Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ trong trường THCS

ghiệm thoã mãn (2)
Vậy nghiệm của phương trình là 
Ví dụ 4: Giải phương trình: (1)
 Lập phương trình hai vế của (1) ta được: 
 (x-1) (7- x) = 0 
 Û x =-1 (đều thoả mãn (1 )
 x =7 (đều thoả mãn (1 )
 Vậy là nghiệm của phương trình .
* Giải phương trình dạng : 
Ví dụ5: Giải phương trình -= 
 =+ (1)
 ĐKXĐ: 
 Bình phương hai vế ta được: x- 4 = 2 (3)
Ta thấy hai vế của phương trình (3) đều thoã mãn (2) vì vậy bình phương 2 vế của phương trình (3) ta được :
 (x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84) 5x2 - 84x + 352 = 0
Phương trình này có 2 nghiệm x1 = và x2 = 8 đều thoả mãn (2) .
 Vậy x1 = và x2 = 8 là nghiệm của phương trình.
* Giải phương trình dạng : + 
Ví dụ 6: Giải phương trình : + = + (1)
 ĐKXĐ : Û Û x ≥ -1 (2)
Bình phương hai vế của (1) ta được :
 x+1 + x+ 10 + 2 = x+2 + x+ 5 + 2
 2+ = (3)
 Với x -1 thì hai vế của (3) đều dương nên bình phương hai vế của (3) ta được
 = 1- x Điều kiện ở đây là x -1 (4)
 Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4)
 Û x = 1 là nghiệm duy nhầt của phương trình (1).
 + / Nhận xét : 
Phương pháp nâng lên luỹ thừa được sử dụng vào giải một số dạng phương trình vô tỉ quen thuộc, song trong quá trình giảng dạy cần chú ý khi nâng lên luỹ thừa bậc chẵn 
Với hai số dương a, b nếu a = b thì a2n = b2n và ngược lại (n= 1,2,3.....) 
Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện ở cả hai vế của phương trình đó là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng phương pháp này.
Ngoài ra còn phải biết phối hợp vận dụng phương pháp này với cùng nhiều phương pháp khác lại với nhau .
 + / Bài tập áp dụng: 
 1. = x- 2 4. - =1
 2. = x+ 1 5. = - 
 3. + =3 6. + = 
b /. Phương pháp 2 : đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối :
 +/ . Các ví dụ : 
Ví dụ1: Giải phương trình: (1) 
 ĐKXĐ:	 	 Û x ≤ 4
Phương trình (1) = -x + 4
 Û 
 Với x= 2 hoặc x = 0 đều là nghiệm của phương trình (đều thoả mãn x 4 ).
Ví dụ 2 : Giải phương trình : + = 5 ĐKXĐ: R 
Phương trình tương đương : + = 5
 Lập bảng xét dấu :	 x	2	4
	 x- 2	 -	0	 +	 +
	 x- 4	 -	 -	0 +
 Ta xét các khoảng :
 + Khi x < 2 ta có (2) 6-2x =5 x = 0,5(thoả mãn x 2) 
 + Khi 2 x 4 ta có (2) 0x + 2 =5 vô nghiệm
 + Khi x > 4 ta có (2) 2x – 6 =5 x =5,5 (thoả mãn x > 4 )
 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0,5 và x = 5,5
Ví dụ 3 : Giải phương trình: + = 1 ; ĐKXĐ: x 1 
Phương trình được viết lại là :
 + = 1
 Û + = 1
 + =1 (1)
 - Nếu 1 x < 5 ta có (1) 2- + 3 - = 1
 =2 x= 5 không thuộc khoảng đang xét
 - Nếu 5 x 10 thì (1) 0x = 0 Phương trình có vô số nghiệm
 - Nếu x> 10 thì (1) -5 = 1 phương trinh vô nghiệm
 Vậy phương trình có vô số nghiệm : 5 x 10
 + Nhận xét :
Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối được sử dụng giải một số dạng phương trình vô tỉ quen thuộc như trên song trong thực tế cần lưu ý cho học sinh :
-áp dụng hằng đẳng thức = 
- Học sinh thường hay mắc sai lầm hoặc lúng túng khi xét các khoảng giá trị của ẩn nên giáo viên cần lưu ý để học sinh tránh sai lầm .
