Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn

). Vậy phải chú ý: 
- Qui đồng và bỏ mẫu 
- Đặt x t= và đừng quên đặt điều kiện cho t. 
- Tìm được t thoả mãn điều kiện đã đắt. 
- Tìm x thông qua t. 
Bài 1. Cho 
−
=
+
x 1
P
x 2
 với ; ;x 0 x 1 x 4   .Tìm x biết = −P x 
Bài giải 
−
= −  = −  + − =
+
x 1
P x x x 3 x 1 0
x 2
Đặt x t= ( ); ;t 0 t 1 t 2   
 + − =2t 3t 1 0 
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 
Trang 10/17 
=13>0, Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
( )
 − +
=

 − −
=

3 13
t
2
3 13
t loai
2
Với ( )
3 13 3 13 11 3 13
t x x tmdk
2 2 2
− + − + −
 =  =  = 
Vậy 
−
=
11 3 13
x
2
Bài 2. Cho 
+
=
−
x 1
P
x 4
 với ;x 0 x 4  . Tìm x biết: ( )− =P x 4 2x 
Bài giải 
( ) ( )+− =  − =  + =  − − =
−
x 1
P x 4 2x x 4 2x x 1 2x 2x x 1 0
x 4
Đặt x t= ( );t 0 t 2  Pt 
( )
=
 − − = 
 = −

2
t 1
2t t 1 0 1
t loai
2
Với t = 1 ( )x 1 x 1 tmdk =  = 
2.2.3. Dạng 3: Tìm x biết ; ; ;P a P a P a P a    (a là một giá trị thực) 
Bản chất của câu hỏi này là giải bất phương trình (chứa căn). Vậy phải chú ý: 
- Khi giải bất phương trình chỉ được phép bỏ mẫu khi xác định được dấu của mẫu và 
chiều của bất phương trình. 
- Nghiệm tìm được phải được kết hợp với những điều kiện đã đặt. 
Bài 1.Cho 
−
=
−
x 3
P
x 2
 với ; ;x 0 x 1 x 4   .Tìm x biết P>1 
Bài giải 
( )− − −− −
    −   
− − −
−
   −     
−
x 3 x 2x 3 x 3
P 1 1 1 0 0
x 2 x 2 x 2
1
0 x 2 0 x 2 x 4
x 2
Kết hợp điều kiện xác định ta có: 
 


0 x 4
x 1
Bài 2.Cho 
+
=
−
x 1
P
x 3
 với ; ;  x 0 x 1 x 9 .Tìm x biết P P 
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 
Trang 11/17 
Bài giải 
1
0 0
3
x
P P P
x
+
    
−
Ta có     +  x 0 x 0 x 1 1 0 
Để 
1
0 3 0 3 9
3
x
x x x
x
+
  −     
−
Kết hợp điều kiện xác định: 
 


0 x 9
x 1
2.2.4. Dạng 4: So sánh P với một số a 
Phương pháp: Xét hiệu P - a. 
- Nếu P - a > 0  P >a 
- Nếu P - a <0  P <a 
Bài 1. Cho 
2
1
x
P
x
=
+
 với ; x 0 x 1. So sánh P với 2 
Bài giải 
Xét 
( )2 2 12 2
2 2 2 2
1 1 1
x xx
P P P
x x x
− + −
− = −  − =  − =
+ + +
Ta có     +  x 0 x 0 x 1 1 0 
2
2 0
1
P
x
−
 − = 
+
 với mọi x thoả mãn đkxđ 
2P  với mọi x thoả mãn đkxđ 
Vậy P < 2 với mọi x thoả mãn đkxđ. 
Bài 2. Cho 
1x x
P
x
+ +
= với ; x 0 x 1. So sánh P với 3 
Bài giải 
Xét 
( )
2
11 1 3 2 1
3 3 3
xx x x x x x x
P P
x x x x
−+ + + + − − +
− = − = =  − = 
Ta có ( ); ;   −  
2
x 0 x 1 x 1 0 x 0 
( )
2
1
3 0 3
x
P P x
x
−
 − =     thỏa mãn điều kiện 
Bài 3. Cho 
1
1
x x
P
x
− +
=
+
 với ; x 0 x 1. So sánh P với P 
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 
Trang 12/17 
Bài giải 
Ta có 
2
1 1 3 1 3
1 2 . 0
2 4 4 2 4
x x x x x x
 
