Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm luyện thi học sinh giỏi máy tính Casio

 thập phân; ngăn cách phân định nhóm 3 chữ số.
 b.1.2.2. Thao tác nhập xóa biểu thức
Màn hình tối đa 79 kí tự, không quá 36 cặp dấu ngoặc.
Viết biểu thức trên giấy như bấm phím hiện trên màn hình.
Thứ tự thực hiện phép tính:
{ [ ( ) ] } à lũy thừa à Phép toán trong cănà nhân à nhân à chia à cộng à trừ.
 b.1.2.3. Nhập các biểu thức
Biểu thức dưới dấu căn thì nhập hàm căn trước, biểu thức dưới dấu căn sau
Lũy thừa: Cơ số nhập trước rồi đến kí hiệu lũy thừa.
Đối với các hàm: x2; x3; x-1; ; nhập giá trị đối số trước rồi phím hàm.
Đối với các hàm ;; cx; 10x; sin; cos; tg; sin-1; cos-1; tg-1 nhập hàm trước rồi nhập các giá trị đối số.
Các hằng số: π; e, Ran, ≠ và các biến nhớ sử dụng trực tiếp.
Với hàm nhập chỉ số x trước rồi hàm rồi biểu thức.
VD: 4 20
Có thể nhập: 
VD: Tính Ấn: 4 4 x2 =
Hoặc =>Ấn: 4 ( 1 : 2 ) =
 b.1.2.4. Thao tác xóa, sửa biểu thức 
- Dùng phím hay để di chuyển con trỏ đến chỗ cần chỉnh.
- Ấn Del để xóa kí tự dạng nhấp nháy (có con trỏ).
- Ấn Shift Ins con trỏ trở thành (trạng thái chèn) và chèn thêm trước kí tự đang nhấp nháy. Khi ấn Del , kí tự trước con trỏ bị xóa.
- Ấn Shift Ins lần nữa hoặc = ta được trạng thái bình thường (thoát trạng thái chèn).
- Hiện lại biểu thức tính:
	+ Sau mỗi lần tính toán máy lưu biểu thức và kết quả vào bộ nhớ. Ấn 
màn hình cũ hiện lại, ấn , màn hình cũ trước hiện lại.
	+ Khi màn hình cũ hiện lại ta dùng hoặc để chỉnh sửa và tính lại.
	+ Ấn , con trỏ hiện ở dòng biểu thức.
	+ Ấn AC màn hình không bị xóa trong bộ nhớ.
	+ Bộ nhớ màn hình bị xóa khi: 
	. Ấn On 
	. Lập lại Mode và cài đặt ban đầu ( Shift Clr 2 = ).
	. Đổi Mode.
	. Tắt máy.
Nối kết nhiều biểu thức 
Dùng dấu “:” ( Anpha : ) để nối hai biểu thức tính.
VD: Tính 2 + 3 và lấy kết quả nhân 4. 
Ấn: 2 + 3 Ans x 4 =
	 =
 b.1.2.5.Thao tác với phím nhớ.
 b.1.2.5.1. Gán giá trị vào biểu thức.
Nhập giá trị.
Ấn: Shift STO biến cần gán.
VD: 5 Shift STO A
Cách gọi giá trị từ biến nhớ
+ Cách 1: RCL + Biến nhớ 
+ Cách 2: RCL + Biến nhớ
Có thể sử dụng biến nhớ để tính toán.
VD: Tính giá trị biểu thức x5 + 3x4 + 2x2 +3 với x =35.
Thực hành: Gán 35 vào biến X.
	Ấn 35 Shift STO X
	Anpha X 5 + 3 x Anpha X 4 + 2 x Anpha X 2 + 3
 b.1.2.5.2. Xóa biến nhớ
0 Shift STO biến nhớ.
 b.1.2.5.3. Mỗi khi ấn = thì giá trị vừa nhập hay kết quả của biểu thức được tự 
động gán vào phím Ans 
Kết quả sau “=” có thể sử dụng trong phép tính kế tiếp.
