Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng hệ thức Vi-Ét để giải quyết một số dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn cho học sinh Lớp 9

 2014x2 + 14x – 2028 = 0 
b/ x2 + 7x + 12 = 0 
Câu 2: Cho phương trình 
   0121 2  mmxxm với m là tham số. 
a) CMR: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 1m . 
b) Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, 
từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình. 
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. 
d) Tìm m để phương trình có nghiệm 21; xx thoả mãn hệ thức: 
 0
2
5
1
2
2
1 
x
x
x
x
. 
7. Kế hoạch nghiên cứu 
Trong năm học 2016 - 2017 
Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9 
Trang 6 
PHẦN 2: NHỮNG BIỆN PHÁP ĐỔI MỚI HOẶC CẢI TIẾN 
1. Cơ sở lí luận. 
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán lớp 9, căn cứ vào thực tế 
dạy và học, hệ thống bài tập về ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán của 
chương trình đại số lớp 9 tôi thấy hệ thống bài tập trong SGK, sách bài tập 
do Bộ giáo dục - đào tạo ấn hành ở dạng cơ bản đơn giản, trên thực tế bài tập 
về ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán rất đa dạng, phong phú và là một thể 
loại toán phổ biến của đại số THCS. 
Trong chương trình sách giáo khoa mới toán lớp 9 THCS, học sinh được 
làm quen với phương trình bậc hai: Công thức tính nghiệm của phương trình 
bậc hai, đặc biệt là định lý Vi-ét và ứng dụng của nó trong việc giải toán: 
- Trong tiết lý thuyết: học sinh được học định lý Vi-ét và ứng dụng hệ thức 
Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phương trình 
bậc hai và tìm hai số biết tổng và tích của chúng. 
- Trong tiết luyện tập: học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết 
vừa học. 
Qua việc giảng dạy Toán 9 tại trường THCS tôi nhận thấy các em vận 
dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và 
sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải nhiều loại bài toán, trong khi đó hệ thức Vi-ét 
có ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán. 
Đứng trước vấn đề đó, người giáo viên cần phải bồi dưỡng và hướng dẫn 
học sinh tự học thêm kiến thức phần này, vì vậy tôi đi sâu vào nghiên cứu 
sáng kiến kinh nghiệm: 
 “Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về phương 
trình bậc hai một ẩn cho HS lớp 9” với mong muốn của tôi giúp cho học sinh 
nắm vững và thành thạo định lý Vi-ét, đồng thời làm tăng khả năng, năng 
lực học toán và kích thích năng lực hứng thú học tập môn toán của học sinh. 
Khi tôi dạy phần kiến thức này, nhất là đối với học sinh khá, học sinh giỏi 
đòi hỏi giáo viên phải biên soạn, sưu tầm lựa chọn, nội dung kiến thức cho 
mỗi dạng toán... để bài dạy phong phú và đạt hiệu quả cao nhất. 
2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu (cơ sở thực tiễn) 
a) Thuận lợi: 
Giáo viên truyền đạt nhiệt tình đủ kiến thức trong chương trình. Học 
sinh nắm được kiến thức cơ bản và đã hoàn thành THCS. Giáo viên dạy 
bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 hằng năm đã có học sinh đạt giải môn 
Toán. Nhà trường có tổ chức dạy phụ đạo cho học sinh yếu, kém. 
Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9 
Trang 7 
Tôi đã được trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn Toán khối 9, bồi 
dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi 
vào lớp 10 nên tôi mong muốn có thế giúp học sinh giải quyết tốt việc 
giải các bài toán về phương trình bậc hai một ẩn điển hình nhờ ứng dụng 
hệ thức Vi-ét 
Tôi được các đồng nghiệp góp ý kiến trong giảng dạy. 
Đa số học sinh khá, giỏi đều mong muốn được nâng cao kiến thức. 
b) Khó khăn: 
Thời lượng phân bố tiết cho phần này không nhiều, cụ thể ở chương 
trình lớp 9 chỉ có 2 tiết (1 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập). Do vậy chưa 
khai thác hết các ứng dụng của hệ thức Vi-ét, các em ít được chú trọng 
nâng cao kiến thức. 
Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu, để nâng 
cao kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Toán còn rất hạn 
chế. 
Từ những thuận lợi và khó khăn trên, với sáng kiến kinh nghiệm này 
tôi mong giáo viên sẽ giúp các em có thêm kiến thức để tự tin hơn trong 
học tập. 
3. Mô tả, phân tích các giải pháp hoặc cải tiến mới 
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT. 
1. Định nghĩa: 
Phương trình bậc hai đối với ẩn x R là phương trình có dạng: 
   2ax 0 1 0bx c a    
2. Cách giải. 
 Tính 2 4b ac   
Nếu 0  thì phương trình (1) vô nghiệm. 
Nếu 0  thì phương trình (1) có nghiệm kép 1 2
2
b
x x
a
   . 
Nếu 0  thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 
1 2,
2 2
b b
x x
a a
     