− + = − + + = − +   
 
tm đk xđ 
Mà     +  x 0 x 0 x 1 1 0 
1
0
1
x x
P
x
P P
− +
 = 
+
 =
2.2.5. Dạng 5: Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên: 
Ở dạng toán này chúng ta cần lưu ý học sinh đọc kỹ yêu cầu của đề bài: tìm giá 
trị nguyên của x hay tìm giá trị của x. Trong yêu cầu tìm giá trị nguyên của x thì 
phương pháp thực hiện là quy về ước, bội. Còn với yêu cầu tìm giá trị của x, hiểu là 
giá trị của x thuộc tập số thực thì phương pháp thực hiện lại là sử dụng bất đẳng thức 
để chặn giá trị của biểu thức. 
Bài 1. Cho 
3
1
P
x
=
+
với ; x 0 x 1. Tìm x Z để P Z 
Bài giải 
Ta có 
3
1
P
x
=
+
, để P Z 1x +  Ư(3)={-3;-1;1;3}. Ta có bảng sau: 
1x + -3 -1 1 3 
x -4 -2 0 2 
x   0 4 
 Vậy x{0;4} 
Bài 2. Cho 
3 2
2
x
P
x
−
=
−
 với ; ;  x 0 x 4 x 9 . Tìm x Z để P Z 
Bài giải 
Ta có 
4
3
2
P
x
= +
−
, để P Z 2x −  Ư(4)={-4;-2;-1;1;2;4}.Ta có bảng sau: 
2x − -4 -2 -1 1 2 4 
x -2 0 1 3 4 6 
x  0 
(loại) 
1 9 
(loại) 
16 36 
 Vậy x{1;16;36} 
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 
Trang 13/17 
Bài 3. Cho 
7
P
x 3
=
+
 với x 0 . Tìm x để P có giá trị nguyên. 
Bài giải 
Ta có x  0 nên P > 0 
Mặt khác x  0 
7 7
x 3 3
3x 3
+   
+
 nên 
7
0 P
3
  . Để  P Z P 1;2   
+) P = 1 x 16 = (thỏa mãn điều kiện) 
+) P = 2 
1
x
4
 = (thỏa mãn điều kiện) 
Vậy 
1
x ;16
4
 
 
 
2.2.6. Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P 
Đối với dạng toán này ta chia làm loại bài tập thường gặp: Khi chia tử cho 
mẫu, thương là số thì thực hiện đánh giá từ điều kiện của x. Khi chia tử cho mẫu, 
thương là biến thì phương pháp thực hiện là sử dụng bất đẳng thức Cô – si (AM-
GM). 
Bài 1. Cho 
3
2
P
x
=
+
 với ; x 0 x 4 . Tìm giá trị lớn nhất của P. 
Bài giải 
Ta có 
    + 
 
+
 
+
 
x 0 x 0 x 2 2
1 1
2x 2
3 3
2x 2
3
P
2
3
2
max
P = khi x = 0.Vậy giá trị lớn nhất của P là 
3
2
 khi x = 0. 
Bài 2. Cho 
5 13
3
x
P
x
+
=
+
 với ; x 0 x 9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 
Bài giải 
Ta có 
2
5
3
P
x
−
= +
+
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 
Trang 14/17 
    + 
 
