Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật

, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật là dạng toán rất quan trọng trong chương trình toán 6 và làm cơ sở để học sinh làm tốt các bài toán có liên quan trong chương trình toán trung học cơ sở sau này. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt hơn. 
2. Thực trạng:
 a. Thuận lợi, khó khăn:
 Thuận lợi:
 - Xã Quảng Điền là một xã giàu truyền thống cách mạng, dân cư chủ yếu là người Quảng nam đi kinh tế mới từ năm 1977, nhân dân có truyền thống hiếu học. Đặc biệt có sự quan tâm của Đảng uỷ, UBND xã, sự quan tâm của các tổ chức, đoàn thể trong xã đối với công tác giáo dục, đảm bảo cơ sở vật chất tối thiểu cho dạy học hai ca. Xã Quảng Điền là xã văn hoá năm 2010 và hiện nay đang phấn đấu xây dựng xã nông thôn mới vào năm 2015
 - Hội cha mẹ học sinh hoạt động tích cực , phối hợp tốt với nhà trường trong các hoạt động, duy trì tương đối hiệu quả việc học tập của con em trong cộng đồng địa phương.
 - Hội khuyến học hết sức nhiệt tình, quan tâm đến phong trào giáo dục xã nhà nói chung và trường THCS Lê Đình Chinh nói riêng .
 - Phòng giáo dục và lãnh đạo nhà trường thường xuyên quan tâm tới tất cả các hoạt động chuyên môn của trường.	
 - Bên cạnh đội ngũ giáo viên nhiều kinh nghiệm nhà trường còn có một đội ngũ thầy cô trẻ, khoẻ, nhiệt tình và hăng say công việc.
 - Đa số các học sinh khá giỏi đều ham thích học bộ môn toán.
 Khó khăn: 
 - Nhân dân xã Quảng Điền sống chủ yếu bằng nghề nông đời sống kinh tế còn nhiều khó khăn, tỉ lệ hộ nghèo còn khá cao, trình độ dân trí không đồng đều, thuộc lưu vực sông KrôngAna nên hằng năm xã Quảng Điền cũng chịu ảnh hưởng của lũ lụt. Do đó một số bộ phận dân cư, hoàn cảnh gia đình còn khó khăn, chưa thực sự quan tâm đến việc học của con em mình dẫn đến ảnh hưởng không nhỏ đến việc đầu tư thời gian, vật chất, tinh thần cho con em học tập, nên ảnh hưởng phần nào đến kết quả học tập và rèn luyện của một số học sinh và kết quả phấn đấu của nhà trường. 
 - Cơ sở vật chất còn chưa đảm bảo tốt cho việc dạy và học, nguồn đầu tư của địa phương cho giáo dục hàng năm còn thấp.
 b. Thành công, hạn chế:
 Thành công:
 Với nội dung của đề tài nghiên cứu: “Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật” sau khi đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận và áp dụng vào thực tiễn tôi nhận thấy rèn luyện được cho học sinh kĩ năng giải toán có khoa học, lập luận logic và chặt chẽ. Học sinh hứng thú, chủ động hơn trong học tập.
 Hạn chế:
 Để đề tài trên được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy và đem lại hiệu quả cần phải có lượng thời gian nhất định. Tuy nhiên trong phân phối chương trình môn toán 6 không có thời lượng dành riêng cho vấn đề này. Hơn nữa, sách giáo khoa chưa đề cập về cách giải bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật. Với những lý do trên đề tài khó có thể áp dụng và đem lại hiệu quả mong muốn. 
c. Mặt mạnh, mặt yếu:
 Mặt mạnh:
 Khi vận dụng đề tài này vào giảng dạy tôi nhận thấy phần lớn học sinh không còn lúng trong khi gặp dạng toán này, đa số các em đã nhận dạng được bài tập và đã biết lựa chọn cách giải nhanh, gọn, hợp lí và trình bày lời giải tương đối chặt chẽ. 
