Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải các bài toán về dãy số ( Tìm số các số hạng ) cho học sinh giỏi Lớp 5

Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam 
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc 
MÔ TẢ SÁNG KIẾN 
 Mã số: 
1. Tên sáng kiến: 
Phương pháp giải các bài toán về dãy số ( Tìm số các số hạng ) cho học sinh 
giỏi lớp 5 . 
 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: 
 Sáng kiến được nghiên cứu trên đối tượng học sinh giỏi lớp 5 thông qua dạy 
học và thao tác dạy theo nhóm, đội tuyển học sinh giỏi để tạo điều kiện cho mỗi 
học sinh bộc lộ và phát triển tài năng toán học. 
3. Mô tả bản chất của sáng kiến: 
 3.1. Tình trạng giải pháp đã biết: 
 Các bài toán liên quan đến dãy số ở mức độ đòi hỏi học sinh phải tư duy thì 
đa phần học sinh cảm thấy khó khăn, không tự đề ra phương hướng làm bài, giải 
quyết bài toán, chưa tìm ra được kết quả đúng hoặc có tìm được nhưng chỉ mang 
tính suy đoán. 
 3.2.Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến: 
 3.2.1. Mục đích của giải pháp: 
Với phương pháp giải các bài toán về dãy số cách đều này sẽ giúp học sinh 
nắm chắc kiến thức cơ bản. Học sinh nhận thức – phân tích – xác định được các 
dạng toán, câu hỏi để tìm ra dấu hiệu cơ bản. Sau đó tìm ra mối liên quan giữa các 
dữ kiện và câu hỏi trong bài để tìm ra phương pháp giải ngắn gọn, dễ hiều nhất. 
 3.2.2.Nội dung giải pháp: 
 Sau đây là một vài cách giải toán về tìm số số hạng của dãy số cách đều mà 
tôi đã thực hiện. 
 Bước 1: Xây dựng công thức. 
 Ví dụ 1: Cho dãy số: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 ; 9 
 - Hai số đứng liền nhau hơn ( kém) nhau mấy đơn vị? ( 1 đơn vị) 
 - Ta nói 1 là khoảng cách. 
 - Nếu dãy số mà 2 số liền nhau hơn ( kém) nhau x đơn vị thì x là gì của dãy 
số ? ( x là khoảng cách) 
 - Dãy số trên có mấy số hạng ? ( HS đếm được 9 số hạng) 
 Ví dụ 2 : Tìm số các số hạng của các dãy số sau : 
a. 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 
b. 1 ;3 ; 5 ; 7 ; 9 
c. 1 ; 4 ; 7 ;10 
d. 1 ;3 ; 5 ;7 ;9 ; ; 111 ; 113 
Ở các trường hợp a, b, c là dãy số đầy đủ học sinh sẽ đếm ra ngay được số 
các số hạng. Còn ở trường hợp d tôi hướng dẫn học sinh xác định số các số hạng 
qua bảng nhận xét. 
Dãy số Khoảng cách Số các số hạng Nhận xét 
1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;. ;9 1 9 9= ( 9-1) : 1+ 1 
1 ;3 ;5 ;7 ;9 2 5 5= (9-1) :2 + 1 
1 ;4 ;7 ;10 3 4 4= (10-1) :3 + 1 
1 ;3 ;5 ;7 ;9 ;111 ;113 2 ? ?= (113-1) :2+1 
Từ bảng liệu triên học sinh dễ dàng đưa ra công thức tìm số các số hạng của 
dãy số cách đều. Công thức đó là : 
Số các số hạng = (số hạng lớn nhất – số hạng nhỏ nhất) : khoảng cách + 1 
Bước 2: Học sinh thực hành làm bài tập : 
Bài 1:Cho dãy số 1;5;8 ;11; ;95 ;98 ;101. Dãy số trên có bao nhiêu số 
hạng ? 
GV hướng dẫn học sinh nhận xét và xác định các thành phần của dãy số 
như: khoảng cách của hai số hạng liền nhau là 3, số lớn nhất là 101; số bé nhất là 2 
- Muốn tính xem dãy số trên có bao số hạng ta làm như thế nào ? (Dựa theo 
công thức) 
- Bài giải (áp dụng công thức vừa xây dựng) 
+ Nhận xét : 5 - 2 = 3 ; 8 - 5 = 3 ; 11- 8 = 3 ; ; 101 – 98 = 3 
+ Quy luật : Hai số đứng liền nhau hơn (kém) nhau ba đơn vị 
+ Số các số hạng của dãy số : (101-2) :3 +1 = 34 (số) 
 GV chốt: Phương pháp giải bài toán tìm số các số hạng của dãy số cách 
đều : 
 Bước 1 : Nhận xét dãy số để tìm khoảng cách 
 Bước 2 : Nêu quy luật 
 Bước 3 : Tìm số các số hạng theo công thức : 
 Số các số hạng = (số lớn – số bé) : khoảng cách + 1 
Để khắc sâu kiến thức ngoài cách giải trên tôi cho học sinh thảo luận nhóm 
để tìm cách giải khác. Chẳng hạn : 
Số hạng thứ nhất là 2 = 1 x 3 -1 
Số hạng thứ hai là 5 = 2 x 3 - 1 
Số hạng thứ ba là 8 = 3 x 3 - 1 
Số hạng thứ tư là 11 = 4 x 3 -1 
 Vậy gọi số chỉ vị trí của số 101 là n, ta có : n x 3 -1 = 101 
 n = (101+1) : 3 
 n = 34 
 Vậy số hạng cuối cùng của dãy đứng ở vị trí thứ 34 hay dãy số trên có 34 số 
hạng. 