  
3. Định lý Vi-et – Dấu các nghiệm. 
Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x R :    2ax 0 1 0bx c a    có hai 
nghiệm 1 2,x x thì 1 2 1 2, .
b c
S x x P x x
a a

     . 
Ngược lại nếu có hai số 1 2,x x thỏa mãn S = x1 + x2 và P = x1x2 thì hai số đó 
là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0 (đk: S2 - 4P ≥ 0) 
Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9 
Trang 8 
Dấu các nghiệm: 
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu 0P  . 
Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu 
0
0P
 
 

. 
Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương 
0
0
0
P
S
 

 
 
. 
Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm 
0
0
0
P
S
 

 
 
. 
Điều đáng nói ở định lí này là trong khi giải toán ta có thể không quan tâm tới 
giá trị của 1 2,x x mà chỉ cần biết tổng và tích của chúng, từ đó có thể có 
những biểu diễn cần thiết thông qua tổng và tích. 
4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: 
(1) Giá trị lớn nhất: 
Nếu hai số có tổng không đổi thì tích hai số đó lớn nhất khi hai số bằng 
nhau. 
Giả sử 1 2x x S  không đổi, còn P = 1 2.x x thay đổi. 
 Do điều kiện S2 – 4P 0 
2
4
S
P  . 
Vậy P đạt GTLN là 
2
4
S
khi và chỉ khi 1 2
2
S
x x  . 
(2) Giá trị nhỏ nhất 
Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của hai số đó nhỏ nhất khi 
hai số bằng nhau. 
Giả sử 1 2, 0x x  và 1 2.x x P không đổi, còn 1 2x x S  thay đổi. 
Do điều kiện S2 – 4P 0  ( S - 2 )P (S + 2 )P 0 S - 2 P 0 
 S 2 P 
Vậy S đạt GTNN là 2 P khi và chỉ khi 1 2x x P  
B. CÁC DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT TRONG CHƯƠNG 
TRÌNH TOÁN 9 
1. Dạng 1. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn: 
 Phương pháp 
 Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0) 
 Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = 
a
c
Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9 
Trang 9 
 Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = -1, x2 = - 
a
c
 Nếu x1 + x2 = m + n, x1x2 = mn và 0 thì phương trình có 
nghiệm 
x1 = m, x2 = n hoặc x1 = n, x2 = m 
 Ví dụ: 
Dùng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau: 
a) 2x2 + 2017x – 2019 = 0 
b) 013336)133( 2  xx 
Giải: 
a) 2x2 + 2017x – 2019 = 0 có a + b + c = 2 + 2017 +(-2019) = 0 
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = 
2019
2
c
a

 
b) 013336)133( 2  xx có a – b + c = 3 3 1 6 3 3 3 1    = 0 
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1, x2= - 
133
133


2. Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có một 
nghiệm x = x1 cho trước, tìm nghiệm thứ hai 
 Phương pháp 
- Lập điều kiện để phương trình bậc 2 đã cho có hai nghiệm: 0 (hoặc 
0/  ) (*) 
- Thay x = x1 vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số 
- Đối chiếu giá trị vừa tìm được của tham số với điều kiện (*) để kết 
luận 
* Để tìm nghiệm thứ hai ta có thể chọn một trong các cách làm sau: 
 Thay giá trị của tham số tìm được vào phương trình rồi giải 
phương trình 
 Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tổng hai 
nghiệm sẽ tìm được nghiệm thứ hai 
 Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tích hai 
nghiệm, từ đó tìm được nghiệm thứ hai 
 Ví dụ: 
Cho phương trình: mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số. 
Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai. 
Giải 
Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9 
Trang 10 
* Lập điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm 