 Mặt yếu:
 Dạng toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật là dạng toán tương đối trừu tượng đối với học sinh lớp 6. Khi gặp dạng toán này, không ít học sinh lúng túng không biết xử lý thế nào. Điều đó cũng dễ hiểu vì tuy đã được học phần lý thuyết cơ bản song số bài tập để củng cố để khắc sâu, để bao quát hết các dạng thì lại không nhiều, không có sức thuyết phục để lôi kéo sự hăng say học tập của học sinh. Mức độ kiến thức của dạng toán này tương đối trừu tượng và phức tạp.
d. Nguyên nhân:
 Thực tế học sinh ở trường THCS Lê Đình Chinh tiếp thu bài còn chậm và vận dụng kiến thức từ lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế. Các em còn nhầm lẫn và chưa thành thạo trong việc giải bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật. Nguyên nhân chủ yếu của khó khăn trên là:
 - Mức độ nắm kiến thức và kĩ năng vận dụng làm bài của một số học sinh hạn chế.
 - Học sinh không nhận ra được quy luật của dãy số.
 - Học sinh chưa phân loại được các dạng bài tập và chưa xác định được phương pháp giải cho từng dạng.
 - Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa có thời gian để ôn tập, làm bài tập, giải bài tập nhiều. 
 - Học sinh chưa thật sự yêu thích và không hứng thú đối với việc học môn Toán nên còn lười học ở nhà, trên lớp không chú ý nghe thầy cô giảng bài.
e. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:
 Đề tài : “Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật” góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích, tính toán cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên trau dồi kiến thức, nâng cao chất lượng và hiệu quả giảng dạy.
- Để giải được bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật đòi hỏi các em phải tìm ra được quy luật của dãy số, nhận ra những dạng bài tâp cơ bản thường gặp và phương pháp giải cụ thể cho từng dạng. Các bài tập đưa ra trong đề tài này theo mức độ từ thấp đến cao để các em nhận thức chậm có thể làm tốt những bài toán ở mức độ trung bình, đồng thời kích thích sự tìm tòi và sáng tạo của những học sinh khá.
- Như đã nói ở trên, trong phân phối chương trình của môn toán 6 không có thời lượng dành riêng cho vấn đề nghiên cứu này. Do đó để thực hiện đề tài này, giáo viên cần phải lồng ghép vào các tiết luyện tập, các tiết ôn tập chương, các tiết ôn tập học kì 2, các tiết phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh giỏi.
- Trong quá trình giảng dạy môn Toán, vai trò của người thầy trong việc tạo hứng thú cho học sính đặc biệt quan trọng, do đó mỗi giáo viên phải thường xuyên đưa học sinh vào các tình huống có vấn đề các em tư duy, tự tìm tòi kiến thức mới qua mỗi dạng toán. Đồng thời phải biết động viên, khích lệ, biểu dương sự cố gắng của các em, trân trọng thành quả đạt được của các em dù là rất nhỏ.
- Ngày nay, phương pháp dạy học ở bậc THCS nói chung đã có nhiều biến đổi tích cực, điều kiện về vật chất ngày càng được nâng lên rõ rệt. Nhưng để đạt được kết quả tốt yêu cầu mỗi giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian cho việc soạn bài và đặc biệt là phải tận tụy với công việc, tránh tư tưởng chủ quan chỉ cho học sinh tìm hiểu ở mức độ sơ sài, thiên về cung cấp lời giải. Sự đầu tư thoả đáng của giáo viên sẽ được đền bù bằng khả năng giải bài tập chắc chắn, linh hoạt cuả học sinh.
3. Giải pháp, biện pháp:
 a. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp:
 Những giải pháp, biện pháp được nêu trong đề tài này nhằm mục đích trang bị cho học sinh lớp 6 một cách có hệ thống về phương pháp giải các dạng bài tập tính tổng của dãy số viết theo quy luật từ cơ bản đến nâng cao, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán này, định hướng được các thao tác: quan sát, nhận dạng, lựa chọn phương pháp giải phù hợp cho từng dạng.
 b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:
 Việc tính tổng của các biểu thức thông thường (hữu hạn số hạng) ta chỉ áp dụng đúng thứ tự và quy tắc phép toán là có thể giải được bài toán. Vấn đề đặt ra là cách khai thác để giải bài toán tính tổng có dạng: Sn= a1+a2+a3+...+an (n=1,2,3) thì chúng ta phải làm như thế nào ? 
 Sau đây là một số dạng bài cơ bản và phương pháp khai thác để giải các dạng bài toán đó.
Dạng 1: Tính tổng của các số tự nhiên cách đều.
