Đề tài Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số

 hợp tác, làm việc của tất cả học sinh, giáo viên cùng bộ môn.
- Vận dụng kiến thức lý thuyết vào thực hành giải bài tập, kết quả phụ thuộc vào phương pháp giảng dạy của giáo viên, ý thức tự giác của học sinh.
2.5 Phân tích đánh giá các vấn đề về đề tài thực trạng mà đề tài đặt ra.
Dạng toán tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau là dạng toán tương đối khó. Đa số học sinh không thích học ở phần này. Khi học phần này đòi hỏi các em phải tích cực, chịu khó đọc sách tham khảo nhiều. Vì phần này là một phần tương đối khó nhưng số tiết học ở lớp thì không nhiều chỉ có 4 tiết nhưng bài tập ứng dụng nó lại rất nhiều không chỉ trong toán học mà cả trong vật lý. Đặc biệt nhất là thi học sinh giỏi văn hóa và luyện toán qua mạng thì phần này nó chiếm một phần rất lớn. Bên cạnh đó khi thao giảng đa số giáo viên ngại thao giảng phần này cho nên việc đúc rút kinh nghiệm trong quá trình dạy còn nhiều hạn chế. 
3. Giải pháp, biện pháp
3.1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp
* Mục tiêu của giải pháp
- Học sinh giải quyết được các bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau.
- Phát triển năng lực tư duy, phát huy nâng cao mức độ năng lực của các em.
- Phát huy tính tự giác, độc lập của học sinh trong việc giải quyết bài tập.
* Biện pháp
- Giáo viên hệ thống hóa lại kiến thức cho học sinh
- Lựa chọn các bài tập phù hợp với từng loại đối tượng học sinh.
- Hướng dẫn các em phân tích bài toán và từng bước giải quyết vấn đề.
- Giao nhiệm vụ cho từng cá nhân, nhóm, tổ và chỉ rõ thời gian hoàn thành nhiệm vụ.
- Thường xuyên kiểm tra và đánh giá chất lượng, kỹ năng giải bài toán của học sinh.
3.2 Nội dung, cách thực hiện các giải pháp biện pháp.
Để giúp cho học sinh lĩnh hội, nắm chắc được kiến thức và giải quyết tốt các bài tập thì người giáo viên kiểm tra xem các em nắm được nội dung lý thuyết đến mức nào và giúp các em nắm chắc kiến thức lý thuyết thì khi đó việc vận dụng lý thuyết vào giải bài tập mới phát huy hiệu quả và nội dung lý thuyết là vô cùng quan trọng khi giải bài tập do vậy người giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải cho các em mà quan trọng hơn là dạy cho các em biết suy nghĩ, tìm ra con đường hợp lý để giải bài toán.
Các việc làm cụ thể.
3.2.1 Lý thuyết về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau.
3.2.1.1 Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức.
a. Định nghĩa
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỷ số (b,d 0)
Các số hạng a và d được gọi là số hạng ngoại tỉ, b và c gọi là số hạng trung tỷ.
b. Tính chất
- Tính chất 1: (Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức)
Nếu (b,d 0) thì a.d=c.b 
- Tính chất 2: (Tính chất hoán vị)
Nếu a.d=b.c và a, b,c,d 0 thì ta có các tỉ lệ thức 
Nhận xét: Từ 1 trong 4 tỉ lệ thức trên ta suy ra được 3 tỉ lệ thức còn lại.
3.2.1.2 Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
+ Từ tỷ lệ thức ta suy ra ( với bd, b-d)
+ Mở rộng từ dãy tỉ số bằng nhau(Giả thiết các tỷ số đều có nghĩa)
3.2.1.3 Chú ý.
- Khi có dãy tỉ số ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 4 ta cũng có thể viết a : b : c = 2 : 3 : 4
- Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức suy ra:
Từ suy ra ; 
Sau khi học sinh đã nắm chắc lý thuyết thì việc vận dụng lý thuyết vào giải bài tập là vô cùng quan trọng. Do vậy người giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là dạy cho các em biết suy nghĩ, tìm ra con đường hợp lý để giải bài toán. Tuy nhiên khi giải bài tập dạng này tôi không muốn dừng lại ở những bài tập SGK mà tôi muốn giới thiệu thêm một số bài tập điển hình và giải những bài tập đó.
3.2.2 Các dạng bài tập
Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đưa ra một số dạng bài tập và các phương pháp giải cùng kinh nghiệm của bản thân rút ra từ các bài tập ấy.
