Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ

1. Lí do chọn đề tài

a. Cơ sở pháp chế

Đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi là một công tác mũi nhọn của ngành giáo

dục & đào tạo. Trong xu thế phát triển hiện nay, việc đào tạo, bồi dưỡng học

sinh giỏi là một nhu cầu cấp thiết của xã hội, nó góp phần không nhỏ vào việc

đào tạo, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước. Chính vì vậy, trong những năm gần

đây, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi được ngành giáo dục hết sức chú

trọng.

b. Cơ sở lý luận

Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Là

một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm

lĩnh những tri thức cho mình. Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chương

trình, nội dung của SGK, nắm vững phương pháp dạy học, để từ đó tìm ra những

biện pháp dạy học có hiệu quả là một công việc mà bản thân mỗi giáo viên đang

trực tiếp giảng dạy bộ môn toán thường xuyên phải làm.

Trong công tác giảng dạy bộ môn Toán, việc đào tạo, bồi dưỡng những học

sinh có năng khiếu về bộ môn Toán. Giúp cho các em trở thành những học sinh

giỏi thực sự về bộ môn toán là một công tác mũi nhọn trong công tác chuyên

môn được ngành giáo dục hết sức chú trọng. Các cuộc thi học sinh giỏi các cấp

được tổ chức thường xuyên mỗi năm một lần đã thể hiện rõ điều đó.

Chương trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh

giỏi, trong đó chuyên đề “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân

tử” là một trong những chuyên đề giữ một vai trò quan trọng, nó giúp cho học

sinh hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại số. Chẳng hạn,

để thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đa

thức thành nhân tử, hay việc giải một phương trình bậc cao sẽ gặp rất nhiều khó

khăn nếu học sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử,

thậm chí trong nhiều đề thi học sinh giỏi cấp Quận, Thành phố, . nhiều năm

cũng có những bài toán về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. Chính vì

vậy, việc bồi dưỡng cho học sinh chuyên đề về phân tích đa thức thành nhân tử

là một trong những vấn đề mà bản thân tôi hết sức quan tâm.

c. Cơ sở thực tiễn

Năm học này, bản thân tôi được Nhà trường giao cho nhiệm vụ đào tạo bồi

dưỡng học sinh. Đây là cơ hội để tôi đưa đề tài này áp dụng vào công tác đào tạo

bồi dưỡng học sinh giỏi.

Với tất cả những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài “ Một số phương

pháp phân tích đa thức thành nhân tử” .

