Đề tài Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng

 tiễn giảng dạy và đem lại hiệu quả cần phải có lượng thời gian nhất định. Tuy nhiên trong phân phối chương trình số tiết hình học ở lớp 9 là tiết hai tiết/ tuần. Riêng phần tứ giác nội tiếp được hai tiết (1 tiết lý thuyết và một tiết bài tập) chính vì vậy mà giáo viên không có thời gian để luyện tập nhiều .Với những lý do trên đề tài khó có thể áp dụng và đem lại hiệu quả mong muốn. 
2.3. Mặt mạnh, mặt yếu:
a/. Mặt mạnh:
- Khi vận dụng đề tài này vào giảng dạy tôi nhận thấy phần lớn học sinh không còn lúng túng trong khi giải bài toán hình học, đa số các em đó nhận dạng được bài tập và đó biết lựa chọn cách giải nhanh, gọn, hợp lí và trình bày lời giải tương đối chặt chẽ. Những em học sinh khá giỏi đặc biệt là ôn thi học sinh giỏi các em rất hào hứng trong việc áp dụng tứ giác nội tiếp vào chứng minh hình học.
b/. Mặt yếu:
- Tâm lý học sinh không thích học môn hình học nên khi chưa thưc hiện đề tài dường như các em ( kể cả học sinh giỏi) cũng không muốn khám phá dạng toán này. Đại đa số các em thích học Đại số hơn. Điều đó cũng dễ hiểu vì tuy đã được học phần lý thuyết cơ bản song số bài tập để củng cố để khắc sâu, để bao quát hết các dạng thì lại không nhiều, không có sức thuyết phục để lôi kéo sự hăng say học tập của học sinh. Mức độ kiến thức của dạng toán này tương đối trừu tượng và phức tạp.
2.4. Nguyên nhân:
Thực tế học sinh ở trường THCS Lê Đình Chinh tiếp thu bài còn chậm và vận dụng kiến thức từ lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế. Nguyên nhân chủ yếu của khó khăn trên là:
- Học sinh không đam mê môn Hình học
- Khả năng phán đoán ,định hướng không tới đích .
- Không năng động trong khi chứng minh và vẽ hình .Chính vì vậy hướng dẫn cho học sinh nắm chắc về khái niệm để vận dụng vào chứng minh là điều quan trọng .
- Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa có thời gian để ôn tập, làm bài tập, giải bài tập nhiều. 
2.5. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:
 Đề tài:“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng” góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích, chứng minh hình học cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên trau dồi kiến thức, nâng cao chất lượng và hiệu quả giảng dạy.
- Như đã nói ở trên, trong phân phối chương trình của môn toán 9 không có thời lượng dành riêng cho vấn đề nghiên cứu này. Do đó để thực hiện đề tài này, giáo viên cần phải lồng ghép vào các tiết luyện tập, các tiết ôn tập chương, các tiết ôn tập học kì 2, các tiết phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh giỏi.
- Trong quá trình giảng dạy môn Toán, vai trò của người thầy trong việc tạo hứng thú cho học sinh đặc biệt quan trọng, do đó mỗi giáo viên phải thường xuyên đưa học sinh vào các tình huống có vấn đề để các em tư duy, tự tìm tòi kiến thức mới qua mỗi dạng toán. Đồng thời phải biết động viên, khích lệ, biểu dương sự cố gắng của các em, trân trọng thành quả đạt được của các em .
- Ngày nay, phương pháp dạy học ở bậc THCS nói chung đã có nhiều biến đổi tích cực, điều kiện về vật chất ngày càng được nâng lên rõ rệt. Nhưng để đạt được kết quả tốt yêu cầu mỗi giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian cho việc soạn bài và đặc biệt là phải tận tụy với công việc, tránh tư tưởng chủ quan chỉ cho học sinh tìm hiểu ở mức độ sơ sơ, đưa ra lời giải ngay khi học sinh chưa suy nghĩ. Sự đầu tư nhiệt tình của người giáo viên sẽ được đền bù xứng đáng bằng kết quả của học sinh.