 + /.Bài tập áp dụng 
 1. + = 8
 2. + = 
 3. + = 5
 4. + = 2
c.Phương pháp 3 : đặt ẩn phụ:
 + /. Các ví dụ :
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x2 + 3x + =33
 	 ĐKXĐ : x R
 Phương trình đã cho tương đương với: 2x2 + 3x +9 + - 42= 0 (1)
 Đặt 2x2 + 3x +9 = y > 0 (Chú ý rằng học sinh thường mắc sai lầm không đặt điều kiện bắt buộc cho ẩn phụ y)
Ta được phương trình mới : y2 + y – 42 = 0
 y1 = 6 , y2 = -7 .Có nghiệm y =6 thoả mãn y> 0
 Từ đó ta có =6 2x2 + 3x -27 = 0
 Phương trình có nghiệm x1 = 3, x2 = -
Cả hai nghiệm này chính là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 2: Giải phương trình: + = 12 (ĐKXĐ : x o) 
 Đặt = y 0 = y2 ta có phương trình mới
y2 + y -12 = 0 phương trình có 2 nghiệm là y= 3 và y = - 4 (loại)
 ị = 3 x = 81 là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 3: Giải phương trình: + - = 2 (1) 
 ĐKXĐ : Û Û -1 ≤ x ≤ 3
 Đặt + = t 0 t2 = 4 + 2
 = (2) .thay vào (2) ta được
 t2 – 2t = 0 t(t-2) = 0 Û 
 + Với t = 0 phương trình vô nghiệm.
 +Với t = 2 thay vào (2) ta có :	 = 0 x1 = -1; x2 = 3 (thoả mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x1 = -1và x2 = 3
Ví dụ 4: Giải phương trình : 5 = 2( x2 + 2) 
Ta có = 
Đặt = a 0 ; = b 0 và a2 + b2 = x2 + 2
 Phương trình đã cho được viết là
 5ab = 2(a2 + b2)
 (2a- b)( a -2b) = 0
 Û 
 + Trường hợp: 2a = b
 2 = 
 4x + 4 = x2 – x +1
 x2 – 5x -3 = 0
 Phương trình có nghiệm x1 = ; x2 = 
 + Trường hợp: a = 2b
 = 2
 x+ 1 = 4x2 -4x + 3 = 0
 4x2 -5x + 3 = 0 phương trình vô nghiệm.
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x= và x= 
Ví dụ 5: Giải phương trình: + 2 (x+1) = x- 1 + + 3 (1) 
 Đặt = u 0 và = t 0
 ĐKXĐ: -1 x 1 thì phương trình (1) trở thành.
 u + 2u2 = -t2 + t +3ut
 (u –t ) 2 + u(u-t) + (u-t) = 0
 (u-t)(2u – t +1 ) = 0
 Û Û 
 thoả mãn điều kiện -1 x 1 là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 6: Giải phương trình: + = 
 ĐKXĐ : x 1
Đặt = t 0 x = t2 + 1 phương trình đã cho trở thành
+ = 
 + = 
 (t 1) 	 Û Û ĐkXĐ: x≥ 1
 Vậy phuơng đã cho có nghiệm x= 1và x= 5
 + / . Nhận xét : 
Phương pháp đặt ẩn nhằm làm cho phương trình được chuyển về dạng hữu tỉ .Song để vận dụng phương pháp này phải có những nhận xét,đánh giá tìm tòi hướng giải quyết cách đặt ẩn như thế nào cho phù hợp như : 
Đặt ẩn phụ để được phương trình mới chứa ẩn phụ (Vd 3-1,3-2,3-3)
Đặt ẩn phụ để đưa về một biểu thức nhóm (VD 3-4; 3-5) 
+ /. Bài tập áp dụng: 
1/ x2 – 5 + = 7 3/ - 3 =20 
2/ x - 2x = 20 4/ = 2x2 – 6x +4
5/ + = 
d. Phương pháp 4 : đưa về phương trình tích :
 + /..Các ví dụ : 
Ví dụ 1: Giải phương trình: = 3 + 2 - 6 (1)
 ĐKXĐ : x -3
Phương trình (1) có dạng :
- 3 + 2 +6 = 0
