Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số

ác dạng bài tập tìm GTNN, GTLN thường gặp	Trang 6
Phần III. Những bài học kinh nghiệm và kiến nghị sau quá trình 
thực hiện đề tài	Trang 23
Phần IV: Kết luận	Trang 24
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm 2013- 2014
PHẦN I: SƠ YẾU LÝ LỊCH
Họ và tên: Đỗ Thị Xuân
Ngày sinh: 10- 6- 1972
Năm vào ngành: 9/ 1993
Chức vụ: Tổ trưởng tổ khoa học tự nhiên
Đơn vị công tác: Đại học
Ngày vào Đảng: 01- 07- 1996
Nhiệm vụ được giao: Dạy toán lớp 9A1, 9A5
Thành tích: Năm học 2013- 2014: Lao động tiên tiến.
PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI
A. TÊN ĐỀ TÀI:
“Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số”
B. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Học toán là một cách tư duy sáng tạo về toán, đồng thời là một vấn đề trừ tượng và khá khó đối với học sinh, nhưng đó lại là điều rất cần thiết cho mỗi học sinh trong đó quá trình học toán ở trường THCS.
Trong môn toán trong trường THCS có rất nhiều bài toán chưa hoặc không có thuật toán để giải. Đối với những bài toán, phải cố gắng hướng dẫn cách học sinh suy nghĩ, tìm tòi lời giải. Nhiệm vụ khó khăn này đòi hỏi phải có nhiều thời gian và kinh nghiệm sư phạm, phải có long tận tâm và phương pháp đúng đắn. Đây là những cơ hội rất tốt để trang bị cho học sinh một số tri thức, phương pháp giải toán nhằm rèn luyện phát triển ở các em năng lực tư duy. Biết ra đề cho học sinh đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi mở sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng học sinh.
Để giải các bài toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức còn cần thiết phải có phương pháp suy nghĩ khoa học cùng với những kinh nghiệm cá nhân tích lũy được qua quá trình học tập, rèn luyện.
Mỗi bài toán trong thực tế cũng như những bài toán, bài tập trong học tập ta phải tìm một cách tiếp cận, một cách giải, nhiều khi phải trải qua nhiều cách thử giải ta mới chọn được một cách giải thích hợp nhất hoặc kết hợp nhiều cách giải cho một bài tập. Nhưng không ai cũng biết được hết cách giải các bài toán trong toán học, ngoài ra biết rồi còn phải áp dụng chúng như thế nào lại là một vấn đề khó. Nhằm cung cấp cách giải cho các dạng toán tìm cực trị của biểu thức đại số tôi tiến hành nghiên cứu đề tài “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số”.
Các bài toán về cực trị đại số ở cấp 2 có ý nghĩa rất quan trọng đối với học sinh ở bậc học này.
Để giải các bài toán cực trị đại số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số người làm toán phải sử dụng các biểu thức biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số phải biến đổi và sử dụng khá nhiều các dạng đơn giản đến phức tạp. Biết sử dụng một cách linh hoạt bất đẳng thức Côsi. Bởi thế, có thể nói các bài toán cực trị đại số ở cấp hai tạo ra khả năng giúp học sinh có điều kiện rèn luyện kĩ năng biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số.
C. PHẠM VI, THỜI GIAN THỰC HIỆN.
- Phạm vi: Học sinh lớp 9A1, 9A45
- Thời gian: 2 năm.
D. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI.
I. Tình hình thực tế trước khi thực hiện đề tài.
1. Đặc điểm tình hình:
- Thuận lợi:
+ Các em đều có ý thức học toán, muốn tìm tòi các dạng toán mới.
+ Có đầy đủ các loại sách tham khảo.
- Khó khăn: Dạng toán tìm cực trị đòi hỏi phải sử dụng các phép biến đổi khác nhau, các em khó phát hiện ra phương pháp giải. Chính vì vậy khi gặp dạng toán tìm cực trị các em rất lúng túng và dẫn tới chán nản.