3. Giải pháp, biện pháp:
 3.1. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp:
- Những giải pháp, biện pháp được nêu trong đề tài này nhằm mục đích trang bị cho học sinh lớp 9 một cách có hệ thống về phương pháp giải các dạng bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp và vận dụng từ cơ bản đến nâng cao, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán này.
 3.2. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:
 - Bằng quan sát thực tế giảng dạy các giờ toán chứng minh tứ giác nội tiếp, bài toán tổng hợp có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh và tính toán của GV THCS.
	- Bằng kinh nghiệm đứng lớp và bồi dưỡng ôn thi học sinh lớp 9 , những năm trước đây thấy học sinh rất ít em phát hiện được tứ giác nội tiếp một cách nhanh nhất, nhất là những bài toán không dễ chứng minh ngay được tổng hai góc đối diện của tứ giác bằng 180 độ. Hay HS cứ phải đưa về tổng hai góc đối diện bằng 180 độ nên dài, nhiều khi dẫn đến sai. 
	- Bằng đọc tài liệu để nắm các cơ sở lý luận khoa học về phương pháp chứng minh và tính chất của tứ giác nội tiếp . Đặc biệt là tìm cách nhận biết nhanh tứ giác nội tiếp trước khi phải chứng minh tổng hai góc đối diện bằng 180 độ trong các bài toán có chứng minh tứ giác nội tiếp hoặc có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp .
	- Bằng việc tham khảo và học hỏi ý kiến của đồng nghiệp nhất là những thầy cô dạy toán giỏi trong tổ, trong trường.
	- Bằng thử nghiệm đề tài của mình trong bài dạy giải toán ở trên lớp, phụ đạo HS yếu kém, bồi dưỡng học sinh giỏi .
	- Và cuối cùng là bằng việc đi từ vấn đề đơn giản, riêng lẻ của bài dạy đến các định lý và bài toán khó hơn, phức tạp hơn tổng hợp lại một hệ thống các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp .
	Từ các phương pháp trên đây đối chiếu với lý luận và thực tế tôi rút ra được kinh nghiệm nhỏ trong quá trình áp dụng đề tài cụ thể như sau: 
*Nội dung:
1/ .Chuẩn bị :
- Phần trọng tâm của lý thuyết, điều cần ghi nhớ.
- Phân loại các bài tập để vận dụng chứng minh từng phần ghi nhớ.
2/ .Phần lý thuyết:
2.1/ Định nghĩa: Nếu qua bốn đỉnh của một tứ giác có một đường tròn thì tứ giác đó gọi là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác. 
2.2/ Định lý : Trong một tứ giác nội tiếp một đường tròn tổng các góc đối diện nhau bằng hai góc vuông .
* Đảo lại : Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện nhau bằng hai góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn . 
Khi đó : Tứ giác ABCD nội tiếp (O) Û [
2.2.1/ Chú ý: Hình chữ nhật ,hình vuông và hình thang cân luôn luôn nội tiếp được trong một đường tròn vì các tứ giác này đều có tổng hai góc đối bù nhau 
(Đây là cách nhận biết tứ giác nội tiếp một cách nhanh nhất mà chưa cần phải chứng minh)
3. Một số vấn đề liên quan đến tứ giác nội tiếp:
3.1. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp: 
Một tứ giác sẽ là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn nếu có một trong các điều kiện sau :
 	+) Bốn đỉnh cùng cách đều một điểm nào đó ( đ/n)
+) Tổng các góc đối diện bằng 2v ( định lý đảo)
+) Từ hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh ứng với hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau của tứ giác ABCD có : Tứ giác ABCD nội tiếp
+) Hai đỉnh cùng nhìn xuống một cạnh dưới một góc vuông
 (Tứ giác ABCD có: ) Tứ giác ABCD nội tiếp 
+ Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
+ Dùng tỉ lệ thức để chứng minh tứ giác nội tiếp.. 
3.2. Vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để chứng minh một số bài toán hay và khó.
- Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.
- Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.
- Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng.
- Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.
- Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình
- Chứng minh tứ giác nội tiếp để tìm cực trị
Sau đây là một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn kèm theo bài tập minh họa
3.3 - BÀI TẬP MINH HOẠ:
3.3.1. Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
*Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa.
 * Bài toán 1: 
Cho tam giác ABC các đường cao BB’, CC’. Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp.
Chứng minh: 
	Lấy O là trung điểm của cạnh BC.
Xét DBB’C có : (GT)
OB’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 
Þ OB’ = OB = OC = r (1)
Xét DBC’C có : (GT)
Tương tự trên Þ OC’ = OB = OC = r (2)
Từ (1) và (2) Þ B, C’, B’, C Î (O; r) 
	Þ à BC’B’C nội tiếp đường tròn.
Từ bài toán 1 này nếu ta thay đổi dữ kiện là cho tam giác nội tiếp trong đường tròn và kẻ các đường cao, ta lại phải chứng minh tứ giác mới nội tiếp
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Û hoặc 
*Phương pháp 2: Dựa vào định lý
* Bài toán 2: 
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn(O) tại M,N,P . Chứng minh:
Tứ giác CEHD nội tiếp.
Chứng minh: 
a/ Xét à CEHD có : và (GT)
Þ (Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)
Þ à CEHD nội tiếp đường tròn.
Từ bài toán 2 ta lại thay tam giác ABC đều và thay đổi dữ kiện sau đó yêu cầu HS chứng minh tiếp điểm D cũng thuộc đường tròn
 *Bài toán 3: 
 Cho DABC đều. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB=DC và 
Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp.
·
A
B
C
D
2
1
2
1
* Chứng minh: Ta có : DABC đều => 
 Mặt khác: => 
 Do DB = DC => DDBC cân => =>.
Tứ giác ABCD có (Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)
 nên tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn đường kính AD
* Khi ôn thi học sinh giỏi tôi đã thay bài toán trên một số dữ kiện liên quan đến quỹ tích cung chứa góc nhằm củng cố cách sử dụng định lý để chứng minh đồng thời củng cố kiến thức về lượng giác
 * Bài toán 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định. Ax và Ay là hai tia thay đổi luôn tạo với nhau góc 600, nằm về hai phía của AB, cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N. Đường thẳng BN cắt Ax tại E, đường thẳng BM cắt Ay tại F. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng EF.
1. Chứng minh rằng .
2. Chứng minh OMKN là tứ giác nội tiếp.
O
K
F
E
N
M
B
A
y
x
*Chứng minh: 
1) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 B là trực tâm của tam giác AEF 
 AB EF
 (cùng phụ với )
 vuông NEF vuông NAB (g.g)
 = tan600 = 
2) là góc ở tâm cùng chắn cung MN 
 tứ giác MNFE nội tiếp đường tròn đường kính EF tâm K.
 OMKN là tứ giác nội tiếp.
 * Đặc biệt hoá bài toán 2: Phát triển thêm bài toán ta lại tiếp tục yêu cầu học sinh chứng minh tiếp tứ giác BCEF nội tiếp
* Bài toán 5 ( Đề mở rộng của bài toán 2)
Câu b. Chứng minh bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn
*Chứng minh: Theo giả thiết: BE là đường cao => 
	 CF là đường cao => 
Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 
=> E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC 
=> Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn
Hay tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC. 
Đây chính là cách sử dụng cung chứa góc.Cũng từ bài toán 2 ta thay dữ kiện tam giác nội tiếp chắn nửa đường tròn để chứng minh tứ giác nội tiếp cụ thể của phương pháp này như sau:
*Phương pháp 4: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc 
 * Bài toán 6: 
Cho tam giác ACD. Lấy điểm B sao cho A, B nằm ở cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa DC và có .Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp . 
*Chứng minh: Thật vậy, giả sử () Vì do DC cố định nên A, B nằm trên cung chứa góc a dựng trên đoạn DC (theo bài toán quỹ tích cung chứa góc ) 
Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác ABCD nội tiếp . 
Khi cho ta có 
Và A, B cùng một nửa mặt phẳng bờ DC thế thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính DC. Sau khi đưa ra phương pháp đưa ra bài toán 7 để củng cố
 * Bài toán 7: 
Cho D ABC cân ở A nội tiếp (O). Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM=CN. 
 Chứng minh à AMNO nội tiếp.
* Chứng minh:
Ta có: D ABC cân ở A và O là tâm đường tròn ngoại tiếp D ABC Þ 
Mặt khác ta có: DAOC cân tại O (vì OA = OC)
Þ nên 
Mà và Þ 
Xét: DOAM và DOCN có : OA = OC; ; AM = CN
Þ DOAM = DOCN (c.g.c)
Þ hay 
Do đó: à AMNO nội tiếp đường tròn (hai đỉnh kề nhau M và N cùng nhìn cạnh OA dưới cùng một góc). Thế thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính DC. 
	Cũng từ bài toán 1 ta lại thay đổi tiếp dữ kiện bài toán nhằm có thêm một cách nữa chứng minh tứ giác nội tiếp đó là:
*Phương pháp 5: Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng tỷ lệ thức: 
 * Bài toán 8: 
Cho tam giác ABC. Lấy một điểm D bất kỳ sao cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M.
Chứng minh à ABCD nội tiếp.
*Chứng minh:
Nếu xét tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn 
Ta có: AB cắt DC tại M ta suy ra được 
Vậy là : DMAC DMDB 
Đảo lại: Nếu DMAC DMDB . Với A BM và D MC 
thì tứ giác ABCD nội tiếp.
Thật vậy, vì DMAC đồng dạng với DMDB suy ra => tứ giác ABCD nội tiếp ( B, C ở cùng một nửa mặt phẳng bờ AD và nhìn AD dưới hai góc bằng nhau ) 
	+ Từ đó nếu có DMAC DMDB, AÎ BM, 
DÎ MC => Tứ giác ABCD cũng nội tiếp.
	+ Nhưng nếu ta xét theo tính chất của tam giác đồng dạng ta lại có từ DMAD đồng dạng với DMCB suy ra: Û MA . MB = MC . MD
Vậy là ta lại có cách chứng minh tứ giác nội tiếp bằng tỷ lệ thức:
Nghĩa là nếu MA . MB = MC . MD => AÎ BM, DÎ MC => Tứ giác ABCD nội tiếp .
Nhưng đối với bài tập này ta cũng chú ý cho học sinh nếu vẽ hình trong trường hợp b thì nó không phải tứ giác lồi.
A
B
C
D
M
A
B
C
D
M
O
	a/	b/
* Củng cố phương pháp này cho học sinh làm bài tập sau:
A
B
C
H
M
N
K
I
R
S
1
 Bài toán 9: 
Cho tam giác ABC vuông ở A. Kẻ đường cao AH . Gọi I, K tương ứng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABH và ACH . Đường thẳng IK cắt AC tại N. Chứng minh tứ giác HCNK nội tiếp được.
Chứng minh:
Từ giả thiết dễ thấy (1) 
giả sử tứ giác HCNK nội tiếp thì: (2) . Thế thì DHIK DABC (3) 
Chứng minh (3): DHAB và DHCA 
đồng dạng => (4)
Chứng minh : DHAS DHCR Þ (5)
Từ (4) và (5) => (6)
Từ (1) và (6) => (3) => (2) => Tứ giác HCNK nội tiếp 
Ngoài những cách chứng minh tứ giác nội tiếp như trên thì ta cũng hướng cho học sinh có thể khai thác sử dụng tính chất của hai góc kề bù 
*Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của hai góc kề bù: 
 * Bài toán 10: Chứng minh tứ giác ABCD có thì nội tiếp một đường tròn 
*Chứng minh: Gọi tia đối của tia AB là tia Ax chẳng hạn 
giả sử thế thì vì (kề bù)
Þ => Tứ giác ABCD nội tiếp 
	Thực chất của phương pháp này là dựa vào tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện nhưng khi mình đưa ra phương pháp sử dụng tính chất của hai góc kề bù nhằm phát huy trí sáng tạo của học sinh ( Khi dạy có thể hỏi các em thử dùng tính chất hai góc kề bù để chứng minh Tứ giác nội tiếp được không?)
