Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng hình học giải tích để giải các bài toán hình học không gian

Trường THPT số 1 Quảng Trạch 
 G/v: Trần Văn Hậu 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
ĐỀ TÀI : VẬN DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC 
KHÔNG GIAN 
I-Giới thiệu: 
Như các bạn đã biết các bài toán hình học không gian là một phần học khó, 
trừu tượng nhìn từ góc độ hình học không gian .Nhưng hình học không gian 
nhìn dưới góc độ hình học giải tích đó là những bài toán ở mức độ trung bình. 
Chúng ta nhìn lại các đề thi đại học những năm gần đây có thể giaỉ quyết bài 
toán hình học không gian bằng hình học giải tích . 
II- Phương pháp giải 
Đối với hình học không gian muốn giải được bằng phương pháp tọa độ hóa 
cần tuân thủ theo các bước sau 
Bước 1: Chọn hệ tọa độ thích hợp 
Thông thường chọn hệ tọa độ đỉnh và ba trục Ox, Oy, Oz là tam diện vuông 
hoặc vẽ thêm một số cạnh để được tam diện vuông . 
Gắn các trục Ox, Oy, Oz thích hợp 
Bước 2: Gắn tọa độ các đỉnh đã cho thích hợp với hệ tọa độ vừa chọn . 
Tìm phương trình mặt , đường thỏa mãn yêu cầu bài toán 
Bước 3 : sử dụng hình học giải tích để giải 
III- Các kiến thức cơ bản 
1-ĐỊNH TÍNH 
a. Quan hệ song song 
Đường song song với đường : 
Gọi 
1 2
,d du u
uur uur là hai véc tơ chỉ phương của 1d và 2d thì 1d // 2d 1 2/ /d du uÛ
uur uur
Đường song song với mặt phẳng 
Gọi 
1d
u
uur là hai véc tơ chỉ phương của d ,và nr là véc tơ pháp tuyến của (P) thì 
d // (P) 
1
.du nÛ
uur r
=0 
Mặt phẳng song song với mặt phẳng : 
(P) // (Q) / /p qn nÛ
uur uur
b. Quan hệ vuông góc 
Đường thẳng vuông góc với đường thẳng 
1d ^ 2d 1 2 1 2. 0d d d du u u uÛ ^ Û =
uur uur uur uur
Đường thẳng vuông góc với mặ phẳng 
d ^ (P) / / . 0d p d pu n u nÛ Û =
uur uur uur uur
Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng 
(P) ^ (Q) . 0p q p qn n n nÛ ^ Û =
uur uur uur uur
2-ĐỊNH LƯỢNG 
Độ dài đoạn thẳng 
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 
Khoảng cách giữa hai hai đường thẳng 
Trường THPT số 1 Quảng Trạch 
 G/v: Trần Văn Hậu 
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 
 IV -Một s ố b à i to á n vận dụng 
Bài 1 
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi 
D, F lần lượt là trung điểm của BC, C'B'. Tính khoảng cách giữa hai đường 
thẳng A'B và B'C'. 
G I ẢI 
Vì các mạt bên của hình lăng trụ đều là hình vuông 
Þ DA BC, DA /B /C / là các tam giác đều cạnh a. 
Bước 1 Dựng hệ trục tọa độ Axyz,với Ax, Ay, Az 
đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), như hình vẽ 
Bước 2: Tọa độ các điểm tương ứng 
/
/ /
a a 3 a a 3B ; ; 0 , C ; ; 0 , A (0; 0; a),
2 2 2 2
a a 3 a a 3B ; ; a , C ; ; a
2 2 2 2
æ ö æ ö
-ç ÷ ç ÷
è ø è ø
æ ö æ ö
-ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Bước 3: Sử dụng hình học giải tích để tính / / /d (B C ; A B) 
Ta có: / / / / /B C //BC , B C //(A BC ) 
 / / / / / / / /d (B C ; A B) d (B C ; (A BC )) d (B ; (A BC ))Þ = = 
 / /
a a 3 a a 3A B ; ; a , A C ; ; a
2 2 2 2
æ ö æ ö
= - = - -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
uuuur uuuur
2
/ / 2 2 2a 3 3[A B; A C ] 0; a ; a 0; 1 ; a .n ,
2 2
æ ö æ ö
= = =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
uuuur uuuur r với 3n 0; 1 ;
2
æ ö
= ç ÷
è ø
r 
Phương trình mặt phẳng (A/BC) qua A/ có pháp tuyến là véc tơ nr : 
30(x 0) 1 (y 0) (z a) 0
2
- + - + - = 
 /
3 a 3(A BC ) : y z 0
2 2
Û + - = 
 / /
a 3 3 a 3 a 3.a a 2 12 2 2 2d (B (A BC )) .
73 71
4 2
+ -
= = =
+
Vậy, / / / a 2 1d (A B; B C ) .
7
= 
Bài 2: 
A / 
C / 
B / 
A 
B 
C 
D 
x 
a 
z 
y 
Trường THPT số 1 Quảng Trạch 
 G/v: Trần Văn Hậu 
 Cho tứ diên OABC có đáy là DOBC vuông tại O, OB = a, OC = a 3 , (a 0)> 
và đường cao OA a 3= . Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách 
giữa hai đường thẳng AB và OM. 