Phương pháp giải:
 Muốn tính tổng của các số tự nhiên cách đều, ta làm như sau:
- Tính số các số hạng của tổng theo công thức:
 (Số lớn nhất – Số nhỏ nhất) : Khoảng cách + 1
- Tính tổng theo công thức: (Số đầu + Số cuối) . Số số hạng : 2
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tính tổng A = 1 + 2 + 3 + ...+ 100
Giải: 
 Tổng A có: (số hạng)
Bài toán tổng quát: Tính tổng 1 + 2 + 3 + ...+ n (Với )
Giải: 
 Với cách làm như ví dụ 1, ta có:
Ta có công thức tính tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n (Với ) như sau:
 (Với )
Ví dụ 2: Tính tổng B = 2 + 4 + 6 + ...+ 100
Giải: 
 Tổng B có: (số hạng)
Bài toán tổng quát: Tính tổng 2 + 4 + 6 + ...+2n (Với )
Giải: 
 Với cách làm như ví dụ 2, ta có:
Ta có công thức tính tổng các số tự nhiên chẵn liên tiếp từ 2 đến 2n (Với ) như sau:
 (Với )
Ví dụ 3: Tính tổng C = 1 + 3 + 5 + ...+ 49
Giải: 
 Tổng C có: (số hạng)
Bài toán tổng quát: Tính tổng 1 + 3 + 5 + ...+(2n – 1) (Với )
Giải: 
 Với cách làm như ví dụ 3, ta có:
Ta có công thức tính tổng các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 2n - 1 (Với ) như sau:
 (Với )
Ví dụ 4: Tính tổng D = 4 + 7 + 10 + 13 + ...+ 301
Giải: 
 Tổng D có: (số hạng)
Ví dụ 5: Tính tổng E = 98 + 93 + 88 + 83 +  + 13 + 8 +3
Giải: 
 Tổng E có: ( 98 – 3 ) : 5 + 1 = 95 : 5 + 1= 19 +1 = 20 (số hạng)
 E = ( 98 + 3 ) . 20 : 2 = 101 . 20 : 2 = 1 010
Dạng 2: Tính tổng của các tích số tự nhiên viết theo quy luật.
Ví dụ 1: 
Chứng tỏ rằng: k( k+1) = (Với ) 
Từ đó tính tổng: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 99.100
Giải: 
 Với , ta có k(k+1)(k+2) – k(k+1) (k-1) = k( k+1) = k (k+1) .3 
 k( k+1) = = 
Vậy: k( k+1) = (Với )
Áp dụng: Tính tổng: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 99.100
Ta có: 
	..
Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:
A = +
Ví dụ 2: 
 Tính tổng B = 10.11 + 11.12 + 12.13 +  + 98.99 
Giải:
Ta có: 
	.
Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được: 
B = += – = 98.33.100 – 3.10.11 = 323 070
Bài toán tổng quát: Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n+1) (Với ) 
Giải: 
Ta có: 
	..
Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được: S = +
Ta có công thức:
 (Với )
Ví dụ 3: Tính tổng C = 2.4 + 4.6 + 6.8 + 8.10 +  + 196.198 + 198.200
Phương pháp giải: Ta thấy mỗi số hạng của tổng là tích của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp. Do đó, để tách mỗi số hạng thành hiệu của 2 số nhằm triệt tiêu từng cặp số hạng với nhau ta nhân cả hai vế với 6. Thừa số 6 này được viết dưới dạng: (6 - 0) ở số hạng thứ nhất, (8 - 2) ở số hạng thứ hai, (10 - 4) ở số hạng thứ ba, ..........,(202 - 196) ở số hạng cuối cùng.
Giải: 
6.C = 2.4.6 + 4.6.6 + 6.8.6 +  + 196.198.6 + 198.200.6
6.C = 2.4.6+4.6.(8–2)+6.8.(10 – 4)+  +196.198.(200 – 194)+198.200.(202 – 196)
6.C = 2.4.6+4.6.8-2.4.6+6.8.10-4.6.8++196.198.200-194.196.198+198.200.202-96.198.200 
6.C = 198.200.202
 C = 198.200.202 : 6 = 1 333 200
Bài toán tổng quát: 
 Tính tổng S = 2.4 + 4.6 + 6.8 +  + (2n – 2).2n (Với ) 
Giải: 
 Với cách làm như ví dụ 3, ta có: 6.S = (2n – 2).2n.(2n + 2) 
Ta có công thức:
 (Với )
Ví dụ 4: Tính tổng D = 1.3 + 3.5 + 5.7 +  + 95.97 + 97.99
Phương pháp giải: Ở tổng D, mỗi số hạng là tích của 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp. Ta thực hiện phương pháp như ví dụ 3 tức là ta nhân cả hai vế với 6. Thừa số 6 này được viết dưới dạng: (5 + 1) ở số hạng thứ nhất, (7 - 1) ở số hạng thứ hai, (9 - 3) ở số hạng thứ ba, ...., (101 - 95) ở số hạng cuối cùng.