2. Bảng điều tra bài kiểm tra 15’:
Lớp
Sĩ số
Điểm
0 -> 2,5
Điểm
3 -> 4,5
Điểm
5 -> 7,5
Điểm
8 -> 10
9A1
44
2
10
26
6
9A4
31
12
11
8
0
 II. Những nội dung biện pháp đã thực hiện:
1. Phương pháp chung khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
Nếu với mọi giá trị của biến thuộc khoảng xác định nào đó mà giá trị của A ≥ k (≤ k) và tồn tại giá trị biến để A = k thì k gọi là GTNN (GTLN) của biểu thức A ứng với giá trị của biến thuộc khoảng xác định trên.
Để tìm GTNN của biểu thức A ≥ k với k là hằng:
- Chứng minh rằng A ≥ k với k là hằng số.
- Chỉ ra trường hợp dấu “ = “ có thể xảy ra.
Min A là GTNN của A.
Để tìm GTLN của biểu thức A ta cần.
- Chứng minh rằng A ≤ k với k là hằng số.
- Chỉ ra trường hợp dấu “ = “ có thể xảy ra.
Max A là GTLN của A.
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x – 1)2 + (x – 3)2
Giải: 
Chú ý: (x – 1)2 ≥ 0(1) ; (x – 3)2 ≥ 0(2)
Nhưng không thể kết luận được giá trị nhỏ nhất của A bằng 0 vì không đồng thời xảy ra dấu đẳng thức ở (1) và (2)
Ta có: A = (x – 1)2 + (x - 3)2
 = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9
 = 2x2 – 8x + 10
 = 2(x2 – 4x + 5)
 = 2(x – 2)2 + 2
Vì (x – 2)2 ≥ 0 nên 2(x – 2)2 ≥ 0
Þ A ≥ 2
Do đó: A = 2 khi x – 2 = 0 ↔ x = 2
Vậy: Min A = 2 khi x = 2.
2. Các dạng bài tập tìm GTNN, GTLN thường gặp:
Dạng 1: 
Tìm GTNN, GTLN của tam thức bậc hai dạng ax2 + bx + c (a ≠ 0)
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của A= 3x2 - 30x + 88
Giải
ĐKXĐ: "x Î R
A = 3x2 - 30x + 88
A = 3(x2 - 10x) + 88
A = 3(x2 - 10x + 25) – 75 + 88
A = 3(x - 5)2 + 13
 Þ min A = 13 ↔ x = 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của B = - 7x2 + 12x – 3
Giải:
 ĐKXĐ: " x Î R
B = - 7(x2 - x) – 3
B= - 7(x2 - x + ) + - 3
B = - 7 
Þ Max B = Û x - Û x = 
Nhận xét: Qua hai ví dụ trên, muốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai dạng ax2 + bx + c (a ≠ 0), ta làm như sau:
+ Bước 1: Tìm ĐKXĐ
+ Bước 2: Nhóm các hạng tử chứa ẩn
+ Bước 3: Đặt hệ số a làm nhân tử chung
+ Bước 4: Thêm bớt vào trong ngoặc để bài toán trở thành bình phương một nhị thức và một hạng tử tự do
+ Bước 5: Dựa vào “ phương pháp chung” kết luận GTNN, GTLN
* Tổng quát: Cho tam thức bậc hai: P = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
Giải:
P = ax2 + bx +c = a(x2+ x) + c = a 
Đặt k = c - 
Do ≥ 0 nên:
Nếu a ≥ 0 thì a ≥ 0 Þ P ≥ k
Do đó Min P = k khi = 0 Û x = - 
Nếu a ≤ 0 thì a ≤ 0 Þ P ≤ k	
Do đó Max P = k khi = 0 Û x = -
Dạng 2: Đặt ẩn phụ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x(x – 3)(x - 4)(x - 7)