 (-2() =3
 (() =0
 Û Û	 ĐKXĐ.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = 2
Ví dụ 2: Giải phương trình: + =1
 ĐKXĐ : x -2
 Đặt = t 0 Khi dó = 
Phương trình (1) + t = 1
 = 1- t
 3- t3 = (1-t) 3
 t3 - 4t2 + 3t + 2 =0
 (t-2) ( t2 -2t -1) = 0
Từ phương trình này ta tìm được x=2 ; x= 1 + 2là nghiệm của phương trình (1)
Ví dụ3: Giải phương trình: (4x-1) = 2(x2 + 1) + 2x - 1 (1) 
Đặt =y ; y 0
(1) (4x-1) y = 2y2 + 2x -1
 2y2 - (4x -1) y + 2x – 1= 0
 ( 2y2 - 4xy + 2y) – ( y- 2x+1) = 0
 (y- 2x+1) (2y- 1) = 0
Giải phương trình này ta tìm được x = 0 ; x = là nghiệm của phương trình (1)
Ví dụ4: Giải phương trình: ()() = 2x
 ĐKXĐ: -1 x 1 (1)
đặt = u (0 u )
suy ra x = u2 -1 phương trình (1) trở thành :
(u -1 ) ( = 2 ( u2 -1)
 (u -1 ){ ( - 2 (u+1)} = 0
 (u-1) ( = 0 
 Û 
 (+) u-1 = 0 u =1 ( thoả mãn u 0 ) suy ra x = 0 thoả mãn (1)
 (+) = 0 = 2u + 1 (thoả mãn vì u 0 ) Û 5u2 + 4u - 1 = 0 ị nên có x = u22 -1 = ()2 – 1 = thoã mãn điều kiện (1)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0 và x = .
 + /.Nhận xét : 
Khi sử dụng phương pháp đưa về phương trình tích để giải phương trình vô tỉ ta cần chú ý các bước sau .
+ Tìm tập xác định của phương trình .
+ Dùng các phép biến đổi đại số , đưa phương trình về dạng f(x) g(x) .= 0 (gọi là phương trình tích) . Từ đó ta suy ra f(x) = 0 ; g( x) = 0 ;.. là những phương trình quen thuộc. 
+ Nghiệm của phương trình là tập hợp các nghiệm của các phương trình f(x) = 0 
g( x) = 0 ;.. thuộc tập xác định .
+ Biết vận dụng,phối hợp một cách linh hoạt với các phương pháp khác như nhóm các số hạng,tách các số hạng hoặc đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn đưa về phương trình về dạng tích quen thuộc đã biết cách giải .
 + /.Bài tập áp dụng:
1/. = 0 3/. x(x+5) = 2
2/. - 2 = 4/. 2( x2 + 2x + 3) = 5
e. Phương pháp 5 : đưa về hệ phương trình :
 + /.Các ví dụ : 
Ví dụ1: Giải phương trình: - =2 (ĐKXĐ: 0 x2 15)
 Đặt: = a (a 0) (* )
 = b ( b 0) ( ** )
Từ phương trình đã cho chuyển về hệ phương trình :
 Û Û 
Thay vào phương trình (*) ta có 25 –x2 = x2 = x = (ĐkXĐ ) . Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = .
Ví dụ 2: Giải phương trình: = 2 (1) (ĐKXĐ : 3 x 5)
 Đặt 
Phơng trình (1 ) trở thành hệ phơng trình :
 ị ut = 0 Û Û (thỏa mãn điều kiện )
 	 Vậy phương trình đẫ cho có nghiệm x =3 ; x= 5.
Ví dụ3: Giải phương trình: + = 1 ;(ĐKXĐ: x 1) 
 Đặt 
Khi đó ta có u3 = 2 – x ; t2 = x- 1 nên u3 + t3 = 1
Phương trình đã cho đợc đa về hệ: 
Từ phương trình (1) u = 1 – t .Thay vào phương trình (2) ta có :
 ( 1 – t )3 + t2 = 1 t( t2 - 4t + 3 = 0 Û 
 Từ đó ta đợc x= 3; x =2 ; x = 10 (ĐKXĐ x 1 ) là nghiệm của phơng trình đã cho .