Dạng 1
Lập tỉ lệ thức từ các tỉ số đẳng thức, tỉ lệ thức hoặc từ các số cho trước.
Phương pháp giải
+ Nếu có các tỉ số cho trước thì tìm xem các tỉ số nào bằng nhau trong các tỉ số đã cho.
+ Nếu có các đẳng thức thì vận dụng tính chất 2 để lập tỉ lệ thức.
+ Nếu có 1 tỉ lệ thức chúng ta có thể lập thêm ba tỉ lệ thức nữa, bằng cách:
	- Giữ nguyên ngoại tỉ đổi chỗ trung tỉ
	- Giữ nguyên trung tỉ đổi chỗ ngoại tỉ
	- Đổi chỗ các ngoại tỉ với nhau, trung tỉ với nhau.
+ Nếu có các số hạng thì xem bốn số nào thỏa mãn đẳng thức dạng a.d=b.c rồi từ đó lập các tỉ lệ thức.
 Bài tập
Bài toán 1: Các tỉ số sau đây có lập thành các tỉ lệ thức hay không?
a) 0,5 : 15 và 0,15 : 50 b) 0,3 : 2,7 và 1,71 : 15,39
Giải:
a) Ta có: 0,5 : 15 = và 0,15 : 50 = 
Vì nên các tỉ số 0,5 : 15 và 0,15 : 50 không lập thành tỉ lệ thức
b) Ta cã : 0,3 : 2,7 = và 1,71 : 15,39 = 
Suy ra: 0,3 : 2,7 = 1,71 : 15,39
Vậy 0,3 : 2,7 và 1,71 : 15,39 lập thành tỉ lệ thức.
Bài toán 2: Hãy lập tất cả tỉ lệ thức có thể lập được từ các số sau: 
a) 0,16; 0,32; 0,4; 0,8 b) 1; 2; 4; 8
Giải
( Hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất 2: Điều kiện 4 để lập thành tỉ lệ thức)
a) Ta có: 0,16 . 0,8 = 0,32 . 0,4 ( = 0,128)
Suy ra ta lập được các tỉ lệ thức sau:
 ; ; ; 
b) Tương tự ta có: 1. 8 = 2 . 4( = 8)
Suy ra ta lập được các tỉ lệ thức sau: ; ; ; 
Bài tập áp dụng
 Bài 1: Trong các tỉ số sau, hãy chọn các tỉ số thích hợp để lập thành một tỉ lệ thức: 
 Bài 2: Có thể lập được một tỉ lệ thức từ 4 số trong các số sau không (mỗi số chọn một lần). Nếu có lập được bao nhiêu tỉ lệ thức ?
a) 3; 4 ;5 ;6 ;7 b) 1; 2; 4; 8; 16 c) 1; 3; 9; 27; 81; 243.
Dạng 2
Tìm số hạng chưa biết
a) Tìm một số hạng chưa biết của một tỉ lệ thức.
* Phương pháp.
Áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức
Nếu 
Muốn tìm ngoại tỉ chua biết ta lấy tích của hai trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết. Muốn tìm trung tỉ chua biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.
* Bài tập
Bài tập 1 (Bài 42 SGK/Tr26)
Tìm x trong tỉ lệ thức sau: -0,52:x = -9,36:16,38
(Bài toán dạng này các em có thể sử dụng kiến thức tìm 1 số hạng khi biết 3 trong số 4 số hạng của tỉ lệ thức )
Giải
-0,52:x = -9,36:16,38
Suy ra: 
Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia ta có thể nâng mức độ khó hơn như sau:
 (hướng dẫn cho học sinh có thể đưa tỉ lệ thức trên về dạng đơn giản rồi tìm x như bài tập trên)
Bài tập 2 (Bài 69a SBT/Tr20)
Tìm x biết: 
(Bài toán này ta thấy có 2 số hạng chưa biết trong 4 số hạng của tỉ lệ thức nhưng có điểm đặc biệt là hai số hạng chưa biết này giống nhau và cùng ở một vị trí là cùng ngoại tỉ nên ta đưa về dạng luỹ thừa bậc hai).
Giải
Ta có: suy ra x.x = -15 .(-60) 
Suy ra x = 30 hoặc x = -30
Ta thấy trong tỉ lệ thức có hai số hạng chưa biết nhưng hai số hạng đó giống nhau nên ta đưa về dạng lũy thừa bậc hai. Ta có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức:
Tìm x biết:
Ở câu a, b cần chú ý cho học sinh khi lũy thừa mũ chẵn 
VD: 
Hs thường sai lầm khi suy ra x – 1 = 30 suy ra x = 31
Phải suy ra hai trường hợp x–1= 30 và x–1= -30 từ đó suy ra x = 31 hoặc x = -29.