 Ngoài 2 cách trên bài toán còn có cách giải 3. Tôi hướng dẫn như sau : 
 Vì khoảng cách của 2 số liền nhau là 3 nên các số hạng của dãy chia 3 đều 
dư 2 và thương kém số chỉ vị trí 1 đơn vị nên ta có thể thực hiện cách giải 3 như 
sau : 
 Nhận xét 2 : 3 =0( dư 2);5 : 3=1(dư 2);8 : 3= 2(dư 2); ;101 : 3 = 33(dư 2). 
 Quy luật : Mỗi số hạng của dãy số chia cho 3 đều dư 2 và thương kém số 
chỉ vị trí 1đơn vị. 
Số 101 : 3 = 33 (dư 2) nên số chỉ vị trí của 101 là : 33 + 1 = 34 
Số số hạng dãy số đó là 34 số hạng. 
Tóm lại : Qua bài 1 ta thấy 3 là khoảng cách nên dãy số có quy luật 
tương ứng với 3 cách tìm số số hạng : 
 + 2 số hạng liền nhau hơn (kém) nhau 3 đơn vị. (Công thức xây dựng) 
 + Mỗi số hạng = số chỉ vị trí x 3 – 1 
 + Mỗi số hạng của dãy chia cho 3 đều dư 2 và thương kém số chỉ trị 1 
đơn vị. 
Bài 2: Cho dãy số 50; 53; 56;59 ;; 257 ; 260. Tìm số số hạng của dãy số ? 
* Phân tích đề toán: Khoảng cách giữa 2 số liên tiếp của dãy là ? (3) ; số 
hạng bé nhất của dãy là ? (50); số hạng lớn nhất của dãy là (260) 
* Học sinh thực hành giải cách 1: (dựa vào công thức) 
- Nhận xét : 53 – 50 = 3 ; 56 – 53 = 3 ; ; 260 – 257 = 3 
- Qui luật : hai số đứng lền nhau hơn (kém) nhau 3 đơn vị 
 Số số hạng là : (260 - 50) : 3 + 1 = 71 (số). Vậy dãy số trên có 71 số hạng 
 Ngoài cách áp dụng công thức, học sinh cũng còn có thể tìm ra 1 số qui luật 
khác của dãy số chẳng hạn : 50 = 1 x 3 + 47 ; 53 = 2 x 3 + 47 ;Hay 50 : 3 = 16 
(dư 2) ; 53 : 3 = 17 (dư 2) ; 56 : 3 = 18 ( dư 2) 
 Như vậy ta cũng có thể tìm số số hạng theo cách giải 2 ở bài 1 
 Bài giải cách 2: 
- Nhận xét : 50 = 1 x 3 + 47 ; 53 = 2 x 3 + 47 ; 56 = 3 x 3 + 47 ; 
- Qui luật : Mỗi số hạng = số vị trí x 3 + 47 (3 là khoảng cách) 
- Gọi số chỉ vị trí của số 260 là n, ta có : n x 3 + 47 = 260 
 n = (260 – 47) x 3 
 n = 71 
 Vậy số hạng cuối cùng của dãy đứng ở vị trí thứ 71 hay dãy số trên có 71 số 
hạng. Tuy nhiên ở đây: 50 : 3 =16 ( dư 2); 53 : 3 =1 (dư 2) ; , nhưng ta không sử 
dụng như cách giải 3 ở bài tập 1 vì 16 là số tương đối xa so với số chỉ vị trí là 1. 
 Vậy bài toán này có 2 cách giải để tìm ra số số hạng tương ứng với 2 quy 
luật. 
 Quy luật : Hai số liển nhau hơn ( kém) nhau 3 đơn vị. 
 Quy luật : Mỗi số hạng = số chỉ vị trí x 3 + 47 
 Trên đây là 3 quy luật viết dãy số điển hình nhất.Từ đó sẽ có tương ửng 
cách tìm số số hạng của dãy số. Tuy nhiên cách 1 ( sử dụng công thức) là thông 
dụng, còn cách 2 và 3 liên quan đến số chỉ vị trí, khoảng cách, số dư có 1 số bài là 
không phù hợp. 
 3.3 Khả năng áp dụng của giải pháp : 
 Với phương pháp giải dạng toán tìm số số hạng của dãy số cách đều có thể 
áp dụng cho tất cả các lớp bồi dưỡng học sinh giỏi từ lớp 1 đến lớp 5 và đặc biệt 
phù hợp cho học sinh tham gia thi giải toán violympic toán Tiếng Việt, toán Tiếng 
Anh, toán tuổi thơ. 
 3.4 Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng 
giải pháp: 
Qua việc áp dụng các phương pháp nêu trên vào việc bồi dưỡng học sinh 
giỏi qua các năm học, tôi nhận thấy các em đã nắm chắc cách giải bài toán cơ bản 
có tư duy logic, phát triển khả năng sáng tạo trong quá trình giải các bài tập ở dạng 
khó hơn và đòi hỏi sự tư duy nhiều hơn. 
3.5 Tài liệu kèm theo gồm : 
- Bản vẽ, sơ đồ. (bản) 
- Bản tính toán.( bản) 
- Các tài liệu khác(bản) 
 Người báo cáo 
 Nguyễn Thị Ninh