SKKN Một số kinh nghiệm dạy "Thể tích khối đa diện" ở trung học phổ thông

ường THPT số 1 Văn Bàn
a. Cơ sở lý thuyết
* Về phương pháp dạy học
- Thầy là người tổ chức, kích thích, hướng dẫn, giảng giải, giúp đỡ.
- Trò chủ động, hưng phấn, tự giác suy nghĩ, lao động nhiều hơn, thực hành nhiều hơn. Từ đó có nhu cầu học tập mạnh mẽ, năng động, sáng tạo.
* Về cách thể hiện các kiến thức phần “Thể tích khối đa diện” của sách giáo khoa:
- Giảm tối đa tính hàn lâm trong việc trình bày các kiến thức.
- Trong chừng mực cho phép, giảm nhẹ yêu cầu đối với tính chặt chẽ, chính xác toán học.
- Tránh áp đặt kiến thức cho học sinh.
- Tránh cho học sinh có cảm giác nặng nề, nhàm chán trong các tiết học.
- Giúp học sinh nắm bắt, hiểu, củng cố các kiến thức thông qua việc tìm hiểu các ứng dụng của những kiến thức đó trong khoa học, cũng như trong thực tiễn cuộc sống.
- Thông qua việc tiếp thu kiến thức, giúp học sinh phát triển tư duy, hình thành thẩm mỹ toán học.
- Hỗ trợ tích cực cho giáo viên trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy.
b. Cơ sở thực tiễn
- Thuận lợi: 
+ Bản thân được trang bị đầy đủ kiến thức về bộ môn, được sự quan tâm, giúp đỡ của đồng nghiệp.
+ Học sinh: Đa số học sinh nỗ lực trong quá trình học tập; tiếp nhận nhanh phương pháp giảng dạy mới.
- Khó khăn: 
+ Giáo viên: Còn lúng túng trong cách truyền đạt kiến thức cho học sinh yếu.
+ Học sinh: Một phần nhỏ chưa có ý thức chuẩn bị bài tập ở nhà; Còn lạm dụng sách tham khảo hay sử dụng sách tham khảo chưa đúng cách.
2. Một vài kinh nghiệm dạy "Thể tích khối đa diện" ở Trung học phổ thông.
2.1. Kiến thức học sinh cần nhớ khi học "Thể tích khối đa diện"
2.1.1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có: 
a) Định lí Pytago: 
b) 
c) 
d) 
e) 
2.1.2. Hệ thức lượng trong tam giác thường:
a) Định lí Cosin:
b) Định lí Sin:
(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
2.1.3. Các công thức tính diện tích
a) Công thức tính diện tích tam giác:
S
- Đặc biệt:
+ Tam giác ABC vuông tại A: 
+ Tam giác ABC đều cạnh a: 
b) Diện tích hình vuông: S = cạnh x cạnh
c) Diện tích hình chữ nhật: S = dài x rộng
d) Diện tích hình thoi: S = chéo dài x chéo ngắn
e) Diện tích hình thang: S = .(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
g) Diện tích hình bình hành: S = đáy x chiều cao
h) Diện tích tứ giác có hai đường chéo x, y vuông góc: 
h) Diện tích hình tròn: 
2.1.4. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
	Ta tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng. Khi đó đường thẳng nối hai điểm chung là giao tuyến của hai mặt phẳng. Ta thường tìm hai đường thẳng a, b đồng phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và giao điểm M (nếu có) của hai đường thẳng này chính là một điểm chung của hai mặt phẳng.
2.1.5. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
	Muốn tìm giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta cần khéo léo chọn một mặt phẳng (Q) chứa d sao cho giao tuyến a của (P) và (Q) dễ xác định. Trong mặt phẳng (Q), đường thẳng d cắt a tại A (nếu có). Đó chính là giao điểm cần tìm.
2.1.6. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh ba đường thẳng đồng quy
	- Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh A, B, C là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q). Khi đó A, B, C nằm trên giao tuyến của chúng.