Bài tập 3 
Tìm x trong tỉ lệ thức: Tìm x trong tỉ lệ thức 
(Ở bài toán này ta có nhiều cách để giải quyết bài toán)
Cách 1: Lấy tích trung tỉ bằng tích ngoại tỉ rồi tính.
Giải
Từ suy ra 
Cách 2: Biến đổi rồi áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
Giải
 Từ suy ra 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
(Hai cách này giáo viên có thể cho học sinh làm cách nào cũng được nhưng nên cung cấp cả hai cách cho học sinh)
Bài tập 4. Tìm x trong tỉ lệ thức 
(Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đền bằng 1 do đó khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu do đó khi làm bài tập ở dạng này giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh về hệ số của biến trong tỉ lệ thức. Có thể giải quyết bài toán trên bằng các cách như sau.)
Giải
Cách 1: Biến đổi.
Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức vầ hệ số đều bằng 1 do đó sau khi biến đổ thì bị triệt tiêu, có thể làm bài toán trên bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau như sau:
Cách 2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Chú ý: Ở cách này giáo viên nên chú ý cho học sinh vì sao khi ta lại áp dụng mà không áp dụngvì nhiều học sinh các em không hiểu nên các em hay áp dụng tính chất hơn, và khi trừ thì nên nhắc lại cho các em là phải đổi dấu các số hạng. Có nhiều em cùng thực hiện nhưng các số hạng trong c và d không đổi dấu dẫn đến kết quả lại sai:
b) Tìm nhiều số hạng chưa biết:
+) Xét bài toán cơ bản thường gặp sau:
Tìm các số x, y, z thỏa mản (1) và 
 (Trong đó a, b, c, a+b+c 0 và a, b, c là các số cho trước)
Cách giải:
Cách 1: Đặt ẩn phụ.
Đặt = k
 thay vào (2) ta có:
k.a + k.b + k.c = d
 k.(a + b + c) = d
 k = 
Từ đó tìm được 
Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 	* Hướng khai thác từ bài toán trên như sau:
- Giữ nguyên điều kiện (1) và thay đổi điều kiện (2) như sau:
Giữ nguyên điều kiện (2) và thay đổi điều kiện (1) như sau:
* Bài tập:
Bài tập 1:
Tìm 3 số x, y, z biết và x + y + z = 27
 (Bài này giáo viên nên cho 2 học sinh lên làm theo hai cách)
Giải:
Cách 1: Đặt ẩn phụ.
 Đặt = k
 x = 2k ; y = 3k ; z = 4k
 Từ x + y + z = 27 suy ra 2k + 3k + 4k = 27 9k = 27 k = 3
 	Khi đó x = 6; y = 9; z = 12
Vậy x = 6; y = 9; z = 12
Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Từ bài toán trên ta có thể thành lập các bài toán sau:
Bài tập 2: Tìm 3 số x, y, z biết và 2x + 3y – 5z = -21
 (Ở bài toán này hệ số trước các biến ở điều kiện 2 không cùng với hệ số của các biến ở điều kiện 1 nữa cho nên khi học sinh giải theo cách 2 phải biến đổi điều kiện 1 sao cho hệ số của các biến ở điều kiện 1 cùng với hệ số của các biến ở điều kiện 2 rồi mới áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.)
Giải:
Cách 1: Đặt ẩn phụ.
 = k
Cách 2: Biến đổi rồi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Từ suy ra 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Bài tập 3: Tìm 3 số x, y, z biết và 
Giải:
Cách 1: Đặt ẩn phụ.
Đặt: = k
(Cách này ta tìm được k2 bằng một số nào đó rồi tự thay vào tìm x, y, z.)
Cách 2: Biến đổi rồi áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
 (Biến đổi tỉ lệ hức sao cho các biến ở điều kiện 1 giống với các biến ở điều kiện 2 sau đó áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.)
 Từ suy ra: 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Suy ra:
Vậy x = 6, y = 9, z = 12 hoặc x = -6, y = -9, z = -12
Bài tập 4
Tìm 3 số x, y, z biết và x.y.z = 648
Chú ý: Ở dạng bài tập này giáo viên phải chú ý cho học sinh ở điều kiện 2, trong trường hợp này đa số học sinh hay áp dụng tương tự hay cho nên dẫn đến việc giải bài toán bị sai.
Đa số các em hay giải bài toán này như sau:
Suy ra: x = 54, y = 81, z = 108
Cho nên khi giải bài toán dạng này giáo viên cần phải nhấn mạnh, nhắc rõ tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho các em. Để các em khi gặp các bài toán dạng này khỏi bị mắc sai lầm.
 Giải bài toán này có 2 cách thực hiện.
Cách 1: Đặt ẩn phụ
Đặt: = k
Cách 2: Biến đổi điều kiện (1) 
Từ 
Từ đó tìm được y = 9, z = 12
Bài tập 5
Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y + z = 27
(Bài tập dạng này ở điều kiện 1 là 2 tỉ lệ thức chứ không phải 1 tỉ lệ thức nên gặp dạng này các em thường khó xử lý và nhiều em không biết cách làm nên khi dạy giáo viên phải phân tích rõ bài toán cho các em. Ở đẳng thức thứ nhất và thứ đều có biến x nên yêu cầu các em phải phân tích và đưa hai đẳng thức về hai tỉ lệ thức sao cho nó đề có )
Giải
Từ 3x = 2y 
Từ 4x = 2z 
Suy ra sau đó giải tiếp như bài tập 1
Bài tập 6: Tìm x, y, z biết :
	a)	3x = 5y = 8z và x + y + z = 158
	b)	2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z - 7y = 60
	c)	2x = 3y = 5z và x + y - z = 95
Gi¶i:
	Đối với bài toán 6 có vẽ khác lạ hơn so với các bài toán trên. Song tôi đã nhá các em lưu ý đến sự thành lập tỉ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích hoặc đến tính chất của đẳng thức. Từ đó các en có hướng giải và chọn lời giải cho phù hợp.
Cách 1: Dựa vào sự thành lập tỉ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích ta có lời giải sau: 
Ta có: 3x = 5y 
	5y = 8z 
 x = 40 . 2 = 80
	 y = 24 . 2 = 48
	 z = 15 . 2 = 30	
Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Cách 2: Dựa vào tính chất phép nhân của đẳng thức. Các em đã biết tìm bội số chung nhỏ nhất của 3; 5; 8. Từ đó các em có lời giải bài toán như sau:
Ta có: BCNN (3; 5; 8) = 120
	Từ 3x = 5y = 8z 
	Hay 
	 x = 40 . 2 = 80
	 y = 24 . 2 = 48
	 z = 15 . 2 = 30	
Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Cách 3: Tôi đã đặt vấn đề: Hãy viết tích giữa hai số thành một thương. Điều đó đã hướng ra cho các em tìm ra cách giải sau : 
	Từ 3x = 5y = 8z 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
	 x = 
	 y = 
	 z = 
 Vậy x = 80; y = 48; z = 30
	 Qua ba hướng giải trên, đã giúp các em có công cụ để giải bài toán và từ đó các em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic. Cũng từ đó giúp các em phát huy thêm hướng giải khác và vận dụng để giải các phần b và c.
	Để giải được phần b thì yêu cầu cac em phải có tư duy một chút để tạo nên tích trung gian như sau:
	+ Từ 2x = 3y 2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y (1)
	+ Từ 5y = 7z 5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z (2)
 Từ (1) và(2) ta có: 10x = 15y = 21z
 x = 
 y = 
 z = 
 Vậy x = 84; y = 56; z = 40. 
 Kết quả thu được: Các em đã tìm được ra hướng giải cho phà tự lấy được ví dụ về dạng toán này.
Bài tập 7: Tìm x, y, z biết 
	a) 	
	b)	
Để tìm được lời giải của bài toán này tôi cho các em nhận xét xem làm thế nào đễuất hiện được tổng x + 2y – z = 12 hoặc 2x + 3y – z = 50 hoặc 2x + 3y – 5z = 10.
Với phương pháp phân tích, hệ thống hóa đã giúp các em nhận ra ngay và có hướng đi cụ thể.
	Cách 1: Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có lời giải như sau:
a) Ta cã : 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 	 x - 1 = 5 x = 6
	 y - 2 = 3 y = 5
	 z - 2 = 2 z =4
	Cách 2 : Đặt ẩn phụ
§Æt	
	x - 1 = 5k	 x = 5k + 1 
	 y - 2 = 3k	 y = 3k + 2
 z - 2 = 2k z = 2k + 2
Ta có: x + 2y - z = 12 2k + 1 + 2(3k + 2) - (2k + 2) = 12
	 9k + 3 = 12
	 k = 1
	Vậy 	x = 5 . 1 + 1 = 6
	y = 3 . 1 + 2 = 5
	z = 2 . 1 + 2 = 4
	Với các phương pháp cụ thể của từng hướng đi các em đã vận dụng để giải câu b và c của bài toán.
Bài 6: Tìm x, y, z biết rằng :
	Đối với bài toán này hơi khác lạ so với những bài toán trước. Vậy ta sẽ phải khởi đầu từ đâu? Đi từ kiến thức nào? Điều đó yêu cầu các em phải tư duy chọn lọc để xuất hiện x + y + z. Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỉ số đầu tiên để xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau và đã có lời giải như sau: 
Giải
§iÒu kiÖn : x, y, z ¹ 0 và x + y + z ¹ 0
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Suy ra : x + y + z = 
	 x + y = 0,5 - z
	 y + z = 0,5 - x
	 x + z = 0,5 - y
Thay các giá trị vừa tìm được của x, y, z vào tỉ số trên ta có:
	+)	 	
 0,5 - x + 1 = 2x
 1,5 = 3x
 x = 0,5
	+)	
 2,5 - y = 2y
 2,5 = 3y
 y = 
	+)	
 -2,5 - z = 2z
 -2,5 = 3z
 z = 
	VËy (x; y; z) = ( 0,5; ; -)
Bài tập vận dụng
Bài 1 : Tìm x, y, x biết :
a) vµ b) , vµ 
c) vµ d) vµ 
 e) vµ f) 
Bài 2 : Tìm các số x, y, x biết :
 a) vµ b) vµ 
 c)vµ d) vµ 
Dạng 3: 
Chứng minh đẳng thức khi biết một tỉ lệ thức 
(hoặc một dãy tỉ số bằng nhau) cho trước
1. Phương pháp
Việc hệ thống hóa, khái quát hóa các kiến thức của tỉ lệ thức còn có vai trò rất quan trọng trong việc chứng minh tỉ lệ thức, với hệ thống các bài tập đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể cơ bản đến trừu tượng, mở rộng đã cho các em rất nhiều hướng để giải quyết tốt yêu cầu bài toán.
Để chứng minh tỉ lệ thức ta có các phương pháp sau:
Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng a.d = b.c
Phương pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỉ số có cùng 1 giá trị nếu trong đề bài đã cho trước 1 tỉ lệ thức, ta đặt giá trị chung của các tỉ số tỉ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k
Phương pháp 3: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức biến đổi tỉ số ở vế trái (của tỉ lệ thức cần chứng minh) thành vế phải.
Phương pháp 4: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức để từ tỉ lệ thức đã cho biến đổi thành tỉ lệ thức phải chứng minh.
Bài tập.
Bài tập 1: Cho tỉ lệ thức Với a, b, c, d 0
Chứng minh : 
Giải
Cách 1:
Xét tích 
Thay 
Vậy 
 Như vậy để chứng minh: .
Ta phải có đẳng thức .
Cách 2: Đặt 
Xét (1)
Và (2)
Từ (1) và (2) 	
Trong cách này ta chứng minh tỉ số nhờ tỉ số thứ ba. Để có tỉ số thứ ba ta đặt giá trị số đã cho bằng giá trị k. Từ đó tính giá trị của một số hạng theo k.
Cách 3: Từ tỉ số 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 hay 
 Trong cách này sử dụng hoán vị trung tỉ rồi áp dụng tính chat của dãy tỉ số bằng nhau rồi hoán vị ngoại tỉ mtj lần nữa. 
Cách 4: Từ 
XÐt 
 VËy 
Cách 5: Từ 
Lấy 1 trừ từng vế của tỉ lệ thức:
 Trong cách này, biến đổi đồng thời ngoại tỉ cho trung tỉ. Rồi lấy số 1 trừ từng vế của tỉ lệ thức sau đó biieens đổi đẳng thúc cần chứng minh.
 Tãm l¹i tõ mét tØ lÖ thøc ta cã thÓ suy ra tØ lÖ thøc kh¸c b»ng c¸ch chøng minh theo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau cã thÓ sö dông trong bµi tËp.
