Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức

c thông dụng :
	a, Bất đẳng thức Côsi :
 Với 2 số dương a , b ta có : 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b 
	b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : 
 Với mọi số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by )2 (a2 + b2)(x2 + y2)
 Dấu đẳng thức xảy ra 
	c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi : ab 0
II : Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
1.Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa 
	- Kiến thức : Để chứng minh A > B , ta xét hiệu A - B rồi chứng minh A - B > 0 .
	- Lưu ý : A2 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 .
	- Ví dụ : 
Bài 1.1 :
 Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z)
Giải : 
 Ta xét hiệu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z)
 = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z 
 = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1)
 = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2
 Do (x - 1)2 0 với mọi x
 (y - 1)2 0 với mọi y
 (z - 1)2 0 với mọi z
 	=> H 0 với mọi x, y, z 
 Hay x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) với mọi x, y, z .
 Dấu bằng xảy ra x = y = z = 1.
Bài 1.2 :
 Cho a, b, c, d, e là các số thực :
	Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e)
Giải :
 Xét hiệu : H = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e)
	 = ()2 + ()2 + ()2 + ()2
 Do ()2 0 với mọi a, b 
 Do()2 0 với mọi a, c 
 Do ()2 0 với mọi a, d
 Do ()2 0 với mọi a, e
 => H 0 với mọi a, b, c, d, e 
 Dấu '' = '' xảy ra b = c = d = e = 
Bài 1.3 : Chứng minh bất đẳng thức :
Giải : 
 Xét hiệu : H = 
 = 
 = . Với mọi a, b .
 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b .
2. Phương pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tương đương .
	- Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng .
	- Một số bất đẳng thức thường dùng : 
(A+B)2=A2+2AB+B2
(A-B)2=A2-2AB+B2
(A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3
(A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3
.
 Ví dụ :
Bài 2. 1 : Cho a, b là hai số dương có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng : 
Giải:
	Dùng phép biến đổi tương đương ;
	 3(a + 1 + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) 
 ú 9 4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1) 
 ú 9 4ab + 8 ú 1 4ab ú (a + b)2 4ab
 	Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh .
Bài 2. 2: Cho a, b, c là các số dương thoả mãn : a + b + c = 4 
 Chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 
Giải:
 	Từ : (a + b)2 4ab , (a + b + c)2 = 
 => 16 4(a + b)c => 16(a + b) 4(a + b)2c 16 abc 
 => a + b abc 
 Tương tự : b + c abc 
 c + a abc 
 => (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 
Bài 2.3 : Chứng minh bất đẳng thức : 
 ; trong đó a > 0 ; b > 0
 Giải : 
	Dùng phép biến đổi tương đương : Với a > 0 ; b > 0 => a + b > 0
 ú .
 ú a2 - ab + b2 
 ú 4a2 - 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2 
 ú 3a2 - 6ab + 3b2 3(a2 - 2ab + b2) 0 
 Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra : 
Bài 2.4:
 Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a3 + b3 + ab 
Giải :
 Ta có : a3 + b3 + ab a3 + b3 + ab - 0
 (a + b)(a2 - ab + b2) + ab - 0
 a2 + b2 - 0 . Vì a + b = 1
 2a2 + 2b2 - 1 0
 2a2 + 2(1-a)2 - 1 0 ( vì b = a -1 )
 4a2 - 4a + 1 0
 ( 2a - 1 )2 0
 Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a3 + b3 + ab 
 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = 
Bài 2.5 : Chứng minh bất đẳng thức : 
 Trong đó : a > 0 , b > 0 .
Giải : 
 Với a > 0 , b > 0 => a + b > 0 
 Ta có : 
 4a2 - 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2 
 3(a2 - 2ab + b2 ) 0
 3(a - b)2 0 . Bất đẳng thức này đúng 
 => 
 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b .
Bài 2.6 : Với a > 0 , b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức :
 Giải : 
 Dùng phép biến đổi tương đương :
 ú ( 0
 ú 
 ú 
 ú 
 ú 
 Bất đẳng thức cuối đúng ; suy ra : 
3. Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc .
	- Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc như : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh , 
 Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên : x2 + y2 2xy 
 Với a, b > 0 , 
 Các ví dụ :
Bài 3.1 : Giả sử a, b, c là các số dương , chứng minh rằng:
 Giải
 áp dụng BĐT Cauchy , ta có : 
 a + (b + c) ú 
 Tương tự ta thu được :
 , 
 Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có : 
 a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều là số dương ).
	Từ đó suy ra : 
Bài 3.2:
 Cho x , y là 2 số thực thoả mãn : 
 x2 + y2 = 
 	Chứng minh rằng : 3x + 4y 5
Giải : 
	áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có : 
 (x2 + y2)2 = ()2 ( ; )
 (x2 + y2)(1 - y2 + 1 - x2) 
 => x2 + y2 1
 Ta lại có : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) 25
 => 3x + 4y 5 
 Đẳng thức xảy ra ú ú 
 Điều kiện : 
Bài 3. 3: Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :
	 a, 
	 b, 
Giải 
 a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có :
 => 
 => .
 Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = 
 b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : 
 Tương tự : ; 
 Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được :
 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1 
 Vậy : 
Bài 3.4 : Cho các số dương a , b , c thoả mãn : a + b + c = 1 .
	 Chứng minh rằng : 
Giải : 
 Ta có : , a , b > 0
 Ta có : .1 = .(a + b + c)
 =
 = 3 + 2 + 2 + 2 = 9
 => 
 Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c = 
Bài 3.5 
 Cho x , y > 0 . Chứng minh rằng : 
Giải
 áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 
 => (x + y)( ) 4 
 => 
4. Phương pháp 4 ; Dùng các tính chất của bất đẳng thức : 
	- Kiến thức : Dùng các tính chất đã được học để vận dụng vào giải các bài tập .
 Các ví dụ : 
Bài 4.1 : Cho 2 số x , y thoả mãn điều kiện : x + y = 2 . 
 Chứng minh rằng : x4 + y4 2
Giải 
 Theo tính chất bắc cầu ta có : (x2 - y2) 0 ú x4 + y4 2x2y2
 ú 2(x4 + y4) (x2 + y2)2 (1)
 Ta có : (x - y)2 0 ú x2 + y2 2xy 
 ú 2(x2 + y2 ) (x +y)2
 ú2(x2 + y2 ) 4 Vì : x + y = 2 
 ú x2 + y2 2 (2)
 Từ (1) và (2) ta có : x4 + y4 2
 Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = 1 .
Bài 4.2:
 Cho 0 < a, b, c, d < 1 . Chứng minh rằng : 
 (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
 Giải : 
 Ta có : (1 - a)(1 - b) = 1 - a - b + ab
 Do a, b > 0 nên ab > 0 => (1 - a)(1 - b) > 1 - a - b .
 Do c 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c) 
 ú (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc .
 Do a, b, c, d > 0 nên 1 - d > 0 ; ac + bc > 0 ; ad + bd + cd > 0 
 =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c 
 => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d)
 => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd
 => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
Bài 4.3 : Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng :
 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a 
Giải :
 Do a, b a3 < a2 < a < 1 ; b3 < b2 < b < 1 ; ta có : 
 (1 - a2)(1 - b) > 0 => 1 + a2b > a2 + b 
 => 1 + a2b > a3 + b3 hay a3 + b3 < 1 + a2b .
 Tương tự : b3 + c3 < 1 + b2c ; c3 + a3 < 1 + c2a .