Dùng trong các hàm x2, x3, x-1,x!, +,-, 
 b. 2. Lí thuyết và các dạng bài tập cơ bản
 b.2.1. Các phép toán trong tập hợp số tự nhiên
 b.2.1.1. Lí thuyết
	*Phép cộng và phép nhân
	- Ghi y hệt các biểu thức tính vào màn hình và ấn sẽ được kết quả.
	- Máy chỉ đọc được một số có 10 chữ số, nếu ghi dài hơn nữa, máy không hiểu.
	- Dấu nhân liền trước dấu ngoặc có thể bỏ qua.
	- Dấu ngoặc cuối cùng cũng có thể khỏi ấn.
	*Phép trừ và phép chia
	- Ghi y hệt các biểu thức tính vào màn hình và ấn sẽ được kết quả.
	- Phép nhân tắt ưu tiên hơn phép nhân thường, do đó phép nhân tắt ưu tiên hơn phép chia.
 b.2.1.2. Các dạng bài tập và cách giải
 b.2.1.2.1. Tìm kết quả của phép nhân có kết quả quá 10 chữ số
Bài 1: 
Tính kết quả đúng của các tích sau:
M = 2222255555 . 2222266666.
N = 20032003 . 20042004.
Giải:
Đặt A = 22222, B = 55555, C = 666666.
Ta có M = (A.105 + B)(A.105 + C) = A2.1010 + AB.105 + AC.105 + BC
Tính trên máy:
A2 = 493817284 ; AB = 1234543210 ; AC = 1481451852 ; BC = 3703629630
Tính trên giấy:
A2.1010
4
9
3
8
1
7
2
8
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
AB.105
1
2
3
4
5
4
3
2
1
0
0
0
0
0
0
AC.105
1
4
8
1
4
5
1
8
5
2
0
0
0
0
0
BC
3
7
0
3
6
2
9
6
3
0
M
4
9
3
8
4
4
4
4
4
3
2
0
9
8
2
9
6
3
0
Đặt X = 2003, Y = 2004. Ta có:
N = (X.104 + X) (Y.104 + Y) = XY.108 + 2XY.104 + XY
Tính XY, 2XY trên máy, rồi tính N trên giấy như câu a)
Kết quả: 
M = 4938444443209829630.
N = 401481484254012.
Bài 2: 
Tính chính xác tổng S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16!.
Giải: 
Vì n . n! = (n + 1 – 1).n! = (n + 1)! – n! nên:
S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16! = (2! – 1!) + (3! – 2!) + ... + (17! – 16!)
S = 17! – 1!.
Không thể tính 17 bằng máy tính vì 17! Là một số có nhiều hơn 10 chữ số (tràn màn hình). Nên ta tính theo cách sau:
Ta biểu diễn S dưới dạng : a.10n + b với a, b phù hợp để khi thực hiện phép tính, máy không bị tràn, cho kết quả chính xác.
Ta có : 17! = 13! . 14 . 15 . 16 . 17 = 6227020800 . 57120
Lại có: 13! = 6227020800 = 6227 . 106 + 208 . 102 nên 
S = (6227 . 106 + 208 . 102) . 5712 . 10 – 1 
 = 35568624 . 107 + 1188096 . 103 – 1 = 355687428096000 – 1 
 = 355687428095999.
Bài tập tương tự: 
Tính chính xác các phép tính sau:
A = 20!; 19!
B = 5567866 . 6667766
C = 20092009 . 20102010
14584713
212220032 
 b.2.1.2.2. Tìm số dư của phép chia
*) Khi đề cho số bé hơn 10 chữ số:
Số bị chia = số chia . thương + số dư (a = bq + r) (0 < r < b)
Suy ra r = a – b . q
Ví dụ : Tìm số dư trong các phép chia sau: 
9124565217 cho 123456
987896854 cho 698521
*) Khi đề cho số lớn hơn 10 chữ số:
 Phương pháp: 
Tìm số dư của A khi chia cho B ( A là số có nhiều hơn 10 chữ số)
Cắt ra thành 2 nhóm , nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái). Tìm số dư phần đầu khi chia cho B.
Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa đủ 9 chữ số) rồi tìm số dư lần hai. Nếu còn nữa tính liên tiếp như vậy.
Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 2345678901234 cho 4567.
Ta tìm số dư của phép chia 234567890 cho 4567: Được kết quả số dư là : 2203
Tìm tiếp số dư của phép chia 22031234 cho 4567.
Kết quả số dư cuối cùng là 26.
Bài tập: Tìm số dư của các phép chia:
97639875 cho 8604325
903566893265 cho 38769.
1234567890987654321 : 123456
*) Dùng kiến thức về đồng dư để tìm số dư.
 Phép đồng dư: 
+ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu 
+ Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+
Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 126 cho 19
Giải:
Vậy số dư của phép chia 126 cho 19 là 1
Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 2004376 cho 1975
Giải:
Biết 376 = 62 . 6 + 4
Ta có:
Vậy 
Kết quả: Số dư của phép chia 2004376 cho 1975 là 246
Bài tập tương tự:
Tìm số dư của phép chia :
158 cho 29
2514 cho 63
201038 cho 2001.
20099 cho 2007
715 cho 2005
 b.2.1.2.3. Tìm chữ số hang đơn vị, hàng chục, hàng trăm ... của một lũy thừa.
Bài 1: Tìm chữ số hàng đơn vị của số 172002
Giải: 
Vậy . Chữ số tận cùng của 172002 là 9
Bài 2: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 232005.
Giải
+ Tìm chữ số hàng chục của số 232005
Do đó: 
Vậy chữ số hàng chục của số 232005 là 4 (hai chữ số tận cùng của số 232005 là 43)
+ Tìm chữ số hàng trăm của số 232005
Vậy chữ số hàng trăm của số 232005 là số 3 (ba chữ số tận cùng của số 232005 là số 343)
Bài tập vận dụng:
1.Tìm chữ số cuối của: 72010; 354; 2713; 4931.
2.Tìm chữ số hang chục của: 252009; 372002; 192001.
3.Tìm hai chữ số cuối của: 22001 + 22002 + 22003 + 22005.
b.2.1.2.4. Tìm BCNN, UCLN
B.2.1.2.4.1. Cách làm
 Máy tính cài sẵn chương trình rút gọn phân số thành phân số tối giản 
Ta áp dụng chương trình này để tìm UCLN, BCNN như sau:
 + UCLN (A; B) = A : a
 + BCNN (A; B) = A . b
 b.2.1.2.4.2. Ví dụ
Ví dụ 1: Tìm UCLN và BCNN của 2419580247 và 3802197531
HD: Ghi vào màn hình : và ấn =, màn hình hiện 
UCLN: 2419580247 : 7 = 345654321
BCNN: 2419580247 . 11 = 2.661538272 . 1010 (tràn màn hình)
Cách tính đúng: Đưa con trỏ lên dòng biểu thức xoá số 2 để chỉ còn 419580247 . 11
Kết quả : BCNN: 4615382717 + 2.109 . 11 = 26615382717
Ví dụ 2: Tìm UCLN của 40096920 ; 9474372 và 51135438
Giải: Ấn 9474372 ¿ 40096920 = ta được : 6987¿ 29570.
UCLN của 9474372 và 40096920 là 9474372 : 6987 = 1356.
Ta đã biết UCLN(a; b; c) = UCLN(UCLN(a ; b); c)
Do đó chỉ cần tìm UCLN(1356 ; 51135438).
Thực hiện như trên ta tìm được: 
UCLN của 40096920 ; 9474372 và 51135438 là : 678
Bài tập áp dụng:
Cho 3 số 1939938; 68102034; 510510.
Hãy tìm UCLN của 1939938; 68102034.
Hãy tìm BCNN của 68102034; 510510.