Giải:
ĐKXĐ: "x ÎR
Ta có: A = x(x – 3)(x - 4)(x - 7) = (x2 – 7x)( x2 – 7x + 12)
Đặt t = x2 – 7x + 6
Nên: x2 – 7x = t – 6 và x2 – 7x + 12 = t + 6
Do đó: A = (t - 6)(t + 6) = t2 – 36 ≥ - 36
Vậy Min A = - 36 Khi t = 0 ↔ x2 – 7x + 6 = 0
 ↔ x = 1 hoặc x = 6
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất
B = 2x – 
Giải
ĐKXĐ: x – 3 ≥ 0 Û x ≥ 3
Đặt t = (t ≥ 0)
Ta có: t2 = x – 3
Û x = t2 + 3
Do đó B = 2(t2 + 3) – t
B = 2t2 – t + 6
B = 2 
B = 2 
Vậy max B= Û t - = 0 Û t = Û t2 = 
ó: x – 3 = Û x = (thỏa mãn)
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của C = y4 – 6y2 – 7
Giải
Đặt y2 = x ≥ 0
Vậy C = x2 – 6x – 7
 = (x2 – 6x + 9) – 9 – 7
 = (x – 3)2 – 16 ≥ - 16
Vậy min C = - 16 khi x – 3 = 0 Û x =3 (thỏa mãn)
Do đó y2 = 3 Û y = ± 
Tổng quát: Muốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các dạng đa thức đặc biệt ta có thể đặt ẩn phụ bằng cách thực hiện các bước sau:
+ Bước 1: Tìm điều kiện xác định
+ Bước 2: Tìm mối lien hệ đặt ẩn phụ và đặc biệt chú ý điều kiện của ẩn phụ.
+ Bước 3: Đưa về dạng tam thức bậc hai ax2 + bx + c (a ≠ 0) rồi tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức.
+ Bước 4: Kết luận (chú ý các điều kiện xảy ra dấu “ = ”)
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số có dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (3x – 1)2 - 4│3x - 1│+ 5
Giải:
Đặt │3x - 1│= y (y ≥ 0) thì A = (3x – 1)2 - 4│3x - 1│+ 5 = y2 – 4y +5
	 = (y – 2)2 +1 ≥ 1
Vậy Min A = 1 Khi y = 2 (Thỏa điều kiện)
Do đó: │3x - 1│= 2 ↔ x = 1 hoặc x = - 
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = │x - 2│+ │x - 3│
Giải:
* Xét khoảng x < 2 Thì B = 2 – x + 3 – x = 5 – 2x
Do x - 4 
Do đó 5 – 2x > 5 – 4
Vậy B > 1 (1)
* Xét đoạn 2 ≤ x ≤ 3 thì B = x – 2 + 3 – x = 1 (2)
* Xét khoảng x > 3 thì B = x – 2 + x – 3 = 2x – 5 
Do x > 3 nên 2x > 6 Do đó 2x – 5 > 6 – 5
Vậy B > 1 (3)
So sánh (1), (2), (3) ta được Min B = 1 khi 2 ≤ x ≤ 3
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = |x – 2y + 1| + |x – 2y|
Giải
Ta có C = |x – 2y + 1| + |x – 2y|
= |x – 2y + 1| + |2y – x| ≥ |x – 2y + 1 + 2y – x | = 1
Do đó Min C = 1 khi (x – 2y + 1)(2y – x) ≥ 0 Û 2y – 1 ≤ x ≤ 2y
Nhận xét: Qua các Ví dụ trên, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số có dấu giá trị tuyệt đối ta có thể làm như sau:
Khử dấu giá trị tuyệt đối hoặc sử dụng các tính chất của dấu giá trị tuyệt đối.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số dựa vào “Phương pháp chung”.