Giải 
Bước 1 Dựng hệ trục tọa độ Oxyz, với Ox, Oy, Oz 
đôi một vuông góc, O(0; 0; 0), 
Bước 2: A (0; 0; a 3 ); B(a; 0; 0), C (0; a 3 ; 0), 
a a 3M ; ; 0
2 2
æ ö
ç ÷
è ø
 và 
a 3 a 3N 0; ;
2 2
æ ö
ç ÷
è ø
(Nlà trung điểm của AC) 
 Bước 3: MN là đường trung bình của DABC 
Þ AB // MN 
 Þ AB // (OMN) Þ d(AB; OM) = d(AB; (OMN)) = d(B; (OMN)). 
a a 3 a 3 a 3OM ; ; 0 , ON 0; ;
2 2 2 2
æ ö æ ö
= =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
uuuur uuur
 ( )
2 2 2 2 23a a 3 a 3 a 3 a 3[OM; ON] ; ; 3 ; 1 ; 1 n
4 4 4 4 4
æ ö
= = =ç ÷
è ø
uuuur uuur r
, với n ( 3 ; 1 ; 1 )=r 
 Phương trình mp (OMN) qua O có véc tơ pháp tuyếnô n : 3x y z 0+ + =r 
 Ta có: 
3 .a 0 0 a 3 a 1 5d (B; (OMN))
53 1 1 5
+ +
= = =
+ +
 Vậy, a 1 5d (AB; OM) .
5
= 
BÀI 3: 
 Cho hình chóp S.ABCđáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = SB = SC, 
khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h. Tính h theo a để hai măt phẳng 
(SAB) và (SAC) vuông góc với nhau. 
 Giải 
Gọi H là tâm của DABC và M là trung điểm của BC 
Ta có: 
S A S B S C
HA HB HC ( ABC ñe àu)
= =ì
í
= = Dî
 Bước 1 Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az 
đôi một vuông góc A (0; 0; 0), 
 Bước 2: a a 3 a a 3 a 3 a 3B ; ; 0 , C ; ; 0 , H 0; ; 0 , S 0; ; h
2 2 2 2 2 3
æ ö æ ö æ ö æ ö
-ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
. 
S 
z 
A 
z 
H 
B 
M y 
C 
A 
O 
C 
B 
M 
y 
z 
x N 
Trường THPT số 1 Quảng Trạch 
 G/v: Trần Văn Hậu 
a 3 a a 3 a a 3S A 0; ; h , S B ; ; h , S C ; ; h
3 2 6 2 6
æ ö æ ö æ ö
= = - = - -ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
uuur uur uuur
Bước 3: 
2
1
ah 3 ah a 3 a a[S A ; S B ] ; ; (3 h 3 ; 3 h ; a 3 ) .n ,
2 2 6 6 6
æ ö
= - - = - - = -ç ÷
è ø
uuur uur r 
 Với 1n (3 h 3 ; 3 h ; a 3 )= -r 
2
2
ah 3 ah a 3 a a[S A ; S C ] ; ; (3 h 3 ; 3 h ; a 3 ) .n ,
2 2 6 6 6
æ ö
= - - = - - = -ç ÷
è ø
uuur uuur r 
với 2n (3 h 3 ; 3 h ; a 3 )= -r . 
 Mặt phẳng (SAB) có các véc to chỉ phương S A ; S Buuur uur nên véc tơ pháp tuyến 
là 1n
r . 
 Mặt phẳng (SAC) có các véc to chỉ phương S A ; S Cuuur uuur nên véc tơ pháp tuyến 
là 2n
r . 
 1 2(S AB) (S AC ) c o s (n ; n ) 0^ Û =
r r 
2 2 2
2 2
3 h 3 .3 h 3 3 h .3 h a 3 ( a 3 ) 0 27 h 9h 3a 0
a 61 8h 3a h .
6
Û - + - = Û - - =
Û = Û =
 Vậy: a 6h .
6
= 
V-Bài học kinh nghiệm 
Để giải dược bài toán hình học không gian bằng hình học giải tích phải nắm 
 được phương phương pháp giải,các kiến thức về hình học giải tích ,có kỹ 
năng chọn hệ tọa độ thích hợp, gắn tọa độ các đỉnh thích hợp là một thành 
công trong khâu giải hình học không gian bằng phương pháp giải tích . 
VI-Bài tập tham khảo 
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hìnhnh vuông tâm O, SA ^ 
(ABCD), 
AB = a, SA = a 2 . H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, 
SD. Chứng minh răng: SC ^ (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK. 
Bµi 2 . Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, 
(SAD)^ (ABCD), ∆SAD đều. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, 
CD. 
Tính thể tích hình chóp CMNP 
Bµi 3 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC = 4, BD = 2, 
AC cắt BD tại O ,SO ^ (ABCD), SA = 2 2 . Gọi M là trung điểm SC, 
(ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN 
Trường THPT số 1 Quảng Trạch 
 G/v: Trần Văn Hậu 
Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB = a, AD = b , AA ’= c 
a)Tính thể tích A’C’BD 
 b)Gọi M là trung điểm CC’ Tính thể tích MA’BD 
Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = = 2a, AA1 = 2a 5 và 
góc BAC = 120o. Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. 
Chứng minh rằng MB ^ MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng 
(A1BM)