SKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 5 giải toán liên quan đến diện tích hình tam giác, hình thang

hoa nhưng giải bài nào biết bài đó, chưa có phương pháp chung để giải những bài toán liên quan đến diện tích hình tam giác, hình thang; chưa chú ý đọc kĩ đề, thiếu suy nghĩ cặn kẽ về dữ kiện bài toán đưa ra.
Trong dạy học, giáo viên mới chỉ quan tâm tới kết quả bài làm của học sinh mà chưa quan tâm tới phương pháp tìm tòi, khám phá để đi đến kết quả đó. 
e) Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra 
Cũng như những dạng toán điển hình ở lớp 5, bài toán liên quan đến diện tích hình tam giác, hình thang có những nét đặc thù riêng về cách giải. Có những bài toán khi giải chỉ cần áp dụng các công thức tính đơn giản, nhưng cũng có rất nhiều bài toán khi giải cần phải vận dụng các phương pháp giải toán khác nữa. Thế nhưng, một số giáo viên xác định nội dung và phương pháp dạy còn nhiều lúng túng. Với cách dạy là hướng dẫn học sinh giải một bài toán hình học, sau đó giao bài tương tự cho các em làm theo. Cách này hạn chế ở chỗ các em không hiểu cặn kẽ, chỉ ghi nhớ máy móc công thức tính từng bài mà không phát triển được tư duy và sáng tạo. Một thời gian sau, nhiều em đã quên cách giải. Vì vậy, cần phải phân bài toán liên quan đến diện tích các hình thành các dạng, cho các em công thức để giải từng dạng.
Ở nhà, một số cha mẹ học sinh ít quan tâm đến việc học tập của con em mình nên các em không tự giác làm bài. Có em rất chăm chỉ học bài nhưng kết quả học tập thì chưa cao.
Vì vốn sống, vốn thực tế của học sinh còn hạn chế nên khi giải bài toán liên quan đến diện tích hình tam giác, hình thang, nhiều em không đọc kĩ đề bài dẫn đến vẽ hình không đúng. Hoặc không chú ý đến sự tương ứng giữa các đơn vị đo của chiều cao, của đáy... nên khi thay vào công thức tính sai. Bởi thế, dạy các yếu tố hình học ở lớp 5, giáo viên nên dành nhiều thời gian cho học sinh thực hành để các em nắm các tính chất và đặc điểm của hình, nhớ lâu công thức tính diện tích. 
II.3. Giải pháp, biện pháp
a) Mục tiêu của giải pháp, biện pháp
Giải pháp, biện pháp được nêu trong đề tài nhằm giúp giáo viên dạy học sinh hệ thống hóa các công thức tính diện tích hình tam giác, hình thang ; giúp học sinh hiểu và giải đúng bài toán liên quan. Qua đó tạo điều kiện để các em thể hiện khả năng vận dụng sáng tạo các kiến thức đã học trong chương trình.
Giáo viên giúp học sinh thấy được những nhầm lẫn thường mắc khi giải bài toán liên quan đến diện tích hình tam giác, hình thang ; qua đó các em có kinh nghiệm trong việc vẽ hình, tính toán trong thực tế.
b) Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp
Trong chương trình lớp 5, các bài toán có nội dung hình học giữ vai trò rất quan trọng. Khi giải các bài toán này, học sinh phải vận dụng tổng hợp nhiều kiến thức và hiểu biết về :
+ Yếu tố hình học : Công thức tính chu vi, diện tích...và các công thức ngược.
+ Cách giải các dạng toán điển hình : bài toán về quan hệ tỉ lệ, tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó...
+ Các phép tính số học : Cộng, trừ, nhân, chia số tự nhiên, số thập phân, phân số.
+ Cách tính giá trị những đại lượng thông dụng trong cuộc sống xung quanh như tính số gạch lát nền ; tính diện tích quét vôi các bức tường nhà ; tính diện tích thửa ruộng, sân trường ; tính số nông sản thu được trên một diện tích đất...
Các bài toán về yếu tố hình học cần đạt mức độ yêu cầu :
+ Hình tam giác : Nhận dạng, vẽ được các loại hình tam giác bằng thước và eke, vẽ được chiều cao tam giác ứng với đáy cho trước. Nắm được công thức tính diện tích hình tam giác. Biết tính chiều cao và cạnh đáy hình tam giác theo công thức ngược.