 Giải: 6.D =1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 +  + 95.97.6 + 97.99.6
6.D =1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 – 1) + 5.7.(9 – 3) +  + 95.97.(99 – 93) + 97.99.(101 – 95) 
6.D =1.3.5+1.3.1+3.5.7–1.3.5+5.7.9–3.5.7+  +95.97.99–93.95.97+ 97.99.101–95.97.99 
6.D = 3 + 97.99.101
 D = (3 + 97.99.101) : 6 = 161 651
Bài toán tổng quát: 
 Tính tổng S = 1.3 + 3.5 + 5.7 +  + (2n – 1).(2n + 1) (Với ) 
Giải: 
 Với cách làm như ví dụ 4, ta có:
6.S = 
Ta có công thức:
 (Với )
 Ví dụ 5: Tính tổng E = 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + 99.101 
Phương pháp giải: Để tính tổng E ta không nhân nhân cả 2 vế với cùng một số thích hợp mà tách ngay một thừa số trong mỗi số hạng làm xuất hiện các tổng khác mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được. 
Giải: 
E = 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + 99.101 
 = 1(2 + 1) + 2(3 + 1) + 3(4 + 1) + ... + 99(100 + 1) 
 = 1.2 + 1 + 2.3 + 2 + 3.4 + 3 + ... + 99.100 + 99 
 = (1.2 + 2.3 +3.4 +...+ 99.100) + (1 + 2 + 3 + ... + 99) 
 = + = 333300 + 4950 = 338250 
Bài toán tổng quát: Tính tổng 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + n(n + 2) (Với ) 
Giải: 
 Với cách làm như ví dụ 5, ta có:
1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + n(n + 2) = 
Ta có công thức:
 (Với )
Ví dụ 6: Tính tổng F = 1.4 + 2.5 + 3.6 + ... + 99.102
Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp giải như ví dụ 5. 
Giải: 
F = 1.4 + 2.5 + 3.6 + ... + 99.102 
 = 1(2 + 2) + 2(3 + 2) + 3(4 + 2) + ... + 99(100 + 2) 
 = 1.2 + 1.2 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 3.2 + ... + 99.100 + 99.2 
 = (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100) + 2(1 + 2 + 3 + ... + 99) 
 = + 2. = 333300 + 9900 = 343200 
 Bài toán tổng quát: Tính tổng 1.4 + 2.5 + 3.6 ++ n(n+3) (Với ) 
Giải: 
 Với cách làm như ví dụ 6, ta có:
1.4 + 2.5 + 3.6 ++ n(n+3) = 
Ta có công thức:
 (Với )
Ví dụ 7: 
Chứng tỏ rằng: k( k+1)(k+2) = (Với ) 
Từ đó tính tổng: G = 1.2.3 + 2.3.4 +  + 98.99.100
Giải: 
 Với , ta có k(k+1)(k+2)(k+3) – (k-1)k(k+1) (k+2) 
= k( k+1)(k+2) = k (k+1)(k+2) .4 
 k( k+1)(k+2) = = 
Vậy: k( k+1)(k+2) = (Với ) 
Áp dụng: Tính tổng: G = 1.2.3 + 2.3.4 +  + 98.99.100
Ta có: 
	..
Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:
G = +
Bài toán tổng quát: Tính tổng 1.2.3 + 2.3.4 +  + n (n+1)(n+2) (Với ) 
Giải: 
Ta có: 
	..
Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:
1.2.3 + 2.3.4 +  + n (n+1)(n+2) = 
Ta có công thức:
 (Với )
Dạng 3: Tính tổng các lũy thừa của số tự nhiên viết theo quy luật.
Ví dụ 1: Tính các tổng sau:
 a) A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210
 b) B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + ... + 3100
Phương pháp giải: Tổng trên là tổng của các lũy thừa có cùng cơ số, số mũ của các lũy thừa là các số tự nhiên được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Để giải bài toán này, ta nhân cả hai vế của biểu thức với cơ số của các lũy thừa, sau đó trừ từng vế của biểu thức mới cho biểu thức ban đầu rồi suy ra kết quả bài toán.
