Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác cho học sinh THPT

vào phương trình  cos , 0,x t t   
ta thu được: 
5 3
cos ,cos ,cos
8 8 4
x
   
 
 
. 
 Qua quá trình giải bài tập HS được rèn luyện kỹ năng giải phương trình 
lượng giác một cách kỹ càng hơn. 
1.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 
 Để thực hiện nhiệm vụ của báo cáo, ở chương 1 đã tiến hành: Nghiên 
cứu lý luận về dạy học giải bài toán, rèn luyện kỹ năng giải toán, bốn bước giải 
toán của Polya. Đồng thời tìm hiểu thực trạng hiện nay ở THPT về kỹ năng giải 
toán bằng phương pháp lượng giác hóa của HS. 
 Từ đó xác định một số kỹ năng cần thiết để HS giải toán bằng phương 
pháp lượng giác hóa.Những việc này sẽ làm cơ sở để xây dựng và sử dụng hệ 
thống bài tập ở chương 2 nhằm góp phần rèn luyện kỹ năng cho HS 
CHƯƠNG 2. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC 
HÓA 
 Chương này sẽ làm rõ việc rèn luyện hai kỹ năng: Kỹ năng nhận dạng 
dấu hiệu lượng giác, kỹ năng vận dụng tri thức lượng giác vào giải bài toán 
trung gian thông qua phân tích cụ thể các ví dụ minh họa cho từng kỹ năng. 
Cuối cùng, đưa ra một số bài tập giúp các em HS rèn luyện kỹ năng giải bài toán 
bằng phương pháp lượng giác hóa. 
2.1. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI 
TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 
2.1.1. Căn cứ và định hướng lựa chọn sắp xếp hệ thống bài tập 
Khi giải toán cần chú ý tìm kiếm những bài toán có liên quan và đề xuất 
ra những bài toán mới. Trong quá trình tiến hành giải một bài toán, HS có thể sử 
dụng các phương pháp khác nhau, các suy luận khác nhau và tìm ra các lời giải 
khác nhau. Vì vậy, để tìm được lời giải hay cho một bài toán, HS cần phải kiểm 
tra và nghiên cứu kỹ lời giải. Đặc biệt đối với những bài toán không có thuật 
giải, đòi hỏi HS phải tích cực suy nghĩ tìm tòi lời giải và có phương pháp suy 
luận hợp lý đồng thời cần có kinh nghiệm trong việc sử dụng các công cụ để giải 
toán. 
Để phù hợp với khả năng tiếp thu của HS, hệ thống bài tập sử dụng 
phương pháp lượng giác hóa được đưa ra từ dễ đến khó. Có những bài tập cơ 
bản có thể dùng các công thức, định lý đã học để chứng minh và kết quả của 
những bài tập này có thể vận dụng vào chứng minh các bài toán khác. Có những 
bài tập phải sử dụng kiến thức tổng hợp nhằm rèn luyện kỹ năng, khả năng vận 
dụng kiến thức, khả năng phát triển tư duy cho HS. 
 GV có thể sử dụng hệ thống bài tập đã phân dạng này trong các tình 
huống dạy học khác nhau như: Làm bài tập về nhà, bài tập phân hóa, dùng để 
bồi dưỡng HS khá giỏi, dùng để làm đề kiểm tra, kiểm tra trắc nghiệm góp 
phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho HS. Đưa ra hệ thống bài tập đã phân 
dạng nhằm giúp HS có định hướng khi giải toán và thành thạo các kỹ năng giải 
toán bằng phương pháp lượng giác hóa. 
2.1.2. Rèn luyện một số kỹ năng trong giải toán bằng phương pháp lượng 
giác hóa 
 Trong khuôn khổ báo cáo chỉ tập trung vào 2 kỹ năng là kỹ năng nhận 
dạng các dấu hiệu để sử dụng phương pháp lượng giác hóa và chuyển bài toán 
về dạng toán lượng giác và kỹ năng vận dụng các tri thức lượng giác để giải bài 
toán trung gian. 
2.1.2.1. Kỹ năng 1: Kỹ năng nhận dạng các dấu hiệu để sử dụng phương 
pháp lượng giác hóa và chuyển bài toán về dạng toán lượng giác. 
Như đã nói ở mục 1.3, HS cần phải rèn luyện bốn kỹ năng chính khi sử 
dụng phương pháp lượng giác hóa vào giải toán, trong đó kỹ năng đầu tiên là kỹ 
năng nhận dạng dấu hiệu lượng giác. Để rèn luyện kỹ năng này, GV cần trang bị 
cho HS nhận dạng một số dấu hiệu sau: 
 Dấu hiệu 1: Nếu 2 2 2(ax) ( )by r  . Đặt cosax r  , siny r  . 
 Dấu hiệu 2: Nếu x r thì đặt cosx r  ,  0,  hoặc siny r  
với ,
2 2
 