+ Hình thang : Nhận dạng và vẽ được hình thang. Biết vẽ đường cao hình thang, nắm và nhớ công thức tính diện tích hình thang, đồng thời biết vận dụng công thức để giải toán. Biết vận dụng các công thức ngược khi cần tìm chiều cao, đáy bé hoặc đáy lớn.
Để củng cố và hướng dẫn học sinh giải toán nội dung hình học, tôi đưa ra các bài tập ngắn gọn, dễ nhớ, dễ hiểu từ đơn giản đến phức tạp theo các dạng sau : 
b.1) Bài toán vận dụng trực tiếp công thức tính diện tích. 
Các bài tập dạng này chủ yếu là áp dụng trực tiếp các công thức tính diện tích để giải.
Trong sách giáo khoa đã hình thành công thức tính diện tích tam giác :
Trong đó S : Diện tích tam giác 
 a : Độ dài đáy
 h : Chiều cao
Công thức tính diện tích hình thang : 
 	S : Diện tích hình thang 
a : Độ dài đáy lớn
b : Độ dài đáy bé
h : Chiều cao
Tôi thường xuyên nhắc học sinh trong những công thức trên thì các số đo chiều cao, độ dài đáy phải cùng một đơn vị đo. Các em so sánh, đối chiếu các công thức đó để hiểu và nhớ lâu. Sau khi có công thức, học sinh vận dụng vào làm được bài tập 1, 2 (tiết 86) bài 1, 2, 3, 4 (tiết 87) và bài 3 (tiết 88) trong sách giáo khoa.
Những tồn tại của học sinh khi giải dạng này là : không thuộc công thức tính diện tích ; áp dụng đúng công thức nhưng tính kết quả sai ; lẫn lộn giữa các đơn vị đo, thường không chú ý đổi số đo của các kích thước về cùng một đơn vị...
* Biện pháp khắc phục :
Giúp học sinh học thuộc công thức ngay tại lớp, hiểu và chỉ rõ được các thành phần của công thức. Nhắc học sinh khi vận dụng công thức phải chú ý đến số đo các kích thước chiều cao, đáy bé hoặc đáy lớn, nếu chưa cùng đơn vị đo thì phải đổi về cùng một đơn vị đo.
Qua mỗi bài tập , củng cố thêm kĩ năng thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia số tự nhiên, số thập phân, phân số.
b.2) Bài toán tìm số đo kích thước của một hình :
Ở lớp 5 có rất nhiều bài toán cho biết diện tích và yêu cầu tìm số đo kích thước của một hình. Các bài tập dạng này có tác dụng nâng cao năng lực tư duy của học sinh, các em phải hiểu rõ mối quan hệ giữa các thành phần trong một công thức từ đó suy ra công thức tính ngược. Để học sinh nhớ và vận dụng dạng này, tôi thường xuyên ôn tập và hệ thống hóa kiến thức để giúp các em nhận thấy có thể từ công thức này suy ra công thức kia chẳng hạn :
Từ công thức tính diện tích hình tam giác S = (a x h) : 2 có thể suy ra các công thức tính ngược sau :
- Coi a x h là số bị chia, 2 là số chia, S là thương, ta có : a x h = S x 2
- Coi S x 2 là tích, h là thừa số đã biết, a là thừa số chưa biết, ta có công thức tính đáy là : đáy = diện tích 2 : chiều cao 
a = (S x 2) : h
- Coi S x 2 là tích, a là thừa số đã biết, h là thừa số chưa biết, ta có công thức tính chiều cao là : chiều cao = diện tích 2 : đáy
h = (S x 2) : a
Ví dụ 1: Tính chiều cao của một hình tam giác có diện tích là 12 cm2 và đáy là 6 cm.
Để giải được bài toán này, đầu tiên tôi cho học sinh nhắc lại công thức tính diện tích hình tam giác.
+ Hướng dẫn cho học sinh tìm xem đề bài cho biết những thành phần nào? (Diện tích và đáy)
+ Bài toán yêu cầu tìm gì? (chiều cao)
+ Yêu cầu học sinh dựa vào kiến thức tìm thành phần chưa biết của phép tính để tìm chiều cao qua công thức : 
+ Từ công thức trên, hướng dẫn học sinh chuyển về như sau: 	
(h 6) : 2 = 12 (cm2)
+ Xem h 6 là số bị chia chưa biết của phép chia, vậy muốn tìm số bị chia ta lấy thương nhân với số chia :
h 6 = 12 2 = 24 (Chiều cao x 6 = diện tích x 2)
+ Tiếp tục hướng dẫn học sinh tìm chiều cao theo cách tìm thừa số chưa biết, ta có h = 24 : 6 = 4 (cm)
Khi hiểu công thức, học sinh có thể vận dụng để làm các bài tập sau :
Ví dụ 2: Tam giác có diện tích m2, chiều cao m. Tính độ dài đáy của tam giác đó.