Giải: 
a) A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210
 2A = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 + 211 
2A – A = 211 – 1 
 A = 211 – 1 
b) B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + ... + 3100
 3B = 3 + 32 + 33 + 34 +... + 3100 + 3101
 3B – B = 3101 – 1 
 2B = 3101 – 1 
 B = 
Bài toán tổng quát: Tính tổng S = 1 + a + a2 + a3 +  + an (Với )
 Giải: Với cách làm như ví dụ 1, ta có:
a.S – S = an+1 – 1 
(a – 1)S = an+1 – 1 
Ta có công thức:
 (Với )
Ví dụ 2: Tính tổng 12 + 22 + 32 + 42 +  + 1002 
Phương pháp giải: Tổng trên là tổng của các lũy thừa có cùng số mũ, cơ số của các lũy thừa là các số tự nhiên liên tiếp. Để tính tổng này, tách ngay một thừa số trong mỗi số hạng làm xuất hiện các tổng khác mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được. 
Giải: 
 12 + 22 + 32 + 42 +  + 1002
 = 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + 4(3 + 1) +  + 100(99 + 1)
 = 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + 3.4 + 4 +  + 99.100 + 100
 = (1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 99.100) + ( 1 + 2 + 3 +  + 100)
 = 333300 + 5050
 = 338350
Bài toán tổng quát: Tính tổng 12 + 22 + 32 + 42 +  + n2 (Với ) 
 Giải: Với cách làm như ví dụ 2, ta có:
12 + 22 + 32 + 42 +  + n2 = (1 + 2 +3 +4 +  + n) +[1.2 + 2.3 + 3.4+  + (n–1)n]
 Ta có công thức tính tổng các bình phương của các số tự nhiên từ 1 đến n như sau:
 (Với )
Ví dụ 3: Tính tổng 13 + 23 + 33 +  + 1003
Giải: 13 + 23 + 33 +  + 1003
 = 13 – 1 + 23 – 2 + 33 – 3 ++ 1003 – 100 + ( 1 + 2 + 3 + + 100 )
 = 0 + 2( 22 – 1 ) + 3( 32 – 1 ) + + 100( 1002 – 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + + 100 )
 = (1.2.3 + 2.3.4 + + 99.100.101) + ( 1 + 2 + 3 +  + 100 )
 = 101989800 + 5050 = 101994850
Bài toán tổng quát: Tính tổng 13 + 23 + 33 +  + n3 (Với ) 
Giải: Với cách làm như ví dụ 2, ta có:
 13 + 23 + 33 +  + n3
 = 13 – 1 + 23 – 2 + 33 – 3 + 43 – 4 + 53 – 5 ++ n3 – n + ( 1 + 2 + 3 + + n )
 = 0 + 2( 22 – 1 ) + 3( 32 – 1 ) + 4( 42 – 1 ) + + n( n2 – 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + + n )
 = 0 + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + + (n – 1 )n( n + 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 +  + n )
Ta có công thức tính tổng các lập phương của các số tự nhiên từ 1 đến n như sau:
 (Với )
Ví dụ 4: Tính tổng 13 + 33 + 53 +  + 993
Phương pháp giải: Đây là tổng lập phương của các số lẻ liên tiếp. Muốn tính tổng trên ta lập một tổng là tổng các lập phương của các số tự nhiên liên tiếp rồi trừ đi phần cộng thêm.
Giải: 
13 + 33 + 53 +  + 993 = (13 + 23 + 33++ 993) - (23 + 43 + 63++983)
= (13 + 23 + 33++ 993) - 23(13 + 23 + 33 ++493)
=
 Bài toán tổng quát: Tính tổng (Với ) 
Giải: Với cách làm như ví dụ 4, ta có:
Ta có công thức tính tổng các lập phương của các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 2n + 1 như sau:
 (Với )
Dạng 4: Tính tổng của các phân số có mẫu là tích của hai số tự nhiên
Ví dụ 1: Tính tổng 
Giải: 
Với , ta có: 
Thay k lần lượt bằng 1; 2; 3; ; 2004 ta có:
= 
 .