 => 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a 
5.phương pháp 5 : Dùng bất đẳng thức tổng quát chứa luỹ thừa các số tự nhiên 
Bài 5.1: Cho a>b>0 CMR: 
 >
 Giải :
Để chứng minh bất đẳng thức trên , ta chứng minh bất đẳng thức trung gian sau nếu a>b>0 và m,n là hai số tự nhiên mà m>n thì (1)
 Thật vậy ta dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh 
 (1) 
 1-
 (2)
Bất đẳng thức (2) luôn đúng vì a>b>0 nên và m>n vậy bất đẳng thức (1) luôn đúng 
áp dụng bất đẳng thức trung gian vối a>b>0 và m>n nên khi m=1996, n=1995 thì bất đẳng thức phảI chứng minh luôn đúng >
6. phương pháp 6: Dùng bất đẳng thức về 3 cạnh của tam giác 
 a , b, c, là độ dài ba cạnh của tam giác a<b+c (1)
 b < a+c (2)
 c< a+b (3)
Từ 3 bất đẳng thức về tổng ba cạnh của tam giác ta suy ra được 3 bất đẳng thức về hiệu hai cạnh 
 a<b+c (1)(4)
 b < a+c (2)(5)
 c< a+b (3)(6)
Bài 6.1: 
Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh của tam giác ) . Chứng minh rằng : 
Giải:
 Ta có : p - a = 
 Tương tự : p - b > 0 ; p - c > 0 ; 
 áp dụng kết quả bài tập (3.5) , ta được ; 
 Tương tự : 
 => 
 => điều phải chứng minh .
 Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c ú a = b = c .
 Khi đó tam giác ABC là tam giác đều .
Bài 6.2: 
Cho a, b, c , là độ dài ba cạnh của một tam giác CMR: 
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc
Giải:
 Bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác cho ta viết 
 Từ đó 
 (a+b-c)(a-b+c)(b-c+a)(b+c-a)(c-a+b)(c+a-b)
(a+b-c)2(b+c-a)2(c+a-b)2
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)abc
Vì a, b, c, là ba cạnh của một tam giác nên 
 a+b-c>0
 b+c-a>0
 c+a-b>0 và abc>0
 Vậy bất đẳng thức dẫ được chứng minh 
 7. Phương pháp 7 : Chứng minh phản chứng .
- Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất dẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý .
	 Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái nhược nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng .
	Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức :
	 + Dùng mệnh đề đảo 
	 + Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết .
	 + Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng .
	 + Phủ định rồi suy ra hai đIều tràI ngược nhau .
	 + Phủ định rồi suy ra kết luận .
Các ví dụ : 
Bài 7. 1 : 
Cho 0 1
 3b(1 - c) > 2
 8c(1 - d) > 1
 32d(1 - a) > 3
Giải:
	Giả sử ngược lại cả bốn đẳng thức đều đúng . Nhân từng về ;
 ta có : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > 2 .3
 	=> (1)
 Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
 => a(1 - a) 
 Tương tự : b(1 - b) 
 c(1 - c) 
 d(1 - d) 
 Nhân từng về các bất đẳng thức ; ta có :
 (2)
 Từ (1) và (2) suy ra vô lý .
 Điều vô lý đó chứng tỏ ít nhất một trong 4 bất đẳng thức cho trong đầu bài là sai .
Bài 7.2 : 
( Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau ) 
 Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả ba bất đẳng thức sau : ; ; 
 Giải 
 Giả sử tồn tại 3 số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức : 
 ; ; 
	Cộng theo từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được : 
 ú (1)
 Vì a, b, c > 0 nên ta có : ; ; 
 => Điều này mâu thuẫn với (1)
	Vậy không tồn tại 3 số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức nói trên . => đpcm 
Bài 7.3 :
 Chứng minh rằng không có các số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức sau : 
 	 4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a ) > 1 .
Hướng dẫn : tương tự như bài 2 : 
Bài 7.4 :
( Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng )
 	Cho a3 + b3 = 2 . Chứng minh rằng : a + b 2 .
Giải : 
 Giả sử : a + b > 2 => (a + b )3 > 8 
 => a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 
 => 2 + 3ab(a + b) > 8 ( Vì : a3 + b3 = 2 ) 
 => ab(a + b) > 2 
 => ab(a + b) > a3 + b3 ( Vì : a3 + b3 = 2 ) 
 Chia cả hai vế cho số dương a, b ta được : 
 ab > a2 - ab + b2 => 0 > (a - b)2 Vô lý 
	 Vậy : a + b 2 
 8. Phương pháp 8 : Đổi biến số 
	- Kiến thức : Thực hiện phương pháp đổi biến số nhằm đưa bài toán đã cho về dạng đơn giản hơn , gọn hơn , dạng những bài toán đã biết cách giải ... 
