Đề tài Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về Chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số

toán về tìm giá trị lớn nhất và tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số là dạng toán rất quan trọng trong chương trình môn đại số 8 và đại số 9 làm cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này. Có thể nói đây là những bài toán khó thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, các bài toán này rất phong phú về thể loại và về cách giải, đòi hỏi học sinh phải vận dụng nhiều kiến thức, linh hoạt trong biến đổi, sắc sảo trong lập luận và phát huy tối đa khả năng phán đoán. Với mục đích nhằm nâng cao chất lượng dạy và học toán, tôi thiết nghĩ cần phải trang bị cho học sinh kiến thức về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán cực trị một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, phân tích, nhận dạng bài toán, lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Từ đó, hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, kích thích tò mò ham tìm hiểu và đem lại niềm vui cho các em, đồng thời khơi dậy cho các em sự tự tin trong học tập và niềm đam mê bộ môn. Hơn nữa, các bài toán cực trị sẽ gắn toán học với thực tiễn vì việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất chính là việc tìm những cái tối ưu thường đặt ra trong đời sống và kỹ thuật.
2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu:
Trong những năm qua, tôi đã trực tiếp tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi khối 8 và khối 9 của trường THCS Lê Đình Chinh và cũng đã trải nghiệm rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó có chuyên đề “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số” và tôi cũng đạt được thành tích trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Tuy nhiên, khi áp dụng chuyên đề trên còn nặng về phương pháp liệt kê các bài toán, chưa phát huy được hiệu quả học tập của học sinh. Chính vì vậy, để học sinh nắm vững và giải thành thạo các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số thì khi dạy chuyên đề đó giáo viên nên phân theo từng dạng bài toán, qua mỗi dạng có ví dụ minh chứng và xây dựng phương pháp giải chung cho từng dạng, đồng thời lồng ghép kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay để tìm cực trị của một biểu thức. Với những ý tưởng đó tôi đã thể hiện trong đề tài nghiên cứu: “Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số” sau khi đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận và áp dụng vào thực tiễn tôi nhận thấy rèn luyện được cho học sinh kĩ năng giải toán có khoa học, lập luận logic và chặt chẽ. Học sinh hứng thú, chủ động hơn trong học tập. 
3. Nội dung và hình thức của giải pháp:
a) Mục tiêu của giải pháp: 
Đề tài “Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực 
trị của một biểu thức đại số” nhằm mục đích tìm tòi, tích lũy các đề toán ở nhiều dạng khác nhau trên cơ sở vận dụng được các kiến thức cơ bản đã học, trang bị cho học sinh giỏi lớp 8 và lớp 9 một cách có hệ thống về phương pháp giải các dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể, giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo. Tạo hứng thú, niềm đam mê, yêu thích các dạng toán cực trị đại số thông qua các bài toán có tính tư duy.
b) Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:
Dạng 1: Biểu thức có dạng tam thức bậc hai 
* Chú ý: Tam thức bậc hai đạt giá trị nhỏ nhất nếu 
a > 0 và đạt giá trị lớn nhất nếu a < 0.
* Phương pháp giải: 
Đặt 
Trường hợp a > 0: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta thực hiện qua ba bước sau:
Bước 1: Thêm bớt hạng tử và sử dụng một trong hai hằng đẳng thức: hoặc để biến đổi biểu thức A sao cho A k (với k là hằng số);
Bước 2: Tìm giá trị x0 để A = k
Bước 3: Kết luận AMin = k khi x = x0.
Trường hợp a < 0: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A, ta thực hiện qua ba bước sau:
Bước 1: Thêm bớt hạng tử và sử dụng một trong hai hằng đẳng thức: hoặc để biến đổi biểu thức A sao cho A k (với k là hằng số);
Bước 2: Tìm giá trị x0 để A = k
Bước 3: Kết luận AMã = k khi x = x0.