 
   
. 
 Dấu hiệu 3: Nếu 0A k  thì đặt 
cos
k
A

 . 
Khi đó, 2 2 2 2 2
2
1
( 1) tan
cos
A k k k 

    . 
 Dấu hiệu 4: A bất kì, đặt tanA  . 
 Sau đây, tôi xin trình bày một số ví dụ minh họa thể hiện kỹ năng nhận 
dạng dấu hiệu lượng giác hóa: 
* Dấu hiệu 1: Nếu 2 2 2(ax) ( )by r  . Đặt cosax r  , siny r  . 
Ví dụ 3: 
 Cho 2 2 2x y  . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
3 32( ) 3( )A x y x y    . 
Phân tích: 
 Đây là bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. 
Trong đó x, y lại bị ràng buộc bởi điều kiện 2 2 2x y  . GV gợi ý đối với bài 
toán này nếu ta nghĩ đến việc sử dụng phương pháp đạo hàm hay phương pháp 
miền giá trị liệu có khả quan không? 
Khi đó HS sẽ thấy lí do không vận dụng phương pháp đạo hàm được vì A 
là biểu thức chứa hai biến, hai biến lại bị ràng buộc bởi một phương trình bậc 
hai vì thế không dễ dàng để thiết lập được hàm số để khảo sát. Cũng không 
thuận lợi khi ta nghĩ đến việc sử dụng phương pháp miền giá trị vì khi đó bài 
toán chuyển về dạng toán biện luận sự có nghiệm của một hệ phương trình bậc 
hai hai ẩn. Điều này là không hề dễ dàng! 
Đến đây, GV gợi ý HS nhìn vào điều kiện ràng buộc giữa x và y làm ta 
“liên tưởng” đến hệ thức lượng giác quen thuộc nào? Từ đó ta có thể nghĩ đến 
việc đặt ẩn phụ ra sao để chuyển biểu thức đã cho về dạng lượng giác? 
HS: Từ điều kiện 2 2 1x y  cho ta “liên tưởng” đến hệ thức lượng giác: 
2 2sin cos 1   . GV gợi ý cho HS chuyển giả thiết 2 2 2x y  sang đẳng 
thức có vế phải bằng 1 hay không? Từ đó, HS có thể dễ dàng nhận ra cần phải 
tiến hành chia cả 2 vế cho 2. Tiếp đó, GV yêu cầu HS chuyển vế trái của đẳng 
thức đó về tổng bình phương của 2 biểu thức là 
2
x
,
2
y
. Như vậy, HS đã 
chuyển: 2 2 2x y  thành 
2 2
1
2 2
x y   
    
   
. 
GV yêu cầu HS quan sát hệ thức lượng giác cơ bản: 2 2sin cos 1   
 và 
2 2
1
2 2
x y   
    
   
 và cho biết liệu ta có thể chuyển bài toán ban đầu sang 
bài toán lượng giác không? Từ đó, HS sẽ nghĩ đến kỹ năng đặt ẩn phụ 
cos , sin .
2 2
x y
   hay đặt 
2 cos
2 sin
x
y


