Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở

nh hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số 
Cho (P) : 2xy a= ( );d y mx n= + 
Để giải quyết các bài toán về số giao điểm của (P) và (d) ta thường thực hiện theo 
các bước sau : 
- Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) : 
2 2x ax 0 (*)a mx n mx n= +  − − = 
- Số nghiệm phương trình (*) chính là số giao điểm của (P) và (d) : 
 (*) có 2 nghiệm phân biệt  (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 
 (*) có nghiệm kép  (d) tiếp xúc với (P). 
 (*) vô nghiệm  (d) và (P) không có điểm chung. 
- Mối quan hệ giữa hoành độ giao điểm chính là mối quan hệ giữa 2 nghiệm của 
phương trình (*). 
3. Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol 
3.1 Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và parabol. 
Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d): 
a) (P): y = x2 và (d): y=-x+2 
b) (P): y = -x2 và (d): y=4x+4 
Giải: 
a) (P): y = x2 và (d): y=-x+2 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở 
 7 
x2=-x+2  x2 + x - 2=0 
Giải phương trình ta có x=1; x = -2 
x=1  y = 1 A(1;1); x=-2  y = 4 B(-2;4) 
Vậy d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(1;1); B(-2;4) 
b) (P): y = -x2 và (d): y=4x+4 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 
-x2=4x+4  x2 + 4x +4=0 
Giải phương trình ta có nghiệm kép x1=x2=-2 
x=-2  y = -4 M(-2;-4) 
Vậy d tiếp xúc với (P). Tiếp điểm là M(-2;-4) 
Ví dụ 2:(Trích trong Đề thi vào môn Toán vào lớp 10 Hà Nội, năm học 2014-
2015) 
Cho d: y = - x + 6 và (P): y=x2. 
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P). 
b) Gọi giao điểm là A và B. Tính diện tích tam giác OAB. 
Giải: 
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P). 
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của d và (P): 
( )( )2
2
6 0 2 3 0
3
x
x x x x
x
=
+ − =  − + =   = −
Với x = 2 , y = 4 
Với x= -3, y = 9 
Ta có tọa độ giao điểm của d và (P) là A(2;4); B(-3;9) 
b) Tính diện tích tam giác OAB: 
Kẻ AH và BK vuông góc với Ox. 
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở 
 8 
14
12
10
8
6
4
2
-2
-10 -5 5 10 15 20x
y
B
A
K H
B
O
A
1
Ta có SAOB=SABKH-SOAH-SOBK=[(4+9).5]:2-(2.4):2-(3.9):2=15 (đvdt) 
3.2 Dạng 2: Số giao điểm của đường thẳng và parabol 
Ví dụ 1: Cho (P): y = -x2 và (d): y = x + m - 3 
a) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 
b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm. 
Giải. 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 
-x2=x+m-3  x2 + x + m - 3=0 (*) 
a) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt 
  >0  1 - 4(m-3)>0  m<13/4 
b) (d) tiếp xúc với (P)  (*) có nghiệm kép 
  =0  1 - 4(m-3)=0  m=13/4 
 (*) có nghệm kép là x1=x2= -1/2  y = -1/4 
Tiếp điểm là M(-1/2;-1/4) 
Ví dụ 2: Cho (P) y = -x2 và (d): y = 2(m-1)x - (m+4) 
Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 
Giải. 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 
-x2=2(m-1)x - (m+4) x2 +2(m-1)x - (m+4)=0 (*) 
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở 
 9 
2
2 2 1 19( 1) 4 5 0
2 4
m m m m m m
 