Gọi B là BCNN của 1939938 và 68102034. Tính giá trị đúng của B2.
 b.2.1.2.5. Tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện bài toán
VD1 : Tìm số tự nhiên a biết chia hết cho 109
Thực hành: a {0; 1; 2;;9}
Ấn liên tiếp để kiểm tra 
VD2: Tìm số tự nhiên lớn nhất có dạng chia hết cho 13
Thực hành: Số lớn nhất khi x, y, z = 9
Ấn liên tiếp để kiểm tra 
KQ: 1929304
VD3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi lập phương số đó ta được số tự nhiên có 3 chữ số cuối đều là chữ số 7 và 3 chữ số đầu cũng đều là chữ số 7: . Nêu sơ lược cách giải.
Giải: Hàng đơn vị chỉ có có chữ số cuối là 7. Với cac số chỉ có có 2 chữ số cuối đều là 7.
Với các chữ số chỉ có 7533 có 3 chữ số cuối đều là 7.
Ta có: ; , ; ...
Như vậy, để các số lập phương của nó có 3 số đuôi là chữ số 7 phải bắt đầu bởi các số: 91; 198; 426; 91x; 198x; 426x; .... (x = 0, 1, 2, ..., 9)
Thử các số:
Vậy số cần tìm là: 
n = 426753 và .
Bài tập áp dụng:
1.Tìm các số lớn nhất và nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng chia hết cho 7
2.Biết số có dạng chia hết cho 24.
Tìm tất cả các số N.
3. Số chính phương có dạng . 
Tìm các chữ số a, b biết rằng a +b = 13.
 b.2.1.2.6. Số nguyên tố
 b.2.1.2.6.1. Lí thuyết
Để kết luận số a là số nguyên tố (a > 1), chỉ cần chứng tỏ nó không chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a.
 b.2.1.2.6.2. Ví dụ
VD1: Số 647 có là số nguyên tố không
Thực hành:
647 là số nguyên tố.
Hoặc
Quay lại dòng biểu thức sửa 2 thành 3 
Tiếp tục như vậy cho đến số 29.
VD2: Tìm các ước nguyên tố của
A = 17513 + 19573 + 23693
Giải:
Ghi vào màn hình 1751 ab/c 1957 
Chỉnh lại màn hình: 175117 
Kết quả: ƯCLN(1751;1957) = 103 (là số nguyên tố).
Thử lại: 2369 103
Tính tiếp: 
Chia 23939 cho các số nguyên tố được: 23939= 37 x 647
Kết quả A có các ước nguyên tố là 37; 103; 647.
Bài tập áp dụng:
1. Tìm các ước nguyên tố của
M = 18975 + 29815 + 35235
2. Số 211 – 1 là số nguyên tố hay hợp số.
 b.2.2. Liên phân số, phân số-số thập phân
 b.2.2.1. Liên phân số
 b.2.2.1. 1.Lí thuyết
Liên phân số (phân số liên tục) là một công cụ toán học hữu hiệu được các nhà toán học sử dụng để giải nhiều bài toán khó.
 b.2.2.1.2 Cách làm
	Cho a, b (a>b)là hai số tự nhiên. Dùng thuật toán Ơclit chia a cho b, phân số có thể viết dưới dạng: 
Vì b0 là phần dư của a khi chia cho b nên b > b0. Lại tiếp tục biểu diễn phân số 
Cứ tiếp tục quá trình này sẽ kết thúc sau n bước và ta được: . Cách biểu diễn này gọi là cách biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng liên phân số. Mỗi số hữu tỉ có một biểu diễn duy nhất dưới dạng liên phân số, nó được viết gọn . Số vô tỉ có thể biểu diễn dưới dạng liên phân số vô hạn bằng cách xấp xỉ nó dưới dạng gần đúng bởi các số thập phân hữu hạn và biểu diễn các số thập phân hữu hạn này qua liên phân số.
