Đề tài Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải

iên cứu, thực hiện viết và áp dụng SKKN “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” ở trường THCS Lương Thế Vinh – Huyện Krông Ana – Tỉnh ĐắkLắk”, bản thân tôi tiếp tục trao đổi với những giáo viên đã và đang giảng dạy khối 7 để tích lũy thêm kiến thức cho SKKN này. Qua đó, tôi thấy:	
. Thuận lợi – Khó khăn 
* Thuận lợi: SKKN này được chuẩn bị, thử nghiệm và hoàn thành trong thời gian ba năm học, được sự trao đổi về kiến thức cũng như kinh nghiệm với các đồng nghiệp, nên bản thân tôi đã phần nào tự tích lũy cho mình một vốn kiến thức nho nhỏ đảm bảo cho SKKN được hoàn thành. Với lượng kiến thức nêu trong SKKN, tuy chưa đầy đủ song có thể đã đáp ứng được mục tiêu của SKKN đề ra, phần nào đã giúp cho học sinh dễ dàng hơn trong tiếp cận và ghi nhớ các dạng bài tập cơ bản về tỉ lệ thức. Đồng thời, thu hút thêm sự đóng góp ý kiến, nhận xét của mọi người để SKKN hoàn thiện hơn.
* Khó khăn: Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành SKKN, bên cạnh những mặt thuận lợi cũng có nhiều những khó khăn phải kể đến. Trước hết, do những năm đầu đi dạy, tuổi đời và tuổi nghề của bản thân còn quá non trẻ, ít kinh nghiệm trong giảng dạy, chủ yếu chú trọng rèn luyện nhiều ở phương pháp dạy học, lại là những năm đầu bước vào nghề nên bản thân tôi còn nhiều lúng túng. Do đó việc thử nghiệm, so sánh kết quả của SKKN này có phần không được thuận lợi như mong muốn. Mặt khác, các em học sinh khối 7 đã có sự thay đổi về tâm sinh lí lứa tuổi, tính tự giác trong học tập của các em chưa cao, vì vậy muốn các em áp dụng kiến thức đã học vào các bài tập cụ thể thì GV sẽ phải trình bày bài tập mẫu, chỉnh sửa, uốn nắn nhiều, khi đó các em mới có thể hiểu và nắm được kiến thức, song nhiều em ít có sự rèn luyện, tự học nên việc lưu giữ kiến thức còn hạn chế, mau nhớ kiến thức nhưng có thể quên ngay hoặc nhớ không chính xác các kiến thức đã học. Vì vậy, khi gặp lại các dạng toán hoặc các bài toán đã học, tuy quen thuộc nhưng đối với nhiều em dường như là rất mới mẻ  
. Thành công – Hạn chế
* Thành công: SKKN được áp dụng trực tiếp vào giảng dạy học sinh trong nhiều tiết luyện tập bài tập của mảng kiến thức này (những dạng bài tập cơ bản) cũng như trong việc dạy học hai buổi tại trường đã đạt mục tiêu đề ra. Đồng thời, tôi đã áp dụng trong ôn thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay Casio (từ năm 2013 đến 2015), ôn thi học sinh giỏi môn Toán (năm học 2010 – 2015), ôn thi Violympic khối 9 (năm học 2011 – 2015), thi Violympic khối 7 (2010 – 2015). Học sinh nắm kiến thức chắc chắn hơn, chính xác hơn, nhận dạng và phân tích bài toán nhanh hơn. Từ đó, kĩ năng trình bày bài làm được cải thiện rõ rệt, kết quả học sinh giỏi các cấp đáng ghi nhận. Đây là tiền đề vững chắc, những thuận lợi đáng kể góp phần giữ vững kết quả đại trà và công tác bồi dưỡng HSG đối với nội dung kiến thức này của bản thân tôi trong thời gian vừa qua. 
* Hạn chế: Học sinh khối 7 đã có sự thay đổi về tâm sinh lí lứa tuổi, mất tập trung trong giờ học, nhiều em chưa tập trung trong việc học và làm bài ở lớp cũng như ở nhà, giảm chất lượng của các kĩ năng “nghe – ghi – nghĩ – nói” trong giờ học. Vì thế, năng lực tư duy logic của các em chưa thật tốt. Vì thế, việc áp lý thuyết để làm bài tập về tỉ lệ thức nói riêng và nhiều mảng kiến thức khác đối với các em là một điều lạ lẫm, khó khăn. Hầu hết chỉ có các học sinh khá, giỏi mới có thể tự làm đúng hướng và trọn vẹn yêu cầu của bài toán. Còn hầu hết các học sinh khác lúng túng không biết cách trình bày lời giải, nhiều em nhầm lẫn tỉ số của a và b là với phân số , kĩ năng phân tích và lập chương trình giải còn hạn chế nhiều và trình bày lời giải như thế nào là đúng mặc dù được giáo viên hướng dẫn hoặc đã được trình bày bài tập mẫu. 
. Mặt mạnh – mặt yếu
* Mặt mạnh: Đây là một vấn đề hay trong toán học, vận dụng được rộng rãi, có giá trị sử dụng lâu dài và có thể tiếp tục mở rộng theo hướng chuyên sâu hơn. Nội dung này là một phần kiến thức tuy ngắn gọn song được bao hàm có thể áp dụng được trực tiếp vào giảng dạy trên lớp cũng như dạy tạo nguồn kiến thức bồi dưỡng HSG của nhiều khối lớp cấp THCS. 
* Mặt yếu: Cách trình bày bài làm đôi khi gây cho học sinh lối mòn nếu học sinh không thật chăm chỉ, thụ động. Đề bài đôi khi quá “cồng kềnh” như dạng toán chia tỉ lệ hoặc quá “đơn giản” như dạng toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức dẫn đến học sinh dễ mắc sai lầm trong suy nghĩ, trong lời giải, trong trình bàyVì vậy, đây là một vấn đề để bản thân tôi trăn trở, suy nghĩ và chuẩn bị kiến thức thật cẩn thận khi giảng dạy. Từ đó, tôi tự rút kinh nghiệm cho mình để mục đích cuối cùng là đạt được kết quả cao về nội dung của SKKN đề ra.
. Các nguyên nhân, các yếu tố tác động.
Thực tế cho thấy có nhiều nguyên nhân, nhiều yếu tố tác động tạo nên những khó khăn, hạn chế nêu trên. Trước hết phải kể đến là ý thức tự giác trong học tập của người học chưa cao, khả năng tự học, tự rèn của học sinh hiện nay giảm sút nhiều, học sinh bị thụ động hoặc “bão hòa” kiến thức vì học thêm, học ôn quá nhiều môn học. Nhiều học sinh chăm ngoan, học giỏi, có ý thức rèn luyện và tự học cao. Các em ít có những suy nghĩ sáng tạo khi làm bài tập khó hoặc khi làm bài tập sai thì động lực để các em quyết tâm tự làm lại cho đúng chưa nhiều, còn chờ đợi giáo viên sửa bài. Một điều nữa là việc lưu giữ (quá trình ghi nhớ), tái hiện (trình bày bằng lời hoặc viết) của học sinh chưa tốt, các em lười học bài và làm bài tập ở nhà, thậm chí nhiều em làm bài tập đối phó, chiếu lệ cho xong. Trong mảng kiến thức về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau, các em học sinh trung bình và trung bình – khá tỏ ra lúng túng khi lập luận, khi trình bày lời giải. Vì vậy mà các em nhanh quên kiến thức đã áp dụng để giải bài tập dẫn đến ngại làm bài tập tương tự. Trong khi đó, để học môn toán tốt, nhớ lâu kiến thức thì con đường vô cùng hiệu quả là luyện giải bài tập. 
. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đặt ra
 Từ thực trạng và nguyên nhân trên, để giúp các em có vốn kiến thức, lấy lại sự tự tin trong học tập, thầy cô cần giúp các em ôn tập, một cách hệ thống lại các kiến thức đã học, hướng dẫn các em cách trình bày lời giải của một bài tập, sau đó yêu cầu các em vận dụng làm các bài tập từ dễ đến khó. Giáo viên cần kiểm tra thường xuyên việc học và làm bài tập của học sinh. Giải pháp khắc phục là cần tăng cường sự phối hợp tốt hơn nữa giữa nhà trường và gia đình học sinh, đặc biệt là những em mà gia đình có điều kiện kinh tế khó khăn, sự động viên khích lệ của giáo viên dành cho gia đình và bản thân các em là cần thiết.
3. Giải pháp, biện pháp
. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp 
Do yêu cầu của phương pháp dạy học mới có sự thay đổi so với phương pháp dạy học truyền thống, phải đảm bảo tính chủ đạo của thầy và chủ động của trò; thầy hướng dẫn, điều khiển, đồng thời kích thích hứng thú học tập ở các em để các em tự giác, tích cực chiếm lĩnh tri thức của nhân loại cho bản thân. Để giúp học sinh nắm được tốt các kiến thức về tỉ lệ thức vào làm các bài tập cơ bản, tôi đã sử dụng phối kết hợp nhiều phương pháp dạy học như: Đặt vấn đề, đàm thoại - gợi mở, trực quan, vấn đáp, kết hợp trò chơi để tăng thêm động lực, niềm phấn khích đối với các em để các em có thể tiếp thu kiến thức một cách tốt nhất.
. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp
Một số dạng bài tập cơ bản.	
Dạng 1: Lập tỉ lệ thức
Bài 1:Thay tỉ số các số bằng tỉ số của các số nguyên: 
* Phương pháp: Thực hiện phép chia hai số hữu tỉ (hoặc hai số thực)
Ví dụ: (là tỉ số của hai số nguyên 35 và 12)
Bài 2: Các tỉ số sau đây có lập thành tỉ lệ thức không?
a) và 	b) và 	c) và .
 * Phương pháp: Sử dụng định nghĩa về tỉ lệ thức. 
+ Nếu hai tỉ số bằng nhau: lập được tỉ lệ thức.
+ Nếu hai tỉ số không bằng nhau: không lập được tỉ lệ thức.
Ví dụ: a) Ta có: và là một tỉ lệ thức.
b) Ta có: nên ta không có tỉ lệ thức trong trường hợp này.
Bài 3: Có thể lập được tỉ lệ thức từ các số sau đây không? Nếu có hãy viết các tỉ lệ thức đó: 3; 9; 27; 81; 243.
* Phương pháp: 
+ Trước hết, tạo đẳng thức (bằng cách kiểm tra).
+ Áp dụng tính chất Tính chất 2: Từ đẳng thức với , cho ta các tỉ lệ thức: 
Ví dụ: Ta có , theo thính chất 2, ta có các tỉ lệ thức sau:
Dạng 2: Tìm số hạng chưa biết của tỉ lệ thức:
* Tìm một số hạng chưa biết của tỉ lệ thức:
Bài 4: Tìm x biết:
a) ;b) ; c) ; d) 
* Phương pháp: Áp dụng tính chất 1, từ tỉ lệ thức . Từ đó:
(Tìm ngoại tỉ ta lấy tích hai trung tỉ chia cho ngoại tỉ còn lại)
(Tìm trung tỉ ta lấy tích hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ còn lại)
Ví dụ: a) (x là ngoại tỉ)
d) (x là trung tỉ)
Bài 5: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:
a) 	b) 	c) 
* Phương pháp: Tìm ngoại tỉ hoặc trung tỉ là biểu thức chứa x, sau đó tìm x	 a) 
c) hoặc 
Bài 6: Tìm x trong tỉ lệ thức sau: 
* Phương pháp: Áp dụng tính chất 1 (tính chất cơ bản của tỉ lệ thức): Trong một tỉ lệ thức, tích các trung tỉ bằng tích các ngoại tỉ. Từ tỉ lệ thức 
 hoặc 
Bài 7: Tìm x trong tỉ lệ thức:	a) 	b) 
* Phương pháp: Áp dụng tính chất 1 (tính chất cơ bản của tỉ lệ thức): Trong một tỉ lệ thức, tích các trung tỉ bằng tích các ngoại tỉ. Từ tỉ lệ thức 
a) 
* Tìm hai, ba,  số hạng chưa biết của tỉ lệ thức:
Bài 8: Tìm hai số x và y biết rằng:
a) và 	b) và 	 c) và 
* Phương pháp: 
+ Cách 1: Khi x, y là hai số hạng khác nhau (x là trung tỉ thì y là ngoại tỉ và ngược lại), căn cứ vào mối quan hệ của x và y trong đề bài đã cho (tổng hay hiệu), ta áp dụng tính chất: 
Từ tỉ lệ thức suy ra tỉ lệ thức sau: 
*Chú ý: ta phải viết lại dãy tỉ số bằng nhau hoặc tỉ lệ thức được áp dụng tính chất.
Ví dụ: a) và 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
Suy ra: Vậy 
+ Cách 2: Áp dụng nhận xét: Nếu có thì 
Đặt: . Theo đề bài ta có:, thay (1) vào biểu thức ta được: 
Khi đó: 
+ Cách 3: Biểu thị số hạng này theo số hạng kia.
Ta có: . Theo đề bài ta có: , thay (2) vào biểu thức ta được: 
Thay vào (2), ta được: 
c) và 
+ Cách 1: Đối với dạng bài tập mà mối quan hệ của x và y không phải là tổng (hiệu), chúng ta phải sử dụng đến các tính chất bổ trợ, chẳng hạn câu c, ta áp dụng tính chất:
Ta có: hoặc . Suy ra hoặc 
+ Với 	+ Với 
+ Cách 2: Áp dụng nhận xét: Nếu có thì 
Đặt . Thay (3) và biểu thức , ta được:
. Suy ra hoặc 
+ Với 
+ Với 
+ Cách 3: Biểu thị số hạng này theo số hạng kia.
Ta có: . Thay (4) vào biểu thức , ta được:
Suy ra hoặc 
+ Với 
+ Với 
Bài 9: Tìm hai số x, y biết rằng: và 
* Phương pháp: 
+ Cách 1: Áp dụng tính chất trong bài 7, ta có:
 hoặc và hoặc 
Vì nên và .
+ Cách 2: Áp dụng nhận xét: Nếu có thì 
Đặt ; thay vào , tiếp tục tìm x và y.
+ Cách 3: Biểu thị số hạng này theo số hạng kia.
, thay vào biểu thức, tiếp tục tìm x và y.
Bài 10: Tìm x, y biết: và 
* Phương pháp: Đề bài cho trước . Vậy, làm như thế nào để áp dụng được tính chất đã biết đối với tỉ lệ thức ? 
Áp dụng tính chất: 
Ta có: 
Suy ra: và . Vậy 
* Các cách 2 và 3 áp dụng tương tự cho bài tập 10. 
Bài 11: Tìm x, y, z cho:và 
* Phương pháp: Sử dụng các cách có thể, chẳng hạn dùng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 
Suy ra: 
Bài 12: Tìm x, y, z cho:và 
* Gợi ý: Thay đổi điều kiện thành điều kiện , ta giải tương tự bài 11. Ta có: 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta tiếp tục tìm x và y.
Bài 13: Tìm x, y, z biết: và 
* Phương pháp: 
+ Cách 1: Đối với bài tập này, cần tìm ba số hạng là x, y, z. Vì vậy, để áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta phải tạo được dãy tỉ số bằng nhau bằng cách sử dụng tính chất: như sau:
(Ở đây ta có và là hai tỉ số cùng chứa số hạng y của hai tỉ lệ thức đã cho, nên ta tạo ra hai tỉ số giống nhau đối với số hạng y của hai tỉ lệ thức này để lập dãy tỉ số bằng nhau)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
 Suy ra ; 	 ; 	
Vậy ; ; 
+ Cách 2: Áp dụng nhận xét: Nếu có thì 
Đặt .
Khi đó: và 
Mà nên 
Thay vào 
Tiếp tục thay vào để tìm x, y, z.
+ Cách 3: Biểu thị hai số hạng này theo số hạng còn lại.
Từ (5) ta suy ra .Từ (6) ta suy ra . Thay vào (7) ta được: . Ta tìm y, sau đó thay y vào tìm x và z. 
+ Cách 4: Biến đổi và áp dụng tính chất của đẳng thức
Ta có: và 
Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên ta được: 
 (vì ) 
Vì 	
Vì 
Bài 14: Tìm x, y, z biết và 
* Phương pháp: 
+ Cách 1: Từ ;	 
Sau đó, đưa về dãy tỉ số bằng nhau và giải tương tự cách 1 của bài 13. Tuy nhiên, cách này hơi dài và một số học sinh thường bị sai ở bước đầu tạo ra hai tỉ lệ thức như trên hoặc một số học sinh bị sai khi áp dụng tính chất . Vì vậy mà các em thường nhớ máy móc để làm bài.
+ Cách 2: Chúng ta phân tích cách làm:	
- Nếu có dãy tỉ số bằng nhau của của x, y, z và kết hợp điều kiện (8) ta sẽ tìm được x, y, z. 
- Làm thế nào để từ điều kiện sẽ có dãy tỉ số bằng nhau của của x, y, z. Ta sẽ chia các vế của đẳng thức cho như sau:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 
 Bài tập mở rộng dạng 2:
Bài 15: Tìm x, y, z biết: và 
* Gợi ý: Ta chọn cách giải phù hợp
+ Cách 1: (tương tự bài 14)
- Chia các vế của (9) cho ta có: 
+ Cách 2: Vì ta nên biểu thị x và y theo z
 và 
Sau đó, ta thay (10) vào điều kiện để tìm z, sau đó tìm x và y.
Bài 16. Tìm x, y, z biết:
a) và 
b) và 
* Gợi ý:
a) Từ (1) ta có:
Suy ra: ;	;	 
b) Tương tự bài 14: Chia các vế của (12) cho BCNN (2;3;4) = 12
Suy ra 
Bài 17: Tìm các số biết: 
và 
* Gợi ý: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Từ đó suy ra 
Dạng 3: Bài toán về chứng minh đẳng thức
	Sau khi học sinh đã nắm được kiến thức cơ bản của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau, thành thạo hai dạng toán nêu trên, có thể nâng cao khả năng tư duy của học sinh bằng dạng bài tập chứng minh đẳng thức với một số bài tập cơ bản sau:
Bài 18: Chứng minh rằng: Nếu thì với 
* Gợi ý: Với , ta có: (cộng vào hai vế của đẳng thức với cùng một số) (1) (đổi chỗ trung tỉ)
Tương tự:	 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm)
Bài 19: Cho . Chứng minh rằng: 
* Gợi ý: Áp dụng tính chất ta có: 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
 (đpcm)
Bài 20: Chứng minh rằng: Nếu thì:
a) 	b) 
* Phân tích:
a) 
 ?/ Nhận xét điều phải chứng minh? Làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d?
?/ Bài 18 gợi ý gì cho kết quả bài 20?
Từ (đpcm)
b) Tương tự:
Dạng 4: Ứng dụng tính chất của tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau vào giải bài toán chia tỉ lệ
Bài 21: Tam giác ABC có số đo các góc A, B, C lần lượt tỉ lệ với 3; 4; 5. Tính số đo các góc của tam giác ABC.
Lời giải: Gọi số đo các góc A, B, C của tam giác ABC lần lượt là x, y, z. Vì số đo các góc A, B, C lần lượt tỉ lệ với 3; 4; 5 nên ta có: 
Vì tổng các góc của tam giác bằng 1800 nên: 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
Suy ra: .
Vậy số đo các góc A, B, C của tam giác ABC lần lượt là: 
Bài 23: Diện tích rừng tự nhiên ở nước ta trong năm 1945; 1990 và 2002 lần lượt tỉ lệ với 40; 26; 34. Tính diện tích rừng của nước ta vào các năm đó, biết rằng tổng diện tích rừng trong ba năm 1945; 1990; 2002 là 35 triệu ha. (số liệu đã làm tròn đến hàng trăm nghìn).
Lời giải: Gọi diện tích rừng ở nước ta vào các năm 1945, 1990 và 2002 lần lượt là a, b, c (triệu ha). Theo đề bài ta có: 
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Vậy diện tích rừng ở nước ta vào các năm 1945, 1990 và 2002 lần lượt là 14 triệu ha; 9,1 triệu ha và 11,9 triệu ha.
Bài tập tự luyện 
Bài 1: Tìm y trong các tỉ lệ thức sau:
a) 	b) 	c) 
(Đáp số: a) 	b) 	c) )
Bài 2: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:
a) 	 b) 	c) 	 (Đáp số: a) 	 	b) 	 	 c) 	
Bài 3: Tìm x, y thỏa:và (Đáp số:;hoặc ;)
Bài 4: Tìm x, y, z biết:
a) và 	(Đáp số )
b) và và 	(Đáp số:)
Bài 5: Chứng minh rằng: Nếu thì 
Trên đây là một số bài tập cơ bản về tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau mà tôi đã lựa chọn và phân dạng. Qua việc áp dụng các kiến thức về tỉ lệ thức và dãy các tỉ số bằng nhau để giải bài tập, học sinh đã nắm được các kiến thức cơ bản nêu trên một cách chắc chắn hơn, rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy toán học logic, có căn cứ, đồng thời gây hứng thú học tập, thúc đẩy khả năng tìm tòi sáng tạo của học sinh trong môn toán nói riêng và các môn học khác nói chung. Đồng thời giúp các em biết cách xử lý một cách linh hoạt, nhanh nhạy, tối ưu các tình huống trong đời sống hàng ngày khi vận dụng kiến thức đã học vào thực tế. 
Để đạt được kết quả như mong muốn khi dạy kiến thức về tỉ lệ thức, theo ý kiến chủ quan của bản thân, tôi suy nghĩ và đã thực hiện như sau:
	1. Thứ nhất, truyền đạt chính xác, đầy đủ các kiến thức cơ bản về tỉ lệ thức và dãy các tỉ số bằng nhau như đã nêu trên.
	2. Thứ hai, giáo viên hướng dẫn cho các em làm bài tập áp dụng trong tiết dạy lý thuyết về những bài tập cơ bản, sau đó luyện giải các dạng bài tập cụ thể, đa dạng từ dễ đến khó trong tiết luyện tập. Cần rèn luyện thêm cách lập luận và trình bày bài làm cho học sinh yếu, trung bình vì đây là học sinh rất mau quên kiến thức, hay chán nản và dễ bị mất kiến thức, thờ ơ với phương pháp học tập ở cấp THCS. Đồng thời tăng cường biện pháp để kiểm tra việc học bài và làm bài ở nhà của học sinh để đảm bảo chất lượng của bài dạy.