*Phương pháp 6 : Dựa vào tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
*Bài toán 11:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P. 
Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp được đường tròn.
Chứng minh: 
Ta có : là góc có đỉnh nằm bên trong (O)
Mà 	(góc nội tiếp)
Hay 	
Lại có : 	sđ = sđ
Nên : 	= 
Nghĩa là: à PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C
Vậy à PEDC nội tiếp được đường tròn. 
3.3.2. Vận dụng tứ giác nội tiếp vào chứng minh bài tập hay và khó:
* Bài toán 1: Tính số đo góc:
 Cho hình vẽ:
Hãy tìm số đo các góc của tứ giác ABCD
·
O
B
C
A
D
F
E
200
400
x
x
* Giải: Gọi số đo 
Do tứ giác ABCD nội tiếp nên :
Mà: và (theo t/c góc ngoài của tam giác)
=> 
=> 
=> => 
* Bài toán 2: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng:
* Bài toán: Cho 3 điểm A,B ,C trên một đường tròn .Chứng minh rằng chân đường vuông góc hạ từ một điểm M bất kỳ trên đường tròn xuống các đường thẳng AB,BC,CA cùng nằm trên một đường thẳng .
* Chứng minh : 
Ta có : Tứ giác BHMI nội tiếp vì (1)
 Tứ giác MHKC nội tiếp (vì và cùng nhìn MC dưới một góc vuông )
 	(2)
 Ta có (D BIM vuông tại I) Và (D MKC vuông tại K)
 Mà (à ABMC nội tiếp ) Suy ra ( 3)
 Từ ( 1), (2) và (3) suy ra 
 Mà ( B,H,C thẳng hàng )
 Do đó I , H ,K thẳng hàng 
 * Bài toán 3: Chứng minh các góc bằng nhau:
* Bài toán: Gọi H là giao điểm các đường cao .Chứng minh các đường cao của tam giác ABC là phân giác các góc của tam giác 
*Chứng minh : 
Xét tứ giác có :
Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BH .
 (cùng chắn cung )	(1)
- Mặt khác : Xét tứ giác có: 
A’ ; B’ cùng nhìn xuống cạnh AB dưới một gócvuông .
Suy ra nội tiếp đường tròn đường kính AB.
Do đó : (cùng chắn cung AB’) 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra : 
Do đó AA’ là phân giác của góc 
 Chứng minh tương tự : BB’ là phân giác của góc 
	 CC’ là phân giác của góc 
 Vậy các đường cao của tam giác ABC là phân giác của các góc tam giác A’B’C’
*Bài toán 4: Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn
 a. Phương pháp: 
 Nếu ta phải chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn, ta có thể chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp và tứ giác ABCE nội tiếp. Suy ra 4 điểm A, B, C, D và 4 điểm A, B, C, E cùng nằm trên một đường tròn. Hai đường tròn này có ba điểm chung là A, B, C thế nên theo định lý về sự xác định đường tròn thì chúng phải trùng nhau. Từ đó suy ra 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn.
 b. Ví dụ : (Bài toán về đường tròn Euler)
Chứng minh rằng, trong một tam giác bất kì, ba trung điểm của các cạnh, ba chân của các đường cao, ba trung điểm của các đoạn thẳng nối trực tâm với đỉnh đều ở trên một đường tròn.