Đây là bài tập phải áp dụng công thức ngược để giải, các số đo diện tích và chiều cao là phân số nên khi đọc đề, học sinh sẽ lúng túng. Tôi cho các em nhận xét là vẫn áp dụng công thức tính đáy của tam giác và thực hiện các phép tính với phân số. 
Giải :
Độ dài đáy của tam giác là : 
Đáp số : m
Ví dụ 3 : Một tam giác có đáy là 10cm, có diện tích bằng diện tích hình vuông cạnh 8cm, tính chiều cao của tam giác đó.
Bài tập dạng này mới chỉ cho biết số đo một cạnh đáy, chưa biết diện tích nhưng lại yêu cầu tính chiều cao. Tôi hướng dẫn các em : muốn tính chiều cao tam giác phải tính diện tích tam giác mà diện tích tam giác bằng diện tích hình vuông. Vậy áp dụng công thức tính diện tích hình vuông để làm.
Giải :
Diện tích hình vuông bằng diện tích tam giác là : 
8 x 8 = 64 (cm2)
Chiều cao của tam giác đó là : 
64 x 2 : 10 = 12,8 (cm)
Đáp số: 12,8 cm
Trong quá trình làm bài, có em chưa nắm chắc cách vận dụng tìm thành phần chưa biết của phép tính để tìm ra kết quả của bài toán; có sự lầm lẫn giữa hình tam giác và hình thang, do đó khi tìm cạnh đáy của hình thang học sinh chỉ tìm một cạnh đáy (tức là tổng 2 đáy của hình thang) là các em dừng lại mà không tìm mỗi đáy cụ thể.
Ví dụ 4 : Một hình thang có diện tích 845cm2, đáy lớn hơn đáy bé là 13 cm, chiều cao là 26cm. Tính độ dài đáy lớn, đáy bé ?
Giải :
Tổng của đáy lớn và đáy bé của hình thang là :
845 x 2 : 26 = 65 ( cm)
Độ dài của đáy lớn hình thang là 
(65 + 13) : 2 = 39 (cm )
Độ dài đáy bé của hình thang là
65 - 39 = 26 (cm )
Đáp số : Đáy lớn : 39cm
 	 Đáy bé : 26cm
Từ công thức tính diện tích hình thang, các em đã biết suy ra công thức tính tổng hai đáy nhưng chưa biết giải tiếp để tính độ dài mỗi đáy. Tôi yêu cầu đọc lại đề và đưa bài toán về dạng tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó để tìm đáy bé và đáy lớn (tổng hai đáy là 65cm, hiệu hai đáy là 13cm).
* Biện pháp khắc phục :
Hướng dẫn học sinh xác định bài toán này có liên quan đến dạng toán điển hình nào. Nhấn mạnh cho học sinh nắm được ngoài việc tìm diện tích của một hình cần phải tìm những thành phần liên quan như chiều dài, chiều rộng, đáy và chiều cao (hình tam giác) ; đáy lớn, đáy bé, chiều cao (hình thang) qua các dạng toán như tìm hai số khi biết tổng và tỉ, hiệu và tỉ hoặc tổng và hiệu số của chúng.
 Học sinh phải nhận dạng nhanh và nắm được quy tắc giải các bài toán. Sau khi học công thức tính diện tích hình nào thì hướng dẫn học sinh cách suy luận để tìm công thức ngược về tính kích thước các hình đó.
Khi hướng dẫn rõ ràng như vậy, tôi chắc rằng không những học sinh biết vận dụng mà các em còn hiểu rõ của việc chuyển đổi công thức. Qua đó rèn kỹ năng áp dụng các kiến thức về tìm thành phần chưa biết và giải toán để tìm kích thước.
b.3) Bài toán giải bằng cách chia hình
 Có những bài toán hình học đòi hỏi phải biết vận dụng thao tác phân tích, tổng hợp trên hình đồng thời với việc tính toán trên số đo diện tích. Nếu bài tập không có công thức tính trực tiếp diện tích hình thì gợi ‎ý cho các em các cách chia hình, vẽ thêm hình như sau : 
+ Nếu một hình lớn được chia ra thành các hình nhỏ thì tổng diện tích các hình nhỏ bằng diện tích của hình lớn ban đầu. 