0
0'
m
 





0
0)3()2( 2
m
mmm
 40  m (*) 
- Thay x = 3 vào phương trình (1) ta có: 
9m – 6(m – 2) + m -3 = 0  4m = -9  m = -
4
9
- Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = -
4
9
 thoả mãn 
*Tìm nghiệm thứ hai: 
Cách 1: Thay m = - 
4
9
 vào phương trình đã cho rồi giải phương trình để 
tìm được x2 =
9
7
Cách 2: Thay m = -
4
9
 vào công thức tính tổng hai nghiệm: 
 x1 + x2 = 
9
34
4
9
)2
4
9
(2
)2(2





m
m
 x2 = 
9
34
 - x1 = 3
9
34
 = 
9
7
 Cách 3: Thay m = - 
4
9
 vào công thức tính tích hai nghiệm 
 x1x2 = 
9
21
4
9
3
4
9
3





m
m
=> x2 = 
9
21
: x1 = 3:
9
21
= 
9
7
3. Dạng 3. Lập phương trình bậc hai: 
3.1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2 
 Phương pháp 
- Lập tổng S = x1 + x2 
- Lập tích P = x1x2 
- Phương trình cần tìm là: x2 – S x + P = 0 
 Ví dụ: 
Cho x1= 3; x2= 2. Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên 
Giải: 
 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2
1 2
5
. 6
S x x
P x x
  

 
 Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng: 
Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9 
Trang 11 
 x2 - 5x +6 = 0 
3.2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: 
 Phương pháp 
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của 
phương trình: x2 – Sx + P = 0 (đk: S2 - 4P ≥ 0) 
 Ví dụ: 
 Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4. 
Giải: 
 Vì: S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4 
 Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0 
 giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= - 4 
 Vậy: nếu a = 1 thì b = - 4 
 nếu a = - 4 thì b = 1 
3.3. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai 
nghiệm của một phương trình cho trước. 
 Ví dụ: 
Cho phương trình 2x2 – 7x + 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2. 
Không giải phương trình để tìm x1; x2. Hãy lập phương trình bậc hai có 
hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau: 
a) 
1
1
x
và 
2
1
x
 b) 1+x1 và 1+x2 
Giải: 
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 






3
2
7
21
21
xx
xx
a) 
1
1
x
+
2
1
x
=
6
7
21
21 

xx
xx
; 
1
1
x
.
2
1
x
=
3
11
2

xx
Phương trình cần lập là: 0
3
1
6
72  xx 
b) (1+x1 )+ (1+x2) = 2+ (x1+x2) = 2+
2
7
= 
2
11
(1+x1 ).(1+x2) = 1 + (x1+x2) + x1.x2 = 3
2
7
1  = 
2
15
Phương trình cần lập là: 0
2
15
2
112  xx 
4. Dạng 4. Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình: 
Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9 
Trang 12 
 Phương pháp 
Với các bài toán dạng này HS phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã 
cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S và tích hai nghiệm P để áp 
dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức. 
1. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm: 0 
2. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 +x2 và x1. x2 
Một số biểu thức thường gặp và cách biến đổi để đưa về dạng biểu 
thức chứa tổng và tích các nghiệm: 
* x1
2+ x2
2= (x1+ x2)
2 – 2x1x2 
* (x1 – x2)
2 = (x1 + x2)
2 – 4x1x2 
* x1
3 + x2
3 = (x1 + x2)
3 – 3x1x2(x1 + x2) 
* x1
4 + x2
4 = (x1
2 + x2
2)2 – 2x1
2x2
2 
* 
21
21
21
11
xx
xx
xx

 
* 
21
2
2
2
1
1
2
2
1
xx
xx
x
x
x
x 
 
* (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a
2 
 Ví dụ: Cho pt 23 5 0x x m   . 
 Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2 21 2
5
9
x x  
Giải: 
Ta có: ... 25 12m    
Phương trình có hai nghiệm 
25
0 25 12 0
12
m m        (*) 
Với 
25
12
m  giả sử pt có hai nghiệm là x1 ; x2 theo Vi-ét ta có: 
 
1 2
1 2
5
(1)
3
. 2
3
x x
m
x x

 

 