 = − + + = − + = − +   
 
 (*) luôn có hai nghiệm phân biệt  (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 
Ví dụ 3: Cho (P) y = x2. Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết: 
a) Tiếp tuyến song song với (d) y = x - 5 
b) Tiếp tuyến đi qua A(1;-3) 
Giải 
a) Gọi (d') y = x + m (m-5) song song với (d) y = x-5 . 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d') và (P): 
x2=x +m  x2 - x - m=0 (*) 
(d') tiếp xúc với (P) (*) có nghiệm kép 
  =0  1 + 4m=0  m=-1/4 (tmđk) 
 Vậy (d')" y = x -1/4 
b) Gọi (d'') y = ax + b là tiếp tuyến của (P). 
+) A(1;-3)  (d")  a+ b = -3  b = -3-a  (d"): y = ax - 3 - a. 
+) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d") và (P): 
x2=ax -3-a  x2 - ax +a + 3=0 (*) 
(d') tiếp xúc với (P) (*) có nghiệm kép 
20 4 12 0a a =  − − = 
Giải pt ta được a = 6; a = -2 
Vậy qua A(1;-3) có hai tiếp tuyến với (P) là (d") y = 6x-9; (d'"): y = -2x-1 
3.3 Dạng 3: Đường thẳng cắt parabol thỏa mãn các điều kiện về tọa độ giao 
điểm; vị trí giao điểm 
Ví dụ 1. (Trích trong Đề thi vào môn Toán vào lớp 10 Hà Nội, năm học 2011-
2012) 
 Cho (P) y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x- m2+9 
1) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 1 
2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía trục 
tung. 
Giải 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 
2 2 2 22 9 2 9 0 (1)x x m x x m= − +  − + − = 
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở 
 10 
1) Với m = 1, tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) 
Phương trình (1): 
2x 2x 8 0
Δ' 9
− − =
=
Phương trình có hai nghiệm x1=-2  y1 = (-2)2 = 4 A(-2;4) 
x2=4  y1 = 42 = 16 B(4;16) 
2) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía trục tung  (1) có hai 
nghiệm phân biệt trái dấu  1.(m2-9)<0 -3<m<3 
Ví dụ 2. Cho (P): 2y x= và d: 2( 1) 2 1= + − −y m x m 
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi 
1
2
m = (0,75 điểm) 
b) Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía trục tung và 
cách đều trục tung (0,5 điểm). 
Giải. 
Phương trình hoành độ giao điểm 2 2( 1) 2 1 0− + + + =x m x m (*) 
a) Khi 
1
2
m = , ta có phương trình 2 3 2 0− + =x x 
Giải phương trình tìm được x1=1; x2=2 
Tìm được giao điểm A(1;1); B(2;4) 
b) Yêu cầu bài toán  (*) có hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm bằng 0 
1
2 1 0
12
2( 1) 0
1
m m
m
m
m
−
+   
   = − 
+ =  = −
Ví dụ 3. (Trích trong Đề thi vào môn Toán vào lớp 10 Hà Nội, năm học 2014-
2015) 
Cho Parabol (P): 
2y x= − và đường thẳng (d) y = mx - 1 
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) 
tại hai điểm phân biệt. 
2) Gọi x1 và x2 lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). 
Tìm giá trị của m để 2 2
1 2 2 1 1 2
. . . 3x x x x x x+ − = 
Giải. 
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) 
tại hai điểm phân biệt. 
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở 
 11 
Toạ độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của hệ phương trình: 
2 22
2 2
x mx 1 x mx 1 0 (*)y x
y mx 1 y x y x
− = − + − = = −
   
= − = − = −  
Xét phương trình (*): 2 1 0 (*)x mx+ − = 
Ta có 
2m 4 = + 
 2 20 4 4 0 0m m m m m   +        
 Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m 
 (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m 
2) Gọi x1 và x2 lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). 
Tìm giá trị của m để 2 2
1 2 2 1 1 2
x .x x .x x .x 3+ − = 
Vì (*) luôn có hai nghiệm phân biệt nên áp dụng hệ thức Vi-et cho (*) ta có: 
1 2
1 2
(**)
. 1
x x m
x x
+ = −