+ Nếu ghép các hình nhỏ để được một hình lớn thì diện tích hình lớn bằng tổng diện tích của các hình nhỏ đó. 
+ Nếu hai hình có diện tích bằng nhau, cùng bớt đi một phần diện tích chung thì phần còn lại của hai hình đó có diện tích bằng nhau. 
+ Nếu ta ghép thêm vào hai hình có diện tích bằng nhau cùng một hình thì hai hình mới nhận được cũng có diện tích bằng nhau.
 Sau đây là một số ví dụ :
Ví dụ 5 : Tính diện tích của mảnh đất có kích thước theo hình vẽ bên :
Do mảnh đất không có hình cơ bản (hình vuông, hình chữ nhật, hình tam giác...) nên không có công thức tính diện tích. Vì vậy, tôi hướng dẫn các em chia mảnh đất lớn thành các mảnh đất nhỏ có dạng hình cơ bản mà ta có thể tính được diện tích ; tổng diện tích các mảnh đất nhỏ sẽ là diện tích của mảnh đất lớn. 
Thứ tự các câu hỏi được nêu ra như sau : 
+ Muốn tính được diện tích của mảnh đất trên ta cần làm như thế nào?
(Chia mảnh đất thành các hình cơ bản đã học)
+ Có thể chia mảnh đất lớn thành các mảnh đất nhỏ có dạng hình như thế nào ?
( Chia thành 1 hình chữ nhật và 2 hình tam giác)
+ Em hãy xác định kích thước của mỗi mảnh đất nhỏ mới tạo thành ?
+ Muốn tính được diện tích của mảnh đất trên ta cần làm như thế nào ?
(Tính diện tích 1 mảnh đất nhỏ hình chữ nhật và 2 mảnh đất nhỏ hình tam giác rồi cộng các kết quả lại)
Giải :
 Diện tích mảnh đất hình chữ nhật AEGD là :
 	 84 63 = 5292 (m2)
 Diện tích mảnh đất hình tam giác ABE là:
 	 84 28 : 2 = 1176 (m2)
 Diện tích mảnh đất nhỏ hình tam giác BGC là:
 	 (28 + 63) 30 : 2 = 1365 (m2)
 Diện tích cả mảnh đất lớn là :
 	 5292 + 1176 + 1365 = 7833 (m2)
 Đáp số : 7833 m2.
Ví dụ 6 : Tính diện tích của thửa ruộng có kích thước theo hình vẽ bên :
Tương tự bài trên, tôi cũng cho các em nhận xét là không có công thức tính diện tích hình này. Các em sẽ chia thửa ruộng thành 1 hình thang và 2 hình tam giác, tính tổng diện tích các các mảnh nhỏ sẽ là diện tích của thửa ruộng. 
 Giải :
Diện tích thửa ruộng hình tam giác vuông AMB là :
 24,5 20,8 : 2 = 254,8 (m2)
Diện tích thửa ruộng hình thang vuông MBCN là :
 	(20,8 + 38) 37,4 : 2 = 1099,56 (m2)
 	Diện tích thửa ruộng hình tam giác vuông CND là:
 	 38 25,3 : 2 = 480,7 (m2)
 Diện tích cả thửa ruộng là :
254,8 + 1099,56 + 475 = 1835,06 (m2)
 	Đáp số : 1835,06 m2
Các bài tập này yêu cầu học sinh phải nắm vững công thức tính diện tích của một hình đã học, nắm được mối liên hệ của các phép tính trong một bài toán giải. Trong quá trình giải toán, nhất là các bài toán tổng hợp về diện tích có kết hợp với những kiến thức số học và kiến thức các đại lượng khác. Khi giải, có những em tìm ra rất nhanh điều kiện để giải bài toán song lại không biết sử dụng nó cho bước tiếp theo, cũng có em đọc không kỹ đề bài nên tóm tắt và chia hình không đúng. 
Từ những khó khăn mà học sinh gặp phải trên, giáo viên cần có một số biện pháp sau :
Hướng dẫn các em chia hình sao cho số hình chia được là ít nhất.