 


 với  0,2  . 
 Thay ,x y bởi lần lượt bởi 2 cos , 2 sin biến đổi và rút gọn để thu 
được dạng lượng giác của biểu thức A . 
Như vậy, GV đã giúp HS chuyển việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức đại số A thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 
viết dưới dạng lượng giác. 
 A = 
3 34 2(cos sin ) 3(cos sin )      . 
 GV gợi ý HS sử dụng các kỹ năng biến đổi công thức lượng giác cùng 
với kỹ năng tìm miền giá trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 
Từ đó, HS dễ dàng tìm được kết quả. 
3 3VT= 2(4cos 3cos ) (3sin 4sin )
2(cos3 sin3 ) 2cos(3 )
4
   

  
  
   
HS áp dụng miền giá trị của hàm số, ta được 2 2A   . 
Kết luận: vậy giá trị lớn nhất của A là 2, giá trị nhỏ nhất của A là -2 
Ví dụ 4: 
Cho 4 số x , y , u , v thỏa : 2 2 2 2 1u v x y    . Chứng minh rằng : 
 ( ) ( ) 2u x y v x y    
Phân tích: 
Khi nhìn bài toán chứng minh bất đẳng thức 4 ẩn: 
( ) ( ) 2u x y v x y    kèm theo điều kiện 2 2 2 2 1u v x y    . Đa số 
HS chúng ta tỏ ra lúng túng, và không có hứng thú tìm lời giải bài toán. 
Phương pháp chứng minh bài toán này, những HS có học lực tốt sẽ nghĩ 
ngay đến phương pháp sử dụng bất đẳng thức cơ bản: bất đẳng thức 
Bunyakovsky. Nhưng mục đích tôi đưa bài toán này, để hầu hết HS có thể nhận 
thấy dấu hiệu lượng giác hóa ở ngay giả thiết (nếu HS được trang bị tri thức 
lượng giác hóa này). Khi đó, HS có thêm sự hứng thú khi chứng minh bài toán 
này . 
GV gợi ý cho HS quan sát 2 đẳng thức 2 2 2 21, 1u v x y    . GV đặt ra 
câu hỏi rằng hai hệ thức trên giống với hệ thức lượng giác nào mà ta đã học? Từ 
đó, HS đưa ra được hệ thức 2 2sin os 1c   . Như vậy, liệu ta có thể chuyển 
bốn đại lượng u, v, x, y sang bốn đại lượng lượng giác được hay không? HS sẽ 
nghĩ ngay đến việc đặt ẩn phụ u, v, x, y theo hàm sin, cos. GV nhắc nhở HS 
việc chọn các cặp (u,v);(x,y) theo từng góc riêng biệt, chẳng hạn theo góc  , 
góc . 
 Từ đó, HS có thể chọn os , sin , os , sinu c v x c y       . GV yêu cầu 
HS chuyển bài toán đã cho sang bài toán chứng minh bất đẳng thức lượng giác. 
HS: Như vậy, bài toán ta cần chứng minh là: 
cos (cos sin ) sin (cos sin ) 2         . 
Đây là bài toán chứng minh bất đẳng thức đơn giản, HS có thể chứng 
minh được nhờ công thức biến đổi lượng giác và miền giá trị hàm số lượng giác 
của một số hàm đặc biệt. 
  cos (cos sin ) sin (cos sin ) 2         
 (cos .cos sin .sin ) (sin .cos cos .sin ) 2            
 cos( ) sin( ) 2        
 2 cos( ) 2
4

     
 cos( ) 1
4

     ( luôn đúng ) 
* Dấu hiệu 2: 
 Nếu x r thì đặt cosx r  ,  0,  hoặc siny r  , ,
2 2
 

  
  