= −
( )2 21 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2x .x x .x x .x 3 x .x x x x .x 3 (***)+ − =  + − = 
Thay (**) vào (***) ta có: ( )1. ( 1) 3 2m m− − − − =  = 
Ví dụ 4. (Trích trong Đề thi vào 10 Hà Nội năm học 2016-2017) 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y=3x + m2 – 1 và parabol (P): 
y= x2. 
a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m. 
b) Gọi x1; x2 là hoành độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để 
( ) ( )1 21 . 1 1x x+ + = 
Giải 
a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 
2 2
2 2
3 1
3 1 0(*)
x x m
x x m
= + −
 − − + =
( )2 2 2( 3) 4.1. 1 4 5m m = − − − + = + 
2 20 4 5 0
0
m m m m
m
   +  
   
 Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m 
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở 
 12 
 (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m. 
b) Gọi x1; x2 là hoành độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để 
( ) ( )1 21 . 1 1x x+ + = 
Ta có ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 21 . 1 1 0(**)x x x x x x+ + =  + + = 
Áp dụng hệ thức Vi-et cho (*): 
1 2
2
1 2
3
1
x x
x x m
+ =

= − +
2 2(**) 1 3 0 4 2m m m− + + =  =  =  
Vậy 2m =  
Ví dụ 5. Cho (P): 2y x= và d: 2 2 1y mx m= − + 
 a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m = 2. 
 b) Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt ( ) ( )1 1 2 2H x ;y ;K x ;y sao cho 
1 2
10y y+ = 
Giải. 
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m = 2. 
Khi m = 2, ta có phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: 
2x 4x 3 0− + = 
Gpt ta được: x1=1 y1=1A(1;1) 
x2=3 y2=9B(3;9) 
b) Xét pt hoành độ giao điểm của d và (P): 
2 2 2 1 0x mx m− + − = (*) 
*) d cắt (P) tại hai điểm phân biệt  (*) có 2 nghiệm pbm1 
*) ( )
22 2
1 2 1 2 1 2 1 2y y 10 x x 10 x x 2x .x 10 0+ =  + =  + − − = (**) 
Áp dụng hệ thức Vi-et cho pt (*) ta có 
1 2
1 2
2
. 2 1
x x m
x x m
+ =

= −
2
m 1
(**) 4m 4m 8 0 (tmdk)
m 2
= −
 − − =   =
Ví dụ 6. Cho Parabol (P): 2y x= và đường thẳng d: ( ) 22 3 7y m x m= − − + . 
 a) Khi m=2. Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) 
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở 
 13 
 b) Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt C(x1;y1); D(x2;y2) 
thỏa mãn: y1+ y2 = x1.x2 + 57 
Giải 
a) Khi m=2. Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 
( ) ( )2 2 2 22 3 7 2 3 7 0(*)x m x m x m x m= − − +  − − + − = 
Khi m=2 pt (*)  2 2 3 0x x+ − = 
Giải được nghiệm 
1 2
1; 3x x= = − . 
Vậy toạ độ giao điểm của (d) và (P) là: A(1;1) B(-3;9) 
b) Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt C(x1;y1); D(x2;y2) thỏa 
mãn: y1+ y2 = x1.x2 + 57 
+) (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt 
 ' >0  
8
3
m  
+) ( )
22 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
. 57 . 57 3 . 57y y x x x x x x x x x x+ = +  + = +  + − = (**) 
Áp dụng hệ thức Vi-et cho pt (*) ta có x1+x2=2(m-3); x1.x2=m2-7 
( )
2 2 2(**) 4 3 3( 7) 57 24 0
0( )
24( )
m m m m
m tmdk
m loai
 − − − =  − =
=
  =
Vậy m = 0 
Ví dụ 7. Cho Parabol (P): 2y x= và đường thẳng (d): ( )2 1 2y m x m= + − . 
a) Khi m=1. Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) 
b) Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt P(x1;y1); Q(x2;y2) sao cho 
1 2 1 2
T y y x x= + − nhỏ nhất 
Giải. 
a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 
( ) ( )2 22 1 2 2 1 2 0(*)x m x m x m x m= + −  − + + = 
(*)  ( )2 2 1 2 0x m x m− + + = 
Khi m=1 pt  2 3 2 0x x− + = 
Giải được nghiệm 1 21; 2x x= = . 
Vậy toạ độ giao điểm của (d) và (P) là: A(1;1) B(2;4) 
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở 
 14 
b) +) (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt 
  >0  m 0,5 
+) Ta có 
( )
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2
3
T y y x x x x x x
T x x x x
= + − = + −
= + −
Áp dụng hệ thức Viet cho (*) 
1 2
1 2
2 1
2
x x m
x x m
+ = +