*Chứng minh:
Ta có: ME là đường trung bình của DAHC 
ND là đường trung bình của DBHC
Þ ME = ND = 
Þ Tứ giác MNDE là hình bình hành (1)
Lại có : ME // CH; MN // AB (vì MN là đường trung bình của DHAB)
Mà CH ^ AB (GT)
Þ ME ^ MN (2)
Từ (1) và (2) Þ Tứ giác MNDE là hình chữ nhật
 Gọi O là trung điểm của MD Þ O cũng là trung điểm của NE
Nên hình chữ nhật MNDE nội tiếp (O; OM)
Chứng minh tương tự ta được hình chữ nhật FMPD cũng nội tiếp (O; OM)
Vì Þ I Î (O; OM)
Vì ; Þ L; K Î (O; OM)
Vậy ta có : 9 điểm M; K; E; P; D; I; N; F; L Î (O; OM) (Điều phải chứng minh)
* Bài toán 5: Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định
 a. Phương pháp:
 Nếu ta phải chứng minh một đường tròn (ABC) đi qua một điểm cố định, 
Cách 1: Ta có thể xét thêm một điểm D cố định nào đó rồi chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2: Ta chọn một điểm nào đó trên đường tròn (ABC) sau đó ta đi chứng minh điểm đã chọn là điểm cố định.
 b.Ví dụ : 
Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Lấy điểm D nằm giữa B và C. Qua D vẽ một đường thẳng vuông góc với OD cắt AB, AC lần lượt tại E và F.
 Khi điểm D di động trên BC, chứng minh rằng đường tròn (AEF) luôn đi qua một điểm cố định khác A.
Chứng minh:
Ta có : (AB là tiếp tuyến với (O) tại B)
 (GT)
Þ hai đỉnh B và D cùng nhìn đoạn OE dưới một góc vuông.
Þ à EBOD nội tiếp đường tròn
Þ (1) (cùng chắn cung OB)
Chứng minh tương tự ta có : à ODCF nội tiếp đường tròn 
Þ (2) (góc trong một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện)
Từ (1) và (2) Þ Þ à AEOF nội tiếp đường tròn (theo dấu hiệu góc trong một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện)
Vậy đường tròn (AEF) đi qua điểm O cố định.
Bài toán 6: Chứng minh tìm cực trị
 Ví dụ : 
Cho đường tròn (O), dây AB không đi qua tâm. Trên cung nhỏ AB lấy điểm M (M không trùng với A, B). Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H. Kẻ MK vuông góc với AN . 
	1) Chứng minh: Tứ giác AMHK nội tiếp
	2) Chứng minh: MN là phân giác của góc BMK.
	3) Khi M di chuyển trên cung nhỏ AB. Gọi E là giao điểm của HK và BN. 
 Xác định vị trí của điểm M để (MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn nhất.
Giải :
1) Từ giả thiết: , 
Bốn điểm A, K, H, M cùng thuộc một đường 
Tròn . Suy ra tứ giác AMHK nội tiếp
2) = sđ (1)
 = sđ (2)
Từ (1) và (2) 
 MN là phân giác của góc KMB
3) sđ; sđ
 cùng thuộc một đường tròn
 lớn nhất MN.AB lớn nhất 
MN lớn nhất (Vì AB= const ) M là chính giữa 
* Bài toán 7: Chứng minh quan hệ về đại lượng
 Một số bài toán đề cập tới quan hệ về đại lượng như: 
- Chứng minh các hệ thức hình học.
- Chứng minh tỉ số các đoạn thẳng không đổi (như hai đoạn thẳng bằng nhau, đoạn này gấp đôi đoạn kia.) hoặc chứng minh tổng hiệu các góc là không đổi....
 * Bài toán: Chứng minh rằng trong một tứ giác nội tiếp, tích của hai đường chéo bằng tổng các tích của hai cặp cạnh đối. Nghĩa là: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). 
 Khi đó: AC.BD=AB.CD+AD.BC
Chứng minh:
Ta có : à ABCD nội tiếp (O)
Ta phải chứng minh: 
AC. BD = AB. DC + AD. BC
Thật vậy.
Lấy E Î BD sao cho: 
Þ D DAE D CAB (g. g)
Þ 
Þ AD. BC = AC. DE (1)
Tương tự: D BAE D CAD (g. g) 
Þ 
Þ BE. AC = CD. AB (2)
Từ (1) và (2) Þ AD. BC + AB. CD = AC. DE + EB. AC 
	Þ AD. BC + AB. CD = AC. DB (ĐPCM)
* Bài toán 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.
* Bài toán
Cho