Dạng 4: Tim giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức bậc cao dạng 
P = ax4 + bx3 + cx2 + dx + c (a.c >0)
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của
B = - x4 + 4x3 – 5x2 + 4x – 4
Giải
B = - x4 + 4x3 – 5x2 + 4x – 4
 = - x2 (x2 – 4x + 4) + 4x2 – 5x2 + 4x – 4
 = - x2 (x-2)2 – (x2 – 4x + 4)
 = - x2 (x – 2)2 - (x – 2)2 £ 0 "x
Vậy Max B = 0 Û x (x – 2) = 0 Û x = 2
x – 2 = 0
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của
A = x4 + 2x3 + 2x2 + 2x – 8
Giải
A = x4 + 2x3 + 2x2 + 2x – 8
 = x2 (x2 + 2x + 1) – x2 + 2x2 + 2x + 1 – 9
 = x2 (x+1)2 – (x + 1)2 – 9 ³ - 9 " x
Vậy Min A = -9 Û 
Nhận xét:
Muốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức bậc cao dạng:
P = ax4 + bx3 + cx2 + dx + c (a.c >0) ta làm như sau:
Bước 1: Biến đổi
P = 
= 
= 
Ta đặt = k (với a, k >0)
= 
= 
Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P
Bước 3: Kết luận (chú ý điều kiện xảy ra dấu “=”)
Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai.
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của A = 
Giải
6x + 5 + 9x2 = (3x – 1)2 + 4 ≥ 4 > 0 "x
Þ 
Þ A = ≤ 
Þ Max A = Û x = 
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của B = 
Giải
Ta có – x2 + 4x – 6 = - (x2 – 4x) – 6
= - (x – 2)2 – 2 ≤ - 2 < 0
Þ 
Þ 
Þ ≥ - 3
Vậy Min B = -3 khi x = 2
Chú ý: Với hai số cùng dấu a và b (a, b ≠ 0)
a ≤ b Þ 
a ≥ b Þ 
Giải ví dụ trê là ta đã sử dụng tính chất này
(3x – 1)2 + 4 ≥ 4 > 0
Þ 
Ở ví dụ dạng này nhiều học sinh hay mắc phải sai lầm khi lập luận khẳng định “A có tử số không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất”
Sai vì: Chưa được đưa ra nhận xét tử và mẫu là các số dương
Ta lấy ví dụ:
Xét biểu thức B = nên lập luận như trên B có tử không đổi nên B lớn nhất khi x2 – 4 đạt Min (bằng – 4) Û x = 0
Tức là giá trị lớn nhất của B = Û x = 0. Kết quả này không đúng, - không phải là giá trị lớn nhất của B
(Chẳng hạn x = - 3 Þ B = )
Nhận xét: Muốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có tử là hằng số, mẫu số là tam thức bậc hai ta làm như sau:
Bước 1: Xét mẫu thức, biến đổi mẫu thức trở về dạng bình phương một nhị thức và một hạng tử tự do.
Bước 2: Dựa vào bất đẳng thức
a.b > 0 Nếu a ≥ b Þ 
 Nếu a ≤ b Þ 
Bước 3: Kết luận
Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một số phân thức dạng khác
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
C = 
Giải:
* Tìm giá trị lớn nhất:
ĐKXĐ	| x | ≤ 1
Ta có: ≤ 1
Þ 3 - ≥ 2 > 0
Þ 
Vậy max C = Û x = 0
* Tìm giá trị nhỏ nhất
Ta có 	0 ≤ ≤ 1
Þ 2 ≤ 3 - ≤ 3
Þ 
Vậy min C = với x ± 1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:
B = 
Giải
ĐKXĐ: " x
Ta có B = = 
 = " x
Vậy B min = -1 Û x = 2
Ta có 
B = = 4 - 
 = 4 - " x
Vậy B max = 4 Û x = 
Dạng 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức biết quan hệ giữa các biến:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của
A = x3 + y3 + xy biết x + y = 1
Giải:
Ta có:
A = x3 + y3 + xy
 = (x + y) (x2 – xy + y2) + xy
 = x2 – xy + y2 + xy (do x + y = 1)
 = x2 + y2
Mà x + y = 1 Þ x = 1 – y
Þ x2 = (1-y)2 = 1 – 2y + y2
Thay vào biểu thức A
Ta được A = (1 – 2y + y2) + y2
= 2y2 – 2y + 1
= 2 (y - )2 + ≥ 
Ví dụ 2: Cho a + 2b = 1
Tìm giá trị lớn nhất của tích a . b ¿
Giải
Có a + 2b = 1 Þ a = 1 – 2b
Do đó: P = ab = (1 – 2b) . b
 = - 2b2 + b = - 2 
Vậy MaxP = Û b = ; a = 
* Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = a3 + b3 + c3
Biết a ≥ - 1 ; b ≥ - 1 ; c ≥ - 1 và a + b + c = 0
Giải:
 Ta tìm liên hệ giữa a3 + b3 + c3 và a + b + c
Ta có: a3 + 1 = (a + 1) (a2 – a + 1) = (a + 1) (a2 – a + ) + (a + 1)
Do đó: a3 + với a ≥ - 1
Tương tự: 
Do đó: a3 + b3 + c3 - ( a + b + c) + ≥ 0
Þ A = a3 + b3 + c3 ≥ - 
	 a = - 1 hoặc a = 
 « 	b = - 1 hoặc b = 
c = - 1 hoặc c = 
a + b + c = 0
Vậy min A = - Û trong a, b, c có 2 số bằng 
Và 1 số = - 1
Dạng 8: Vận dụng bất đẳng thức Cô si để tìm cực trị.