Ví dụ 5: 
 Chứng minh rằng: 
Nếu 1  x 1, với mọi n 2 thì (1 ) (1 ) 2n n nx x    . 
Phân tích: 
 Khi nhìn bài toán này, đa số HS sẽ làm theo phương pháp hàm số để 
chứng minh bất đẳng thức. Tức là, HS sẽ chuyển bài toán chứng minh bất đẳng 
thức trên (1 ) (1 ) 2n n nx x    về bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
y= (1 ) (1 )n nx x   với miền giá trị của x là 1  x 1 . Lúc này, GV gợi ý cho 
HS khảo sát hàm số y trên tập giá trị 1  x 1 . HS nhận thấy rằng phương 
pháp này làm cho HS lúng túng khi tìm các giá trị của x để y’=0. Do đó, HS 
không muốn giải tiếp. 
 Tuy nhiên, từ điều kiện bài toán 1  x 1, GV đặt ra câu hỏi: Các em 
liên tưởng đến biểu thức nào mà tập giá trị của nó cũng thuộc [-1,1]. Đến đây, 
các em nghĩ đến hàm cos, sin đã học. 
 Lúc này, ta có thể đặt ẩn phụ như thế nào? HS có thể đặt x = cos hoặc 
x = sin . Vậy từ đó, ta có thể chuyển bài toán trên về bài toán lượng giác như 
thế nào? Khi đó, HS có thể nghĩ đến việc thay x bởi cos (giả sử chọn x = 
cos ) . 
 Khi đó, ta chuyển bài toán chứng minh sang chứng minh bất đẳng thức 
lượng giác (1 cos ) (1 cos ) 2n n n     . 
 Đứng trước bài toán chứng minh bất đẳng thức này, HS tỏ ra lúng túng. 
Nhưng trước hêt, GV cần định hướng cho HS là rút gọn bất đẳng thức chứng 
minh về đơn giản. 
 GV đưa ra câu hỏi gợi ý cho HS rút gọn vế trái. HS sẽ sử dụng công 
thức hạ bậc để rút gọn bài toán: 
2
2
1
sin (1 os2 )
2
1
os (1 os2 )
2
c
c c
 
 
 
 
 Khi đó ta được: 
2
2
1 os 2sin
2
1 os 2 os
2
c
c c




 
 
 Như vậy, HS thay vào bất phương trình ta được: 
2 2(2sin ) (2cos ) 2
2 2
n n n    
 Từ đây, HS dễ dàng rút gọn ta được: 
2 2(sin ) (cos ) 1
2 2
n n   . 
 GV gợi ý cho HS: Các em thấy bất đẳng thức cần chứng minh tương tự 
miền giá trị của hàm số của hàm số đã biết chưa? HS đã được trang bị một số tri 
thức về miền giá trị của một số hàm đặc biệt. Khi đó, HS nhớ tới ngay miền giá 
trị của hàm số y=sin osn nc  . 
 HS: hàm số 1 sin os 1n nc     
 Từ đó, suy ra điều phải chứng minh. 
Ví dụ 6: 
 Chứng minh rằng : 23 9 4 15a a   
Phân tích: 
 Khi nhìn bài toán chứng minh bất đẳng thức GV đặt các câu hỏi để HS 
tự phát huy được tính tự học của HS. Bài toán cần chứng minh: 
23 9 4 15a a   . Đây là bất đẳng thức chứa một ẩn. Các em có định hướng 
chứng minh như thế nào? Đa số HS nghĩ đến cách sử dụng phương pháp biến 
đổi tương đương: 
2
2
3 9 4 15
15 3 9 4 15
a a
a a
  
     
 Chứng minh: 
23 9 4 15a a   
2
2
2
3 9 4 15
3 9 4 15 0
3 9 15 4
a a
a a
a a
  
    
   
Với điều kiện 
3
15
3
4
a
a


  

2 2
2
2
81 9 225 120 16
25 120 144 0
(5 12) 0
a a a
a a
a
    
    
   