Gợi ‎ý cho học sinh xác định được đây là bài toán về tìm diện tích nhưng lại có kết hợp với dạng toán điển hình nào, tức là trước khi sử dụng công thức tính diện tích thì các em phải qua bài toán trung gian để tìm các kích thước. Nhắc các em dạng toán về quan hệ tỉ lệ, cách rút về đơn vị để áp dụng vào giải. Yêu cầu đọc kỹ đề bài, tìm hiểu kỹ nội dung bài toán để tự tóm tắt bài toán.
b.4) Dạng bài thêm, bớt số đo kích thước của một hình 
Khi gặp các bài toán khó về diện tích các hình, một số em thường lúng túng không biết nên bắt đầu từ đâu. Để giải tốt dạng toán này, tôi yêu cầu các em vẽ hình chính xác, nắm các yếu tố liên quan với nhau và vận dụng linh hoạt các kiến thức để giải.
 Ví dụ 7 : Một thửa đất hình tam giác ABC có diện tích là 150 cm2. Nếu kéo dài đáy BC (về phía B) 5 cm thì diện tích sẽ tăng thêm 37,5 cm2. Tính đáy BC của thửa đất đó.
Cho học sinh đọc và tìm hiểu nội dung bài toán để giải bài này như sau : 
+ Bài toán yêu cầu chúng ta làm gì ? (Tính đáy BC của thửa đất hình tam giác)
- Hướng dẫn học sinh vẽ hình để thấy được phần diện tích tăng thêm. Sau đó giúp học sinh nhận xét mối liên hệ giữa các yếu tố :
+ Chiều cao của phần đất cũ và phần đất mới.
+ Đáy của phần đất mới và diện tích của phần đất mới.
+ Hướng dẫn học sinh vẽ chiều cao của phần đất mới.
Tôi gợi ý cho học sinh thấy rằng : chiều cao của phần đất mới cũng chính là chiều cao của phần đất cũ.
Khi học sinh tính được chiều cao của phần đất mới, từ chiều cao của phần đất mới, ta tính đáy BC của tam giác khi chưa mở thêm theo công thức :
 	đáy = diện tích x 2 : chiều cao 
	Giải :	
Từ A kẻ chiều cao AH của tam giác ABC thì AH cũng là chiều cao của tam giác ABD 
 Chiều cao của mảnh đất hình tam giác là :
	37,5 x 2 : 5 = 15 (cm)
	Đáy của mảnh đất hình tam giác là :
	150 x 2 : 15 = 20 (cm)
	Đáp số : 20 cm.
Ví dụ 8 : Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB bằng 15cm, đáy lớn CD bằng 20cm. Trên AB lấy điểm M sao cho BM bằng 5cm. Nối MC, tính diện tích hình thang AMCD, biết diện tích hình tam giác MBC là 100cm2
 Hướng dẫn phân tích đề :
+ Bài toán cho biết gì ? (Đáy bé AB = 15cm, Đáy lớn CD = 20cm, BM = 5cm, diện tích hình tam giác MBC =100cm2 ) 
+ Bài toán yêu cầu gì ? (Tính diện tích hình thang AMCD)
Cho học sinh nhận xét : muốn tính được diện tích hình thang AMCD ta phải tính độ dài các cạnh đáy và chiều cao của hình thang. Hình thang AMCD có đáy CD = 20cm, đáy AM = AB – BM = 15 – 5 = 10cm, vậy ta phải tìm chiều cao của hình thang.
Tam giác BMC diện tích 100cm2, đáy BM = 5cm, từ công thức tính diện tích hình tam giác ta tính được chiều cao của tam giác MBC hay chiều cao của hình thang AMCD. 
Biết độ dài đáy lớn, đáy bé, chiều cao của hình thang AMCD, áp dụng công thức tính diện tích hình thang ta sẽ tính được diện tích của hình thang AMCD.
Giải :
Chiều cao hình tham giác cũng là chiều cao hình thang là :
(100 x 2) : 5 = 40 (cm)
Độ dài đáy bé AM là :
15 - 5 = 10 (cm)
Diện tích hình thang AMCD là :
(10 + 20) x 40 : 2 = 600 (cm2)
Đáp số : 600 cm2
Ví dụ 9 : Cho hình thang ABCD có đáy bé AB là 27cm, đáy lớn CD là 48cm. Nếu kéo dài đáy bé thêm 5cm thì diện tích của hình tăng 40cm2. Tính diện tích hình thang đã cho.
Tương tự bài trên, các em đã nắm được cách tính chiều cao hình thang thì chỉ áp dụng công thức sẽ giải được.
Giải :
Tam giác CBE có đáy BE = 5 cm, có chiều cao là chiều cao của hình thang ABCD.