Ví dụ 4: Giải phương trình: + + = 1 
 Đặt: = a ; = b nên ta có: a2 = ; b2 = 
ab = . Ta được phương trình : a2 + b 2 + ab = 1 ( 1)
Ta được phương trình : a3 – b3 = 2 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
Từ hệ phương trình ta suy ra a –b = 2 b = a – 2
Thay vào hệ phương trình (1) ta đợc : (a -1 )2 = 0 a =1
Từ đó ta được x = 0
Vậy nghiệm của phương trình là : x = 0
 + /.Nhận xét : 
Qua 4 ví dụ trên cho ta thấy phơng pháp hệ phơng trình có những điểm sáng tạo và đặc thù riêng, nó đòi hỏi học sinh phải t duy hơn do đó phơng pháp này đợc áp dụng cho học sinh khá , giỏi .Ta cần chú ýmột số điểm sau:
 + Tìm điều kiện tồn tại của phơng trình 
+ Biến đổi phơng trình để xuất hiện nhân tử chung .
+ Đặt ẩn phụ thích hợp để đa việc giải phơng trình về việc giải hệ phơng trình quen thuộc .
Ngoài ra ngời học còn biết kết hợp phơng pháp này với phơng pháp khác nh phơng pháp đặt ẩn phụ , phơng pháp sử dụng hằng đẳng thức.
 + /.Bài tập áp dụng: 
Giải các phơng trình sau : 
 1. + = 2 3. + =1
 2. 2 = x3+ 1 4. + = 
 5. = x
f /. Phương pháp 6 :chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau , khi đó phương trình vô nghiệm .
 + /.Các ví dụ :
Ví dụ1: Giải phương trình: - = (1)
 ĐKXĐ: Û 	 Với x 1 thì x < 5x do đó < 
Suy ra vế trái của (1) là số âm , còn vế phải là số không âm .
 Vậy phương trình vô nghiệm .
Ví dụ2: Giải phương trình:
 	 + + = 3 + 
 + + = 3 + (*)
 Mà + + + + 1 = 3 + 
 Vế phải của phương trình đã cho lớn hơn vế trái .
 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .
 + /.Bài tập áp dụng: 
1. - = 2 3. + = x2 - 6x +13
2. = x - 2
g /. Phương pháp 7 : Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế 
+ /.Các ví dụ : 
Ví dụ1: Giải phương trình: + = 4 – 2x – x2 (1) 
Ta có vế trái của (1)
 + = + + = 5
Vế phải của (1) : 4 -2x –x2 = 5 – (x + 1)2 5
Vậy hai vế đều bằng 5 khi x = -1 .Do đó phương trình (1) có nghiệm là x = -1
Ví dụ2: Giải phương trình: + = x2 -10x + 27 (1) 
ĐKXĐ: 4 x 6 
Xét vế phải của (1) ta có :
x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 + 2 2 với mọi x và vế trái của (1) 
()2 =1 hay + 2
Vì vậy phương trình (1) có nghiệm là :
Giải phương trình (*) ta dợc x = 5 giá trị này thoả mãn (**) 
Vậy x =5 là nghiệm của phương trình (1)
+ /. Bài tập áp dụng : 
1. + = 5
2. + = 3-4x -2x2 
3. = 
h /. Phương pháp 8 : sử dụng tính đơn điệu của hàm số :
 + /. Các ví dụ : 
 Ví dụ1: Giải phương trình : + = 3 (1) 
ĐKXĐ: x 1
Ta thấy x =3 là nghiệm đúng với phương trình (1) 
Với x > 3 thì > 1 , > 2 nên vế trái của (1) lớn hơn 3.
Với x< 3 và x -1 -1 x 3 thì < 1, < 2 
nên vế trái của (1) nhỏ hơn 3.
