
D
Do đó ta có D
 Suy ra: BM.NC = CB2. 
	Do BC không đổi nên 
 BM.NC không đổi M I N
Câu 2) - Ta chứng minh ba điểm M, I, N thẳng hàng bằng cách chứng minh tổng éBIM + éBIC + éCIN = 1800
	- Dễ dàng chứng minh được DBCI đều ị éBIC = 60o và BC = BI = CI.
	- Do vậy ta phải chứng minh éBIM + éCIN = 120o 
	- DBIM có éMBI = 60o nên éBIM + éBMI = 120o 
	 Vậy ta cần phải chứng minh được éBMI = éCIN.
	- Khi D chuyển động trên BC thì M, N đều chuyển động, do đó số đo các góc BMI và CIN thay đổi.
	Vậy, để chứng minh éBMI =éCIN ta dựa vào việc chứng minh hai tam giác đồng dạng.
Thật vậy: Xét DBMI và D CIN có:
 éMBI = éNCI = 60o 
Từ (vì CB = BI = CI)
Vậy nên DBMI ~ DCIN (c.g.c)
 Suy ra éBMI = éCIN (Hai góc tương ứng).
Từ đó ta có: éBIM + éCIN = éBIM + éBMI = 120o 
Cho nên éBIM + éBIC + éCIN = 1800 
	Vậy, khi D di động trên cung BC ta luôn có ba điểm M, I, N thẳng hàng.
Ví dụ 10: Cho đường tròn (O;R), một cát tuyến cắt đường tròn tại A và B. Trên cát tuyến đó lấy điểm C (C nằm ngoài AB). Từ C kẻ các tiếp tuyến CM, CN với đường 
tròn ( M, N là tiếp điểm). Đường thẳng đi qua O vuông góc với AB tại H cắt MN kéo dài tại I.
	 Chứng minh rằng: Khi C di động trên cát tuyến AB thì tích OI.OH không đổi;
 OI không đổi.
	Phân tích bài toán:
- Ta có bán kính R là yếu tố không đổi. Do đó để chứng minh tích OI.OH không đổi là tìm mối quan hệ giữa OI.OH với R.
 I 	
 M
H
O
 A B C
 N
Hai tam giác vuông OKI và OHC có:
éOKI = éOHC = 90o ( K là giao của OC và MN).
Góc O chung
Do đó DOKI ~ DOHC (g.g) Suy ra (1)
 Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OMC, có MK là đường cao nên OM2 = OK.OC (2)
Từ (1) và (2) suy ra OI.OH không đổi.
	Vì OI.OH không đổi, mà OH không đổi ị OI không đổi.
	* Từ các tam giác đồng dạng ta suy ra được các tỉ lệ thức của các đoạn thẳng tỉ lệ. Ngược lại, dựa vào các đoạn thẳng tỉ lệ ta chứng minh được các tam giác đồng dạng. Điều này giúp ta rút ra những kết luận để chứng minh được tứ giác nội tiếp.
Ví dụ 11: Cho hình thang ABCD có éA = éD = 90o, E là trung điểm của AD. Kẻ AH vuông góc với BE, DI vuông góc với CE. 
	Chứng minh rằng BHIC là tứ giác nội tiếp.
	Phân tích bài toán:
- Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta dễ dàng nhận thấy:
 DAEB vuông tại A, đường cao AH nên
 	 EH.EB = EA2 (1)
 DDEC vuông tai D, đường cao DI nên A B
	 EI.EC = ED2 (2)
 Lại có EA = ED do đó H
từ (1) và (2) suy ra EH.EB = EI.EC. E
 Từ hệ thức này, ta chứng minh được I
BHIC là tứ giác nội tiếp nhờ vào bước trung
 gian chứng minh tam giác đồng dạng:
 Xét DEHI và DECB ta có:	 D C
	Góc E chung, (vì EH.EB = EI.EC)
Do đó DEHI ~ DECB (c.g.c) Suy ra éEHI = éECB. 
Tứ giác BHIC có góc C bằng góc ngoài tại đỉnh H nên là tứ giác nội tiếp.
Ví dụ 12: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C ẻ(O)). Gọi I là giao điểm của OA và BC. Kẻ dây DE của đường tròn (O) đi qua điểm I.
 Chứng minh rằng tứ giác ADOE nội tiếp.
	Phân tích bài toán:	 
 B
 A D 
 E
 C
- Ta có tam giác ABC cân tại A, AO là phân giác của góc A nên AO ^ BC và 
IB = IC.
 DABO vuông tại B, BI là đường cao nên IA.IO = IB2 = IB.IC (1)
- Nhận thấy rằng hai tam giác IBD và ICE đồng dạng vì có:
	 éBID = éCIE (đối đỉnh) và éDBI = éCEI (cùng chắn cung CD)
 Suy ra (2)
Từ (1) và (2) ị IA.IO = ID.IE
- IA.IO = ID.IE 
Mặt khác ta lại có éDIA = éOIE (đối đỉnh)
Nên DAID ~ DEIO (c-g-c) suy ra éADI = éEOI (hai góc tương ứng)
	Hay éADE = éAOE ị ADOE là tứ giác nội tiếp.
C. kết quả thu được:	
	Từ việc phân loại các dạng bài tập, khắc sâu cho học sinh những vấn đề lý thuyết qua những tiết học cũng như tiết luyện tập, trong những buổi bồi dưỡng. Các em đã biết vận dụng lý thuyết trong bài học, phát huy khả năng hệ thống kiến thức cơ bản, phân dạng bài tập; vận dụng lý thuyết vào giải bài tập một cách nhuần nhuyễn, có tính tò mò trong học toán, trên cơ sở đó vận dụng vào giải được các bài tập tương tự; không còn lo sợ khi làm bài tập hình học.	
Trong các buổi lên lớp, với lớp đại trà tôi đã đưa ra những bài tập dễ hơn, bổ sung nhiều bài tập tương tự để học sinh nhận dạng, vận dụng rút ra phương pháp giải. Đối với học sinh khá giỏi bài tập được mở rộng hơn và mức độ khó được nâng cao dần. 
	Thực tế cho thấy: Trước khi áp dụng đề tài này, học sinh rất ngại khi xét các tam giác đồng dạng, lẫn lộn giữa các yếu tố tương ứng trong tam giác đồng dạng. Điều đó dẫn đến những sai lầm thường gặp khi chứng minh.
	Sau khi áp dụng, học sinh giải toán về tam giác đồng dạng có hứng thú hơn, các em nắm được kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa - các kiến thức bổ trợ được giáo viên cung cấp và vận dụng linh hoạt vào giải toán. Thông qua đó học sinh nắm vững