=
( )
2
2
2
2 1 3.2
1 3
4 2 1 2
2 4
T m m
T m m m
= + −
 
= − + = − + 
 
Lập luận dấn đến Tmin= ¾ khi m = ¼. 
Ví dụ 8. (Trích trong Đề thi môn Toán vào lớp 10 Hà Nội, năm học 2013-2014) 
Cho parabol (P): 2
1
2
y x= và d: 2
1
1
2
y mx m m= − + + 
a) Với m = 1 xác định tọa độ giao điểm A, B của d và (P) 
b) Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 sao cho 1 2 2x x− = 
Giải 
a) Với m = 1 ta có d: 
3
2
y x= + . 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 
= +  − − =2 2
1 3
2 3 0 (1)
2 2
x x x x 
Giải pt (1) ta có x=-1; x= 3. Từ đó tìm được 
1 9
1; ; 3;
2 2
A B
   
−   
   
b) Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 sao cho 1 2 2x x− = 
Xét: 2 22 2 2 0x mx m m− + − − = (*) 
*) d cắt (P) tại hai điểm pt khi (*) có 2 nghiệm phân biệt ' 0 1m    − 
*) ( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 4 4 4x x x x x x x x− =  − =  + − = (**) 
Áp dụng hệ thức Vi-et cho (*) 
1 2
2
1 2
2
2 2
x x m
x x m m
+ =

= − −
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở 
 15 
(**) ( ) ( )
2 2 12 4 2 2 4
2
m m m m
−
− − − =  = (tmđk) 
Vậy 
1
2
m
−
= 
Ví dụ 9. Cho 2( ) : ;(d) : 2( 1) 2 1P y x y m x m= − = − + + + . Tìm m để (d) cắt (P) tại hai 
điểm phân biệt có hoành độ giao điểm đều lớn hơn -1 
Giải: 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d') và (P): 
2 2( 1) 2 1 0x m x m− + + + = (*) 
 (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ giao điểm đều lớn hơn -1  phương 
trình (*) có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn -1 
+) Pt có 2 nghiệm pb  2' 0 0 0m m      
+) Vì a + b + c = 0, nên theo hệ thức Vi-et, pt đã cho có 2 nghiệm pb: 
1 2
x 1;x 2m 1= = + 
Để 2 nghiệm của pt đều lớn hơn -1 2 1 1 1m m +  −   − 
Kết hợp điều kiện: 
m 1
m 0
 −