Bài tập 2: Cho tû lÖ thøc Víi vµ 
Chøng minh : 	 hoÆc 
C¸ch 1: Ta sö dông c¸ch biến đổi: 
V× nªn 
VËy hoÆc 
C¸ch 2: Tõ 
¸p dông tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng nhau ta cã:
 (1)
vµ (2)
Tõ (1) vµ (2) 
XÐt tr­êng hîp : 
 ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã:
XÐt tr­êng hîp : 
¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã:
Bài tập 3: Cho tØ lÖ thøc . Chøng minh r»ng: 
Gi¶i:
C¸ch 1: Tõ gi¶ thiÕt: (1)
Ta cã: (2)
 (3)
Tõ (1), (2), (3) suy ra: 
 (®pcm)
C¸ch 2: Đặt ẩn phụ. 
§Æt , suy ra 
Ta cã: (1) 
 (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: (®pcm)
C¸ch 3: Tõ gi¶ thiÕt: 
 (®pcm)
Bài tập 4: Cho H·y chøng minh: 	
 a) 	 b) 	c)	
	§èi víi bµi to¸n 4 h­íng gi¶i t­¬ng tù nh­ bµi to¸n 1, song møc ®é tÝnh to¸n dÔ nhÇm lÉn h¬n. T«i ph¶i ph©n tÝch, cho häc sinh «n l¹i vÒ luü thõa, vÒ tÝnh chÊt më réng cña tØ lÖ thøc ®Ó c¸c em dÔ nhËn biÕt, dÔ tr×nh bµy h¬n. T«i ®· nhÊn m¹nh l¹i c«ng thøc: 
NÕu: 	 vµ h­íng cho c¸c em tr×nh bµy lêi gi¶i cña bµi to¸n phÇn b. 
Gi¶i:
	Tõ 	 (ho¸n vÞ c¸c trung tû)
	 Hay 
 T­¬ng tù phÇn (b) häc sinh dÔ dµng hiÓu vµ tr×nh bµy ®­îc lêi gi¶i phÇn a, c vµ h­íng cho c¸c em tù t×m hiÓu c¸c ph­¬ng ph¸p kh¸c ®Ó chøng minh tû lÖ thøc. 
Bài toán 5
 Cho 4 số khác 0 là thỏa mãn chứng tỏ rằng 
(Ở bài này giáo viên nên hướng dẫn cho học sinh cách phân tích và biến đổi diều kiện 2)
Giải: 
Từ:
Từ (1), (2) suy ra 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Từ (3), (4) suy ra 
Ta cũng có thể chuyển bài tập 4 thành dạng sau:
Cho chứng minh rằng 
Đối với dạng này ta sử dụng phương pháp hai đặt ẩn phụ k thì ta giải quyết gần hết các bài toán, giải theo cách này học sinh dễ hiểu hơn và các em làm nhanh hơn. Tuy nhiên đối với học sinh khá giỏi thì giáo viên nên cung cấp thêm nhiều cách cho các e.
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho tØ lÖ thøc: . Chøng minh r»ng ta cã c¸c tØ lÖ thøc sau: (víi gi¶ thiÕt c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa).
1) 2) 
3) 4) 
Bài 2:: Cho . Chøng minh r»ng: 
Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu : th× 
Bài 4: Cho . CMR: 
Bài 5: Cho tØ lÖ thøc . CMR: 
Dạng 4: Toán chia tỉ lệ:
Phương pháp giải:
Bước 1: Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết
Bước 2: Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện.
Bước 3: Tìm các số hạng chưa biết.
Bước 4: Kết luận.
Bài tập.
Bài tập 1: (Bài 76 SBT/tr 21)
Tính độ dài các cạnh của một tam giác biết chu vi là 22 cm và các cạnh tỉ lệ với 2:4:5
( Trước khi cho học sinh giải giáo viên nên cho họ sinh phân tích kĩ bài toán xem bài toán này cần tìm cái gì, cho biết cái gì và nó có quan hệ với nhau như thế nào. Học sinh trả lời được các câu hỏi trên thì tự các em giải quyết được bài toán)
Giải:
Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c (cm, a, b, c > 0 )
Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có:
 a + b + c = 22
Vì cạnh của tam giác tỉ lệ với 2:4:5 nên ta có:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau nên ta có:
Suy ra:
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác là: 4cm, 8cm, 10cm.
Chú ý: Ở bài toán dạng như thế này giáo viên cần phải nhắc học sinh đặt điều kiện của biến.
* Ta có thể thay điều kiện hai như sau:
Biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất bằng 3.
HD: Khi đó với điều kiện thứ 2 ta có được c – a = 3. Tiếp tục sử dụng tính chất của dãy tỉ số