+
− −
 
+
− −
 +  +
+
 
x 0 x 0 x 3 3
1 1
3x 3
2 2
3x 2
2 2
5 5
3x 2
13
P
3
min
13
3
P = khi x = 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 
13
3
 khi x = 0. 
Bài 3. Cho 
1x x
P
x
− +
= với x 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 
Bài giải 
Ta có 
1 1
1 1P x x
x x
= − + = + − 
Vì x > 0 nên 
1
0; 0x
x
  . áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số 
1
0; 0x
x
  : 
1 1
2 .
1
2
1
1 2 1
1
x x
x x
x
x
x
x
P
+ 
 + 
 + −  −
 
min
1P = khi 
1
1x x
x
=  = . Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 1 khi x = 1. 
Bài 4. Cho 
2
2
x
P
x
=
−
 với x 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 
Bài giải 
Ta có ( )8 82 4 2 2 8
2 2
P x x
x x
= + + = − + +
− −
Vì x >4 nên ( ) 82 2 0; 0
2
x
x
−  
−
. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số 
: ( ) 82 2 0; 0
2
x
x
−  
−
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 
Trang 15/17 
( ) ( )
( )
( )
( )
8 8
2 2 2 2 2 .
2 2
8
2 2 8
2
8
2 2 8 8 8
2
16
x x
x x
x
x
x
x
P
− +  −
− −
 − + 
−
 − + +  +
−
 
min
16P = khi 
( ) ( )
2 2 2 4 168
2 2 2 4 16
0( )2 2 2 0
x x x
x x x
x lx x x
 − = = =
− =  − =     =  
=− − = − =   
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 16 khi x = 16. 
2.2.7. Dạng 7: Tìm giá trị của tham số m để P thoả mãn một đẳng thức, một bất 
đẳng thức: 
Những bài tập của dạng toán này thường được quy về phương trình, bất 
phương trình và thực hiện biện luận theo điều kiện ban đầu để kết luận về tham số. 
Chúng ta nên hướng dẫn với đối tượng học sinh giỏi một chút kiến thức về nghiệm và 
số nghiệm của phương trình, một số quy tắc giải bất phương trình. 
Bài 1. Cho 
2
2
x
P
x
=
−
 với 





4x
0x
. 
Tìm m để có 1 giá trị x thoả mãn: ( ) ( )P x 2 x m 2x x m 1− + − − = − 
Bài giải 
( ) ( ) ( )( )
( )
− + − − = −  − − + − =
=
 −
 =

P x 2 x m 2x x m 1 x 1 2x m 1 0
x 1 tmdk
m 1
x
2
Để có 1 giá trị x thì:
m 1
1
2 m 3
m 1
0 m 1
2
m 9
m 1
4
2
−
=
=
−    

 = −
 =

. Vậy m < 1 hoặc m=3; hoặc m = 9 
Bài 2. Cho 
4
3
x
P
x
=
−
với 0 : 4 ; 9x x x   
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 
Trang 16/17 
Tìm m để 3 2P m x= + − có 2 nghiệm phân biệt. 
Bài giải 
3 2P m x= + − ( ) ( )11 3 6 0 1x m x m − − + − = 
Đặt t x= 0; 2; 3t t t   pt trở thành : 
Pt  ( )
2 11 3 6 0t m t m− − + − = (2) 
Để phươn trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (2) cú hai nghiệm dương 
phân biệt khác 2 và 3 
Điều này xảy ra khi: 
0
0
0
2; 3
b
a
c
a
t t

−
 


 

  
Giải ra được m>29 
Bài 3. Cho 
3
2
=
−
P
x
với 0 : 4 ; 9  x x x . Tìm m để với mọi x > 9 ta có: 
( ). . − +  + x P x 2 2m 1 4x 
Bài giải. (Bản chất là tìm m để x>9 là tập con của tập nghiệm bất phương trình trên) 
( ) ( ). . − +  +  −  x P x 2 2m 1 4x x 2m 1 1 
Để bpt đúng với mọi x>9
− 
−  −  −   
   
     −   
−  −     − − −   
2m 1 0
2m 1 0 2m 1 0 2m 1 0
1
x 1 1 10 18m
2m 1 9 9 0 0
2m 1 2m 1 2m 1
x 9

−  
    
−   

1
m
2m 1 0 12
m
510 18m 0 2
m
9
Bài 4. Cho 1= −P x Đkxđ: 0: 4 x x 
Tìm m để có x thoả mãn ( )1 .x P x m+  + 
Bài giải 
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 
Trang 17/17 
( )
2
2
1 5
1 . 1 0 0
2 4
1 5
(1)
2 4
x P x m x x m x m
x m
 
