SKKN Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

ận cùng vẫn không thay đổi. 
* Tính chất 3 : 
a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3. 
b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2. 
c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng. 
3/ Một số dạng tổng quát cần nhớ về chữ số tận cùng của một lũy thừa: Với n là số tự nhiên, ta có: 
, với mọi số tự nhiên n
, với mọi số tự nhiên n
, với mọi số tự nhiên n
 , với mọi số tự nhiên n 
, nếu n lẻ; , nếu n chẵn
, nếu n lẻ; , nếu n chẵn
II.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
Thuận lợi – khó khăn
Thuận lợi: 
SKKN này được chuẩn bị, thử nghiệm và hoàn thành trong một khoảng thời gian tương đối dài, được sự trao đổi về kiến thức cũng như kinh nghiệm với các đồng nghiệp, nên bản thân tôi đã phần nào tự tích lũy cho mình một vốn kiến thức nho nhỏ đảm bảo cho SKKN hoàn thành. Với lượng kiến thức nêu trong SKKN, tuy chưa đầy đủ song có thể đã đáp ứng được mục tiêu của SKKN đề ra. Đồng thời thu hút thêm sự đóng góp ý kiến, nhận xét của mọi người để SKKN hoàn thiện hơn.
Khó khăn: 
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành SKKN, bên cạnh những mặt thuận lợi cũng có nhiều những khó khăn phải kể đến. Trước hết, do những năm đầu đi dạy, tuổi đời và tuổi nghề của bản thân còn quá non trẻ, ít kinh nghiệm trong giảng dạy, chủ yếu chú trọng rèn luyện nhiều ở phương pháp dạy học, lại là những năm đầu bước vào nghề nên bản thân tôi còn nhiều lúng túng. Do đó việc thử nghiệm, so sánh kết quả của SKKN này có phần không được thuận lợi như mong muốn. Mặt khác, các em học sinh khối 6 còn nhỏ, tính tự giác trong học tập đối với học sinh lớp 6 chưa cao, vì vậy muốn các em áp dụng kiến thức đã học vào các bài tập cụ thể thì GV sẽ phải trình bày bài tập mẫu, chỉnh sửa, uốn nắn nhiều, có như thế các em mới có thể hiểu và nắm chắc kiến thức được học một cách có hệ thống, giúp các em có thể tự làm những bài tập tương tự tốt hơn.
Thành công – hạn chế
 	 Thành công:
 SKKN được áp dụng trực tiếp vào giảng dạy học sinh trong nhiều tiết luyện tập bài tập của mảng kiến thức này (những dạng bài tập cơ bản) cũng như trong việc dạy học hai buổi tại trường đã đạt kết quả tốt. Đồng thời tôi đã áp dụng trong ôn thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay Casio (năm học 2012 – 2013; 2013 – 2014), ôn thi học sinh giỏi môn Toán (năm học 2013 – 2014), ôn thi Violympic khối 9 (năm học 2011 – 2012; 2012 – 2013), thi Violympic khối 9 (2013 – 2014). Học sinh nắm kiến thức chắc chắn hơn, chính xác hơn và kĩ năng trình bày bài làm được cải thiện rõ rệt, kết quả học sinh giỏi các cấp đáng ghi nhận. Đây là tiền đề vững chắc, những thuận lợi đáng kể góp phần thúc đẩy kết quả đại trà và công tác bồi dưỡng HSG đối với nội dung kiến thức này của bản thân tôi trong thời gian vừa qua. 
Hạn chế:
Học sinh khối 6 mới bắt đầu làm quen cách học mới của cấp THCS. Các em đang quen với tính toán các số tự nhiên và các dấu phép toán cụ thể, trực quan, tốc độ nghe – ghi – nghĩ – nói chậm hơn. Vì thế, năng lực tư duy logic của các em chưa phát triển cao, các em phải làm quen với nhiều kí hiệu toán học và các thuật ngữ mới cũng như lượng kiến thức lí thuyết tương đối nhiều. Do vậy, việc áp lý thuyết để làm bài tập toán về phép chia hết nói riêng đối với các em là một điều khó. Hầu hết chỉ có các học sinh khá, giỏi mới có thể tự làm đúng hướng và trọn vẹn yêu cầu của bài toán. Còn hầu hết các học sinh khác lúng túng không biết cách làm, cách thức thực hiện và trình bày lời giải như thế nào là đúng mặc dù được giáo viên hướng dẫn hoặc đã được trình bày bài tập mẫu.