* Thủ thuật tìm giá trị nhỏ nhất hoặc tìm giá trị lớn nhất của tam thức bậc hai trên máy tính cầm tay CASIO 570VN PLUS:
Ấn 
Nhập giá trị của a, ấn phím 
Nhập giá trị của b, ấn phím 
Nhập giá trị của c, ấn phím 
Ấn phím , máy tính sẽ cho kết quả X1 là nghiệm thứ nhất của tam thức bậc hai 
Ấn tiếp phím , máy tính sẽ cho kết quả X2 là nghiệm thứ hai của tam thức bậc hai 
Ấn tiếp phím , máy tính sẽ cho kết quả X là giá trị x0 để tam thức bậc hai đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất
Ấn tiếp phím , máy tính sẽ cho kết quả Y là giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của tam thức bậc hai 
* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải:
Ta có: 
Vì với mọi xR
nên với mọi xR
 Dấu “=” xảy ra 
Vậy AMin = khi 
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 9x2 + 6x + 5
Giải:
Ta có: B = (9x2 + 6x + 1) + 4 = (3x + 1)2 + 4 
Vì (3x + 1)2 0 với mọi xR
nên (3x + 1)2 + 4 4 với mọi xR
 Dấu “=” xảy ra 3x + 1 = 0
Vậy BMin = 4 khi 
	Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: C = 1 – 6x – x2
Giải:
Ta có: C = - x2 – 6x + 1 = - (x2 + 6x + 9) + 9 + 1 = 10 – (x + 3 )2
Vì (x + 3 )2 0 với mọi xR
nên 10 – (x + 3 )2 10 với mọi xR
Dấu “=” xảy ra x + 3 = 0x = -3
	Vậy CMax = 10 khi 
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: D = - 2x2 + 5x +1
Giải:
Ta có: D 
Vì 0 với mọi xR nên với mọi xR
Dấu “=” xảy ra 
Vậy DMax = khi 
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Đối với biểu thức E ở trên, học sinh dễ bị mắc sai lầm như sau: 
Vì với mọi xR
và với mọi xR
nên với mọi xR
Dấu “=” xảy ra 
Vậy EMax = 0 khi và 
Phân tích sai lầm trên như sau:
Vì với mọi xR
và với mọi xR
Nhưng không thể kết luận được giá trị nhỏ nhất của E bằng 0 vì không đồng thời xảy ra dấu bất đẳng thức ở (1) và (2) .
Lời giải đúng như sau:
Ta có: 
Vì với mọi xR
nên với mọi xR
 Dấu “=” xảy ra x - 2 = 0
Vậy EMin = 2 khi 
* Bài tập tự rèn:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) b) c) d) 
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) b) c) d) 
Dạng 2: Biểu thức có dạng là phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai
* Chú ý: Cho biểu thức A = trong đó b là hằng số, là tam thức bậc hai. Khi đó: Nếu b và đều có giá trị dương thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất đạt giá trị nhỏ nhất. Sẽ không chính xác nếu lập luận rằng phân thức có tử là hằng số nên phân thức lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Lập luận này có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn: Xét bài toán: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Với lập luận như trên: Vì tử thức có giá trị không đổi nên A đạt giá trị lớn nhất khi x2 – 4 đạt giá trị nhỏ nhất, mà giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 – 4 là -4 x = 0. Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức A là khi x = 0 . Điều này không đúng vì Không phải là giá trị lớn nhất của biểu thức A ,chẳng hạn với x = 3 thì A = 
* Phương pháp giải: 
Biến đổi tam thức bậc hai ở mẫu giống như cách biến đổi ở dạng 1; 
Từ đó xác định giá trị cực trị theo quy tắc so sánh hai phân thức cùng tử, tử và mẫu đều dương.
* Thủ thuật tìm giá trị nhỏ nhất hoặc tìm giá trị lớn nhất của biểu thức dạng 2 trên máy tính cầm tay CASIO 570VN PLUS:
Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc tìm giá trị lớn nhất của tam thức bậc hai ở mẫu thức bằng cách ấn máy như ở dạng 1 sau đó thay giá trị đó vào mẫu thức của phân thức đã cho rồi tính ra kết quả
* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Giải:
Ta có: 
Vì với mọi xR
nên (x – 3 )2 + 8 8 với mọi xR
 với mọi xR
Dấu “=” xảy ra x – 3 = 0 x = 3 
Vậy AMax = khi 
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải:
Ta có: 
Vì Với mọi xR
nên với mọi xR
 với mọi xR
 với mọi xR
Dấu “=” xảy ra x – 1 = 0 x = 1
Vậy BMin -1 khi 
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải: Ta có: 
Vì với mọi xR
nên với mọi xR
 với mọi xR
 với mọi xR
Dấu “=” xảy ra 3x – 1 = 0 x = 
Vậy CMin = khi x = 
Dạng 3: Biểu thức đưa được về dạng trong đó a, b là các hằng số, là tam thức bậc hai. 
* Dấu hiệu nhận biết: Biểu thức A đưa được về dạng trong đó a, b là các hằng số, là tam thức bậc hai thì A phải có dạng:
 trong đó 
* Phương pháp giải:
- Thực hiện chia tử thức cho mẫu thức, đưa về dạng 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức như ở dạng 2 sau đó thay vào biểu thức A ta có kết quả cần tìm.