+  +  + + −   + − +  
 
 
 +  − 
 
Ta có 
2
1 1 1 1
x 0 x 0 x x
2 2 2 4
 
    +   +  
 
 (2) 
Từ (1) và (2): 
5 1
1
4 4
m m−    
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 
Trang 18/17 
3 . KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 
Đề tài “Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn” đã 
được sử dụng trong giảng dạy ôn thi vào lớp 10 cho học sinh lớp 9 trong các năm học 
2016 – 2017; 2017-2018; 2018 – 2019. Học sinh rất hứng thú với các đề vì các yếu 
tố: Học sinh dễ dàng làm được các câu hỏi cơ bản, nắm được phương pháp giải các 
câu hỏi phụ, là những câu hỏi khó, mang tính quyết định đạt điểm tối đa bài toán rút 
gọn trong đề thi. 
Số liệu thống kê điểm kiểm tra bài toán rút gọn theo cấu trúc đề thi vào lớp 10 
Hà Nội năm học 2017 – 2018 của học sinh lớp 9B và năm học 2018 – 2019 của lớp 
9G, sau khi áp dụng đề tài: 
Điểm 1-3 3-5 5-8 8-10 
Tỉ lệ 0% 5% 60% 35% 
Sau khi thực hiện đề tài học sinh tự tin thực hiện các câu hỏi phụ của bài toán 
rút gọn, những học sinh giỏi đảm bảo thực hiện và đạt điểm tuyệt đối của bài toán 
này trong đề thi vào lớp 10. 
Đề tài “Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn” có thể 
sử dụng theo nhiều mục đích khác nhau tùy đối tượng. Với học sinh học trực tiếp trên 
lớp hoặc học sinh tự ôn tập: đây là tài liệu mang tính định hướng, giúp học sinh củng 
cổ kiến thức và ôn tập cho kỳ thi vào lớp 10 Thành phố Hà Nội. Sau mỗi bài học, 
giáo viên phát đáp án, biểu điểm cho các em, giúp các em tự đánh giá được khả năng 
của mình, sửa lỗi sai, củng cố kiến thức. Tác giả cũng hy vọng rằng, đối với các bạn 
đồng nghiệp, đề tài có thể là tài liệu tham khảo hữu ích, sử dụng hiệu quả trong quá 
trình giảng dạy. 
Chắc chắn rằng đề tài “Rút gọn biểu thức chứa căn và các câu hỏi liên quan” 
không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong sự đóng góp của quí vị và các bạn. 
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 
Trang 19/17 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Sách giáo khoa Toán 9 tập 1, tập 2 – NXB GD VN 
2. Hà Văn Chương - 838 bài toán bât đẳng thức – NXB ĐHQG TPHCM. 
3. Nguyễn Đức Tấn – Chuyên đề bất đẳng thức và ứng dụng trong đại số (THCS) 
– NXB Giáo dục 
4. Trần Phương – Những sai lầm thường gặp khi giải toán. 
5. Nguyễn Vũ Thanh – Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS : Đại Số - 
NXB Giáo dục. 
6. Phạm Quốc Phong – Nâng cao đại số - NXB Giáo dục. 
7. Nguyễn Văn Mậu -Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp không mẫu mực 
– NXB Giáo dục. 
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 
Trang 20/17 
PHIẾU ĐIỀU TRA THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN SÁNG KIẾN 
Em hãy giải các bài toán sau. Các bài toán dưới đây không lấy điểm mà chỉ mang tính chất 
tìm hiểu về mức độ đáp ứng của em với một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn. Em có thể ghi 
tên hoặc không. 
Họ và tên:................................................... Lớp:........... 
Bài 1. Cho biểu thức 
1 1
42 2
x
A
xx x
= + −
−− +
 và 
2
3
x
B
x
−
=
+
 với điều kiện 
0; 4x x  
1. Tính giá trị của B khi 
1
9
x = . 
2. Rút gọn biểu thức .P A B= . Chứng minh 1P  . 
3. Tìm các giá trị của x để ( )2 3 . 2 2 6x A x x− − − = − . 
Bài 2. Với số thực x>0 và x16, cho hai biểu thức 
5
x
A
x
=
+
 và 
2 12
164
x x x
B
xx
+
= −
−−
1. Tính giá trị biểu thức A khi 
3 5
x
2
−
= 
2. Rút gọn biểu thức B. 
3. Tìm x để 
5
6
A
B
= 
Cảm ơn em đã tham gia khảo sát! 
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 
Trang 21/17 
PHIẾU ĐIỀU TRA THỰC TRẠNG SAU KHI THỰC HIỆN SÁNG KIẾN 
Em hãy giải các bài toán sau. Các bài toán dưới đây không lấy điểm mà chỉ mang tính chất 
tìm hiểu về mức độ đáp ứng của em với một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn. Em có thể ghi 