= 
Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:
 = 
Bài toán tổng quát: Tính tổng (Với ) 
Giải: 
 = 
 Ta có công thức :
 (Với )
Ví dụ 2: Tính tổng 
 (Trích đề kiểm tra nghiệm thu lớp 6 huyện Krông Ana năm học 2011 - 2012)
Nhận xét: Tổng trên là tổng của các phân số có tử là 5, mẫu là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Do đó, nếu ta đặt 5 làm thừa số chung thì biểu thức trong ngoặc sẽ có dạng như ví dụ 1.
Giải: 
Ví dụ 3: Tính tổng 
Giải: 
Với , ta có: 
Thay k lần lượt bằng 1; 2; 3; ; 2003 và a = 2 ta có:
Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:
 = = 
Bài toán tổng quát: Tính tổng (Với , n lẻ) 
Giải: 
= = 
Ta có công thức :
 (Với )
Ví dụ 4: Tính tổng 
 (Trích đề kiểm tra nghiệm thu lớp 6 huyện Krông Ana năm học 2010 - 2011)
Giải: 
Thông qua ví dụ trên cần phải khắc phục cho học sinh sai lầm thường gặp: là sai
Cách khác:
Bài toán tổng quát: Tính tổng (Với , n lẻ) 
Giải: 
= = 
Ta có công thức :
 (Với )
Ví dụ 5: Tính tổng 
 (Trích đề kiểm tra nghiệm thu lớp 6 huyện Krông Ana năm học 2012 - 2013)
Giải: 
= 
Ví dụ 6: Tính tổng 
Giải: 
Bài toán tổng quát: Tính tổng (Với ) 
Giải: 
= 
Ta có công thức :
 (Với )
Ví dụ 7: Tính tổng 
Giải: 
Dạng 5: Tính tổng của các phân số có mẫu là tích của nhiều số tự nhiên 
 liên tiếp.
Phương pháp giải:
 Muốn tính tổng của các phân số có mẫu là tích của nhiều số tự nhiên liên tiếp, ta tiến hành như sau:
- Tách từng phân số thành hiệu của hai phân số theo các công thức tổng quát sau đây: (Với )
 (Với )
 (Với )
 (Với )
- Tiến hành rút gọn từng cặp số hạng đối nhau kể từ số hạng thứ hai đến số hạng kề cuối rồi tính ra kết quả.
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tính tổng 
Phương pháp tách: 
 .. 
Giải: 
 = +++
= ==
====
Bài toán tổng quát: Tính tổng (Với ) 
Giải: 
Ta có công thức :
 (Với )
Ví dụ 2: Tính tổng 
Phương pháp tách: 
 .. 
Giải: 
Bài toán tổng quát: Tính tổng (Với ) 
Giải: 
Ta có công thức :
 (Với )
Ví dụ 3: 
 Tính tổng 
Phương pháp tách: 
 .. 
Giải: 
Ví dụ 4: Tính tổng 
Giải: 
 = 
 = 
= = = = 
Dạng 6: Tính tổng của các phân số có mẫu là tích của nhiều số tự nhiên 
 cách đều, khoảng cách giữa hai thừa số lớn hơn 1.
 Muốn tính tổng của các phân số có mẫu là tích của nhiều số tự nhiên cách đều, khoảng cách giữa hai thừa số lớn hơn 1, ta tiến hành như sau:
- Tách từng phân số thành hiệu của hai phân số theo các công thức tổng quát sau đây: 
 (Với )
 (Với )
 (Với )
 (Với )
.
 (Với )
- Tiến hành rút gọn từng cặp số hạng đối nhau kể từ số hạng thứ hai đến số hạng kề cuối rồi tính ra kết quả.
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tính tổng 
Phương pháp tách: 
Giải:
Ví dụ 2: Tính tổng 
Phương pháp tách: 
Giải: 
Ví dụ 3: Tính tổng 
Phương pháp tách: 
Giải: 
c. Điều kiện để thực hiện giải pháp, biện pháp:
 Để thực hiện giải pháp, biện pháp như đã nêu trên phải đảm bảo những điều kiện sau:
 - Yêu cầu học sinh phải nắm thật chắc các kiến thức có liên quan đến bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật. Ghi nhớ được các dạng bài toán và phương pháp giải cho từng dạng.
 - Học sinh biết nhận dạng được từng bài toán cụ thể, từ đó lựa chọn phương pháp giải hợp lí.
 - Học sinh biết cách biến đổi từ một bài toán chưa biết cách giải về bài toán quen thuộc đã biết cách giải.
 - Học sinh biết trình bày bài giải một cách đầy đủ, chính xác và kh