* Thủ thuật sử dụng máy tính cầm tay CASIO 570VN PLUS:
Tìm a: 
Tìm b: Ấn rồi ấn dấu = cho kết quả bằng b. Khi đó ta có 
Ấn máy tìm nhỏ nhất của biểu thức như ở dạng 1, sau đó thay giá trị nhỏ nhất đó vào biểu thức A ta có kết quả cần tìm.
* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải:
Ta có: 
A đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất
 đạt đạt giá trị nhỏ nhất là 2 khi 
Vậy khi 
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải:
Ta có: 
B đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất
 đạt đạt giá trị nhỏ nhất là -1 khi 
Vậy khi 
Dạng 4: Biểu thức là phân thức có tử là tam thức bậc hai, mẫu là bình phương của nhị thức bậc nhất. 
* Phương pháp giải:
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức có dạng , trong đó x là biến. Ta thực hiện như sau:
- Biến đổi tử thức về dạng (p, q là hằng số)
-Phân thức trở thành
-Từ đó thực hiên tương tự như dạng 1
* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải:
Ta có: 
 = + 2.. + + = 
Vì với mọi 
nên với mọi 
 	Dấu “=” xảy ra x – 1 = -2 x = -1
Vậy AMin = khi 
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Giải:
Ta có: 
 	 = 
Vì với mọi 
nên với mọi 
 	Dấu “=” xảy ra .
Vậy BMax = 4 khi 
Cách khác: 
Ta có: 
Vì với mọi 
nên với mọi 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy BMax = 4 khi 
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải:
Ta có: 
Vì với mọi 
nên với mọi 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy CMin = 2 khi x = 2
Cách khác: 
Ta có: 
Vì với mọi 
nên với mọi 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy CMin = 2 khi x = 2
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Giải:
Ta có: = 
 = = 
Vì với mọi 
nên với mọi 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy DMin = 7 khi x = 4
Dạng 5: Biểu thức là phân thức có tử là nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai, mẫu là tam thức bậc hai. 
* Phương pháp giải:
Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của phân thức , trong đó x là biến, ta sử dụng một phương pháp gọi là “Phương pháp miền giá trị của hàm số”. Cụ thể như sau: 
Đặt 
Tìm tập xác định của y
 Xét , thay vào (1) để tìm x
 Xét , phương trình (1) có nghiệm khi tức là: 
Giải bất phương trình trên ta được 
Với thì và với thì 
Kết luận: khi 
 khi 
* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải: Đặt 
Vì hàm số xác định với mọi x nên ta có: 
Xét y = 0, ta có 
Xét y 0, phương trình có nghiệm khi tức là:
Với thì 
Với thì 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là -4 khi , giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là 1 khi x = 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải: Đặt 
Vì hàm số xác định với mọi x nên ta có: 
Xét y = 0, ta có 
Xét y 0, phương trình có nghiệm khi tức là:
Với thì 
Với thì 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là -1 khi , giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là 4 khi 
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải: Đặt 
Vì hàm số xác định với mọi x nên ta có: 
Xét y = 2, ta có 
Xét y 2, phương trình có nghiệm khi tức là: (4y – 6 )2 – 4.(y – 2 )(5y – 6 ) 0
 16y2 – 48y + 36 – 20y2 + 24y + 40y- 48 0 
	 -4y2 + 16y – 12 0 y2 - 4y + 3 0(y – 1 )(y - 3 ) = 0
Với thì 
Với thì 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là 1 khi , giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là 3 khi 
* Lưu ý: Tìm cực trị bằng phương pháp miền giá trị của hàm số rất hay và giải quyết nhiều bài toán khó về cực trị.
* Bài tập tự rèn:
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) b) c) d) 
Dạng 6: Biểu thức là đa thức nhiều biến. 
* Phương pháp giải:
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đa thức nhiều biến ta thực hiện thêm bớt cùng một hạng tử hoặc tách một hạng tử thành hai hạng tử rồi áp dụng hằng đẳng thức hoặc để biến đổi biểu thức đã cho về dạng: 
A = m + + m (m là hằng số) 
Hoặc A = n n (n là hằng số). 