Mặt mạnh – Mặt yếu
Mặt mạnh
 Đây là một vấn đề hay trong toán học, vận dụng được rộng rãi, có giá trị sử dụng lâu dài và có thể tiếp tục mở rộng theo hướng chuyên sâu hơn. Nội dung này là một phần kiến thức tuy ngắn gọn song được bao hàm có thể áp dụng được trực tiếp vào giảng dạy trên lớp cũng như dạy tạo nguồn kiến thức bồi dưỡng HSG của nhiều khối lớp cấp THCS. 
Mặt yếu:
Vấn đề hay, nhiều nội dung nhỏ kiến thức logic, đề bài quá “cồng kềnh” hoặc quá “đơn giản”, dẫn đến học sinh dễ mắc sai lầm trong suy nghĩ, trong lời giải, trong trình bày, Vì vậy, đây là một vấn đề để chúng ta trăn trở, suy nghĩ và chuẩn bị kiến thức thật cẩn thận khi giảng dạy. Từ đó, chúng ta tự rút kinh nghiệm cho bản thân với mục đích cuối cùng là đạt được kết quả cao về nội dung của SKKN đề ra.
Các nguyên nhân, các yếu tố tác động.
Thực tế cho thấy có nhiều nguyên nhân, nhiều yếu tố tác động tạo nên những khó khăn, hạn chế nêu trên. Trước hết phải kể đến là ý thức tự giác trong học tập của người học chưa cao, khả năng tự học, tự rèn của học sinh hiện nay giảm sút nhiều, học sinh có xu hướng thụ động hoặc “bão hòa” kiến thức vì học thêm, học ôn quá nhiều môn học. Nhiều học sinh chăm ngoan, học rất giỏi, có ý thức rèn luyện và tự học cao. Các em ít có những suy nghĩ sáng tạo khi làm bài tập khó hoặc khi làm bài tập sai thì động lực để các em quyết tâm tự làm lại cho đúng chưa nhiều, còn chờ đợi giáo viên sửa bài. Một điều nữa là việc lưu giữ (quá trình ghi nhớ), tái hiện (trình bày bằng lời hoặc viết) của học sinh chưa tốt, các em lười học bài và làm bài tập ở nhà, thậm chí nhiều em làm bài tập đối phó, chiếu lệ cho xong. Trong mảng kiến thức về lũy thừa, tìm chữ số tận cùng của lũy thừa, các em tỏ ra lúng túng khi lập luận, khi trình bày. Vì vậy mà các em nhanh quên kiến thức đã áp dụng để giải bài tập dẫn đến ngại làm bài tập tương tự. Trong khi đó, để học môn toán tốt, nhớ lâu kiến thức thì con đường vô cùng hiệu quả là luyện giải bài tập. 
Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng
 Từ thực trạng và nguyên nhân trên, để giúp các em có vốn kiến thức, lấy lại sự tự tin trong học tập, thầy cô cần giúp các em ôn tập, một cách hệ thống lại các kiến thức đã học, hướng dẫn các em cách trình bày lời giải của một bài tập, sau đó yêu cầu các em vận dụng làm các bài tập từ dễ đến khó. Giáo viên cần kiểm tra thường xuyên việc học và làm bài tập của học sinh.
II.3. GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP
II.3.1. MỤC TIÊU CỦA GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP
Do yêu cầu của phương pháp dạy học mới có sự thay đổi so với phương pháp dạy học truyền thống, phải đảm bảo tính chủ đạo của thầy và chủ động của trò; thầy hướng dẫn, điều khiển, đồng thời kích thích hứng thú học tập ở các em để các em tự giác, tích cực chiếm lĩnh tri thức cho bản thân... 
Để áp dụng tốt một số kiến thức về phép chia hết vào làm bài tập cần sử dụng hợp lý tất cả các phương pháp dạy học: Đặt vấn đề, đàm thoại - gợi mở, trực quan, vấn đáp, kết hợp trò chơi để tăng thêm động lực, niềm phấn khích đối với các em.  để các em có thể tiếp thu kiến thức một cách tốt nhất.
II.3.2. NỘI DUNG VÀ CÁCH THỨC THỰC HIỆN GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP.
NỘI DUNG
Một số dạng bài tập điển hình.
Dạng 1: Tìm chữ số tận cùng của một biểu thức dạng tổng, tích
Ví dụ 1:
a) Nếu tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ, thì tích của chúng có thể là một số lẻ được không?
b) Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ, thì tổng của chúng có thể là một số lẻ được không?
c) “Tổng” và “hiệu” hai số tự nhiên có thể là số chẵn, và số kia là lẻ được không?
Gợi ý: 
a) Tổng hai số tự nhiên là một số lẻ, như vậy tổng đó gồm một số chẵn và một số lẻ, do đó tích của chúng phải là một số chẵn (không thể là một số lẻ được).
b) Tích hai số tự nhiên là một số lẻ, như vậy tích đó gồm hai thừa số đều là số lẻ, do đó tổng của chúng phải là một số chẵn (không thể là một số lẻ được).
c) Lấy “tổng” cộng với “hiệu” ta được hai lần số lớn, tức là được một số chẵn. Vậy “tổng” và “hiệu” phải là hai số cùng chẵn hoặc cùng lẻ (không thể một số là chẵn, số kia là lẻ được).
Ví dụ 2 : Không cần làm tính, kiểm tra kết quả của phép tính sau đây đúng hay sai?
Gợi ý:
a) Sai. Vì đây là tổng của 5 số lẻ nên kết quả là một số lẻ.
b) Sai. Vì đây là tổng của các số chẵn nên kết quả là một số chẵn.
c) Sai. Vì tích của một số chẵn với bất kỳ một số nào cũng là một số chẵn.
Ví dụ 3: Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 24 024
Gợi ý:  Ta thấy trong 4 số tự nhiên liên tiếp thì không có thừa số nào có chữ số tận cùng là 0; 5 vì như thế tích sẽ tận cùng là chữ số 0 (trái với bài toán). Do đó 4 số phải tìm chỉ có thể có chữ số tận cùng liên tiếp là 1, 2, 3, 4 và 6, 7, 8, 9. Ta có: 
Nên tích của 4 số đó là :  11 .12 . 13 .14 hoặc  16 . 17 . 18 .19. Vì : 
Vậy 4 số phải tìm là : 11, 12, 13, 14
Ví dụ 4: Tính tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?
Gợi ý:  Trong tích đó có các thừa số chia hết cho 5 là :  5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.
Hay 
Mỗi thừa số 5 nhân với 1 số chẵn cho ta 1 số tròn chục. mà tích trên có 10 thừa số 5 nên tích tận cùng bằng 10 chữ số 0.
Ví dụ 5: Hùng tính tổng của các số lẻ từ 21 đến 99 được 2025. Không tính tổng đó em cho biết Hùng tính đúng hay sai?
Gợi ý: Từ 1 đến 99 có 50 số lẻ. Mà từ 1 đến 19 có 10 số lẻ. Do vậy Hùng tính tổng của số lượng các số lẻ là 50 – 10 = 40 (số)
Ta đã biết tổng của số lượng chẵn các số lẻ là 1 số chẵn mà 2025 là số lẻ nên Hùng đã tính sai.
Ví dụ 6: Tích tận cùng bằng mấy chữ số 0?
Gợi ý: Tích trên có 1 số tròn chục là 20 nên tích tận cùng bằng 1 chữ số 0
Ta lại có 25 = 5 . 5 nên 2 thừa số 5 này khi nhân với 2 số chẵn cho tích tận cùng bằng 2 chữ số 0. Vậy tích trên tận cùng bằng 3 chữ số 0.
Ví dụ 7: Tích sau tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0:   
Gợi ý: Trong tích trên có thừa số 20 là số tròn chục nên tích tận cùng bằng 1 chữ số 0. Thừa số 15 khi nhân với 1 số chẵn cho 1 chữ số 0 nữa ở tích.
Vậy tích trên có 2 chữ số 0.
Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa
Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của 
Nhận xét: Các số có tận cùng bằng 9 nâng lên luỹ thừa bậc chẵn được số có tận cùng bằng 1. Do đó ta có: . Vậy chữ số tận cùng của là 1
Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của: 
Nhận xét:
a) Các số có tận cùng bằng 8 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì được số có tận cùng bằng 6. Các số có tận cùng bằng 6 nâng lên luỹ thừa nào cũng được số có chữ số tận cùng bằng 6. Do đó ta có:
. 
Vậy chữ số tận cùng của 81997 là 8
 b) Ta thấy các số có tận cùng bằng 7 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì được số có tận cùng bằng 1. Các số có tận cùng bằng 1 nâng lên luỹ thừa nào cũng được số có chữ số tận cùng bằng 1. Do đó ta có:
Vậy chữ số tận cùng của 71995 là 3
Ví dụ 3: Tìm chữ số tận cùng của các số : 
Gợi ý: 
a) Ta có: 
Dó đó: 
b) Ta có , nếu n lẻ; , nếu n chẵn. Do đó: 
c) Ta có 
Ví dụ 4: Tìm chữ số tận cùng của 
Nhận xét: Ta thấy 
Do đó: . 
Vậy chữ số tận cùng của là 6
Ví dụ 5: Tìm chữ số tận cùng của 
Nhận xét: Ta thấy với mọi số tự nhiên n. 
. Vậy chữ số tận cùng của là 5
Dạng 3: Tìm chữ số tận cùng của một tổng – hiệu các lũy thừa
Ví dụ 6: Tìm chữ số tận cùng của các hiệu, tổng :
a) Nhận xét cách làm:
+ Tìm chữ số tận cùng của và 
+ Tính hiệu hai chữ số tận cùng vừa tìm được.
Vậy chữ số tận cùng của hiệu 772001 – 212001 là  6
b) Nhận xét cách làm:
+ Tìm chữ số tận cùng của và 
+ Tính hiệu hai chữ số tận cùng vừa tìm được.
Vậy chữ số tận cùng của tổng 12591 + 12692 là 1
Ví dụ 7: Tìm chữ số tận cùng của tổng: 
Nhận xét: 
Theo tính chất 2 ta có: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. 
- Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa bằng tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng ấy.
	Ta thấy mọi luỹ thừa trong tổng S có số mũ khi chia cho 4 đều dư 1 (các luỹ thừa đều có dạng , với ). Do đó, mọi luỹ thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của chính mỗi lũy thừa đó.
Nên:
Vậy tổng: có chữ số tận cùng là 9
Ví dụ 8: Tìm chữ số tận cùng của tổng: 
 Nhận xét: Mọi luỹ thừa trong A đều có số mũ là một số khi chia cho 4 dư 3 (các luỹ thừa đều có dạng 
Theo tính chất 3 thì có chữ số tận cùng là 8.
	có chữ số tận cùng là 7
	có chữ số tận cùng là 4
Như vậy, tổng A có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng sau:
Vậy chữ số tận cùng của A là 9.
	Sau khi học sinh đã thành thạo cách tìm chữ số tận cùng của một biểu thức, ta có thể nâng cao khả năng tư duy của học sinh bằng dạng bài tập chứng minh và tìm số dư trong phép chia thông qua một số bài tập sau:
Dạng 4: Vận dụng tìm chữ số tận cùng để chứng minh bài toán về phép chia hết
Ví dụ 9: Chứng tỏ rằng các biểu thức sau chia hết cho 10 
 Nhận xét: 
- Một số chia hết cho 10 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó bằng 0.
- Ta đã biết: , nếu n lẻ; , nếu n chẵn
a) Ta thấy: 
 => chữ số tận cùng của 175 là 7
 => chữ số tận cùng của là 6
=> chữ số tận cùng của là 3
Vậy chữ số tận cùng của . Mà một số có chữ số tận cùng là 0 sẽ chia hết cho 10 do đó chia hết cho 10 
b) Ta thấy các số có tận cùng bằng 2 hoặc 8 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì được số có chữ số tận cùng là 6. Một số có tận cùng bằng 6 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có chữ số tận cùng bằng 6. Do đó ta có:
 => Chữ số tận cùng của 8102 là 4
 => Chữ số tận cùng của 2102 là 4
 Vậy tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10 
Ví dụ 10: Chứng minh rằng với mọi thì có chữ số tận cùng là 7
Ta xét số mũ , ta có:, do đó có chữ số tận cùng là 6.
 Vậy có chữ số tận cùng là 7.
Dạng 5: Vận dụng tìm chữ số tận cùng để tìm số dư trong phép chia
Ví dụ 11: Tìm số dư trong phép chia cho 5
Vì có chữ số tận cùng là 7 nên khi chia cho 5 thì dư 2
	Vậy số dư của phép chia 7129 cho 5 là 2
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN VÀ MỞ RỘNG
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Không làm phép tính, hãy cho biết kết quả của mỗi phép tính sau có tận cùng bằng chữ số nào?
Bài 2: Tích sau tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0
Bài 3: Không làm tính, xét xem kết quả sau đúng hay sai? Giải thích tại sao?
Bài 4: Cho số được viết bởi các số tự nhiên liên tiếp. Số a có tận cùng là chữ số nào? biết số a có 100 chữ số.
Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 
Bài 6: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 
Bài 7: Cho . Chứng tỏ rằng A chia hết cho 10
Bài 8: Tìm chữ số tận cùng của các tổng, hiệu sau. Từ đó tìm số dư khi chia mỗi tổng, hiệu đó cho 2, cho 5?
Bài 9: Chứng tỏ rằng với mọi thì có chữ số tận cùng là 5
Bài 10: Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n:
BÀI TẬP MỞ RỘNG
* Dạng toán: Tìm hai chữ số tận cùng
	Để tìm hai chữ số tận cùng của một luỹ thừa, ta cần chú ý đến những số đặc biệt như sau:
- Các số có tận cùng bằng 01 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có chữ số tận cùng bằng 01
- Các số có tận cùng bằng 25 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có chữ số tận cùng bằng 25
- Các số có tận cùng bằng 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có chữ số tận cùng bằng 76
- Các số có chữ số tận cùng bằng 01
- Các số có số chữ tận cùng bằng 76
- Số có chữ số tận cùng bằng 76
Ví dụ 1: Tìm hai chữ số tận cùng của 2100
Hướng dẫn: Chú ý rằng:, bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì được số có chữ số tận cùng bằng 76, số có tận cùng bằng 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 76. Do đó:
Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76
Ví dụ 2: Tìm hai chữ số tận cùng của 62011
Hướng dẫn: Ta thấy:, số có tận cùng bằng 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng được số có chữ số tận cùng bằng 76. Do đó ta có:
 Vậy hai chữ số tận cùng của 62011 là 56
* Dạng toán tìm ba chữ số tận cùng trở lên
 	Để tìm ba chữ số tận cùng trở lên của một luỹ thừa, ta cần chú ý đến các số đặc biệt sau:
	- Các số có ba chữ số tận cùng bằng 001 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có ba chữ số tận cùng bằng 001
	- Các số có ba chữ số tận cùng bằng 376 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có ba chữ số tận cùng bằng 376
	- Các số có ba chữ số tận cùng bằng 625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có ba chữ số tận cùng bằng 625 
	- Các số có bốn chữ số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có bốn chữ số tận cùng bằng 0625
Ví dụ 3: Tìm ba chữ số tận cùng của 
Hướng dẫn:
+) Ta thấy các số có tận cùng bằng 001 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) thì được số có ba chữ số tận cùng bằng 001
	Ta có 
Vậy ba chữ số tận cùng của là 001
+) Ta thấy các số có tận cùng bằng 001 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) thì được số có ba chữ số tận cùng bằng 001. 
Do đó ta có:
Vậy ba chữ số tận cùng của là 001
Ví dụ 4: Tìm bốn chữ số tận cùng của 
 Hướng dẫn: Ta có: 
 	Vậy bốn chữ số tận cùng của là 0625
Suy ra 
Vậy bốn chữ số tận cùng của 53405 là 3125
Ví dụ 5: Chứng minh rằng chia hết cho 8
Hướng dẫn: Ta thấy: , số có tận cùng bằng 376 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có ba chữ số tận cùng bằng 376. Do đó ta có:
Mà 376 chia hết cho 8 nên (vì một số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8). Vậy chia hết cho 8
Bài tập tương tự: 
1. Tìm hai chữ số tận cùng của (Đáp án: hai chữ số tận cùng của là 51)
2. Tìm chữ số hàng chục của tổng (Đáp án: chữ số hàng chục của là 5)
Trên đây là một số bài tập điển hình tôi đã lựa chọn và phân dạng cụ thể. Qua việc áp dụng các kiến thức về lũy thừa và các nhận xét về chữ số tận cùng của một tích, một tổng, ..để giải bài tập, học sinh sẽ nắm kiến thức một cách chắc chắn, rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy toán học một cách logic, có căn cứ, đồng thời gây hứng thú học tập, thúc đẩy khả năng tìm tòi sáng tạo của học sinh trong môn toán nói riêng và các môn học khác nói chung. Đồng thời giúp các em biết cách xử lý một cách linh hoạt, nhanh nhạy, tối ưu các tình huống trong đời sống hàng ngày khi vận dụng kiến thức đã học vào thực tế. 
CÁCH THỨC THỰC HIỆN:
Để đạt được kết quả như mong muốn khi dạy kiến thức về phép chia hết, theo ý kiến chủ quan của bản thân, tôi suy nghĩ và đã thực hiện như sau:
	1. Thứ nhất, truyền đạt chính xác, đầy đủ các kiến thức cơ bản về cách tìm chữ số tận cùng của một biểu thức như một số dạng nêu trên. Sau đó, cho học sinh so sánh với kiến thức liên quan đã học ở bậc tiểu học để các em thấy những kiến thức này thật ra là quen thuộc, ở lớp 6 có mở rộng và cao hơn.
	2. Thứ hai, giáo viên hướng dẫn cho các em làm bài tập áp dụng trong tiết dạy lý thuyết về những bài tập cơ bản và các dạng bài tập cụ thể, đa dạng từ dễ đến khó. Cần rèn luyện thêm cách lập luận và trình bày bài làm cho học sinh vì đây là học sinh đầu cấp, còn bỡ ngỡ nhiều với phương pháp học tập ở cấp THCS. Đồng thời tăng cường biện pháp để kiểm tra việc học bài và làm bài ở nhà của học sinh để đảm bảo chất lượng của bài dạy.
3. Thứ ba, bài tập về chữ số tận cùng của một biểu thức nhiều, muôn hình, muôn vẻ nên với mỗi dạng giáo viên nên chốt lại phương pháp làm bài và các kiến thức đã áp dụng như các quy tắc, các nhận xét, song sau khi giải hoặc hướng dẫn giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm là mấu chốt của bài toán để khi gặp bài tương tự, học sinh có thể tự liên hệ và áp dụng được với kiến thức cũ.
4. Thứ tư, mỗi giáo viên nên thường xuyên động viên, khích lệ các em, tạo tâm thế yên tâm, tin tưởng cho các em phấn đấu bởi trong thực tế chắc chắn có nhiều em học rất tốt, nhưng cũng có nhiều em học yếu, đôi lúc làm chúng ta buồn bực, thất vọng. Đây cũng có thể là một yếu tố tác động tích cực nhằm đem lại kết quả khả quan hơn trong quá trình dạy và học của cả giáo viên và học sinh. 
5. Cuối cùng, tăng cường phối hợp các phương pháp, kết hợp dạy kiến thức mới, củng cố kiến thức cũ đan xen các bài kiểm tra về các dạng bài tập, các mảng kiến thức đã học, khi có sự đánh giá, nhận xét của giáo viên thì học sinh phần nào biết được mức độ năm bắt kiến thức của bản thân để điều chỉnh tốt hơn
II.3.3. ĐIỀU KIỆN THỰC HIỆN GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP.
Các giải pháp nêu trên được thực hiện trực tiếp trong quá trình dạy – học của giáo viên – học sinh, trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán các khối lớp THCS với những kiến thức liên quan. Trên cơ sở tích lũy của giáo viên và sự chuẩn bị chu đáo cho nội dung các bài dạy thì hiệu quả đề ra sẽ khả quan hơn. Bên cạnh đó, có thể mở rộng kiến thức vào các bài tập nâng cao đối với học sinh khá giỏi trong những tiết học hai buổi 
II.3.4. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP
Giữa giải pháp và biện pháp có mối quan hệ tương tác, mang tính biện chứng.
Các giải ph