pdf 30 trang Người đăng phuongnguyen22 Ngày đăng 05/03/2022 Lượt xem 371Lượt tải 3 Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
c)(a – c) 
 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 9
3. Phương pháp dùng hằng đẳng thức. 
Phương pháp này dùng hằng đẳng thức để đưa một đa thức về dạng tích, 
hoặc luỹ thừa bậc hai, bậc ba của một đa thức khác. 
Các hằng đẳng thức thường dùng là : 
A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 
A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 
A2 - B2 = (A + B) (A - B) 
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 
A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2) 
A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2) 
Sau đây là một số bài tập cụ thể: 
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 
Giải: Ta có : B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 
 = (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 ) 
 = (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 ) 
= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2 
 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )2– a2b2 
 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) 
 = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1)) 
 = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1) 
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
C = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 
Giải: Ta có : C = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 
 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2 
 = (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2 
 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2 
 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1 + x2 – x + 1) 
 = 2(x2 – x + 1)(x2 + 1) 
 = (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z) 
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
E = (x + y)3 +(x - y)3 
 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 10
Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách 
khác giải như sau : 
Cách 1: E = (x + y)3 +(x - y)3 
 = ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y) 
 = 8x3 – 3.2x(x2 – y2) 
 = 2x(4x2 – 3(x2 – y2)) 
 = 2x(x2 + 3y2) 
Cách 2: E = (x + y)3 +(x - y)3 
 = ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2 
 = 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2)) 
 = 2x(x2 + 3y2) 
Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
F = 16x2 + 40x + 25 
Giải: Ta có: F = 16x2 + 40x + 25 
 = (4x)2 + 2.4.5.x + 52 
 = (4x + 5)2 
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
G = (a + b+ c) – (a3 + b3+ c3) 
Giải: Ta có: G = (a + b+ c) –(a3 + b3+ c3) 
 = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3) 
 = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3) 
 = 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c) 
 = 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc) 
 = 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b) 
 = 3(b + c)(a + b)(a + c) 
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
H = x8 – 28 
Giải: Ta có : H = x8 – 28 
 = (x4 + 24) (x4 - 24) 
 = (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 ) 
 = (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22) 
 = (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2) 
* Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp cả ba phương pháp kể trên để 
có thể phân tích đa thước thành nhân tử. 
Bài 7 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : M = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 
 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 11
Giải: M = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 
 = (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm các hạng tử) 
 = 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC và dùng hằng đẳng thức) 
 = (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung) 
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : N = a2 - b2 - 2a + 2b 
Giải: N = a2 - b2 - 2a + 2b 
 = (a2 - b2) - (2a - 2b) (Nhóm các hạng tử) 
 = (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC) 
 = (a -b) (a + b - 2) (Đặt NTC) 
Để phối hợp nhiều phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử cần 
chú ý các bước sau đây: 
+ Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản đa 
thức. 
+ Xem xét đa thức có dạng bằng đẳng thức nào không ? 
+ Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải 
nhóm các hạng tử vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tử 
chung, làm xuất hiện nhân tử chung của các nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng 
thức. Cụ thể các ví dụ sau: 
Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2 
 Ta thấy P không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân tử 
chung, vậy làm gì để phân tích được. Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân 
tử chung. Vì vậy ta dùng phương pháp nhóm các hạng tử đầu tiên. 
 P = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2. Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhất 
làm xuất hiện hằng đẳng thức P = 5(a2 - b2) + 3 (a + b)2. Sử dụng hằng đẳng thức 
ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả hai nhóm là (a+b) 
Vậy P = 5(a + b) (a - b) +3 (a + b)2 . Đã có nhân tử chung là: (a + b) Vậy ta 
tiếp tục đặt nhân tử chung. 
P = (a + b) (8a - 2b) =2 (a + b) (4a - b). 
Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử. 
Q = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy22 - 3xyz2 + 3xy. 
Trước hết hãy xác định xem dùng phương pháp nào trước ? 
Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy. 
+ Đặt nhân tử chung. 
Q = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - Z2 + 1) 
Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không? 
 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 12
+ Nhóm hạng tử: Q = 3 xyx2 - 2x + 1 ) - (y2 + 2y z + z2 
+ Dùng hằng đẳng thức: Q = 3xy ( x - 1)
2 - ( y + z)2 xem xét hai hạng tử 
trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào. 
+ Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có: 
Q = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1) 