Các ví dụ : 
Bài 8. 1 :
 Chứng minh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì : 
 Giải: 
 Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z 
 => a + b + c = 
 => a = , b = , c = 
 Khi đó : 
 VT = = 
 = 
Bài 8.2 :
 Chứng minh rằng ; với mọi số thực x, y ta có bất đẳng thức : 
 	- 
 Giải:
	Đặt : a = và b = 
 => ab = 
	Ta có dễ thấy với mọi a, b thì : - 
 	Mà : (a - b)2 = 
 (a + b)2 = 
 Suy ra : - ab .
Bài 8.3 :
 Cho a, b, c > 0 ; a + b + c 1 . Chứng minh rằng : 
Giải : 
	Đặt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z 
 Khi đó : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab 
 = (a + b + c)2 1
	Bài toán trở thành : Cho x, y, z > 0 , x + y + z 1 .
	Cứng minh rằng : 
 	Ta chứng minh được : (x + y + z)( 
	Theo bất đẳng thức Côsi 
 Mà : x + y + z 1 nên suy ra .
9.Phương pháp 9: Dùng phép quy nạp toán học .
	- Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1 bằng phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành : 
	+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0)
	+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0)
	+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 
	+ Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n0) 
	- Ví dụ : 
Bài 9.1 : 
 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 3 thì 
 2n > 2n + 1 (*)
 Giải : 
 + Với n = 3 , ta có : 2n = 23 = 8 ; 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 ; 8 > 7 . Vậy đẳng thức (*) đúng với n = 3 .
 + Giả sử (*) đúng với n = k (k N ; k 3) , tức là : 2k > 2k + 1 
 ta phải chứng minh : 2k+1 > 2(k + 1) + 1 
 hay : 2k+1 > 2k + 3 (**) 
 + Thật vậy : 2k+1 = 2.2k , mà 2k > 2k + 1 ( theo giả thiết quy nạp ) 
do đó : 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + 3 ( Vì : 2k - 1 > 0) 
 Vậy (**) đúng với mọi k 3 .
 + Kết luận : 2n > 2n + 1 với mọi số nguyên dương n 3 .
Bài 9.2 :.
Chứng minh rằng : 
 ..... (*) (n là số nguyên dương ) 
 Giải : 
 + Với n = 1 , ta có : VT = VP = . Vậy (*) đúng với n = 1 .
 + Giả sử (*) đúng với n = k 1 ta có : ..... 
 Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1 , tức là : 
 ..... . .
 do đó chỉ cần chứng minh : 
 dùng phép biến đổi tương đương , ta có : 
 (2k + 1)2(3k + 4) (3k + 1)4(k +1)2 
 ú 12k3 + 28k2 + 19k + 4 12k3 + 28k2 + 20k +4
 ú k 0 . => (**) đúng với mọi k 1 .
 Vậy (*) dúng với mọi số nguyên dương n .
10. Phương pháp 10 : Chứng minh bất đẳng thức trong hình học phẳng 
Bài 10.1 :CMR trong một tam giác nhọn thì tổng các trung tuyến của nó lớn hơn 4lần bán kính đường tròn ngoại tiếp 
Giải: 
Gọi ma, mb, mc là độ dài ba đường trung tuyến và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC, ta phải chứng minh ma+ mb+mc>4R 
Vì ABC là một tam giác nhọn nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trong tam giác ABCnếu G là trọng tâm tam giác ABC thì tâm 0 nằm ở một trong ba tam giác tam giác GAB, tam giác GAC ,tam giác GBC . Giả sử tâm 0
 nằm trong tam giác GAB thì 0A +0B=2R và GA+ GB > 2R mà GA=AA1=ma ,GB=BB1 =mb
Nên GA+GB > 2R (ma+mb) >2R ma+mb >3R 
Mà trong tam giác 0CC1 có CC1 >0C mc >R 
Do đó ma+ mb+ mc > 3R+R=4R .