Vậy x= 3 là nghiệm duy nhất của phương trình (1) 
Ví dụ 2: Giải phương trình : 
 + 2 + + = + 9 (1) 
 ĐKXĐ: 
 Ta thấy x =2 là nghiệm của (1)
 + / .Nhận xét : 
Khi giải các phương trình vô tỉ mà ta cha biết cách giải thường ta sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm ,thử trực tiếp để thấy nghiệm của chúng .Rồi tìm cách chứng minh rằng ngoài nghiệm này ra không còn nghiệm nào khác .
 + /.Bài tập áp dụng : 
1. + 3 + = 8
2. + = + 
i / . Phương pháp 9 : sử dụng điều kiện xảy ra dấu “ =” ở bất đẳng thức không chặt
 + / . Các ví dụ 
Ví dụ1: Giải phương trình 
 + + = (x+y+z)
 ĐKXĐ : x 2; y -1995; z 1996
Phương trình (1) x+y+z = 2 + 2 + 2 
 + + = 0
Û Û ( thoã mãn ĐKXĐ ).
Là nghiệm của phương trình (1)
Ví dụ 2: Giải phương trình: + = 4 – 2x – x2
 + = 5 – (x+1)2 (*)
Vế trái của (*) + 2 + 3 = 5
Vế phải của (*) 5 – (x+1)2 5
Vì thế phương trình (*) chỉ có nghiệm khi và chỉ khi hai vế của
phương trình (*) bằng nhau và bằng 5 x+ 1 = 0 x = -1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =-1
Ví dụ3: Giải phương trình: + =2 (1) ĐKXĐ: x>
áp dụng bất đẳng thức 2 với a,b > 0
xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi a =b
Dấu “=” của (1) xảy ra khi x= x2 - 4x +1 = 0 (do x> )
Giải phương trình này ta tìm đợc x= (thoả mãn ĐKXĐ).
Vậy x= là nghiệm của phương trình.
 + /. Nhận xét : 
Khi sử dụng phương pháp bất đẳng thức để giải phương trình vô tỉ ta cần chú ý các bước sau : 
 + Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x) a , g(x) a 
(a là hằng số ) 
Nghiệm của phương trình là các giá trị của x thoả mãn đồng thời 
f(x) =a và g(x) = a
+ Biến đổi phương trình về dạng h(x) = m (m là hằng số ) mà ta luôn có h(x) m hoặc h (x) m thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra.
+ áp dụng các bất đẳng thức : Côsi, Bunhiacopxki
+ /. Bài tập áp dụng: 
1. = 3 - 3. + + = 3
2. + = x2 -12x + 40 4. = 
iv/ Kết quả thực hiện :
1/ Nhận xét:
Trên đây tôi giới thiệu với các bạn một số phương pháp giải phương trình vô tỉ, kết quả thu được rõ ràng đã có thể vận trong nhiều dạng toán, và ứng dụng của các bài toán này không phải là ít. Nếu như rèn luyện cho học sinh dạng toán này thì chúng ta đã trang bị cho các em lượng kiến thức không phải là nhỏ. Trong chương trình toán phổ thông của chúng ta còn rất nhiều phương pháp nữa. Trên đây tôi chỉ trình bày một số phương pháp thông dụng trong chương trình trung học cơ sở. Tuy nhiên với dạng toán này thì không phải đối tượng nào cũng tiếp thu một cách dễ dàng, vì vậy giáo viên phải khéo léo lồng vào các tiết dạy nhằm thu hút và phát huy sự sáng tạo cho học sinh. Đây là một vấn đề hoàn toàn mới mẻ và hết sức khó khăn cho học sinh ở mức trung bình, giáo viên nên cho các em làm quen dần. Dạng toán này có tác dụng tương hỗ, cao dần từ những kiến thức rất cơ bản trong sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức biết tư duy sáng tạo, biết tìm cách giải dạng toán mới, tập trung “Sáng tạo” ra các vấn đề mới.	
2. Kết quả sau khi áp dụng đề tài 
	Sau khi áp dụng đề tài tôi thấy rằng chất lượng qua kiểm tra đã được nâng lên đáng kể, đặc biệt là đối tượng HS trung bình chất lượng được nâng lên rõ rệt.