Ví dụ 10. Cho Parabol (P): 2y x= và đường thẳng (d): ( )2 1 2y m x m= + − . 
a) Khi m=1. Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) 
b) Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt trong đó có một điểm có 
hoành độ nhỏ hơn 1. 
Giải 
a) Xét pt hoành độ giao điểm của (d) và (P): ( )2 2 1 2 0x m x m− + + = 
Khi m=1 pt  2 3 2 0x x− + = 
Giải được nghiệm 1 21; 2x x= = . 
Vậy toạ độ giao điểm của (d) và (P) là: A(1;1) B(2;4) 
b) +) (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt 
  >0  m 0,5 
Từ (*) chỉ ra được hai nghiệm của pt là: x= 1 và x = 2m 
+) Để để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt trong đó có một điểm có hoành 
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở 
 16 
độ nhỏ hơn 1  (*) có hai nghiệm phân biệt và có một nghiệm nhỏ hơn 1  x = 
2m <1  
1
2
m  
Vậy 
1
2
m  
Ví dụ 11. Cho parabol (P) : 2y x= và đường thẳng d: ( )2 1 3 2y m x m= − + − . 
Tìm m để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là độ dài các cạnh góc vuông 
của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 10 . 
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P): 
( )2 2 1 2 3 0 (1)x m x m− − + − = 
+)Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì (1) phải có 2 nghiệm dương phân biệt và : 
2 2
1 2 1 2
; 10x x và x x+ = 
PT(1) có nghiệm :
1 2
1; 2 3x x m= = − 
( )
2
2 3 0
2 3 1 2 3 3 3
1 2 3 10
m
m m m
m
 − 

 −   − =  =

+ − =
Ví dụ 12. (Trích trong Đề thi môn Toán vào lớp 10 – Hà Nội năm học 2015-
2016). 
 Cho phương trình ( )2 5 3 6 0x m x m− + + + = (x là ẩn số) (1) 
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m. 
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam 
giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5. 
Giải. 
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m. 
Ta có 
( ) ( )
( )
2
2
22
5 4.1. 3 6 10 25 12 24
2 1 1 0
m m m m m
m m m m
 = − + − + = + + − −  
 = − + = −  
Nên phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m. 
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam 
giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5. 
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở 
 17 
*) Phương trình (1) có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác 
vuông  (1) có hai nghiệm dương 
( )
2
1 00
0 3 6 0 2
0 5 0
m
P m m
S m
 −  

   +    − 
  +  
*) Áp dụng định lý Py-ta-go ta có 
( )
22 2 2
1 2 1 2 1 2
5 2 25 (2)x x x x x x+ =  + − = 
Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (1) ta có 
1 2
1 2
5
. 3 6
x x m
x x m
+ = +

= +
Thay vào (2) ta có: 
( ) ( )
2 25 2 3 6 25 4 12 0m m m m+ − + =  + − = 
Giải phương trình ta có m = 2 (tmđk); m = -6 (loại). 
Vậy m = 2 
Ví dụ 13. Cho Parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d) y=2x-m+3 
a) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thoả mãn 
2 2
1 2 1 2
5x x x x+ = + 
b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P). Biết hoành độ của A và B lần lượt là -2 và 3. 
Tìm toạ độ điểm M trên cung AB của (P) để MAB có diện tích lớn nhất. 
Giải: 
a) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thoả mãn 
2 2
1 2 1 2x x x x 5+ = + 
*) Lập luận để có được pt hoành độ giao điểm x2 – 2x +m – 3=0 (1) 
*)(d) cắt (P) tại 2 điểm pb  Pt (1) có hai nghiệm ' 0 4m    
*) Ta có ( ) ( )
22 2
1 2 1 2 1 2 1 2x x x x 5 x x 3x x 5 2+ = +  + = + 
áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1) ta có:
1 1
1 2
2
3
x x
x x m
+ =

= −
( ) ( ) ( )2
8
2 2 3 m 3 5 m tmdk
3
 = − +  = 
Vậy 
8
3
m = 
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở 
 18 
b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P). Biết hoành độ của A và B lần lượt là -2 và 3. 
Tìm toạ độ điểm M trên cung AB của (P) để MAB có diện tích lớn nhất. 
Tìm được toạ độ A(-2;4) và B(3;9) 
Phương trình đường thẳng AB: y = x + 6.Lấy M thuộc cung AB 
Vì AB cố định nên diện tích MAB max 
 M là tiếp điểm của đường thẳng song song với AB và tiếp xúc với (P);Gọi (d’) 
// (AB) có pt: y = x + n 
(d’) và (P) tiếp xúc nhau  pt x2 – x – n = 0 có nghiệm kép  
1
n
4
= − 
Pt trên có nghiệm kép 
1
2
x =  
1
y
4
= .Vậy 
1 1
;
2 4
M
 