Vậy: Q đã được phân tích các đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát xem, 
kiển tra, linh hoạt sử dụng các bước phối hợp giữa các phương pháp như đã hướng 
dẫn trên từ đó sẽ phân tích theo các phương pháp thông thường. 
4. Phương pháp sử dụng phép chia đa thức: 
Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x – a).g(x) 
,g(x) là một đa thức. Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a). Sau đó lại phân tích 
tiếp g(x). 
Sau đây là một số ví dụ cụ thể: 
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8 
Giải: 
Dễ thấy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + 8 = 0 
Nên chia f(x) cho (x + 2), ta được: 
 f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x) 
Dễ thấy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 có g(-2) = 0 
Nên chia g(x) cho (x + 2), ta được: 
g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2) 
Đặt h(x) = x3 + 2x2 + 2x + 2. Ta có: h(-2) = 0 
Nên chia h(x) cho(x + 2), được: h(x) = (x + 2)(x2 + 1) 
Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1) 
 = (x + 2)3(x2 + 1) 
Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ 
Hoocne để thực hiện phép chia được nhanh hơn. 
Ví dụ chia f(x) cho (x + 2) như sau : 
 1 6 13 14 12 8 
-2 1 4 5 4 4 0 
Vậy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) 
 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 13
Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 cho (x + 2) như sau : 
 1 4 5 4 4 
-2 1 2 2 2 0 
Vậy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2) 
Chia x3 + 2x2 + 2x + 2 cho (x + 2) như sau : 
 1 2 2 2 
-2 1 0 1 0 
 Vậy x3 + 2x2 + 2x + 2 = (x + 2)(x2 + 1) 
 Vậy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1) 
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
P = x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36 
Giải: Tìm nghiệm nguyên của đa thức (nếu có) trong các ước của 36 :  1;  2; 
 3;  4;  6 ;  9;  12;  18;  36. 
Ta thấy : x = -2 
P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = 0 
Ta có: P = x4 + 2x3 – 4x3 – 8x2 – 3x2 – 6x + 18x + 36 
 = x3 (x + 2) – 4x2(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2) 
 = (x + 2)(x3 – 4x2 – 3x + 18) 
Lại phân tích Q = x3 – 4x2 – 3x + 18 thành nhân tử 
Ta thấy: Q(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = 0 
Nên chia Q cho (x + 2), ta được : 
Q = (x + 2)(x2 – 6x + 9) 
 = (x + 2)(x – 3)2 
Vậy: P = (x + 2)2(x – 3)2 
5. Phương pháp đặt ẩn phụ 
Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta có thể đưa một 
đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức 
này sẽ dễ dàng phân tích được thành nhân tử. Sau đây là một số bài toán dùng 
phương pháp đặt ẩn phụ. 
 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 14
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12 
Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức đã cho trở thành : 
 A = y2 + 4y – 12 
 = y2 – 2y + 6y – 12 
 = y(y – 2) + 6(y – 2) 
 = (y – 2)(y + 6) (1) 
Thay : y = x2 + x vào (1) ta được : 
 A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6) 
 = (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6) 
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 
Giải: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 
Đặt y = (x2 + x + 1). Đa thức đã cho trở thành : 
A = y(y + 1) – 12 
 = y2 + y – 12 
 = y2 – 3y + 4y – 12 
 = y(y – 3) + 4(y – 3) 
 = (y – 3)(y + 4) (*) 
Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta được : 
A = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4) 
 = (x2 + x – 2) (x2 + x + 6) 
 = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6) 
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
B = x12 – 3x6 + 1 
Giải: B = x12 – 3x6 + 1 
Đặt y = x6 (y 0 ) 
Đa thức đã cho trở thành : 
B = y2 – 3y + 1 
 = y2 – 2y + 1 – y 
 = (y – 1)2 – y 
 = (y – 1 - y )(y + 1 + y ) (*) 
 Thay : y = x6 vào (*) được : 
B = (x6 – 1 - )1)( 66 xyx  
 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 15
 = (x6 – 1 – x3)(x6 + 1 + x3) 
Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
C = x3 - 3 2 x2 + 3x + 2 - 2 
Giải: Đặt : y = x - 2 , ta có x = y + 2 
 C = (y + 2 )3 - 3 2 (y + 2 )2 + 3(y + 2 ) + 2 - 2 
 = y3 + 3y2 2 + 3y.2 + 2 2 - 3 2 (y2 + 2 2 y + 2) + 3(y + 2 ) + 2 - 2 
 = y3 - 3y – 2 
 = y3 - y – 2y – 2 
 = y(y2 – 1) – 2(y + 1) 
 = y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1) 
 = (y + 1)(y(y – 1) – 2) 
 = (y + 1)(y2 – y – 2) 
 = (y + 1)(y + 1)(y – 2) 
 = (y + 1)2(y – 2) (*) 
Thay : y = x - 2 vào (*), được : 
C = (x - 2 + 1)2(x - 2 - 2) 
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
D = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 
Giải: Ta có: 
D = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 
 = ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15 
 = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 
Đặt : y = (x2 + 8x + 7). Đa thức đã cho trở thành : 
 D = y(y + 8) + 15 
 = y2 + 8y + 15 
 = y2 + 3y + 5y + 15 
 = y(y + 3) + 5(y + 3) 
 = ( y + 3)(y + 5) 
Thay : y = (x2 + 8x + 7), ta được : 
D = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) 
 = (x2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12) 
 = (x2 + 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2)) 
 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 16
 = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) 
Nhận xét: Từ lời giải bài toán trên ta có thể giải bài toán tổng quát sau : phân 
tích đa thức sau thành nhân tử : 
A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m 
Nếu a + d = b + c . Ta biến đổi A thành : 
A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1) 
Bằng cách biến đổi tương tự như bài 5, ta đưa đa thức (1) về đa thức bậc 
hai và từ đó phân tích được đa thức A thành tích các nhân tử. 
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
E = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 
Giải: Giả sử x 0 , ta viết đa thức dưới dạng : 
E = x2((x2 + 
2x
1
) + 6( x - 
x
1
) + 7 ) 
Đặt y = x - 
x
1
 thì x2 + 
2x
1
= y2 + 2 
Do đó : E = x2(y2 + 2 + 6y + 7) 
 = x2( y + 3)2 
 = (xy + 3x) 2 
Thay y = x - 
x
1
 , ta được 
E = 
2
3)
1
( 