tên hoặc không. 
Họ và tên:................................................... Lớp:........... 
Bài 1. Với số thực x>0 và x4;x9 
Cho hai biểu thức 
3
2
x
A
x x
−
=
+
 và 
12 1 4
4 2 2
x
B
x x x
+
= + −
− + −
1. Tính giá trị biểu thức A khi 
2
x
2 3
=
+
2. Rút gọn biểu thức B. 
3. Tìm x để 3
B
A
 . 
Bài 2. Cho biểu thức 
3 5
3
x
A
x
−
=
+
 và 
2 1 6
11 1
x x
B
xx x
−
= + +
−− +
 với x 0,x 1  
1. Tính giá trị của A khi 7 4 3 7 4 3x = + + − 
2. Rút gọn B 
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
B
P
A
= 
Cảm ơn em đã tham gia khảo sát! 
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 
Trang 22/17 
PHỤ LỤC THAM KHẢO 
Một số bài tập tự luyện kèm đáp án và biểu điểm 
Theo đúng biểu điểm của đề thi vào lớp 10 Hà Nội, mỗi bài rút gọn có số điểm 
là 2 điểm. Mỗi bài ở phụ lục dưới đây đều được thiết kế về nội dung và biểu điểm 
theo cấu trúc đề thi môn Toán vào lớp 10 Hà Nội. 
Bài 1 (2,0 điểm) Với 0; 9x x  , cho 
5
3
A
x
−
=
−
 và 
2 5 3 1
9 3
x x
B
x x
− +
= −
− −
 1) Tính giá trị của biểu thức A khi 4 2 3x = + 
 2) Rút gọn biểu thức B. 
 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của ( )1 .AB − 
Đáp án và biểu điểm 
1 
1) Ta có ( )
2
4 2 3 3 1x = + = + , thay vào A ta có: 
( )
( )
2
5 3 25 5
5 3 10
3 43 2
3 1 3
A
− +− −
= = = = +
−−
+ −
0,25 
0,25 
2 
2) 
2 5 3 1
9 3
x x
B
x x
− +
= −
− −
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
2 5 3 1
33 3
2 5 3 3
3 3
2 6
3 3
2 3
3 3
2
3
x x
B
xx x
x x x
B
x x
x x
B
x x
x x
B
x x
x
B
x
− +
= −
−− +
− + − +
=
− +
−
=
− +
−
=
− +
=
+
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
3 
( )
2 5 5
1 .A 1 .
3 3 3
x
B
x x x
  − −
− = − = 
+ − + 
Ta có 
1 1 5 5
0 0 3 3
3 33 3
x x x
x x
− −
    +     
+ +
0,25 
0,25 
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 
Trang 23/17 
Giá trị nhỏ nhất của ( )1 .B A− là 
5
3
−
 khi x=0 
Bài 2 (2,0 điểm)Với 0; 4x x  , cho 
3
2
A
x
=
−
 và 
3 2 1
4 2
x x
B
x x
− +
= −
− +
 1) Tính giá trị của biểu thức A khi 4 2 3x = + 
 2) Rút gọn biểu thức B. 
 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 .M A B= − 
Đáp án và biểu điểm 
1 
1) Tính giá trị của biểu thức A khi 4 2 3x = + 
Ta có ( )
2
4 2 3 3 1x = + = + , thay vào A ta có: 
( )
( )
2
3. 3 13 3 3 3 3
3 1 23 1
3 1 2
A
+ +
= = = =
−−
+ −
0,25 
0,25 
2 2) 
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
2
3 2 1
4 2
3 2 1
22 2
3 2 2
2 2
4 4
2 2
2
2 2
2
2
x x
B
x x
x x
B
xx x
x x x
B
x x
x x
B
x x
x
B
x x
x
B
x
− +
= −
− +
− +
= −
+− +
− + − −
=
− +
− +
=
− +
−
=
− +
−
=
+
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
3 3 2 12
M 4AB 4. .
2 2 2
x
x x x
− −
= − = − =
− + +
Ta có 
1 1 12 12
0 0 2 2
2 22 2
x x x
x x
− −
    +     
+ +
Giá trị nhỏ nhất của M là -6 khi x=0 
0,25 
0,25 
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 
Trang 24/17 
Bài 3 (2,0 điểm) Cho biểu thức: 
4 8 1 2
:
42 2
x x x
P
xx x x x
   −
= + −      −+ −   
1)Rút gọn P (1,5đ) 
2) Tìm x để P= -1 (0,5đ) 
3) Tìm m để phương trình 3 2P m x= + − có hai nghiệm phân biệt.(0,5đ) 
Đáp án và biểu điểm 
1 
( )
( )( )
( )
( )
4 2 8 1 2 2
:
2 2 2
x x x x x
P
x x x x
− + − − −
=
+ − −
( )( ) ( )
8 4 3
:
2 2 2
x x x
P
x x x x
+ −
=
− + −
( )
( )( )
4 2
2 3
x x
P
x x
−
=
− −
4
3
x
P
x
=
−
Đkxđ: 0 : 4 ; 9x x x   
0,5đ 
0,25đ 
0,25đ 
0,25đ 
0,25đ 
2 P=-1 4 3 0x x + − = 
Đặt ( )0; 2; 3x t t t t=    
Pt 
24 3 0t t+ − = , giải ra t = -1 (loại); 
3
4
t = (tmđk) 
3 9
4 16
x x=  = 
 Vậy x= 9
16
 ( Thỏa mãn điều kiện ) 
0,25đ 
0,25đ 
3 3 2P m x= + − ( ) ( )11 3 6 0 1x m x m − − + − = 
Đặt t x= 0; 2; 3t t t   pt trở thành : 
Pt  ( )
2 11 3 6 0t m t m− − + − = (2) 
Để pt(1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có hai nghiệm 
dương phân biệt khác 2 và 3 
Điều này xảy ra khi: 
0
0
0
2; 3
b
a
c
a
t t