(luôn đúng) 
 Tương tự: chứng minh với 215 3 9 4a a    
 Như vậy, với cách giải như vậy, mất nhiều thời gian. GV gợi ý cho HS 
thông qua việc HS chú ý tới điều kiện xác định: 3a  . 
GV đưa ra quan điểm 3 1
3
a
a    . GV đặt câu hỏi: Với miền giá trị của 
1 1
3
a
   thì giống với miền giá trị của hàm số lượng giác nào? Khi đó, HS 
nghĩ ngay tới hàm cos và hàm sin. GV yêu cầu HS thay 
3
a
 bởi sin (giả sử lấy 
theo hàm sin) tức là thay a bởi 3sin . Khi đó, ta chuyển bài toán sang chứng 
minh bất đẳng thức lượng giác 23 9 9sin 4.3.sin 15    . 
 GV gợi ý cho HS sử dụng hệ thức lượng giác đơn giản: 
 2 2sin os 1c   và sử dụng miền giá trị của hàm số thì ta thu được bất 
phương trình đơn giản: 
9cos 12sin 15   
 Nhìn vào biểu thức cần chứng minh, HS sẽ chứng minh được một cách 
dễ dàng: 
2 29cos 12sin 9 12 15     .(đpcm) 
Ví dụ 7: 
 Giải phương trình: 
2
2
1
21
x
x
x
  

Phân tích: 
Khi nhìn thấy pt này, HS thường nghĩ đến phương pháp khử căn, nhưng 
như vậy ta sẽ đưa về pt bậc 4, hệ số lẻ không khả quan. Ngoài ra các em cũng có 
thể nghĩ đến phương pháp hàm số. Mà sử dụng tính duy nhất nghiệm của 
phương trình. Tuy nhiên, phương pháp này đối với bài toán 
2
2
1
21
x
x
x
  

là không hiệu quả. 
 Tuy nhiên, từ điều kiện bài toán, GV đặt ra câu hỏi: Các em liên tưởng 
đến biểu thức nào mà tập giá trị của nó cũng thuộc [-1,1]. Đến đây, các em nghĩ 
đến hàm cos, sin. Từ đó, ta thay x bởi cost,  0,t  . Khi đó, phương trình trở 
thành: 
cos 2
cos 1
sin 2
t
t
t
   
Đây là bài toán lượng giác cơ bản, các em có thể giải được tìm ra t 
*Dấu hiệu 3: Nếu 0A k  thì đặt A = 
cos
k

Ví dụ 8: 
 Cho 1a  . Chứng minh rằng : 
2 1 3
2
a
a
 
 
Phân tích: 
 Bài toán đặt ra vấn đề: Chứng minh 
2 1 3
2
a
a
 
 , với điều 
kiện 1a  . 
 Trước hết, GV nêu nhận xét: Đây là bất đẳng thức 1 ẩn. Phương pháp 
mà chúng ta hay sử dụng để chứng minh bài toán này là gì? Đa số HS thường 
nghĩ tới phương pháp biến đổi tương đương. Phương pháp này tỏ ra không hiệu 
quả, và mất nhiều thời gian và HS dễ biến đổi sai. Từ đó, GV gợi ý HS nghĩ theo 
hướng khác. 
 Với điều kiện 1a  , hay viết cách khác
1
1 1
a
   . GV gợi ý cho HS 
thông qua việc so sánh miền giá trị của 
1
a
 gần giống với miền giá trị nào của 
hàm nào mà ta đã biết? HS lập tức nghĩ ngay tới miền giá trị của hàm sin và hàm 
cos. 
 Như vậy, HS có thể chọn một trong 2 cách đặt 
1
a
= cost hoặc 
1
a
=sint. 
Giả sử GV chọn 
1
cos
a
t
 , 0; ;
2 2
t
 

   
      
. Từ đó, HS có thể chuyển bài 
toán chứng minh bất đẳng thức đại số sang chứng minh bất đẳng thức lượng 
giác: 
2
1
1 3
cos 2
1
cos
t
t
 