 x
x
xx 
 = (x2 + 3x – 1)2 
Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0 
Nhận xét : 
Từ lời giải bài tập này, ta có thể giải bài tập tổng quát sau : Phân tích đa 
thức sau thành nhân tử : 
A = a0x
2n + a1x
n – 1 +.+ an – 1x
n – 1 +anx
n + an – 1x
n – 1 + ..+ a1x + a0 
Bằng cách đưa xn làm nhân tử của A, hay : 
A = xn(a0x
n + a1x
n – 1 + .+ an – 1x + an + 
x
an 1 +..+
1
1
nx
a
 + 
nx
a0 
Sau đó đặt y = x + 
x
1
 ta sẽ phân tích được A thành nhân tử một cách dễ dàng 
như bài tập trên. 
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
F = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12 
Giải: Ta có: F = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12 
 = (x + y)2 – (x + y) – 12 
- Đặt X = x + y, đa thức trên trở thành : 
 F = X2 – X – 12 
 = X2 - 16 – X + 4 
 = (X + 4)(X - 4) - (X - 4) 
 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 17
 = (X - 4)(X + 4 - 1) 
 = (X - 4)(X + 3) (1) 
- Thay X = x + y vào (1) ta được : 
F = (x + y – 4)( x + y + 3) 
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
G = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 
Giải: G = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 
Đặt : x2 + y2 + z2 = a 
xy + yz + zx = b 
  ( x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a + 2b 
Đa thức A trở thành : 
G = a(a + 2b) + b2 
 = a2 + 2ab + b2 
 = (a + b)2 (*) 
Thay : a = x2 + y2 + z2 
 b = xy + yz + zx vào (*) ta được : 
 G = (x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2 
6. Phương pháp tách hạng tử; thêm bớt hạng tử 
 Phương pháp tách; thêm, bớt các hạng tử trong đa thức để làm xuất hiện các 
đa thức có thể đưa về hằng đẳng thức đáng nhớ. 
Sau đây là một số ví dụ : 
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
A = x2 – 6x + 5 
Giải: Ta có thể giải bài toán trên đây bằng một số cách như sau: 
Cách 1: A = x2 – 6x + 5 
 = x2 – x – 5x + 5 
 = x(x – 1) – 5(x – 1) 
 = (x – 1)(x – 5) 
Cách 2 : A = x2 – 6x + 5 
 = (x2 - 2x + 1) – 4x + 4 
 = (x – 1)2 – 4(x – 1) 
 = (x – 1)(x – 1 - 4) 
 = (x – 1)(x – 5) 
Cách 3 : A = x2 – 6x + 5 
 = (x2 – 6x + 9) – 4 
 = (x – 3)2 – 4 
 = (x – 3 – 2) (x – 3 + 2) 
 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 18
 = (x – 1)(x – 5) 
Cách 4 : A = x2 – 6x + 5 
 = (x2 – 1) – 6x + 6 
 = (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) 
 = (x – 1)( x + 1 – 6) 
 = (x – 1)(x – 5) 
Cách 5 : A = x2 – 6x + 5 
 = (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + 2 
 = 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1) 
 = 3(x – 1)(3(x – 1) – 2 ( x + 1)) 
 = (x – 1)(x – 5) 
Cách 6 : A = x2 – 6x + 5 
 = (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + 4 
 = (x – 1)2 – 4x(x – 1) 
 = (x – 1)( (5(x – 1) – 4x)) 
 = (x – 1)(x – 5) 
Cách 7 : A = x2 – 6x + 5 
 = (6x2 – 6x) – 5x2 + 5 
 = 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1) 
 = (x – 1)(6x – 5(x + 1)) 
 = (x – 1)(x – 5) 
Cách 8 : A = x2 – 6x + 5 
 Đặt f(x) = x2 – 6x + 5 
Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(x) = 0 nên f(x) chia hết cho 
(x- 1). Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) được thương là (x – 5). Vậy 
A = (x – 1)(x – 5) 
Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c 0) bằng phương pháp tách số hạng 