 
 
Ví dụ 14. Cho Parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d) y=(m+2)x-(2m-1) 
a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 
b) Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ hai giao điểm của (d) và (P) không phụ 
thuộc m. 
Giải. 
a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): ( ) ( )2 2 2 1 0x m x m− + + − = (*) 
( ) ( ) ( )
2 222 4 2 1 4 8 2 4 0m m m m m = + − − = − + = − +  
Do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 
10
8
6
4
2
-2
-4
-10 -5 5 10 15 20x
y
y=x+1
H
3-2
B
A
O 1M
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở 
 19 
b) Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ hai giao điểm của (d) và (P) không phụ 
thuộc m 
Áp dụng hệ thức Vi- et cho (*) ta có: 
1 2
1 2
1 2
1 2
2(1)
2
1
. 2 1 (2)
2
m x x
x x m
x x
x x m m
= + −
+ = + 
  +
= − = 
Từ (1) và (2) ta có: 
 ( )1 21 2 1 2 1 2
1
2 2 5 0
2
x x
x x x x x x
+
+ − =  + − − = 
Hệ thức cần tìm là: ( )1 2 1 22 5 0x x x x+ − − = 
Ví dụ 15. Cho Parabol (P) 2y x= và đường thẳng (d) y=mx-m+1 
Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ x1; x2 thỏa mãn: 
a) 
1 2
4x x+ = 
b) 
1 29 0x x− = 
Giải 
a) Phương trình hoành độ giao điểm: 2 1 0x mx m− + − = (*) 
+) Đk để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt: 2m  
+) 
( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
4 16 2 2 16
2( 1) 2 1 16
x x x x x x x x x x
m m m
+ =  + =  + − + =
 − − + − =
*)Với m1: m=4 (tmđk); m = -4 (loại) 
*) Với m<1: m=-2 (tmđk); m=6 (loại) 
b) Đk để pt có hai nghiệm phân biệt: 2m  
Ta có 
1
1 2
1 2 2
1 2
9
109 0
10
10;
10 9
1
9
. 1
10 10
m
x
x x
m
x x m x m m
x x m
m m
m

=
− = 
 
+ =  =  = = 
 = − 
= −

Ví dụ 16. Cho Parabol (P)
2
2
x
y = và đường thẳng d đi qua I(0;2) có hệ số góc k. 
a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A; B. 
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở 
 20 
b) Gọi H và K là hình chiếu vuông góc của A và B trên Ox. Chứng minh tam giác 
IHK vuông tại I. 
Hướng dẫn giải 
a) Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A; B. 
Gọi đường thẳng d có hệ số góc k là (d): y = kx+b 
Vì (d) đi qua I(0;2) nên ta có 2=k.0+b nên b=2. 
(d): y = kx+2 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 
2
22 2 4 0
2
x
kx x kx= +  − − = (*) 
Vì a.c=-4<0 nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt. 
Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi k. 
b) 
2
1 2 1 2.x 4 . 4 .x x x OH OK OI= −  =  = 
Suy ra tam giác OHI đồng dạng với tam giác OIK. Suy ra góc IHO=góc OIK nên 
tam giác IHK vuông tại I 
Ví dụ 17. Cho Parabol (P) 2y x= và d: y= mx+1 
a) Chứng minh d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A; B. 
b) Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 3 
Hướng dẫn giải: 
Ta có phương trình hoành độ giao điểm là: 2 1 0x mx− − = (*) 
a) Vì a.c=-1 nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m nên (d) 
luôn cắt (P) tại hai điểm ph