Sáng kiến kinh nghiệm Nâng cao kết quả học tập phần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan bằng việc sửa chữa những sai lầm và nêu hướng khắc phục cho học sinh

g tạo.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đánh giá thực tế quá trình vận dụng giải bài tập toán lên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan (Chương trình Giải tích 12 – Ban cơ bản) để có được bài giải toán hoàn chỉnh và chính xác.
IV. Đối tượng nghiên cứu – Phạm vi nghiên cứu
- Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Chương I, giải tích lớp 12 .
- Học sinh 02 lớp phụ trách 12A1, 12A3 (tổng số học sinh 44) trường THPT số 4 thành phố Lào Cai, năm học 2013 – 2014 và kinh nghiệm một số năm học trước. 
V. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp đối chứng.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
Phần 2
 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
I. Cơ sở lý luận
 1. Nội dung chương trình (Chương I - giải tích 12 - Ban cơ bản)
 Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và phạm vi nghiên cứu của đề tài)
 1.1. Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số:
 * Hàm số y = f(x) đồng biến ( tăng ) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K, x1 < x2 f(x1) < f(x2).
 * Hàm số y = f(x) nghịch biến ( giảm) trên khoảng K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K, x1 f(x2).
 1.2. Công thức tính đạo hàm:
Hàm số hợp có đạo hàm (*)
 công thức (*) chỉ đúng với số mũ là hằng số. Nếu không nguyên thì công thức (*) chỉ đúng khi u nhận giá trị dương.
 1.3. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số dựa trên định lí:
 * Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng K. Nếu ( ) với và f’(x) =0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f(x) đồng biến ( nghịch biến ) trên K.
 1.4. Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên hai định lí sau:
 * Định lý 1 (Quy tắc I): Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng và có đạo hàm trên K hoặc trên , với h > 0.
 a. Nếu trên khoảng và trên khoảng thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).
 b. Nếu trên khoảng và trên khoảng thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
 * Định lý 2 (Quy tắc II): Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng , với h > 0. Khi đó: 
 a. Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu
 b. Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
 + Quy tắc 2 để tìm điểm cực trị của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần. Do vậy, điều ngược lại nói chung không đúng.
 1.5. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D:
 , 
 + Nếu (hay ) nhưng không (hay ) thì dấu "=" không xảy ra. Khi đó, không tồn tại giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D.
 + Khi tìm giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D mà chuyển sang xét giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số g(t) với phép đặt t = u(x) thì cần chuyển đổi điều kiện để được bài toán tương đương.
 1.6. Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x):
 * Tiếp tuyến tại điểm M0(x0;y0) (C) có phương trình: 
 y = f '(x0).(x - x0) + y0.
 * Tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k, đi qua điểm M1(x1;y1) có phương trình: 
y = k.(x - x1) + y1. Trong đó hệ số góc k thỏa mãn hệ: (I)
 + Nếu điểm M1(x1;y1) nói trên thuộc (C) thì hệ số góc k vẫn thỏa mãn hệ (I). Trong trường hợp này, số tiếp tuyến có thể nhiều hơn 1 tiếp tuyến.
 2. Sai sót thường gặp khi giải toán
 2.1. Sai sót trong bài toán xét tính đơn điệu của hàm số, khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số hay không chú ý tới các điểm tới hạn của hàm số. 
 2.2. Sai sót trong bài toán chứng minh bất đẳng thức, khi không nhớ chính xác tính đơn điệu của hàm số để vận dụng hoặc vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến.
 2.3. Sai sót trong việc giải các bài toán liên quan tới đạo hàm, khi vận dụng sai công thức tính đạo hàm hay hiểu sai công thức lũy thừa với số mũ thực.
 2.4. Sai sót trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số, khi vận dụng sai về điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng (a;b).
 2.5. Sai sót trong việc giải các bài tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền D, khi chuyển đổi bài toán không tương đương.
 2.6. Sai sót trong việc giải các bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) của hàm số.
 II. Cơ sở pháp lý
 - Dựa trên những khái niệm, định nghĩa, định lý đã học trong chương I "ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ".
 - Dựa trên những khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới quá trình giải bài tập về ứng dụng của đạo hàm.
 - Dựa trên những kết quả đúng đắn và những chân lý hiển nhiên hay đã được chứng minh, thừa nhận.
CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
 Trong thực tế, khi học sinh học chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải những khó khăn sau:
 - Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng, không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số.
 - Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng.
 - Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0.
 - Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền D.
 - Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị số với tiếp tuyến kẻ qua một điểm bất kỳ đến đồ thị hàm số đã cho.
CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
I. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN.
 Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:
 1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
 - Phân tích, giải thích rõ hơn các khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lý đó.
 - Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lý.
 - So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng.
 - Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải. 
 2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp
 - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ...
 - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề. 
 - Phương pháp: phương pháp giải toán.
 3. Đổi mới phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung tâm)
 - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế. 
 - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
 - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ, hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng.
 4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
 - Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với các mức độ nhận thức: nhận biết - thông hiểu - vận dụng – vận dụng ở mức độ cao.
 - Giáo viên đánh giá học sinh.
 - Học sinh đánh giá học sinh.
 5. Giáo viên có đổi mới phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai làm thường mắc phải khi giải các bài toán về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, một số bài toán liên quan. Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập. 
 6. Phân loại bài tập và phương pháp giải
 - Hệ thống kiến thức cơ bản. Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
 - Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
 - Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
II. NGHIÊN CỨU THỰC TẾ, PHÂN TÍCH NHỮNG SAI SÓT THÔNG QUA MỘT SỐ VÍ DỤ.
 1. Sai sót khi xét tính đơn điệu của hàm số
* Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số.
Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của hàm số: 
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: 
Ta có: 
1
Bảng biến thiên:
x
Y '
+
1
+
y
1
Suy ra: Hàm số đồng biến trên 
Phân tích: 
 Lời giải trên có vẻ đúng, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài toán. Chú ý rằng: nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập D thì với mọi x1, x2 thuộc D, 
x1 < x2 f(x1) < f(x2). Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy và 
 thì x1 - 1 = f(x2).
Lời giải đúng:
Tập xác định: 
Ta có: 
-1
Bảng biến thiên:
x
y '
+
1
+
y
1
Suy ra: Hàm số đồng biến trên các khoảng và .
* Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.
Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của hàm số: . 
Học sinh trình bày như sau: Tập xác định: . Ta có: , 
Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau:
x
-2
2
y '
-3
	-
 0
+ 0
-
Y
-1
1
Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên các khoảng và .
Phân tích: Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn giá trị của hàm số giảm từ –3 xuống – 1. Thực ra ở đây không phải là điểm tới hạn của hàm số.
Lời giải đúng:
Tập xác định: . Ta có: 
Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau:
x
-2
2
y '
+ 0
 - 
Y
-3
1
Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng .
 2. Sai sót khi chứng minh bất đẳng thức
*Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm số để vận dụng.
Ví dụ 3: (Bài tập 5, trang 10, SGK Giải tích 12 CB)
Chứng minh rằng: tanx > x, với 
Một số học sinh trình bày như sau:
Xét hàm số f(x) = tanx - x, với . 
Ta có: f '(x) = , suy ra hàm số f(x) đồng biến trên khoảng . 
Từ x > 0 f(x) > f(0) tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, với .
Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá khó để phát hiện sự không chặt chẽ. Sau khi kết luận f(x) đồng biến trên khoảng thì vì sao từ 
x > 0 f(x) > f(0).
Sai lầm ở đây là .
Nhớ rằng: nếu f(x) đồng biến trên đoạn (tức là f(x) liên tục trên và
 f '(x)> 0 với ) thì với 
Lời giải đúng:
Xét hàm số f(x) = tanx - x, với . 
Ta có: f '(x) = , dấu "=" xảy ra chỉ tại x = 0, suy ra hàm số f(x) đồng biến trên nửa khoảng . 
Từ x > 0 f(x) > f(0) tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, với . 
* Các em cũng hay mắc những sai lầm khi vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến.
Ví dụ 4: 
Chứng minh rằng nếu với , x > - 1 thì .
Một số học sinh trình bày như sau:
Xét các hàm số f(x) = x, g(x) = ex là các hàm đồng biến trên . Suy ra hàm số h(x) = x.ex là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biến trên . Suy ra, từ 
x > - 1 f(x) > f(-1) hay . 
Phân tích: 
 Lời giải trên sai lầm ở chỗ: tích của hai hàm đồng biến là một hàm đồng biến chỉ đúng khi hai hàm đó dương (!). 
Lời giải đúng:
Xét hàm số f(x) = x.ex, ta có f '(x)= ex(x+1) ,, dấu "=" xảy ra chỉ tại
 x= -1. Suy ra, hàm số đồng biến trên nửa khoảng . Từ x > - 1 
 f(x) > f(-1) hay . 
 3. Sai sót khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm
* Sai lầm khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm.
Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là áp dụng công thức , , nhưng quên rằng nếu như không nguyên thì công thức này chỉ đúng khi u nhận giá trị dương.
Ví dụ 6: Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = - 1.