Bất đẳng thức Cô si: Với a ≥ 0; b ³ 0 thì a + b ³ 2
Dấu “=” xảy ra Û a = b
Bất đẳng thức còn được mở rộng với số n không âm
Với a1 ; a2 ... an ³ 0 thì a1 + a2 + ... + an ≥ n
Dấu “=” xảy ra Û a1 = a2 = .... = an
* Nếu ab = k không đổi thì Min(a + b) = a Û a = b
* Nếu a + b = k không đổi thì Max(ab) = Û a = b
Ví dụ 1:
Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 
Giải
Vì x > 0, y > 0 nên > 0, > 0, > 0, > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cô si với 2 số dương ; 
Ta được 
Þ 
Áp dụng bất đẳng thức Cô si với 2 số dương và ta được:
A = + ³ 2 
Þ Min A = 4 Û x = y = 4
Nhận xét về phương pháp giải:
Trong thí dụ trên ta đã vận dụng bất đẳng thức Cô si theo 2 chiều ngược nhau. Lần thứ nhất ta đã “làm trội” bằng cách vận dụng để dùng điều kiện tổng từ đó ta được 
Lần thứ hai ta “làm giảm” tổng () vận dụng bất đẳng thức Cô si theo chiều a + b ³ 2 để dùng kết quả ³ 4
Trong quá trình giải các bài toán thì nhiều bài ta không thể áp dụng ngay bất đẳng thức Cô si mà có khi phải biến đổi các biểu thức sau đó mới áp dụng bất đẳng thức Cô si.
Biện pháp 1: Tìm cực trị của 1 biểu thức ta dựa vào tìm cực trị của bình phương biểu thức đó.
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 
Giải:
ĐKXĐ: 
A2 = (3x – 5) + 7 – 3x + 2
A2 ≤ 2 + (3x – 5 + 7 – 3x) = 4 dấu “=” xảy ra 
Û 3x – 5 = 7 – 3x Û x = 2
Vậy Max A2 = 4 => MaxA = 2 Û x = 2
Biện pháp 2: Nhân và chia cùng 1 biểu thức số khác 0
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của A = 
Giải
ĐKXĐ: x ³ 9
A = = 
Þ A dấu “=” xảy ra Û = 3 Û x = 18
Vậy Max A = Û x = 18
Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức đã cho thành 1 tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là 1 hằng số.
1. Tách 1 hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau.
Ví dụ 4: Cho x > 0 Tìm giá trị lớn nhất của A = 
Giải
A = = 3x + = x + x + x + 
Þ A ³ = 8
A ³ 8 dấu “=” xảy ra Û x = Û x = 2
2. Tách 1 hạng tử chứa biến thành tổng của 1 hằng số với 1 hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của 1 hạng tử khác có trong biểu thức đã cho.