Dấu “=” xảy ra 
Kết luận: AMin = m hoặc AMax = n 
* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải: 
Vì với mọi x, y
 với mọi x
nên với mọi x, y
Dấu “=” xảy ra 
Vậy AMin = khi 
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải: 
Vì với mọi x
 với mọi y
nên với mọi x, y
Dấu “=” xảy ra 
Vậy BMin = 2 khi 
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = x2 – 2xy + 10y2 + 6y + 5
Giải: 
A = (x2 – 2xy + y2) + (9y2 + 6y + 1) + 4 = (x – y )2 + (3y +1)2 + 4
Vì với mọi x, y
 với mọi y
nên (x – y )2 + (3y +1)2 + 4 4 với mọi x, y
Dấu “=” xảy ra 
Vậy CMin = 4 khi 
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Giải: 
Vì với mọi x
 với mọi x, y
nên với mọi x, y
Dấu “=” xảy ra 
Vậy DMax = 40 khi 
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải: 
Vì với mọi x, y
 với mọi y
nên với mọi x, y
Dấu “=” xảy ra 
Vậy EMin = 2 khi 
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải: 
Vì với mọi x, y
 với mọi y, z
 với mọi x, y
 với mọi x
nên với mọi x, y, z
Dấu “=” xảy ra 
Vậy FMin = 2 khi 
Dạng 7: Biểu thức là đa thức bậc cao. 
* Phương pháp giải:
Thực hiện phương pháp tương tự như ở dạng 6
* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải: 
Vì với mọi x
 với mọi x
nên với mọi x
Dấu “=” xảy ra 
Vậy AMin = 5 khi 
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Nhận xét: Ta thấy ngay B 0 nhưng giá trị nhỏ nhất của B không phải bằng 0 vì x2 – x + 2 0. Nếu ta khai triển đa thức trên theo hằng đẳng thức thì ta được đa thức bậc 4, việc tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức bậc 4 rất phức tạp. Do đó ta chỉ cần đi tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức x2 + x + 2 như ở dạng 1.
Giải: Ta có: x2 + x + 2 = x2 + 2..x + = 
Vì với mọi xR
nên với mọi xR
 Dấu “=” xảy ra 
Biểu thức b đạt giá trị nhỏ nhất Biểu thức x2 + x + 2 đạt giá trị nhỏ nhất mà giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 + x + 2 là , đạt được khi 
Lúc đó B = 
Vậy BMin = khi 
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải: 
Vì với mọi x
 nên với mọi x
Dấu “=” xảy ra x2 + 5x = 0 
Vậy CMin = - 36 khi 
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải: 
Vì với mọi x
 với mọi x
nên với mọi x
Dấu “=” xảy ra 
Vậy DMin = 10 khi 
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải: 
Vì với mọi x
 với mọi x
nên với mọi x
Dấu “=” xảy ra 
Vậy EMin = 0 khi 
Dạng 8: Biểu thức là đa thức có dấu giá trị tuyệt đối. 
* Phương pháp giải:
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đa thức có dấu giá trị tuyệt đối ta sử dụng một trong các bất đẳng thức sau đây:
 Dấu “=” xảy ra 
 . Dấu “=” xảy ra (a, b cùng dấu)
 . Dấu “=” xảy ra (a, b cùng dấu)
. Dấu “=” xảy ra (a, b, c cùng dấu).
* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải: 
Với mọi xR, ta có: 
Do đó A 3. Dấu “=” xảy ra (x - 2) (5 – x) 0 
Lập bảng xét dấu:
 2 5
 - 0 + 
+
 +
 + 0 -
 - 0 + 0 -
Từ bảng xét dấu ta thấy: (x + 2) (5 – x) 02 x 5 
Vậy AMin = 3 khi 2 x 5 
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải:
Với mọi xR, ta có: 
Do đó B 2
Dấu “=” xảy ra (x + 1) (1 – x) 0 
Lập bảng xét dấu:
 -1 1
 - 0 + 
+
 +
 + 0 -
 - 0 + 0 -
Từ bảng xét dấu ta thấy: (x + 1) (1 – x) 0 -1 x 1 
Vậy BMin = 2 khi -1 x 1 
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Giải: Với mọi xR, ta có: 
Do đó C 12. 
Dấu “=” xảy ra (3x + 5) (3x –7) 0 
Lập bảng xét dấu:
 - 0 + 
+
 -
 - 0 +
 + 0 - 0 +
Từ bảng xét dấu ta thấy: (3x + 5) (3x –7) 0 
Vậy CMax = 12 khi hoặc 
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải:
Với mọi xR, ta có: 
Do đó D 24. 
Dấu “=” xảy ra x +1; 2x + 5; 18 - 3x cùng dấu 
Lập bảng xét dấu:
 -1 6
-
 - 0 +
+
 - 0 +
+
+
+
+
+ 0 -
Từ bảng xét dấu ta có x +1; 2x + 5; 18 - 3x cùng dấu -1 x 6 
Vậy DMin = 24 khi -1 x 6 
Dạng 9: Biểu thức có chứa căn thức. 