3. Thứ ba, bài tập về tỉ lệ thức và dãy các tỉ số bằng nhau tuy đa dạng nhưng với chương trình Sách giáo khoa yêu cầu các dạng bài tập cơ bản, do đó với mỗi dạng bài tập giáo viên nên chốt lại phương pháp làm bài và các kiến thức đã áp dụng như việc áp dụng các tính chất, các nhận xét, cách trình bàysau khi giải hoặc hướng dẫn, giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm là mấu chốt của bài toán để khi gặp bài tương tự, học sinh có thể tự liên hệ và áp dụng được với kiến thức cũ.
4. Thứ tư, mỗi giáo viên nên thường xuyên động viên, khích lệ các em, tạo tâm thế yên tâm, tin tưởng cho các em phấn đấu bởi trong thực tế chắc chắn có nhiều em học rất tốt, nhưng cũng có nhiều em học yếu, đôi lúc làm chúng ta buồn bực, thất vọng. Đây cũng có thể là một yếu tố tác động tích cực nhằm đem lại kết quả khả quan hơn trong quá trình dạy và học của cả giáo viên và học sinh, bởi đối với cấp THCS, lứa tuổi lớp 7 và lớp 8 chưa ổn định..
5. Cuối cùng, tăng cường phối hợp các phương pháp, kết hợp dạy kiến thức mới, củng cố kiến thức cũ đan xen các bài kiểm tra về các dạng bài tập, các mảng kiến thức đã học, khi có sự đánh giá, nhận xét của giáo viên thì học sinh phần nào biết được mức độ nắm bắt kiến thức của bản thân để điều chỉnh tốt hơn. Thông qua đó, kịp thời liên hệ với giáo viên chủ nhiệm lớp (nếu không làm công tác chủ nhiệm) hoặc liên hệ trực tiếp với phụ huynh học sinh (nếu là giáo viên chủ nhiệm) để thông báo tình hình học tập, chất lượng kiểm tra chủ đề kiến thức đang học để nhắc nhở, chấn chỉnh các em.
. Điều kiện thực hiện giải pháp, biện pháp 
Các giải pháp nêu trên được thực hiện trực tiếp trong quá trình dạy – học của giáo viên – học sinh. Trên cơ sở tích lũy của giáo viên và sự chuẩn bị chu đáo cho nội dung các bài dạy thì hiệu quả đề ra sẽ khả quan hơn. Bên cạnh đó, có thể mở rộng kiến thức vào các bài tập nâng cao đối với học sinh khá giỏi trong những tiết học hai buổi, trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán các khối lớp THCS với những kiến thức liên quan.
. Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp
Các giải pháp trên có sự tương tác bổ trợ trực tiếp lẫn nhau, có quan hệ tác động lẫn nhau. Giải pháp (1) là tiền đề cơ bản, là điều kiện tiên quyết của quá trình dạy – học. Giải pháp (2) tạo sự bền vững cho kết quả của sáng kiến kinh nghiệm. Là giải pháp nhằm duy trì chất lượng tác động giáo dục của giáo viên với học sinh. Giải pháp (3) tạo điều kiện để nâng cao chất lượng của quá trình tác động giáo dục giữa giáo viên và học sinh, có tính bổ trợ, có tác dụng trực tiếp đem lại hiệu quả cho người học khi người học có ý thức tự giác, tự rèn luyện. Giải pháp (4) hỗ trợ, tạo động lực cho người học, tạo sự phấn khích để tăng thêm ý chí cố gắng và lòng quyết tâm, vững tin hơn đối với học sinh – chủ thể của quá trình tiếp cận tri thức của nhân loại. Cuối cùng, giải pháp (5) như đòn bẩy, tạo sức bật cho người học, kịp thời điều chỉnh hành vi học tập của học sinh thông qua sự phối kết hợp gia đình và nhà trường trong việc giáo dục các em. 
Nhìn chung, các giải pháp này đan xen, tương tác với nhau, tạo nên những nghệ thuật dạy học riêng, đem lại hiệu quả riêng cho mỗi giáo vi