VD: Cho 0 < x < 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = 
Giải
A = + 1
A ≥ 2 + 1 = 7
Dấu “=” xảy ra Û Û x = 
Vậy Min A = 7 Û x = 
Biện pháp 4: 
Thêm 1 hạng tử vào biểu thức đã cho
Ví dụ: Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn x + y + z = 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô si đối với 2 số dương và 
Ta được + ³ 2 = x(1)
Tương tự ≥ y(2)
≥ z (3)
Vậy + ≥ x + y + z
P ≥ (x + y + z) - = 1
Dấu “=” xảy ra Û x = y = z = 
Nhận xét về phương pháp giải
Ta đã thêm vào để khi vận dụng bất đẳng thức Cô si có thể khử được
 (y + z)
Cũng như vậy đối với hạng tử thứ 2 và thứ 3 dấu “=” xảy ra đồng thời trong (1); (2); (3) Û x = y = z = 
Nếu ta lần lượt thêm (y + z); (z + x) vào; ; ta cũng khử được giá trị của x; y; z để dấu đẳng thức xảy ra đồng thời. Do đó không tìm được giá trị nhỏ nhất của P.
Dạng 9: Chia khoảng để tìm cực trị
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của A = x2 (3 – x) với x ≥ 0
Giải
a. Xét 0 ≤ x ≤ 3 ta có A = 4(3 – x)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số không âm ; ; 3 – x ta được
(3 – x) ≤ = 1 Do đó A ≤ 4 (1)
b. Xét x > 3 khi đó A < 0 (2)
So sánh (1) và (2) Þ Max A = 4 Û Û x = 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 (2-x) với £ 4
Giải
a. Với x < 2 Þ A 0
b. Với 2 £ x £ 4
Xét – A = x2 (x – 2)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số âm
- £ 8
- A £ 32 Þ A ≥ - 32
Min A = - 32 Û x = 4 
Dạng 10: Dùng đồ thị để tìm cực trị
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
Y = |x – 1| + | x – 3| - |2x + 2| với – 2 £ x £ 4
Giải
Xét giá trị của y ứng với từng khoảng giá trị của x
* Với – 2 £ x £ - 1 Þ y = (1 – x) + (3 – x) – (-2x – 2) = 6
* Với – 1 £ x £ 1 Þ y = ( 1 – x) + ( 3 – x) – (2x + 2) = - 4x + 2
* Với 1 < x < 3 Þ y = (x – 1) + (3 – x) – (2x – 2) = - 2x
* Với 3 £ x £ 4 Þ y = (x – 1) + (x – 3) – (2x + 2) = - 6
Trên hình vẽ biểu thị đồ thị hàm số:
y = |x – 1| + | x – 3| - |2x + 2|
với – 2 £ x £ 4
Max y = 6 Û – 2 £ x £ -1
Min y = - 6 Û 3 £ x £ 4
Nhìn vào đồ thị ta thấy được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
3. Những sai lầm thường gặp trong khi giải toán cực trị
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của
A = xyz (x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z là các số không âm và x + y + z = 1
Lời giải sai:
Áp dụng bất đẳng thức
4ab £ (a + b)2
Ta có
4 (x + y). z £ (x + y + z)2 = 1
4(y+z).x £ (y + z + x)2 = 1
4(z + x).y £ (z + x + y)2 = 1
Nhân từng vế do 2 vế không âm được
64xyz (x +y)(y + z)(z + x) ≤ 1
Vậy Max A = 
Phân tích sai lầm: Sai lầm ở chỗ chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra đẳng thức. Điều kiện để A = là:
 (mâu thuẫn)
* Cách giải đúng:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số không âm 1 = x + y + z ≥ (1)
2 = (x + y)(y + z)(z + x) ≥ 	(2)
Nhân từng vế (1) và (2) 	 (do 2 vế không âm) có:
2 ≥ 9 Þ A ≤ 
Max A = Û x = y = z = 
Ví dụ 2: Cho 2 số dương x, y thỏa mãn x + y = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M = 
(Đề thi chọn học sinh giỏi huyện lớp 9 năm học 2013 – 2014)
* Lời giải sai:
M = = x2y2 + + 2
Vì x2, y2 > 0
Áp dụng bất đẳng thức cô si
x2y2 + ≥ 2
Þ M ≥ 4
Phân tích sai lầm: Sai lầm ở chỗ chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra đẳng thức. Điều kiện để M = 4 là Þ (không thỏa mãn)
* Cách giải đúng:
M = x2y2 + 1 + 1 + = 
 = 
Có = 
Có 	(1)
 Þ xy ≤ Þ ³ 4
Þ Þ 	(2)
Từ (1) và (2) Þ 
M = 
Dấu “=” xảy ra Û (vì x, y >0)
Vậy Min M = tại x = y = 
Ví dụ 3: Cho a > b, b > 0, và a + 
Tìm Min A = 
(Đề thi HSG huyện năm 2010 – 2011)
* Lời giải sai một số em hay gặp
A = ³ (áp dung BĐT Cô si)
A ³ 2 Þ Min A = 2
Dấu “=” xảy ra Û Þ a2 – a + 1 £ 0 (vô lí)
* Cách giải đúng:
 a + Þ ≥ 4
A = = 
Có 
Þ A ≥ 
Vậy Min A = Û a = , b = 2.