	Vấn đề đặt ra: hãy biểu diễn liên phân số về dạng . Dạng toán này được gọi là tính giá trị của liên phân số. Với sự trợ giúp của máy tính ta có thể tính một cách nhanh chóng dạng biểu diễn của liên phân số đó.
Qui trình ấn máy 
Ấn lần lượt 
 b.2.2.1.3 Ví dụ
VD1:
Cho . Viết lại 
Viết kết quả theo thứ tự 
Giải:
Ta có 
 . 
Tiếp tục tính như trên, cuối cùng ta được:
Viết kết quả theo ký hiệu liên phân số 
Bài tập vận dụng
1.Tính giá trị của các biểu thức sau và biểu diễn kết quả dưới dạng phân số:
 ; ; 
Đáp số: A) 2108/157 ; B) 1300/931 ; C) 783173/1315
Riêng câu C ta làm như sau: Khi tính đến 2003: . Nếu tiếp tục nhấn x 2003 = thì được số thập phân vì vượt quá 10 chữ số. 
Vì vậy ta làm như sau:
391 x 2003 = (kết quả 783173) vậy C = 783173/1315.
2.
a) Tính b) 
c) d) 
3.
a) Viết quy trình tính:
b) Giá trị tìm được của A là bao nhiêu ?
4. Biết . Tìm các số a, b, c, d.
5. Tìm giá trị của x, y. Viết dưới dạng phân số từ các phương trình sau:
a) ; b) 
Hướng dẫn: Đặt A = , B = 
Ta có 4 + Ax = Bx. Suy ra .
Kết quả . (Tương tự y = )
 6. Thời gian trái đất quay một vòng quanh trái đất được viết dưới dạng liên phân số là:
 . Dựa vào liên phân số này, người ta có thể tìm ra số năm nhuận. Ví dụ dùng phân số thì cứ 4 năm lại có một năm nhuận.
Còn nếu dùng liên phân số thì cứ 29 năm (không phải là 28 năm) sẽ có 7 năm nhuận.
1) Hãy tính giá trị (dưới dạng phân số) của các liên phân số sau:
a) ; b) ; c) 
2) Kết luận về số năm nhuận dựa theo các phân số vừa nhận được.
b.2.2.2. Phân số- số thập phân
 b.2.2.2.1. Tìm chữ số lẻ thập phân
VD1: Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 của phép chia 17 : 13
Giải:
Bước 1:
+ Thực hiện phép chia 17 : 13 = 1.307692308 (thực chất máy đã thực hiện phép tính rồi làm tròn và hiển thị kết quả trên màn hình)
Ta lấy 7 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân là: 3076923
+ Lấy 1,3076923 . 13 = 16,9999999
 17 - 16,9999999 = 0,0000001
Vậy 17 = 1,3076923 . 13 + 0.0000001
(tại sao không ghi cả số 08)??? Không lấy chữ số thập cuối cùng vì máy có thể đã làm tròn. Không lấy số không vì 
17 = 1,30769230 . 13 + 0,0000001= 1,30769230 . 13 + 0,0000001
Bước 2: 
+ lấy 1 : 13 = 0,07692307692
11 chữ số ở hàng thập phân tiếp theo là: 07692307692
Vậy ta đã tìm được 18 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân sau dấu phẩy là:
307692307692307692
Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kỳ gồm 6 chữ số.
Ta có 105 = 6.17 + 3 ()
Vậy chự số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là chữ số thứ ba của chu kỳ. Đó chính là số 7
Ví dụ 2:
Tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 250000 cho 19
Giải:
Ta có . Vậy chỉ cần tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 17 : 19
Bước 1: 
Ấn 17 : 19 = 0,8947368421. 
Ta được 9 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy là 894736842
+ Lấy 17 – 0, 894736842 * 19 = 2 . 10-9
Bước 2:
Lấy 2 : 19 = 0,1052631579. 
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157
+ Lấy 2 – 0,105263157 * 19 = 1,7 . 10-8 = 17 . 10-9
Bước 3:
Lấy 17 : 19 = 0,8947368421.