 
 GV gợi ý cho HS chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng công 
thức biến đổi lượng giác và tìm miền giá trị của hàm số. Ta được điều phải 
chứng minh: 
 cos (tan 3) 2t t   
3cos sin 2t t  
 Đến đây HS dễ chứng minh bất đẳng thức nhờ miền giá trị của hàm số 
lượng giác sin cosy x x   . 
Ví dụ 9: 
 Cho 1; 1a b  . Chứng minh rằng : 2 21 1a b ab    
Phân tích: 
 Đây là một bài toán chứng minh bất đẳng thức kèm theo điều kiện cho 
trước. Đa số HS gặp lúng túng khi gặp dạng toán này. HS thường sử dụng 
phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp sử dụng bất đẳng thức cơ bản. 
Nhưng với bài toán này, phương pháp này không khả quan. 
 Tuy nhiên từ điều kiện của bài toán 1; 1a b  , GV đưa ra gợi ý: với 
điều kiệnsin hay cách viết khác là 
1
1 1
a
   ,
1
1 1
b
   . Từ đây, các em thấy 
miền giá trị của 
1
a
, 
1
b
 giống với miền giá trị của hàm lượng giác nào mà em đã 
học? Từ đó, HS nghĩ ngay đến cách đặt 
1
a
, 
1
b
 theo ẩn là hàm của sin ;cosx x . 
GV yêu cầu HS sử dụng một trong 2 cách đặt để chuyển bài toán về chứng minh 
bất đẳng thức lượng giác. HS có thể chọn: 
1 1
;
cos cos
a b
 
  ; ; 0; ;
2 2
 
  
   
      
. 
 GV yêu cầu HS chuyển bài toán sang chứng minh bất đẳng thức sau: 
2 2
1 1 1
1 1
os os os . osc c c c   
    
 GV gợi ý từng bước cho HS rút gọn ta được ngay một bất phương trình 
đơn giản: 
1
tan tan
os . osc c
 
 
  hay sin( ) 1   (luôn đúng). 
* Dấu hiệu 4: A bất kì , Đặt A = tant 
 Với dấu hiệu này, phương pháp lượng giác hóa trở thành một công cụ 
khá hiệu quả để chứng minh một số bất đẳng thức, tưởng chừng khó chứng 
minh. 
Ví dụ 10: 
 Chứng minh rằng : Với mọi a, b 
2 2
( )(1 ) 1
(1 )(1 ) 2
a b ab
a b
 

 
Phân tích: 
 Đa số HS chúng ta khi nhìn bài toán này, đều nghĩ theo phương pháp 
biến đổi tương đương. Nhưng thực sự, phương pháp đó, khá là dài, và cần sự tỉ 
mỉ, cẩn thận. 
Lời giải: 
 Ta chia làm 2 trường hợp: 
Trường hợp 1: 
 
2 2
22 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
( )(1 ) 1
(1 )(1 ) 2
( ) (1 ) ((1 )(1 )
2( )(1 ) (1 )(1 )
2( ) (1 )
1 2( ) 0
(1 2 ) 2 (1 ) 1 2 0
( 1) 2 (1 )(1 ) (1 )
a b ab
a b
a b ab a b
a b ab a b
a b a b ab a b a b
a b a b a b a b ab
a b b a b b b
a b a b b b
 

 
     
     
       
        
        
      
2
0
( ( 1) (1 )) 0a b b

    
(luôn đúng ) 
Trường hợp 2: Tương tự 
Ta cũng có: 
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
1 ( )(1 )
2 (1 )(1 )
2( )(1 ) (1 )(1 )
2( ) (1 ) 0
1 2( ) 0
(1 2 ) 2 (1 ) 1 2 0
( 1) 2 (1 )(1 ) (1 ) 0
( ( 1) (1 )) 0
a b ab
a b
a b ab a b
a b a b ab a b a b
a b a b a b a b ab
a b b a b b b
a b a b b b
a b b
 
 
 
      
        
        
        
       
    
(Luôn đúng ) 
Với phương pháp biến đổi tương đương HS sẽ thấy rất dài. Vì thế, GV 
nên định hướng một cách giải khác để HS có thể rèn luyện thêm tư duy, GV nên 
gợi ý để HS rèn luyện kỹ năng nhận ra dấu hiệu lượng giác. 
Đối với bài toán này, từ giả thiết bài toán a, b là các giá trị bất kì, tức a, b 
miền giá trị là R. Khi đó GV đặt ra câu hỏi rằng trong lượng giác có hàm lượng 
giác cơ bản nào mà miền giá trị của nó là R không? Khi đó, HS nghĩ ngay đến 
hàm tan;cot . Vậy liệu ta có thể chuyển bài toán chứng minh bất đẳng thức đại 
số này về bài toán chứng minh bất đẳng thức lượng giác được hay không? Đến 
đây, HS nghĩ đến cách đặt ẩn phụ a, b thông qua hàm tan hoặc cot. 
 Với bài toán này, tương ứng với 2 số thực a, b sẽ ứng với hai hàm lượng 
giác. GV đặt ra yêu cầu là hãy chọn cách đặt ẩn phụ như thế nào? Giả sử HS 
chọn tan , tan , , ,
2 2
a u b v u v
  
   
 
. 
 GV yêu cầu HS chuyển bài toán ban đầu sang bài toán lượng giác: 
2 2
1 (tan tan )(1 tan tan ) 1
2 (1 tan )(1 tan ) 2
u v u v
u v
  
 
 
 Đến đây, GV yêu cầu HS hãy sử dụng tri thức lượng giác đã biết để có 
thể rút gọn và chứng minh bất đẳng thức trên. Với các kỹ năng biến đổi các công 
thức lượng giác và tìm miền giá trị của hàm số, HS dễ dàng chứng minh được 
bất đẳng thức trên: 
2 2
sin( ) cos cos sin sin
.
1 1cos .cos cos .cos
12 2
cos .cos
u v u v u v
u v u v
u v
 

  
1 1
sin( )cos( )
2 2
u v u v

     
1 sin 2( ) 1u v    ( luôn đúng) 
 Như vậy, với các giá trị bất kì ta cũng có thể định hướng để chuyển bài 
toán cần chứng minh sang chứng minh những bài toán lượng giác mà sử dụng 
công cụ lượng giác để giải quyết bài toán đó đơn giản hơn rất nhiều. 
Ví dụ 11: 
Chứng minh rằng : Với mọi n , 2N n  thì 
-( 2 2 21 ) (2 ) (1 ) (1 )n n n na a a a      
Phân tích: 
Đứng trước bài toán này, đa số HS sẽ nghĩ đến phương pháp đạo hàm. 
Tức là sẽ chứng minh 2 bất đẳng thức sau: 
2 2(2 ) (1 ) (1 )n n na a a    ; -( 2 21 ) (2 ) (1 )n n na a a    
Khi đó, GV định hướng cho HS để HS có thể khảo sát hàm số thích hợp 
để chứng minh bài toán, nhưng HS sẽ vướng mắc trong việc tìm hàm số y nào, 
lúng túng trong việc giải phương trình y’=0. Như vậy, phương pháp này không 
khả quan. 
 Từ đó, GV yêu cầu HS quan sát bất đẳng thức cần chứng minh và đặt ra 
câu hỏi là: Có thể chuyển bất đẳng thức trên về bất đẳng thức đơn giản hơn 
không? Đến đây, HS có thể nghĩ ngay đến việc chia cả 2 vế cho 2(1 )na . 
2
2 2
2 1
1 ( ) ( ) 1
1 1
n na a
a a

   
 
Từ giả thiết a là số bất kì, khi đó miền giá trị của a là R. GV lại đặt yêu 
cầu hỏi có hàm lượng giác nào mà miền giá trị tương đương với miền giá trị là 
R. Lúc này, ta có thể chuyển bài toán đại số sang bài toán lượng giác hay 
không