ta làm như sau : 
Bước 1 : lấy tích a.c = t 
Bước 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trường hợp) t = pi.qi 
Bươc 3 : tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pa, qa sao cho : pa + qa = b 
Bước 4 : viết ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c 
Bước 5 : từ đây nhóm các số hạng và đưa nhân tủ chung ra ngoài dấu ngoặc. 
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
B = x4 + 2x2 - 3 
 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 19
Giải: 
Cách 1: B = x4 + 2x2 - 3 
 = x4 – x2+ 3x2 – 3 
 = x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1) 
 = (x2 – 1) (x2 + 3) 
 = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) 
Cách 2: B = x4 + 2x2 - 3 
 = x4 + 3x2 – x2– 3 
 = x2(x2 + 3) - (x2 + 3) 
 = (x2 + 3)(x2 – 1) 
 = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) 
Cách 3 : B = x4 + 2x2 - 3 
 = (x4 ) + 2x2 – 1 – 2 
 = (x4 – 1) + 2x2– 2 
 = (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1) 
 = (x2 – 1)(x2 + 3) 
 = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) 
Cách 4 : B = x4 + 2x2 - 3 
 = (x4 + 2x2 + 1) - 4 
 = (x2 + 1)2 – 4 
 = (x2 + 1)2 – 22 
 = (x2 + 1 – 2)(x2 + 1 + 2) 
 = (x2 – 1) (x2 + 3) 
 = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) 
Cách 5 : B = x4 + 2x2 - 3 
 = (x4 – 9) + 2x2 + 6 
 = (x2 + 3)(x2 - 3) + 2(x2 + 3) 
 = (x2 + 3)( x2 - 3 + 2) 
 = (x2 + 3)(x2 – 1) 
 = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) 
Cách 6 : B = x4 + 2x2 - 3 
 = (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2 
 = 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1) 
 = 3(x2 – 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 – 1) 
 = (x2 – 1)(3( x2 + 1) - 2x2) 
 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 20
 = (x2 – 1) (x2 + 3) 
 = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) 
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
 C = x4 + x2 + 1 
Giải: 
Cách 1 : C = x4 + x2 + 1 
 = (x4 + 2x2 + 1) - x2 
 = (x2 + 1)2 - x2 
 = (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x) 
Cách 2 : C = x4 + x2 + 1 
 = (x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) 
 = (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x) 
Cách 3 : C = x4 + x2 + 1 
 = (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1) 
 = x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) 
 = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1) 
Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
D = 5x2 + 6xy + y2 
Giải: 
Cách 1 : D = 5x2 + 6xy + y2 
 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2) 
 = 5x(x + y) + y(x + y) 
 = (x + y)(5x + y) 
Cách 2 : D = 5x2 + 6xy + y2 
 = (6x2 + 6xy) – (x2 - y2) 
 = 6x(x + y) – (x – y)(x + y) 
 = (x + y)(6x – x + y) 
 = (x + y)(5x + y) 
Cách 3 : D = 5x2 + 6xy + y2 
 = (4x2 + 4xy) +(x2 + 2xy + y2 ) 
 = 4x(x + y) + (x + y)2 
 = (x + y)(4x + x + y) 
 = (x + y)(5x + y) 
Cách 4 : D = 5x2 + 6xy + y2 
 = (3x2 + 6xy + 3y2) + (2x2 – 2y2 ) 
 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 21
 = 3(x + y)2 + 2(x2 – y2 ) 
 = (x + y)(3x + 3y + 2x – 2y) 
 = (x + y)(5x + y) 
Cách 5 : D = 5x2 + 6xy + y2 
 = (5x2 + 10xy + y2) – (4xy + 4y2) 