Trên đây là một số biện pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất tôi đã áp dụng trong năm học qua,
Kết quả sau khi thực hiện đề tài tôi thấy đa số các em đã biết vận dụng các phương pháp để giải các bài tập, các em đã cảm thấy vững tin hơn khi giải bài toán cực trị.
Kết quả:
Lớp
Sĩ số
Yếu
TB
Khá
Giỏi
9A1
Đầu năm
44
12
11
15
7
9A1
Cuối năm
44
0
5
15
24
Lớp
Sĩ số
Yếu
TB
Khá
Giỏi
9A5
Đầu năm
31
23
7
1
0
9A5
Cuối năm
31
8
7
8
8
9A1
Đầu năm
44
12
11
15
6
9A1
Cuối năm
45
0
0
14
30
Trong kỳ thi học sinh giỏi Huyện có 8 em đạt danh hiệu học sinh giỏi môn Toán.
* Điều kiện áp dụng:
- Dùng cho học sinh có học lực từ trung bình khá trở lên.
- Dành cho chương trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
- Với học sinh giỏi cần có những bài tập khó để phát huy tính sáng tạo của học sinh.
- Tùy theo đối tượng học sinh mà giáo viên đưa ra từng dạng bài tập nhiều hay ít.
PHẦN III:
NHỮNG BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ KIẾN NGHỊ SAU QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI.
Dạy học vừa là khoa học vừa là nghệ thuật. Người dạy không chỉ là thầy của những con tim đầy nhiệt huyết mà còn là thầy của bộ óc trí tuệ khao khát khoa học. Vì vậy để nâng cao hiệu quả giảng dạy người dạy phải:
- Nghiên cứu kỹ sách giáo khoa, chuẩn bị tốt chương trình giảng dạy đổi mới phương pháp nghiên cứu và giảng dạy.
- Hệ thống bài tập phải được chọn lọc, sắp xếp theo 1 trình tự, có lôgic từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp và qua mỗi hệ thống bài tập giáo viên phải khái quát hóa cách giảng bài tập đó.
- Dạy theo chuyên đề.
- Cần tạo ra không khí sôi nổi, tích cực làm việc, người dạy phải chú ý tới mức độ tiếp thu và kỹ năng trình bày của từng học sinh.
* Để học sinh có tính tích cực học hơn cần tăng cường tài liệu, sách tham khảo, băng hình tiết dạy mẫu về đổi mới phương pháp dạy.
- Cung cấp đồ dùng dạy học đẩy đủ, kịp thời.
PHẦN IV: KẾT LUẬN
Trên đây là một vài kinh nghiệm, ý kiến của riêng tôi trong việc hướng dẫn học sinh tìm cực trị của biểu thức đại số dạng tam thức bậc hai, chứa căn nhằm cho học sinh nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt vào bài tập liên quan cũng như các bài toán khác.
Song, không thế tránh những thiếu sót, nên tôi rất mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp ... để tôi rút kinh nghiệm và tiếp tục nghiên cứu tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn