SKKN Một số phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình

giáo dục học sinh.
Ngoài những thuận lợi kể trên thì hiện tại trường vẫn gặp nhiều khó khăn nhất định. Cơ sở vật chất của trường tuy đã được đầu tư hơn trước, nhưng so với nhu cầu sử dụng thì vẫn còn nghèo nàn và thiếu thốn khá nhiều. Lực lượng giáo viên trẻ còn nhiều nên còn thiếu kinh nghiệm trong việc giảng dạy. Gia đình học sinh chủ yếu là lao động chân tay nên điều kiện học tập của các em còn hạn chế, ngoài thời gian đến lớp, đa phần các em còn phải phụ giúp gia đình trong công việc đồng án ở nhà, do đó thời gian học tập ở nhà còn hạn hẹp. Không những vậy, nhiều gia đình học sinh có hoàn cảnh hết sức khó khăn nên một bộ phận học sinh có tư tưởng bở học đi làm thêm kiếm tiền phụ giúp gia đình gây nên khó khăn không nhở trong việc vận động học sinh đến lớp của giáo viên. 
Năm học 2018-2019 được phân công giảng dạy môn Toán 8, sau khi nhận nhiệm vụ tôi đã tiến hành điều tra, sát hạch về hứng thú học tập và kết quả học tập môn Toán của học sinh ba lớp 8A1, 8A2, 8A3 bằng phiếu điều tra và bài kiểm tra 90 phút với hình thức trắc nghiệm, tự luận ngay từ đầu năm học với kết quả thu được như sau:
- Về hứng thú học tập:
Tổng số HS
Yêu thích
Không yêu thích
94
Số lượng
Tỉ lệ
Số lượng
Tỉ lệ
28
29,8%
66
70,2%
- Về kết quả học tập:
Tổng số HS
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
94
Số lượng
Tỉ lệ
Số lượng
Tỉ lệ
Số lượng
Tỉ lệ
Số lượng
Tỉ lệ
7
7.4%
15
16%
65
69,2%
7
7.4%
Đây là kết quả chưa thật sự tốt đối với một trong những bộ môn được xem như khá quan trọng trong chương trình học của học sinh, đặc biệt trong quá trình giảng dạy vẫn còn một phần lớn học sinh khá thụ động trong việc tiếp thu kiến thức, cũng như giải bài tập, không hăng say phát biểu bài, đa số mỗi tiết học là giáo viên say sưa giảng bài, một phần nhỏ học sinh tiếp thu, phát biểu còn lại đa số học sinh ngồi chép bài một cách thụ động. Chính vì vậy, việc tìm ra một phương pháp mới để thay đổi thực trạng trên là vấn đề mà tôi luôn băn khoăn và suy nghĩ.
III. Các giải pháp đã tiến hành
	Khi trực tiếp giảng dạy cho các em học sinh, tôi nhận thấy những khó khăn mà các em gặp phải đến từ các yếu tố chủ quan cho đến khách quan, việc giải quyết những khó khăn đó đòi hỏi người giáo viên phải luôn theo sát những bước đi của các em. Nắm được tâm lý ngại khó, ngại suy nghĩ của các em nên tôi đã phân chia các bài tập ra từng dạng cụ thể, phân chia các bài tập theo từng cấp độ phù hợp với từng đối tượng học sinh, đồng thời kích thích, gây sự hứng thú cho các em học sinh khá giỏi.
	Ngoài việc yêu cầu học sinh hoạt động cá nhân, chúng ta còn có thể cho học sinh nghiên cứu giải quyết bài toán theo hình thức hoạt động cặp đôi, hoạt động nhóm, thi đua giữa các tổ để tạo nên không khí thoải mái, kích thích sự tự giác, chủ động, sáng tạo của các em học sinh, bên cạnh đó, các em còn có thể giúp đỡ nhau trong quá trình học tập.
	Bên cạnh đó, bản thân tôi luôn quan sát, hướng dẫn các em trong cách trình bày bài giải, sửa lỗi cho các em ngay trực tiếp khi giải quyết bài toán, điều đó sẽ giúp các em ghi nhớ, và khắc sâu hơn nội dung bài toán, tránh việc các em thấy khó mà nản chỉ, không chịu suy nghĩ, đồng thời có thể nhận ra những khó khăn mà các em gặp phải, để rút ra kinh nghiệm cho bản thân trong quá trình giảng dạy.
Khi học xong giải bài toán bằng cách lập phương trình, bản thân tôi còn dùng phương pháp trò chuyện gợi mở để thu thập thêm một số thông tin , phân loại đối tượng học sinh trong việc giải toán bằng cách lập phương trình . 
Tuy nhiên, dù áp dụng phương pháp mới, phương pháp tích cực đến mấy thì cũng phải và luôn kế thừa những phương pháp truyền thống. Phải biết xen kẽ bổ sung cho nhau để phù hợp với tình hình thực tế và từng đối tượng học sinh.
Dưới đây là một số giải pháp mà bản thân tôi đã thực hiện:
Giải pháp 1. Hướng dẫn học sinh nghiên cứu đề bài.
Mỗi bài tập đều thuộc các dạng bài tập khác nhau, giáo viên cần hướng dẫn học sinh đọc thật kĩ đề bài để nắm được các thông tin trong đề bài, thông qua đó xác định được các đại lượng nào đã cho, đại lượng nào phải đi tìm để đặt ẩn cho phù hợp ( kèm theo đơn vị và điều kiện hợp lý), bài toán cần áp dụng các công thức nào có liên quan để giải quyết bài toán.
Giải pháp2. Quy định tiến trình chung để giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Mặc dù mỗi học sinh đều có khả năng tư duy, năng lực của mỗi cá nhân khác nhau, tuy nhiên, trong bất kỳ bài toán giải bằng cách lập phương trình nào thì chúng ta cần phải thống nhất cho học sinh một trình tự để giải quyết nó. Qua đó có thể rèn cho học sinh cách trình bày bài toán một cách logic, khoa học hơn. Cụ thể như sau:
* Bước 1: Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) và đặt điều kiện cho ẩn;
* Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
* Bước 3: Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.	
* Bước 4: Giải phương trình, chọn nghiệm và kết luận.
Lưu ý: Trong 3 bước trên, cần chỉ ra cho học sinh bước 1 là quan trọng nhất, nó quyết định bài giải có đúng hay không, các em cần xác định xem bài toán thuộc dạng bài tập nào để lựa chọn ẩn cho phù hợp. Từ đó xác định đơn vị và điều kiện của ẩn phải đúng với thực tế cuộc sống hằng ngày của chúng ta. Tìm ra mối quan hệ với các đại lượng khác để lập ra được phương trình đúng.
Ngoài ra, sau khi tìm được nghiệm của phương trình, phải đối chiếu với điều kiện xác định ở bước 1 rồi mới đi tới kết luận của bài toán.
Ví dụ: Một người đi xe máy từ A đến B với vân tốc 40 km/h . Lúc về, người đó đi với vận tốc 30 km/h, nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 45 phút. Tính quãng đường AB. 
Giải:
Bước 1: Gọi x (km) là quãng đường AB ( x > 0)
Bước 2: Thời gian đi: (giờ) ; thời gian về: (giờ)
Bước 3: Vì thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 45 phút = giờ nên ta có phương trình: – = 
Bước 4: – = 
 4x – 3x = 90
 x = 90 (thỏa đ/k) 
Vậy quãng đường AB là: 90 km
Giải pháp 3. Phân loại từng dạng bài tập cho học sinh
Tùy theo từng dạng bài tập cụ thể mà người giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh cách giải quyết cho phù hợp. Giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách chủ động, không bỡ ngỡ khi gặp các bài toán khác nhau, tạo sự hứng thú cho học sinh. 	Mỗi dạng toán sẽ có cách giải quyết và hướng dẫn khác nhau, ta sẽ xét từng dạng cụ thể như sau:
* Dạng 1: Dạng toán về chuyển động:
Trong chương trình toán lớp 8 mà các em học sẽ gặp rất nhiều bài toán thuộc dạng toán chuyển động này như: các bài toán về chuyển động cùng chiều, ngược chiều trên cùng một quảng đường, hoặc chuyển động xuôi dòng, ngược dòng nước.
Vì vậy, để giải quyết các bài toán này, các em cần phải nắm vững các kiến thức, công thức liên quan. Như đối với bài toán về chuyển động thì các em phải nắm rõ mối liên hệ giữa các đại lượng về quãng đường, thời gian, vận tốc và mối liên hệ của chúng qua công thức: s=v.t. Từ đó suy ra: ; . Hay đối với bài toán chuyển động xuôi dòng, ngược dòng nước các em phải nắm được: 
	 vxuôi = vThực + v dòng nước ; vngược = vThực - v dòng nước
Từ đó mới có thể suy luận để lập ra được phương trình phù hợp.
Ví dụ: Đối với bài toán: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 6 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 7 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc của dòng nước là 2 km/h. 
Phân tích bài toán: 
Đối với các dạng toán về chuyển động này thì ta có thể hướng dẫn học sinh lập bảng hay vẽ sơ đồ về mối liên hệ giữa các đại lương, khi đó các em sẽ dễ dàng tìm được hướng giải quyết bài toán hơn. Cụ thể:
Nếu ta gọi x (km/h) là vận tốc của ca nô ( x > 2) thì dựa vào mối liên hệ giữa quảng đường, vận tốc, thời gian và vận tốc khi đi xuôi dòng, ngược dòng nước ta có bảng tóm tắt sau:
Ca nô
S(km)
V (km/h)
t(h)
Xuôi dòng
6(x+2)
x +2
6
Ngược dòng
7(x-2)
x-2
7
	Qua bảng tóm tắt ta dễ dàng lập ra được phương trình: 6(x+2) = 7(x-2).
	Giải: 
Gọi x (km/h) là vận tốc của ca nô ( x > 2).
Vận tốc khi ca nô đi xuôi dòng nước là: x+2 (km/h)
Quảng đường ca nô đi khi xuôi dòng là: 6(x+2) (km)
Vận tốc khi ca nô đi ngược dòng nước là: x - 2 (km/h)
Quảng đường ca nô đi khi ngược dòng là: 7(x - 2) (km)
Vì quảng đường khi đi và về giống nhau nên ta có phương trình:
 6(x+2) = 7(x-2)
6x +12=7x – 14
x = 26 ( Thỏa mãn Đ/k).
( Đến đây học sinh dễ mắc sai lầm là đi kết luận bài toán: Vận tốc của ca nô là 26 km/h. Do đó cần hướng dẫn các em xác định rõ yêu cầu của bài toán là tìm cái gì để có đáp án hợp lý).
Vậy quảng đường từ A đến B là: 6.( 26+2) =168 km
	Lưu ý: Trong một bài toán sẽ có nhiều đại lượng chưa biết, ta phải căn cứ vào đề bài để lựa chọn ẩn cho phù hợp. Ưu tiên chọn trực tiếp đại lượng bài toán yêu cầu làm ẩn. Tuy nhiên, trong một số trường hợp không thể chọn trực tiếp ta phải chọn đại lượng trung gian làm ẩn như trong ví dụ nêu trên.
	 Một số bài toán tương tự:
Bài 1: Một người dự định đi từ Hà Nội về Thanh Hóa. Ban đầu Người đó dự định đi xe máy với vận tốc 50km/h. Nhưng sau đó người đó lại đi ô tô với vận tốc 60km/h nên đã đến sớm hơn dự định là 1 giờ. Tính quãng đường từ Hà Nội vào đến Thanh Hóa
Bài 2: Một người đi từ A đến B. Lúc đầu người đó dự định đi với vận tốc là 40km/h, nhưng đi được ½ quãng đường thì người đó dừng xe nghỉ 20 phút. Để đến B đúng dự định người đó phải đi với vận tốc mới lớn hơn vận tốc cũ là 10km/h. Tính quãng đường AB.
Bài 3: Một xe máy khởi hành từ A đến B vào lúc 10 h sang với vận tốc là 45km/h. Lúc 11h sang, một ô tô cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc là 60km/h. Hỏi 2 xe gặp nhau lúc mấy h ?
Bài 4: Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc 50km/h. Đến B người đó nghỉ 15 phút rồi quay về A với vận tốc 40km/h. Biết thời gian tổng cộng hết 2 giờ 30 phút. Tính quãng đường AB.
Bài 5: Một người đi ôtô từ A đến B dài 240 km ,trên nửa quãng đường đầu đi với vận tốc dự định , trên nửa quãng đương sau người đó đi với vận tốc bằng 3/2 vận tốc dự định .Tính vận tốc dự định ,biết thời gian đi trên cả quãng đườg là 5 giờ ?
Bài 6: Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ là 10 km. Canô đi từ A đến B hết 3h20’ còn ôtô đi hết 2h. Vận tốc của canô nhỏ hơn vận tốc của ôtô là 17 km/h. Tính vận tốc của canô ? 
Bài 7:Một ca nô chạy trên một khúc sông từ bến A đến bến B, khi đi xuôi dòng thì mất 5 giờ, khi đi ngược dòng thì mất 6 giờ. Tính khoảng cách từ bến A đến bến B, biết vân tốc của ca nô khi đi xuôi dòng hơn vân tốc của ca nô khi đi ngược dòng là 6km/giờ?
Bài 8:Một ca nô xuôi dòng từ A đến B hết 4 giờ và ngược dòng từ B về A hết 6 giờ. Biết vận tốc của dòng nước 50m/phút. Tính
	a, Chiều dài quãng sông AB
	b, Vận tốc ca nô trong nước yên lặng.
Bài 9: Một ca nô xuôi dòng từ A đến B hết 2 giờ và ngược dòng từ B về A hết 4 giờ. Hỏi một cụm bèo trôi theo dòng nước từ A đến B hết mấy giờ?
Bài 10: Lúc 6 giờ sáng một chuyến tàu thuỷ chở khách xuôi dòng từ A đến B nghỉ lại 2 giờ để trả và đón khách rồi lại ngược dongngf về đến A lúc 3 giờ 20 phút chiều cùng ngày. Hãy tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng thời gian xuôi dòng nhanh hơn thời gian ngược dòng 40 phút và vận tốc của dòng nước là 50m/phút.
Bài 11:Một nhóm các bạn bơi thuyền đi chơi xuôi dòng sông với vận tốc là 6km/giờ và bơi ngược dòng với vận tốc là 3km/giờ. Hỏi
a, Nếu chuyến đi chơi kéo dài 4 giờ thì khi rời bến bao xa thì các bạn phải quay lại để trở về đúng giờ?
b, Vận tốc của dòng sông?
	c, Vận tốc thực của thuyền?
	* Dạng 2: Dạng toán liên quan đến số học
	Đối với các bài tập dạng này các em cần phải phân tích đề bài để tìm ra quy luật của hai số đó. Thông thường ta coi hai số là số lớn và số bé rồi tìm mối liên hệ giữa chúng để lập ra phương trình cụ thể và giải.
Ví dụ: Hiệu hai số là 15. Nếu chia số bé cho 5 và số lớn cho 10 thì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai là 2 đơn vị. Tìm hai số đó.
 Phân tích bài toán:
Bài toán có hai đại lượng chưa biết là số lớn và số bé.
 	Nếu gọi số lớn là x thì số bé biểu diễn bởi biểu thức nào? 
	Hướng dẫn học sinh lập bảng để tìm mối liên hệ giữa các đại lượng
Giá trị
Thương
Số bé
x - 15
Số lớn
x
Từ bảng vừa lập ta có thể tìm ra lời giải cho bài toán.
Giải: 
 Gọi số lớn là x.
 Số bé là: x - 15
 Chia số bé cho 5 ta được thương là : .
 Chia số lớn cho 10 ta được thương là: 
 Vì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai 2 đơn vị nên ta có phương trình:
 - = 2 
 Giải phương trình ta được x = 50
 Vậy số lớn là 50.
 Số bé là: 50 - 15 =35.
Một số bài toán tương tự:
Bài 1. Tuổi bố và tuổi con cộng lại được 58 tuổi. Bố hơn con 38 tuổi. Hỏi bố bao nhiêu tuổi, con bao nhiêu tuổi?
Bài 2. Hai ông cháu hiện nay có tổng số tuổi là 68, biết rằng cách đây 5 năm cháu kém ông 52 tuổi. Tính số tuổi của mỗi người.
Bài 3. Hai thùng dầu có tất cả 116 lít. Nếu chuyển 6 lít từ thùng thứ nhất sang thùng thứ hai thì lượng dầu ở hai thùng bằng nhau. Hỏi mỗi thùng có bao nhiêu lít dầu ?
Bài 4. Cha hơn con 32 tuổi. Biết 4 năm nữa tổng số tuổi của 2 cha con là 64 tuổi. Tính tuổi 2 cha con hiện nay.
Bài 5. Tổng của hai số là một số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho 5. Biết nếu thêm vào số bé 35 đơn vị thì ta được số lớn. Tìm mỗi số.
Bài 6. Trên một bãi cỏ người ta đếm được 100 cái chân vừa gà vừa chó. Biết số chân chó nhiều hơn chân gà là 12 chiếc. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó ?
Bài 7. Trên một bãi cỏ người ta đếm được 100 cái mắt vừa gà vừa chó. Biết số chó nhiều hơn số gà là 12con. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó ?
Bài 8. Một phép trừ có tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu là 7652. Hiệu lớn hơn số trừ 798 đơn vị. Hãy tìm phép trừ đó.
Bài 9. An và Bình mua chung 45 quyển vở và phải trả hết số tiền là 72000 đồng. Biết An phải trả nhiều hơn Bình 11200. Hỏi mỗi bạn đã mua bao nhiêu quyển vở.
Bài 10. Ba bạn Lan, Đào, Hồng có tất cả 27 cái kẹo. Nếu Lan cho Đào 5 cái, Đào cho Hồng 3 cái, Hồng lại cho Lan 1 cái thì số kẹo của ba bạn bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu cái kẹo ?
* Dạng 3: Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng, năng suất lao động, tỉ lệ chia phần
Khi gặp dạng toán này, cần lưu ý cho học sinh phải đọc đề bài cho cụ thể, tìm đúng ẩn để đặt, biểu thị qua các đơn vị quy ước. từ đó lập phương trình để giải.
Ví dụ 1: Một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày phải sản xuất 50 sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đã sản xuất được 57 sản phẩm. Do đó tổ đã hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày và còn vượt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Lập bảng phân tích:
Năng suất 1 ngày ( sản phẩm/ ngày)
Số ngày ( ngày )
Số sản phẩm ( sản phẩm)
Kế hoạch
50
x
Thực hiện
57
x+ 13
Phương trình : - = 1 
	Giải:
Gọi x ( sản phẩm) là số sản phẩm theo kế hoạch mà tổ sản xuất phải hoàn thành 
(xϵΝ, x > 0).
Theo kế hoạch tổ sản xuất phải hoàn thành trong ( ngày)
Số sản phẩm hoàn thành theo thực tế là x+ 13 ( sản phẩm) và thời gian hoàn thành là ( ngày).
Theo đề ra tổ đã hoàn thành trước 1 ngày nên ta có phương trình - = 1
Giải phương trình ta được x = 93
Vậy số sản phẩm mà tổ sản xuất phải hoàn thành theo kế hoạch là 93 sản phẩm.
Ví dụ 2: Số công nhân của hai xí nghiệp trước kia tỉ lệ với 3 và 4. Nay xí nghiệp 1 thêm 40 công nhân, xí nghiệp 2 thêm 80 công nhân. Do đó số công nhân hiện nay của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11. Tính số công nhân của mỗi xí nghiệp hiện nay.
 Phân tích bài toán:
 Có hai đối tượng tham gia trong bài toán, đó là xí nghiệp 1 và xí nghiệp 2. Nếu gọi số công nhân của xí nghiệp 1 là x, thì số công nhân của xí nghiệp 2 biểu diễn bằng biểu thức nào? Học sinh lập bảng và điền vào các ô trống còn lại và căn cứ vào giả thiết: Số công nhân của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11 để lập phương trình.
Số công nhân
Trước kia
Sau khi thêm
Xí nghiệp 1
x
x + 40
Xí nghiệp 2
 + 80
 Giải:
 Gọi x (công nhân) là số công nhân xí nghiệp I trước kia (xϵΝ, x > 0).
 Số công nhân xí nghiệp II trước kia là x (công nhân).
 Số công nhân hiện nay của xí nghiệp I là: x + 40 (công nhân).
 Số công nhân hiện nay của xí nghiệp II là: + 80 (công nhân).
 Vì số công nhân của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11 nên ta có phương trình: 
 Giải phương trình ta được: x = 600 (thỏa mãn điều kiện).
 Vậy số công nhân hiện nay của xí nghiệp I là: 600 + 40 = 640 công nhân.
 Số công nhân hiện nay của xí nghiệp II là: .600 + 80 = 880 công nhân.
Một số bài toán tương tự:
Bài 1. Theo kế hoạch mỗi ngày tổ Quyết Thắng phải may được 120 cái áo . Khi thực hiện , mỗi ngày tổ may được 130 cái áo . Nên tổ đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn hai ngày. Hỏi theo kế hoạch , tổ phải may bao nhiêu cái áo?
Bài 2. Trong tháng đầu hai tổ công nhân của một xí nghiệp dệt được 800 tấm thảm len. Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%, tổ 2 vượt mức 20% nên cả hai tổ dệt được 945 tấm thảm len. Tính xem trong tháng thứ hai mỗi tổ đã dệt được bao nhiêu tấm thảm len
Bài 3. Hai đội công nhân cùng sửa một con mương hết 24 ngày. Mỗi ngày phần việc làm được của đội 1 bằng 1 phần việc của đội 2 làm được. Nếu làm một mình, mỗi đội sẽ sửa xong con mương trong bao nhiêu ngày?