Một số học sinh trình bày như sau:
Với x = - 1 ta có 
Ta có y = suy ra y ' = 
y '(-1) = .
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: hay .
Phân tích: Sai sót ở đây là các em không chú ý đến điều kiện lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương. Vì vậy, viết là không đúng (!). 
Lời giải đúng:
Với x = - 1 ta có 
Ta có y3 = x2 (y3)'= (x2)' 3.y2 y ' = 2x y ' = 
 y '(-1) = - 
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: hay .
 4. Sai sót khi giải các bài toán liên quan tới tính đơn điệu, cực trị của hàm số
Ø Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu của hàm số học sinh quên rằng đó là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:
 Ÿ hàm số đồng biến trên khoảng (a;b)
 Ÿ hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b)
Điều ngược lại nói chung là không đúng.
Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên .
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D = .
y ' = 3x2 - 2mx + 1. Hàm số đồng biến trên 
 .
Phân tích: Chẳng hạn, hàm số y = x3 đồng biến trên , nhưng , dấu "=" xảy ra chỉ tại x= 0. Nhớ rằng: nếu hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), và dấu "=" xảy ra chỉ tại hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b). 
Lời giải đúng:
Hàm số đồng biến trên 
 .
* Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số, nhiều học sinh cũng quên rằng đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:
 + là điểm cực tiểu.
 + là điểm cực đại.
Điều ngược lại nói chung là không đúng. Do vậy khi tìm được điểm , cần thử lại.
Ví dụ 8: Cho hàm số y = f(x) = mx4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại x = 0 ?
Một số học sinh trình bày như sau:
f '(x) = 4mx3 , f ''(x) = 12mx2.
Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là: hệ vô nghiệm.
Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Phân tích: 
Ta thấy, với m = - 1, hàm số y = - x4 có y ' = - 4x3 , y ' = 0 x = 0.
Bảng biến thiên:
x
0
y '
0
0
 +
 -
y
Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Lời giải trên sai ở đâu?
Nhớ rằng, nếu x0 thỏa mãn là điểm cực đại của hàm số, còn điều ngược lại thì chưa chắc đúng . Vì nếu x0 là điểm cực đại thì vẫn có thể f ''(x0) = 0. Lý do là điều kiện f ''(x0) 0), khi đó:
 là điểm cực đại của hàm số.
Lời giải đúng:
Cách 1: 
Ta có y ' = 4mx3. Để hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì y '(x) > 0,, với h > 0. Tức là: m < 0.
Thử lại, ta thấy với m < 0 là điều kiện cần tìm.
Cách 2: xét 3 trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0)
 + m = 0: Ta có y = f(x) = 0 là hàm hằng nên hàm số không có cực trị.
 + m > 0: Ta có y ' = 4mx3 , y ' = 0 x = 0. Lập bảng biến thiên ta thấy x0 là điểm cực tiểu của hàm số.
 + m < 0: Ta có y ' = 4mx3 , y ' = 0 x = 0. Lập bảng biến thiên ta thấy x0 là điểm cực đại của hàm số.
Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 khi và chỉ khi m < 0.
Ví dụ 9: Cho hàm số y = f(x) = x4 + mx3+ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ?
Một số học sinh trình bày như sau:
f '(x) = 4x3 + 3mx2 , f ''(x) = 12x2 + 6mx.
Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là: 
hệ vô nghiệm m.
Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Phân tích: 
Ta thấy, với m = 0, hàm số y = x4 + 1 
y ' = 4x3 , y ' = 0 x = 0.
Bảng biến thiên:
x
0
y '
0
 -
 +
y
1
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Lời giải đúng:
Cách 1: 
Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 thì (với h > 0)
(1) (1')
(2) (2')
Từ (1') và (2') suy ra m = 0
Vậy với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0.
 Cách 2: xét 3 trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0)
 + m = 0: Ta có y = x4 + 1 có y ' = 4x3 , y ' = 0 x = 0.
Bảng biến thiên:
x
0
y '
0
 -
 +
Y
1
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0
 + m > 0: Ta có y ' = x2(4x + 3m) , y ' = 0 x = 0 hoặc x = - . Lập bảng biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = 0 (nghiệm bội bậc chẵn). Do đó hàm số không có cực trị tại x = 0.
 + m < 0: Ta có y ' = x2(4x + 3m), y ' = 0 x = 0 hoặc x = - . Lập bảng biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = 0 (nghiệm bội bậc chẵn). Do đó hàm số không có cực trị tại x = 0.
Kết luận: với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0.
 5. Sai sót khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
* Các em thường mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một miền D.
Ví dụ 10: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = .
Một số học sinh trình bày như sau:
Đặt t = = t2 - 2.
Ta được hàm số: g(t) = t2 + 2t - 3 = (t+1)2 - 4 
Vậy , khi t = - 1.
Phân tích: Sai lầm ở đây là chuyển bài toán không tương đương. Giá trị nhỏ nhất của hàm f(x) không trùng với giá trị nhỏ nhất của hàm g(t), .
Có thể thấy ngay khi t = - 1 thì không tồn tại giá trị của x để = - 1.
Nhớ rằng, số 
Lời giải đúng: 
 Đặt , với . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 
Khi đó: Ta được hàm số: g(t) = t2 + 2t - 3. 
Lập bảng biến thiên hàm số g(t) (với ):
t
-2
-1
2
g '(t)
-
0
 - +
+
G(t)
 -3
5
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: = 
Đạt được khi t = - 2 
6. Sai sót khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Ví dụ 11: 
Cho hàm số y = f(x) = - x3 + 3x2, có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1;4)
Một số học sinh trình bày như sau:
f '(x) = - 3x2 + 6x.
Ta có điểm A(-1;4) đồ thị (C). 
suy ra phương trình tiếp tuyến là:
y = f '(-1).(x+1)+4 .
Phân tích: 
Phương trình tiếp tuyến là tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp điểm)
tất nhiên là kẻ từ A. Nhưng vẫn có thể có tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A mà không nhận A làm tiếp điểm.
Lời giải đúng:
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1;4) 
và có hệ số góc k là: y = k(x + 1) + 4
Điều kiện để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) là hệ sau có nghiệm:
 (I).
Hệ (I) 
Từ đó ta có hai tiếp tuyến có phương trình: .
2. Bài tập tương tự
Bài 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a. b. y = 
Bài 2: Xác định m để hàm số sau không có cực trị:
Bài 3: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a. b. y = cosx - sinx c. y = sin2x
Bài 4: Xác định m để hàm số sau đạt cực tiểu tại x = 2:
Bài 5: Xác định m để hàm số sau luôn đồng biến trên ( 1; ):
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
b. y = 2sinx + sin2x trên đoạn 
c. y = cos3x - 6cos2x + 9cosx + 5
Bài 7: Cho hàm số y = (x + 1)2 (2 - x) , có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(2;0)
Bài 8: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a. 
b. với x > 0 
Bài 9: Cho hàm số 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2. Gọi (d): 2x –y +m =0. CMR (d) luôn cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt A, B trên 2 nhánh của đồ thị hàm số.
Bài 10: Với các giá trị nào của tham số m thì phương trình: có 4 nghiệm thực phân biệt ?
III. Kết quả nghiên cứu 
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả đạt được có khả quan hơn. Cụ thể qua một số kết quả thu hoạch được khi kiểm tra khả năng giải bài tập của học sinh 2 lớp 12A1 và 12A3 như sau:
Số liệu thống kê qua bảng sau :
- Khi chưa áp dụng đề tài:
Lớp
Sĩ số
Không giải được
Giải sai phương pháp
Giải đúng phương pháp
Số lượng
 Tỉ lệ
Số lượng
Tỉ lệ
Số lượng 
Tỉ lệ
12A1
25
05
20%
12
48%
08
32%
12A3
19
10
52,6%
06
31,6%
03
15,8%
Sau khi áp dụng đề tài :
Lớp
Sĩ số
Không giải được
Giải sai phương pháp
Giải đúng 
Số lượng
 Tỉ lệ
Số lượng
Tỉ lệ
Số lượng 
Tỉ lệ
12A1
25
0
0%
03
12%
22
88%
12A3
19
02
10,5%
03
15,8%
14
73,7%
Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải các bài tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan; đề tài đã góp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh ( cả yếu kém và học sinh khá) và đem lại hiệu quả rõ rệt, học sinh hứng thú với nội dung bài học. Trong thời gian tới, đề tài này sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy trong nhà trường và mong rằng sẽ đạt được hiệu quả tốt đẹp như đã từng đạt được trong quá trình thực nghiệm.
PHẦN 3: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
I. Kết luận
Thông qua những sai sót và cách hiểu sai các định nghĩa, khái niệm, định lý của học sinh, nếu giáo viên phát hiện ra, tìm ra nguyên nhân, kịp thời uốn nắn và sửa chữa các sai sót đó thì sẽ giúp học sinh ghi nhớ lâu hơn, hiểu đúng bản chất toán học của tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp học sinh tránh được những sai sót tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư duy.
 Thông qua bài viết này, cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinh như một tài liệu tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về đạo