Lại có:      2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2
5 5 5 5 1
9 9 3 9 3
x x x x x x x x x x            (3) 
Kết hợp (1) và (3) ta có hệ phương trình: 
11 2
2
1 2
5
1
3
2
1
3
3
xx x
x
x x

   
 
   
 thay vào (2) ta được 
2
1. 2
3 3
m
m   (thỏa mãn đk (*)) 
5. Dạng 5: Liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình 
Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9 
Trang 13 
5.1. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai 
nghiệm này không phụ thuộc vào tham số: 
 Phương pháp: 
- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm:
 




0
0
'
a
- Tính tổng S, tích P của hai nghiệm x1 và x 2 . 
- Tính m theo S và P. 
- Khử m tìm hệ thức chỉ còn S và P. Thay S = x1+ x 2 , P = x1 . x 2 
 Ví dụ 1: 
Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0 có hai nghiệm x1 và 
x2. Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho 
chúng không phụ thuộc vào m. 
Giải: 
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì: 
  2
111 0 1
4
' 0 5 4 01 4 0
5
mmm m
mm m m m
    
     
         
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
2 (1)
1 1
4 3
. . 1 (2)
1 1
m
S x x S x x
m m
m
P x x P x x
m m
 
         
 
     
   
Rút m từ (1), ta có: 1 2
1 2
2 2
2 1 (3)
1 2
x x m
m x x
     
  
Rút m từ (2), ta có: 1 2
1 2
3 3
1 1 (4)
1 1
x x m
m x x
    
 
Từ (3) và (4), ta có: 
     1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 3
2 1 3 2 3 2 8 0
2 1
x x x x x x x x
x x x x
          
  
5.2. Chứng minh một biểu thức giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai 
không phụ thuộc vào giá trị của tham số. 
 Phương pháp: 
- Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm 
 




0'
0a
- Biến đổi biểu thức đã cho xuất hiện x1+x2, x1.x2 
- Thay giá trị (tính theo m). 
- Rút gọn biểu thức có giá trị là một hằng số. 
 Ví dụ: 
Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9 
Trang 14 
Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình: (m - 1)x
2 – 2mx + m - 4 = 0. 
Chứng minh rằng biểu thức A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 - 8 không phụ thuộc 
giá trị của m. 
Giải: 
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì: 
  2
111 0 1
4
' 0 5 4 01 4 0
5
mmm m
mm m m m
    
     
         
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 
1 2
1 2
2
1
4
.
1
m
S x x
m
m
P x x
m

   

  
 
Thay vào biểu thức A, ta có: 
A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 – 8 = 
2 4 6 2 8 8( 1) 0
3. 2. 8 0
1 1 1 1
m m m m m
m m m m
    
    
   
Vậy A = 0 với mọi 1m  và 
4
5
m  . 
Do đó biểu thức A không phụ thuộc giá trị của m. 
6. Dạng 6. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa 
nghiệm: 
 Phương pháp: 
- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm 
 




0
0
'
a
- Tính tổng S và tích P của hai nghiệm x1 và x 2 . 
- Kết hợp đẳng thức của giả thiết lập hệ phương trình gồm 3 phương trình 
- Giải tìm tham số. 
- Đối chiếu điều kiện, thử lại, kết luận. 
 Ví dụ: 
Ví dụ 1: 
Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = 0. Tìm giá trị của tham 
số m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 
1 2 1 2x x x x  
Giải: 
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì: 
Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9 
Trang 15 
     2 2 2
0 00
' 9 2 1 9 27 0' 0 ' 3 1 9 3 0
m mm
m m m mm m m
    
   
                  
 
0 0
' 9 1 0 1
m m
m m
 
  
      
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
1 2
1 2
6( 1)
9( 3)
.
m
S x x
m
m
P x x
m

  

  

Vì 1 2 1 2x x x x  (giả thiết) 
Nên 
6( 1) 9( 3)
6( 1) 9( 3) 3 21 7
m m
m m m m
m m
 
         (thỏa mãn) 
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 
hệ thức: 1 2 1 2x x x x  
Ví dụ 2: 
Cho phương trình: x2 – (2m + 1) x + m2 + 2 = 0. Tìm giá trị của tham 
số m để hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:  1 2 1 23 5 7 0x x x x    
Giải: 
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì: 
   2 2 72 1 4 2 0
4
m m m        
 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2
2
1 2
2 1
. 2
S x x m
P x x m
   