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là 
+ Lấy 17 – 0,0894736842 * 19 = 2 . 10-9
Bước 4: 
Lấy 2 : 19 = 0,1052631579. 
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157
...
Vậy 17 : 19 = 0, 894736842105263157894736842105263157 ...
 = 0,(894736842105263157) . Chu kỳ gồm 18 chữ số.
Ta có 
Kết quả số dư là 1, suy ra số cần tìm là sồ đứng ở vị trí đầu tiên trong chu kỳ gồm 18 chữ số thập phân.
Kết quả : số 8
 b.2.2.2.1.2. Tìm phân số sinh ra số thập phân tuần hoàn
 b.2.2.2.1.2.1. Cách làm
Mẫu số là các số 9 và các số 0 tiếp theo:
+ Số chữ số 9 bằng số chữ số trong cụm tuần hoàn.
+ Số chữ số 0 bằng số chữ số không tuần hoàn đứng sau dấu phẩy.
Tử số bằng số đã cho với cụm tuần hoàn đầu tiên không ghi dấu phẩy trừ cho phần không tuần hoàn không ghi dấu phẩy.
 b.2.2.2.1.2.2. Ví dụ
VD1: Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn sau
0,123123123
4,(35)
2,45736736
Giải: 
Bài tập:
1.Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy khi chia:
1 chia cho 49
10 chia cho 23
2. Tìm phân số sinh ra số thập phân tuần hoàn 3,15(321).
3. Viết các số sau dưới dạng phân số tối giản
	a) 3124,142248
	b) 5,(321).
4. a) Tính
b) Tìm tất cả các ước nguyên tố của A
 b.2.3. Đa thức
 b.2.3. 1. Lí thuyết
Một số kiến thức cần nhớ:
 b.2.3. 1. 1. Định lý Bezout
Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a)
Hệ quả: Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x – a
 b.2.3. 1. 2. Sơ đồ Hor nơ
Ta có thể dùng sơ đồ Hor nơ để thìm kết quả của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a.
Ví dụ:
Thực hiện phép chia (x3 – 5x2 + 8x – 4) cho x – 2 bằng cách dùng sơ đồ Hor nơ.
Bước 1: Đặt các hệ số của đa thức bị chia theo thứ tự vào các cột của dòng trên.
a = 2
-5
8
-4
1
Bước 2: Trong 4 cột để trống ở dòng dưới, ba cột đầu cho ta các hệ số của đa thức thương, cột cuối cùng cho ta số dư.
Số thứ nhất của dòng dưới = số tương ứng ở dòng trên
Kể từ cột thứ hai, mỗi số ở dòng dưới được xác định bằng cách lấy a nhân với số cùng dòng liền trước rồi cộng với số cùng cột ở dòng trên
a = 2
-5
8
-4
1
1
-3
2
0
Vậy (x3 – 5x2 + 8x – 4) = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + 0
* Nếu đa thức bị chia là a0x3 + a1x2 + a2x + a3 , đa thức chia là x – a, ta được thương là b0x2 + b1x + b2 dư là r. Theo sơ đồ Hor nơ ta có:
a1
a3
a2
a0
r
b2
b1
a 
b0
ab2 + a3
ab1 + a2
ab0 + a1
a0
VD 1: Tìm số dư trong các phép chia sau:
x3 – 9x2 – 35x + 7 cho x – 12.
x3 – 3,256 x + 7,321 cho x – 1,1617.
Tính a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6
Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625
+ Tính P(2)
+ Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3
VD2 : 
Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f . 
Biết P(1) = 1 , P(2) = 4 , P(3) = 9 , P(4) = 16 , P(5) = 15 . Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9)
Giải: 
Ta có P(1) = 1 = 12; P(2) = 4 = 22 ; P(3) = 9 = 32 ; P(4) = 16 = 42 ; P(5) = 25 = 52
Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2.
Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0.
Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x).