−
 


 

  
Giải ra được m>29 
0,25đ 
0,25đ 
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 
Trang 25/17 
Bài 4 (2,0 điểm) Cho biểu thức: 
1 1 3 1
11 1
x x x
P
xx x
− + +
= + +
−+ −
 1) Rút gọn P (1,5đ) 
 2) Tính giá trị của P biết 
2
2 3
x =
+
 (0,5đ) 
 3) Tìm x để P x= − (0,5đ) 
Đáp án và biểu điểm 
1 
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 2
1 1 3 1
11 1
1 1 3 1
1 1
2 1 2 1 3 1
1 1
2 3 1
1 1
1 2 1
1 1
2 1
1
x x x
P
xx x
x x x
P
x x
x x x x x
P
x x
x x
P
x x
x x
P
x x
x
P
x
− + +
= + +
−+ −
− + + − −
=
− +
− + + + + − −
=
− +
− +
=
− +
− −
=
− +
−
=
+
Đkxđ: 0: 1x x  
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
2 ( )
22
3 1
2 3
x = = −
+
, thay vào P 
( )
( )
( )
2
2
2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 3
2 3
3 1 1 3
3 1 1
P
− − − − −
= = = = −
− +
− +
0,25 
0,25 
3 3 1 0P x x x= −  + − = 
Đặt t x= ( 0; 1)t t  
Pt  
2 3 1 0t t+ − =
1
2
13 0
3 13
( )
2
3 13
( )
2
t l
t tmdk
 = 
− −
=
− +
=
0,25 
0,25 
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 
Trang 26/17 
Với 
2
3 13 3 13 11 3 13
2 2 2
t x
 − + − + −
=  = = 
 