Vậy chiều cao của hình thang ABCD là : 
 40 x 2 : 5 = 16 (cm)
Diện tích hình thang ABCD là :
(27 + 48) x 16 : 2 = 600 (cm2)
Đáp số : 600 cm2
 Đây là bài toán giúp học sinh kĩ năng suy luận, nhưng khi gặp những bài toán này các em cũng thường gặp một số khó khăn : chưa có khả năng phán đoán suy luận để tìm ra vấn đề cần thiết của bài toán ; chưa tìm ra được sự quan hệ qua lại giữa các yếu tố trong một hình (tức là chưa nhận thấy chiều cao hình này cũng chính là chiều cao của hình kia), chưa hiểu rõ về tính chất chung của các hình để từ đó vận dụng tốt công thức.
* Biện pháp khắc phục:
Đối với các bài tập trong sách giáo khoa, tôi hướng dẫn học sinh lập luận để tìm ra lời giải và cách giải, cũng có thể tìm ra cách giải ngắn gọn nhờ suy luận. Trước hết học sinh phải làm thành thạo các bài tập về diện tích, tìm ra được mối quan hệ qua lại các yếu tố của hình để giúp các em giải quyết được các bài tập. 
Nhắc nhở các em vẽ đúng các đoạn thêm (hoặc bớt) số đo các kích thước sao cho cân đối. 
Khi dạy hình thành biểu tượng, tôi khắc sâu cho học sinh các yếu tố tạo thành hình tương ứng, đồng thời bồi dưỡng cho các em khả năng phân tích tổng hợp bằng cách thiết lập mối quan hệ các yếu tố trong từng hình.
b.5) Bài toán giải bằng phương pháp dùng tỉ số
Có những bài toán hình học phải dùng tỉ số các số đo cạnh đáy, chiều cao, tỉ số các số đo diện tích như một phương tiện để tính toán, giải thích lập luận, cũng như so sánh các giá trị về độ dài đoạn thẳng, về diện tích. Vì vậy, khi dạy bài diện tích hình tam giác, tôi cho học sinh ghi nhớ các tỉ số sau :
+ Hai hình tam giác có diện tích bằng nhau, nếu đáy của hình thứ nhất gấp bao nhiêu lần đáy của hình thứ hai thì chiều cao của hình thứ nhất kém bấy nhiêu lần chiều cao của hình thứ hai và ngược lại.
 + Hai hình tam giác có đáy bằng nhau, nếu diện tích của hình tam giác thứ nhất lớn gấp bao nhiêu lần diện tích hình tam giác thứ hai thì chiều cao của hình tam giác thứ nhất cũng lớn gấp bấy nhiêu lần chiều cao của tam giác thứ hai và ngược lại.
+ Hai hình tam giác có chiều cao bằng nhau, nếu diện tích của hình tam giác thứ nhất lớn gấp bao nhiêu lần diện tích hình tam giác thứ hai thì đáy của hình tam giác thứ nhất cũng lớn gấp bấy nhiêu lần đáy của tam giác thứ hai và ngược lại.
Ví dụ 10 : Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và CD, hai đường chéo cắt nhau tại O, biết diện tích tam giác AOB bằng 4 cm2, diện tích tam giác BOC bằng 9 cm2. Tính diện tích hình thang ABCD. 
Sau khi các em vẽ xong hình, tôi cho các em nhắc lại kiến thức đã học là : hai đường chéo của hình thang định ra trên hình thang đó 3 cặp tam giác có diện tích bằng nhau. Rồi cho các em nhận thấy : muốn tính diện tích hình thang ABCD ta phải tính diện tích tam giác DOC rồi cộng các diện tích lại.
Giải :
Trong hình thang ABCD ta có : SAOD = SBOC = 9 cm2
Xét hai tam giác AOB và AOD có chung chiều cao kẻ từ A nên hai đáy OB và OD sẽ tỉ lệ thuận với diện tích :  = 
Mặt khác, hai tam giác BOC và DOC có chung chiều cao kẻ từ C nên hai diện tích sẽ tỉ lệ với hai đáy.
Mà   =  nên = 
Diện tích tam giác DOC là :      9 x 9 : 4 = 20,25 (cm2)
Diện tích hình thang ABCD là :   4 + 9 + 9 + 20,25 = 42,25 (cm2)
Đáp số : 42,25 cm2
Quay lại bài tập ở các ví dụ trước, tôi hướng dẫn giải theo cách dùng tỉ số như sau :	 
Ví dụ : Một thửa đất h