Vì hệ số của x5 bằng 1 nên Q(x) có dạng:
Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5).
Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 62
Hay P(6) = 5! + 62 = 156.
Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 72
Hay P(7) = 6! + 72 = 769
Bài 3:
Cho Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q . Biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 , Q(3) = 9 , 
Q(4) = 11 .
Tính các giá trị của Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13) 
Hướng dẫn 
Q(1) = 5 = 2.1 + 3; Q(2) = 7 = 2.2 + 3; Q(3) = 9 = 2.3 + 3 ; Q(4) = 11 = 2.4 + 3
Xét đa thức Q1(x) = Q(x) – (2x + 3)
Bài tập vận dụng
1. Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e . 
Biết P(1) = 3 , P(2) = 9 , P(3) = 19 , P(4) = 33 , P(5) = 51 . Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) , P(11) . 
2.Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Có P(1) = 0,5 ; P(2) = 2 ; P(3) = 4,5 ; 
P(4) = 8. Tính P(2002), P(2003)
3. Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 5; P(2) = 14; P(3) = 29; P(4) = 50. Hãy tính P(5) , P(6) , P(7) , P(8)
4.Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 0; P(2) = 4 ; P(3) = 18 ; P(4) = 48. Tính P(2007)
5.Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m . 
Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003 .
Tìm giá trị của m để P(x) chia hết cho x – 2,5 
P(x) có nghiệm x = 2 . Tìm m . 
6. Cho P(x) = .
Tìm biểu thức thương Q(x) khi chia P(x) cho x – 5.
Tìm số dư của phép chia P(x) cho x – 5 chính xác đến 3 chữ số thập phân.
7. Tìm số dư trong phép chia đa thức x5 – 7,834x3 + 7,581x2 – 4,568x + 3,194 cho 
x – 2,652. Tìm hệ số của x2 trong đ thức thương của phép chia trên.
8.Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho x – 2 ta được thương là đa thức Q(x) có bậc là 3. Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x)
9.Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m .
Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3
Với m tìm được ở câu a ) , hãy tìm số dư r khi chia P(x) cho 3x – 2 và phân tích P(x) thành tích của các thừa số bậc nhất
Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x – 2 .
Với n tìm được ở trên , hãy phân tích Q(x) ra tích của các thừa số bậc nhất.
 b.2.4. Dãy số
VD1: 
Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức
 với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . .
 a) Tính 
 b) Lập công thức truy hồi tính theo và 
 c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính theo và 
Giải:
Quy trình bấm phím (Máy fx-570MS)
Ấn liên tiếp ta được kết quả
U1 = 1; U2 = 26 ; U3 =510; U4 =8944; U5 = 147884
 U6 = 2360280; U7 = 36818536; U 8= 565475456.
Giả sử Un+1 = a. Un + b. Un-1 + c
Theo phần a ta có hệ
 Un+1 = 26 Un -166 Un-1 
	c)
Bài tập áp dụng
1.Cho dãy số a1 = 3; an + 1 = .
Lập quy trình bấm phím tính an + 1 
Tính an với n = 2, 3, 4, ..., 10
2.Cho dãy số x1 = ; .
Hãy lập quy trình bấm phím tính xn + 1
Tính x30 ; x31 ; x32
3.Cho dãy số (n ³ 1)
Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = 1 và tính x100.
Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = -2 và tính x100.
4.Cho dãy số (n ³ 1)
Cho x1 = 0,25. Viết quy trình ấn phím liên tục để tính các giá trị của xn + 1
Tính x100
5.Cho dãy số với n = 0; 1; 2; 3; ...
Tính 5 số hạng đầu tiên U0, U1, U2, U3, U4
Chứng minh rằng Un + 2 = 10Un + 1 – 18Un .
Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 theo Un + 1 và Un.
6. Cho dãy số với n = 1; 2; 3; ...
Tính 5 số hạng đầu tiên U1, U2, U3, U4 , U5
Lập công thức truy hồi tính Un + 1 theo Un và Un – 1.
Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un