Bài 5 (2,0 điểm) Cho biểu thức :
x 3 x 9 x x 3 x 2
P 1
x 9 x x 6 2 x x 3
   − − − −
= − − −   
− + − − +   
1) Rút gọn P 
2) Tính giá trị của P biết 
2
x
3 5
=
+
3) Tìm m để có 1 giá trị x thoả mãn ( ) ( ) ( )P x 2 x 2x m x 1 2 x 4 m− + − + − = −
Đáp án và biểu điểm 
1 
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )
( )
:
:
:
:
: .
2
2
2
x 3 x 9 x x 3 x 2
P 1
x 9 x x 6 2 x x 3
x 3 x x 9 9 x x 3 x 2
P
x 9 x 2 x 3x 2 x 3
9 x x 3 x 3 x 23 x 9
P
x 9 x 2 x 3
3 x 3 9 x x 9 x 2
P
x 3 x 3 x 2 x 3
x 2 x 33 3
P
x 3 x 2 x 3 x 3 x 2
P
   − − − −
= − − −      − + − − +   
  − − + − − − = + −    − − +− +   
− + − + − −− +
=
− − +
− − − + − − −
=
− + − +
− − +−
= =
+ − + + −
=
3
x 2− 
Đkxđ: ; ;x 0 x 4 x 9   
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
2 22 5 1
x
23 5
 −
= =   +  
: :
5 1 5 5 6 3 5 15
P 3 2 3
2 2 105 5
 − − +
= − = = = −   − 
0,25 
0,25 
3 Tìm m để có 1 giá trị x thoả mãn 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
(*)
( )
P x 2 x 2x m x 1 2 x 4 m
3 2x x m x x 2x 4 m 0
2x x 1 m x 1 x 1 0
x 1 tmdk
x 1 2x m 1 0 m 1
x
2
− + − + − = −
 + − + − − + =
 − − − + − =
=
 − − + =  −
 =

0,25 
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 
Trang 27/17 
Để có 1 giá trị x thoả mãn (*): 
m 1
1
2
m 3m 1
0
m 12
m 1 m 9
4
2 m 19
m 1
9
2
−
=
 =−     − = = 
 =
 −
=

 Vậy m <1 hoặc  ; ;m 3 9 19 
0,25 
Bài 5 (2,0 điểm) Cho biểu thức 
+ − +
= + −
−− +
x 1 x 1 2 x 2
P
x 1x 1 x 1
1) Rút gọn P 
2) Tính giá trị của P biết = +x 4 2 3 
3) So sánh P với 2 
Đáp án và biểu điểm 
1 
=
+
2 x
P
x 1
Đkxđ: ; x 0 x 1 
1 
2 ( )= + = +
2
x 4 2 3 3 1 
( ) ( )( )+ + −
= =
−+
− + −
= = −
−
2 3 1 2 3 2 3 2
P
3 43 2
6 4 3 2 3 4
P 2 3 2
1
0,25 
0,25 
3 Xét 
2
2 2
1
2
2
1
x
P
x
P
x
− = −
+
−
− =
+
Ta có x 0 nên 
2
1 0 0 2 0 2
1
x P P
x
−
+     −   
+
Vậy P<2 với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định 
0,25 
0,25 
Bài 6 (2 điểm) Cho biểu thức 
x 3 2 x 9
A
x x 3 x
+ +
= +
−
 và 
x 4
B
x 3
−
=
−
 với 
x 0;x 9;x 16   
 1) Tính giá trị của B biết x 4 2 3= − 
 2) Rút gọn A 
Phương pháp giải một số dạ