Vậy ma+mb+ mc >4R 
Bài 10. 2: Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của một tam giác vuông đỉnh A tại hai điểm B và C , kẻ một tiếp tuyến với đường tròn cắt các cạnh AB và AC tại M và N , chứng minh rằng MB+NC<
Giải
 Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến MN với đường tròn tâm 0 tính chất tiếp tuyên cho ta 
 MB=MI ,NC=NI 
Từ đó MN=MB+NC nhưng tam giác vuông AMN thì MN< AM+AN 
 Nên 2MN < AM+AN +BM+ CN =AB +AC 
MN< 
Ngoài ra trong tam giác vuông AMN ta cũng có cạnh huyền MN>AM và MN> AN 2MN > AM+AN 
Vì MN=BC+CN 
Nên 3MN > AM+AN +BM+CN do đó 3MN > AB+AC MN >
Vậy MB+NC<
 11 . Ngoài ra còn có một số phương pháp khác để chứng minh bất đẳng thức như : Phương pháp làm trội , tam thức bậc hai ... ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp . Trong phạm vi nhỏ của đề tài này không hệ thống ra những phương pháp đó .
 iii : ứng dụng của bất đẳng thức 
1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị .
	- Kiến thức : Nếu f(x) m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m .
	 Nếu f(x) M thì f(x) có giá trị lớn nhất là M .
 Ta thường hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng như : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối .
 Kiểm tra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị .
 Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức , ta hay sử dụng phương pháp biến đổi tương đương , đổi biến số , một số bất đẳng thức ...
 Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 
 Chú ý : 
 Xảy ra dấu '' = '' khi AB 0 
 Dấu ''= '' xảy ra khi A = 0 
Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = a3 + b3 + ab ; Cho biết a và b thoả mãn : a + b = 1 .
Giải
 B = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab 
 = a2 - ab + b2 + ab = a2 + b2 
 Ta có : 2(a2 + b2) (a + b)2 = 1 => a2 + b2 
 Vậy min B = khi a = b = 
Bài 2: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
 A = (x2 + x)(x2 + x - 4) 
 b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
 B = - x2 - y2 + xy + 2x +2y 
 Giải 
 a, A = (x2 + x)(x2 + x - 4) . Đặt : t = x2 + x - 2 
 => A = (t - 2)(t + 2) = t2 - 4 - 4 
 Dấu bằng xảy ra khi : t = 0 ú x2 + x - 2 = 0 
 (x - 2)(x + 2) = 0 ú x = -2 ; x = 1 .
 => min A = - 4 khi x = -2 ; x = 1 ;
 b, Tương tự 
Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
 a, C = 
 b, D = 
 c, E = 
Giải : 
 a, áp dụng BĐT : 
 Dấu '' = ''xảy ra khi AB 0 .
 => C = 
 Dấu '' = '' xảy ra khi (2x - 3)(1 - 2x) 0 ú 
 Vậy minC = 2 khi 
 b, Tương tự : minD = 9 khi : -3 x 2
 c, minE = 4 khi : 2 x 3
Bài 4 : Cho a < b < c < d , tìm : 
 Minf(x) = + + + 
Hướng dẫn : tương tự : minf(x) = d + c - b - a khi b x c
Bài 5 : Cho ba số dương x , y , z thoả mãn : + + 2
 Tìm giá trị lớn nhất của tích : P = xyz 
 Giải : 
 (1 - ) + ( 1 - ) = + 2
 Tương tự : 2
 2
 Từ đó suy ra : P = xyz 
 MaxP = khi x = y = z = 
Bài 6 : Cho 3 số dương a, b, c thảo mãn : a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F = 
Giải: 
 Ta có : F = (a2 + b2 + c2) + () + 6 
 Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki , ta có : 
 (a.1 + b.1 + c.2)2 3(a2 + b2 + c2)
 => a2 + b2 + c2 
 Tương tự : 3
 Mặt khác : ().1 = ()(a + b + c)
 = 3 + () + () + () 3 + 2 + 2 + 2 = 9
 => 9
 => 81
 => 27
 F + 27 + 6 = 33
 Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = 
 Vậy MinF = 33 khi : a = b = c = .