 = 5(x + y)2 – 4y(x + y) 
 = (x + y)(5(x + y) – 4y)) 
 = (x + y)(5x + y) 
Cách 6 : D = 5x2 + 6xy + y2 
 = (5x2 - 5y2) + (6xy + y2) 
 = 5(x2 – y2) + 6y(x + y) 
 = 5(x – y)(x +y) + 6y(x + y) 
 = (x + y)(5x – 5y + 6y) 
 = (x + y)(5x + y) 
Cách 7 : D = 5x2 + 6xy + y2 
 = (9x2 + 6xy + y2) – 4x2 
 =(3x + y)2 – 4x2 
 = (3x + y – 2x)(3x + y + 2x) 
 = (x + y)(5x + y) 
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
E = x4 + x2y2 + y4 
Giải: 
Ta có : E = x4 + x2y2 + y4 
 = (x4 + 2x2y2 + y4) – x2y2 
 = (x2 + y2)2 – (xy)2 
 = (x2 + y2 – xy)(x2 + y2 + xy) 
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
F = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 
Giải: Ta có : F = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 
 = x4 + (x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)2 + x 
 = (x2 – x + 1)(x2 – x + 2) + x(x + 1)(x2 – x + 1) 
= (x2 – x + 1)((x2 – x + 2) + x(x + 1)) 
 = (x2 – x + 1)(2x2 + 2) 
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 22
P = 4x4 + 81 
Giải: Ta có : P = 4x4 + 81 
 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2 
 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 
 =(2x2 + 9 – 6x)(2x2 + 9 + 6x) 
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5 
Giải: Ta có : Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5 
 = 3x3 – x2 – 6x2 + 2x + 15x – 5 
 = x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1) 
 = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) 
 Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
M = x3 – x2 – x - 2 
Giải: Ta có : M = x3 – x2 – x - 2 
 = x3 – 1 – (x2 + x + 1) 
 = (x – 1)(x2 + x + 1) - (x2 + x + 1) 
 = (x2 + x + 1)(x – 1 – 1) 
 = (x2 + x + 1)(x – 2) 
Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
H = x3 – 6x2 – x + 30 
Giải: Ta có : H = x3 – 6x2 – x + 30 
 = x3 + 2x2 – 8x2 – 16x + 15x + 30 
 = x2(x + 2) – 8x(x + 2) + 15 ( x + 2) 
 = (x + 2)(x2 – 8x + 16 – 1) 
 = (x + 2)((x – 4)2 – 1)) 
 = (x + 2)(x – 4 – 1)(x – 4 + 1) 
 = (x + 2)(x – 5)(x – 3) 
7. Phương pháp hệ số bất định 
Phương pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng nhau, ta có thể tính 
được các hệ số của sự biểu diễn đòi hỏi bằng cách giải một hệ phương trình sơ 
cấp. 
Sau đây là một số ví dụ : 
Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
A = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 
 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 23
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng : 
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) 
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd 
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện : 











3
14
12
16
bd
bcad
dbac
ca
Xét bd = 3 với b, d Z , b   3;1 với b = 3; d = 1 
Hệ điều kiện trở thành : 








143
8
6
ca
ac
ca
Suy ra 2c = - 14 + 6 = - 8, do đó c = - 4 , a = -2 
 Vậy A = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 
 = (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1) 
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
B = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng : 
B = ( ax + by + c

Tài liệu đính kèm:

  • pdfsang_kien_kinh_nghiem_mot_so_phuong_phap_phan_tich_da_thuc_t.pdf