Bài 4. Một xí nghiệp hợp đồng dệt tấm thảm len trong 20 ngày. Do cải tiến kỹ thuật, năng suất dệt của xí nghiệp đã tăng 20%. Bởi vậy, chỉ trong 18 ngày, không những xí nghiệp đã hoàn thành số thảm cần dệt mà còn dệt thêm được 24 tấm nữa. Tính số thảm mà xí nghiệp phải dệt theo kế hoạch.
Bài 5. Một công nhân dự định sẽ hoàn thành công việc được giao trong 5 giờ. Lúc đầu mỗi giờ người đó làm được 12 sản phẩm. Khi làm được một nửa số lượng công việc được giao, nhờ cải tiến kỹ thuật nên mỗi giờ người đó làm thêm được 3 sản phẩm nữa. Nhờ vậy, công việc hoàn thành trước thời hạn 30 phút. Tính số sản phẩm người đó dự định làm.
* Dạng 4: Dạng toán liên quan đến các môn học khác.
Đối với dạng toán này các em cần phải nắm được các công thức của từng môn học, mối liên hệ giữa các yếu tố trong các môn học đó để đặt ẩn và lập phương trình thích hợp.
Ví dụ: một hợp kim của đồng và kẽm có khối lượng 124g và có thể tích 15cm3 . Tính xem trong hợp kim này có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 90g đồng có thể tích 10 cm3 và 7 gam kẽm có thể tích 1 cm3.
( Đối với bài toán này các em cần nhớ lại các công thức tính khối lượng riêng và suy ra ).
Giải:
Gọi x là số gam đồng trong hợp kim ( 0 < x < 124)
Số gam kẽm trong hợp kim là 124 – x (g)
Một gam đồng có thể tích là (cm3) nên x gam đồng có thể tích là (cm3).
Một gam kẽm có thể tích là (cm3) nên 124 – x gam kẽm có thể tích là (cm3).
Vì thể tích của hợp kim là 15 cm3 nên ta có phương trình 
+=15
Giải phương trình ta được x = 89 ( Thỏa mãn đ/k)
Vậy trong hợp kim có 89g đồng và 124 – 89 = 35g kẽm.
Một số bài toán tương tự:
Bài 1. Lan có một miếng bìa hình tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB = 3cm. Lan tính rằng nếu cắt từ miếng bìa đó ra một hình chữ nhật có chiều dài 2cm như hình bên thì hình chữ nhật ấy có diện tích bằng một nửa diện tích của miếng bìa ban đầu. Tính độ dài cạnh AC của tam giác ABC.
Bài 2. Biết rằng 200g một dung dịch chứa 50g muối. Hỏi phải pha thêm bao nhiêu gam nước vào dung dịch đó để được một dung dịch chứa 20% muối?
Bài 3. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 2 vào bên trái và một chữ số 2 vào bên phải số này thì ta được một chữ số mới lớn gấp 153 lần số ban đầu.
Bài 4. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 82m. chiều dài hơn chiều rộng 11m. Tính diện tích khu vườn đó.
Bài 5. Một hình chữ nhật có chu vi là 36m, diện tích 56m2. Tính độ dài mỗi cạnh.
Bài 6. Hòa và Bình là hai chị em ruột. Sau 5 năm nữa thì tuổi của Hòa gấp đôi số tuổi hiện nay, còn sau 3 năm nữa thì tuổi của Bình sẽ gấp 4 lần số tuổi của 3 năm trước. Biết rằng Hòa và Bình có tháng sinh giống nhau. Tìm mối quan hệ giữa Hòa và Bình?
	Giải pháp 3. Đảm bảo đầy đủ yêu cầu trong lời giải
Đối với dạng bài tập có lời giải thì cách trình bày lời giải trong bài toán phải luôn được đảm bảo. Để làm được điều này, người giáo viên phải hướng dẫn cụ thể cho các em học sinh trong việc tìm hiểu đề bài toán. Yêu cầu các em đọc đề bài nhiều lần để nắm rỏ xem bài toán yêu cầu làm gì, đã cho những gì. Nó giúp các em chọn ẩn phù hợp, đặt điều kiện đúng, lập luận chặt chẽ. Một bài toán giải hoàn chỉnh phải đảm bảo 5 yêu cầu sau:
+ Lời giải phải có căn cứ rõ ràng, chính xác.
+ Lời giải phải đơn giản.
+ Lời giải phả