Bài 7 : Cho G = 
 Tỡm giỏ trị lớn nhất của G :
 Giải : Tập xỏc định : x 1 ; y 2 ; z 3 
 Ta có : G = + + 
 Theo BĐT Cụsi ta cú : => 
Tương tự : ; 
 => G 
Vậy MaxG = đạt được khi x = 2 ; y = 2 ; z = 6 
Bài 8 a, Tìm giá trị nhỏ nhất của H = với x > 1 .
 b. Tìm giá trị lớn nhất của K = 
 HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi và làm tương tự như bài 5 : 
2 - Dùng bất đẳng thức để giải phương trình .
 - Kiến thức : Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phương pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phương trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phương trình .
 	 Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn ( thoả mãn TXĐ) 
 => phương trình có nghiệm .
 Nếu VT > VP hoặc VT < VP tại mọi giá trị của ẩn .
 => phương trình vô nghiệm .
 - Các ví dụ : 
Bài 1 : Giải phương trình : 
 13 + 9 = 16x
 Giải: 
 Điều kiện : x 1 (*)
 Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 13 + 9
 = 13.2. + 3.2.
 13( x - 1 + ) + 3(x + 1 + ) = 16x 
	Dấu '' = '' xảy ra 
 ú ú x = thoả mãn (*) 
	Phương trình (1) có nghiệm ú dấu '' = '' ở (2) xảy ra 
 Vậy (1) có nghiệm x = .
Bài 2: a, Tìm giá trị lớn nhất của L = + 
 b. Giải phương trình : + - x2 + 4x - 6 = 0 (*)
 Giải : 
 a. Tóm tắt : ( + )2 2(2x - 3 + 5 - 2x) = 4
 ú + 2
 => MaxL = 2 khi x = 2 .
 b. TXĐ : 
 (*) ú + = x2 - 4x + 6 
 VP = (x - 2)2 + 2 2 , dấu '' = '' xảy ra khi x = 2 .
 => với x = 2 ( thoả mãn TXĐ ) thì VT = VP = 2 .
 => phương trình (*) có nghiệm x = 2 .
 Bài 3 : Giải phương trình :
 + = x2 - 6x + 13 
 Giải : TXĐ : -2 x 6.
 VP = (x - 3)2 + 4 4 . Dấu '' = '' xảy ra khi x = 3 .
 VT2 = (.1 + .1)2 (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16
 => VT 4 , dấu '' = '' xảy ra khi = ú x = 2 .
 => không có giá trị nào của x để VT = VP => Phương trình vô nghiệm
 Bài 4 : Giải phương trình : 
 + = 5
 HD : 2 ; 3 => VT 5 .
 Dấu '' = '' xảy ra khi : ú 
 => phương trình có nghiệm : x = 2 ; y = 2 .
3 - Dùng bất đẳng thức để giải hệ phương trình : 
 - Kiến thức : Dùng bất đẳng thức để biến đổi từng phương trình của hệ , suy luận và kết luận nghiệm .
 Lưu ý : Một số tính chất : a, a2 + b2 2ab 
 b. a + c 0 => a < b 
 c. nếu a > b > 0 .
 - Các ví dụ : 
 Bài 1 : Giải hệ phương trình : 
 (1) ú x3 = - 1 - 2(y - 1)2 ú x3 - 1 ú x - 1 . (*) 
 (2) ú x2 1 ( vì 1 + y2 2y) ú -1 x 1 (**)
 Từ (*) và (**) => x = -1 . Thay x = -1 vào (2) ta có : y = 1 .
 => Hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x = -1 ; y = 1 .
 - Kiến thức : Biến đổi một phương trình của hệ , sau đó so sánh với phương trình còn lại , lưu ý dùng các bất đẳng thức quen thuộc .
 Bài 2 : Giải hệ phương trình : 
 Giải : 
 áp dụng : BĐT : A2 + B