Điểm dưới 5
Điểm 5 - 6
Điểm 7 - 8
Điểm 9 - 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
5
12,5%
20
50%
10
25%
5
12,5%
v / kết luận :
Trên đây là một số phương pháp giải phương trình vô tỉ mà tôi đã áp dụng giảng dạy trên thực tế hiện nay ở trường THCS cho học sinh đại trà cũng như trong quá trình ôn luyện , bồi dưỡng học sinh giỏi .Tôi cùng các đồng nghiệp đã thu được kết quả sau : 
+ Học sinh tiếp thu bài nhanh dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực trong học tập và yêu thích bộ môn toán .
+ Học sinh tránh được những sai sót cơ bản, và có kĩ năng vận dụng thành thạo cũng như phát huy được tính tích cực của học sinh .
 Tuy nhiên để đạt được kết quả như mong muốn , đòi hỏi người giáo viên cần hệ thống, phân loại bài tập thành từng dạng, giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ đến kiến thức mới từ cụ thể đến tổng quát, từ dễ đến khó và phức tạp ,phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh .
 Người thầy cần phát huy chú trọng tính chủ động tích cực và sáng tạo của học sinh từ đó các em có nhìn nhận bao quát, toàn diện và định hướng giải toán đúng đắn. Làm được như vậy là chúng ta đã góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường. 
 Trong đề tài này chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế nhất định .Vậy tôi rất mong được sự giúp đỡ cũng như những góp ý của các thầy ,cô giáo cho tôi để tôi rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy những năm học sau.
 Tửứ thửùc teỏ giaỷng daùy khi aựp duùng phửụng phaựp naứy toõi nhaọn thaỏy hoùc sinh naộm vửừng kieỏn thửực hụn, hieồu roừ caực caựch giaỷi toaựn ụỷ daùng baứi taọp naứy. Kinh nghieọm naứy ủaừ giuựp hoùc sinh trung bỡnh, hoùc sinh yeỏu naộm vửừng chaộc veà caựch giải phương trinh trong chửụng trỡnh ủaừ hoùc, ủửụùc hoùc vaứ reứn luyeọn kú naờng thửùc haứnh theo hửụựng tớch cửùc hoaự hoaùt ủoọng nhaọn thửực ụỷ nhửừng mửực ủoọ khaực nhau thoõng qua moọt chuoói baứi taọp. Beõn caùnh ủoự coứn giuựp cho hoùc sinh khaự gioỷi coự ủieàu kieọn tỡm hieồu theõm moọt soỏ phửụng phaựp giaỷi khaực, caực daùng toaựn khaực naõng cao hụn, nhaốm phaựt huy taứi naờng toaựn hoùc, phaựt huy tớnh tửù hoùc, tỡm toứi, saựng taùo cuỷa hoùc sinh trong hoùc toaựn.
 Để hoàn thành đề tài này ngoài việc tự nghiên cứu tài liệu, qua thực tế giảng dạy tôi còn nhận được sự giúp đỡ của các đồng nghiệp ,các thầy cô giáo trong tổ toán trường THCS Phương Đình giúp đỡ hướng dẫn tôi hoàn thành đề tài này.
c. tài liệu tham khảo
- SGK Toán 7-Nhà xuất bản GD 2003
- SGK Đại số 9-Nhà xuất bản GD
- Một số vấn đề phát triển Đại số 9-Nhà xuất bản GD 2001
- Toán bồi dưỡng Đại số 9 - Nhà xuất bản GD 2002
- Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 9- Nhà xuất bản GD 1995
- Để học tốt Đại số 9 - Nhà xuất bản GD 1999
- Phương trình và hệ phương trình không mẫu mực - Nhà xuất bản GD 2002.
- 23 chuyên đề bài toán sơ cấp - Nhà xuất bản trẻ 2000.
- Những đề thi và những tài liệu khác có liên quan .
 Ngày 30 tháng 4 năm 2009
 Người viết
 Đinh Công Hải 
ý kiến nhận xét đánh giá xếp loại
của hội đồng khoa học cơ sở
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................