  
 Vì  1 2 1 23 5 7 0x x x x    (giả thiết) 
 Nên    2
2( )
3 2 5 2 1 7 0 4
( )
3
m TM
m m
m KTM

     
 

 Vậy với m = 2 thì phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:
 1 2 1 23 5 7 0x x x x    
Ví dụ 3: 
 Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + 7 =0. 
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức: 1 22 0x x  
Giải: 
ĐKXĐ: 
16
0;
15
m m  
Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9 
Trang 16 
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
 
 
1 2
1 2
2 4
1
7
.
m
S x x
m
m
P x x
m
  
  

  

Theo đề bài ta có: 
   1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 12 0 2 3 2 6 2 3x x x x x x x x x x x x x             
Suy ra: 
 
   
21 2 2
1 2 1 2
1 2 1
3
2 9 2
2 3
x x x
x x x x
x x x
 
  
 
Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình: 
m2 + 127m - 128 = 0m1 = 1; m2 = -128 ( thỏa mãn ĐK trên) 
7. Dạng 7. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai: 
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Hãy tìm điều kiện để phương 
trình có hai nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm, 
 Ví dụ: 
Xác định m sao cho phương trình: x2 – (3m + 1) x + m2 – m – 6 = 0 
có hai nghiệm trái dấu. 
Giải: 
Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì: 
   320230
1
6
0
2


 mmm
mm
P 
Vậy với 2 3m   thì phương trình trên có hai nghiệm trái dấu. 
8. Dạng 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm: 
 Ví dụ: 
Ví dụ 1: 
Cho phương trình: x2 + (2m - 1) x + m = 0. Gọi x1 và x2 là các nghiệm 
của phương trình. Tìm m để: A = 2 21 2 1 26x x x x  có giá trị nhỏ nhất. 
Giải: 
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
 1 2
1 2
2 1
.
S x x m
P x x m
     

 
Theo đề bài ta có: 
 A=      
2 2 22 2 2
1 2 1 2 1 2 1 26 8 2 1 8 4 12 1 2 3 8 8x x x x x x x x m m m m m                
Suy ra: 
3
min 8 2 3 0
2
A m m       
Ví dụ 2: 
Cho phương trình: x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số) 
a) Giải phương trình (1) với m = -5 
Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9 
Trang 17 
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 phân 
biệt với mọi m 
c) Tìm m để 21 xx  đạt giá trị nhỏ nhất (x1, x2 là hai nghiệm của 
phương trình (1) nói trong phần b.) 
Giải 
a) Với m = - 5 phương trình (1) trở thành x2 + 8x – 9 = 0 và có hai 
nghiệm là x1 = 1, x2 = - 9 
b) Có / = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 + m + 5 
 = m2 + 2.m.
2
1
 + 
4
1
 + 
4
19
= (m + 
2
1
)2 + 
4
19
 > 0 với mọi m 
 Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 
c) Vì phương trình có nghiệm với mọi m, theo hệ thức Viét ta có: 
x1 + x2 = 2( m + 1) và x1x2 = m – 4 
Ta có (x1 – x2)
2 = (x1 + x2)
2 – 4x1x2 = 4( m + 1)
2 – 4 (m – 4) 
 = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + 
2
1
)2 + 
4
19
] 
=> 21 xx  = 2
4
19
)
2
1
( 2 m
4
19
2 = 19 khi m + 
2
1
 = 0  m = - 
2
1
Vậy 21 xx  đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = - 
2
1
9. Dạng 9. Nghiệm chung của hai hay nhiều phương trình, hai phương 
trình tương đương. 
9.1. Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm 
 Phương pháp: 
- Tính 21; 
- Chứng minh 021  hoặc 0. 21  để suy ra một biệt số không âm 
(Chú ý kết hợp giả thiết nếu có). 
 Ví dụ: 
Ví dụ 1: 
Cho hai phương trình: x2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) và x2 + x - 2m - 10 = 0 (2) 
Chứng minh rằng: Với mọi m, ít nhất một trong hai phương trình trên có 
nghiệm. 
Hướng dẫn:  21 26 > 0  có một biệt số không âm. 
Ví dụ 2: 
Cho hai phương trình bậ