* Phương pháp giải:
Với dạng toán này ta cần chú ý đặt điều kiện để cho các căn thức có nghĩa, sau đó tùy theo đặc điểm của biểu thức chứa căn mà ta sử dụng một trong các phương pháp sau đây:
Phương pháp 1: Nếu biểu thức đã cho có dạng thì ta biến đổi biểu thức lấy căn giống như cách biến đổi ở dạng 1 để tìm giá trị cực trị.
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Giải: 
Với mọi xR, ta có: 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy AMin = 1 khi 
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Giải: Với mọi xR, ta có: 
 = = 3
Dấu “=” xảy ra 
Vậy BMin = 3 khi hoặc 
Phương pháp 2: Nếu biểu thức có dạng mà f(x) và g(x) đều có dạng hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu thì ta áp dụng các hằng đẳng thức để khai căn và đưa biểu thức về dạng 
có chứa dấu giá trị tuyệt đối rồi thực hiện như dạng 8.
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Giải: Với mọi xR, ta có: 
Do đó C . Dấu “=” xảy ra 
Vậy CMin = khi 
Phương pháp 3: Nếu biểu thức có dạng mà biểu thức có giá trị là một hằng số thì ta áp dụng bất đẳng thức (a,b 0) để tìm giá trị nhỏ nhất. Dấu “=” xảy ra a.b = 0 a = 0 hoặc b = 0.
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Giải: 
Biểu thức D có nghĩa khi: 
Với , ta có: 
Dấu ‘=’ xảy ra 
Vậy DMin = khi x = 25 hoặc x = 42
Phương pháp 4: Nếu biểu thức có dạng mà biểu thức có giá trị là một hằng số thì ta áp dụng bất đẳng thức (a b 0) để tìm giá trị lớn nhất. Dấu “=” xảy ra b(a - b) = 0 b = 0 hoặc a = b
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
a) b) 
Giải:
a) Biểu thức E có nghĩa khi: 
Với , ta có: 
Dấu “=” xảy ra x - 8 = 0 x = 8
Vậy EMax = 3 khi x = 8
b) Biểu thức F có nghĩa khi: 
Với , ta có: 
Dấu “=” xảy ra 2x - 2007 = 0 
Vậy FMax = 1 khi 	
	Phương pháp 5: Nếu biểu thức có dạng , bậc f(x) và g(x) bằng nhau mà giá trị của biểu thức không là hằng số thì ta tính rồi áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm max rồi suy ra max A.
* Bất đẳng thức Cô-si: 
Với a 0, b 0 thì: hoặc 
Dấu “=” xảy ra a = b
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Giải: 
Biểu thức G có nghĩa khi: 
 	 = x + 1 + 2 - x + 2 = 3 + 2
 	Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm (x + 1) và (2 - x) ta có 
 (x + 1) + (2 – x )
Dấu “=” xảy ra x + 1 = 2 - x x = 
Do đó: 3 + (x + 1) + (2 – x ) = 6
 = 6 khi 
Vì G0 nên suy ra GMax = khi 
Cách khác: Biểu thức G có nghĩa khi: 
Dấu “=” xảy ra x = 
 = 6 khi 
Vì G0 nên suy ra GMax = khi 
Phương pháp 6: Nếu biểu thức có dạng , bậc f(x) bằng bậc g(x) thì ta nhân và chia f(x) với cùng một số khác 0, sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si 
Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Giải: 
Biểu thức H có nghĩa khi: 
Ta có: 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm và 3 ta có: 
Dấu “=” xảy ra 
Do đó: 
Vậy HMax = khi x = 18
Dạng 10: Biểu thức có dạng , bậc của f(x) lớn hơn bậc của g(x). 
* Phương pháp giải:
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức có dạng trong đó bậc của f(x) lớn hơn bậc của g(x), ta biến đổi biểu thức đã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số rồi áp dụng bất đẳng thức Cô-si.
* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương x và ta có: 
Dấu “=” xảy ra 
Do đó: 
Vậy AMin = khi 
Ví dụ 2: Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương và ta có: 
Dấu “=” xảy ra 
Do đó: 
Vậy BMin = 4 khi 
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (với )
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương và ta có: 
Dấu “=” xảy ra 
Do đó: 
Vậy CMin = 48 khi 
c) Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp:
Các giải pháp, biện pháp đã nêu trong đề tài này có mối quan hệ mật thiết với nhau, được sắp xếp theo mức độ từ đơn giản đến phức tạp nhằm trang bị cho học sinh phương pháp giải các bài toán cực trị từ dễ đến khó, trong đó dạng 1 là tiền đề cho các dạng khác và các thủ thuật tìm giá trị nhỏ nhất hoặc tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức đại số trên máy t