	- Muốn chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy ta chứng minh hai trong ba đường thẳng đó cắt nhau và giao điểm của chúng nằm trên đường thẳng còn lại (thông thường lại đưa về bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng)
2.1.7. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P)
	B1: Tìm hai điểm chung của mặt phẳng (P) với từng mặt của hình chóp ta được các đoạn giao tuyến.
	B2: Nối các đoạn giao tuyến ta được một đường gấp khúc khép kín là đa giác cần tìm.
	2.1.8. Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b
	C1: Chứng minh a, b đồng phẳng rồi áp dụng các phương pháp chứng minh trong hình học phẳng.
	C2: Chứng minh a, b cùng song song với một đường thẳng thứ 3
	C3: Áp dụng định lí về giao tuyến: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (Nếu có) của chúng song song với hai đường thẳng ấy.
	2.1.9. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (S/d quan hệ song song)
	- Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng
	- Tìm phương của giao tuyến (Biết giao tuyến song song với một đường thẳng đã cho)
	Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song với đường thẳng đã cho.
	2.1.10.Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P)
	Chứng minh d không nằm trong (P) và song song với đường thẳng a nằm trong (P)
	(Quay về bài toán chứng minh 2 đường thẳng song song)
	2.1.11. Chứng minh hai mặt phẳng song song
	Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với mặt phẳng kia.
	2.1.12. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
	Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) ta thường dùng một trong hai cách sau:
	C1: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P)
	C2: Chứng minh d song song với đường thẳng a và a vuông góc với mp(P)
	2.1.13. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau
	Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b ta thường dùng các cách sau:
	C1: Chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
	C2: Nếu hai đường thẳng đó cắt nhau thì ta có thể áp dụng các phương pháp chứng minh vuông góc đối với hai đường thẳng đã được học trong hình học phẳng.
	C3: Dùng định lí ba đường vuông góc (Nếu vuông góc với hình chiếu thì muông góc với đường xiên và ngược lại)
	2.1.14. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
	C1: Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia
	C2: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 900 hay góc phẳng nhị diện do hai mặt phẳng đó tạo nên bằng 900
2.1.15. Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
	C1: Nếu a và b vuông góc với nhau thì:
	- Dựng mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b tại B
	- Dựng tại A. Đoạn AB là đoạn vuông góc chung
	C2: Cho a và b chéo nhau
	- Dựng mp(P) chứa a, song song với b
	- Chọn M trên b dựng tại M'
	- Từ M' dựng b'//b cắt a tại A
	- Từ A dựng AB//M'M cắt b tại B
	Đoạn AB là đoạn vuông góc chung.
	C3: Cho a và b chéo nhau
	- Dựng mặt phẳng tại O, (P) cắt b tại I
	- Dựng hình chiếu vuông góc b' của b trên (P)
	- Dựng trong (P) đường 
	- Từ H, dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B.
	- Từ B dựng đường thẳng song song với OH, cắt a tại A
	Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
2.1.16. Góc giữa hai đường thẳng a và b: là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phưng với a và b.
2.1.17. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P): là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P).
2.1.18. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q): là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó,
Hoặc là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến của chúng tại một điểm.
2.1.19. Thể tích khối chóp: 
 (B là diện tích đáy, h là chiều cao)
2.1.20. Tỉ số thể tích tứ diện: 
Cho khối tứ diện SABC. A’, B’, C’ 
là các điểm tùy ý lần lượt thuộc 
SA, SB, SC. Ta có:
2.1.21. Thể tích khối lăng trụ:
 (B là diện tích đáy, h là chiều cao)
-Đặc biệt:
+ Thể tích khối hộp chữ nhật: (a, b, c là ba kích thước)
+ Thể tích khối lập phương: (a là độ dài cạnh)
2.2. Kinh nghiệm dạy bài tập ”Thể tích khối đa diện”
2.2.1.Phương pháp
a) Cách xác định đường cao của khối đa diện
- Đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với mặt đáy. 
- Giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt cùng chứa đỉnh và vuông góc với đáy.
- Nếu mặt phẳng (P) đi qua đỉnh, vuông góc với đáy theo giao tuyến thì trong mặt phẳng (P), kẻ đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với sẽ được đường cao của khối chóp.
- Cho hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy thì đoạn nối đỉnh và hình chiếu của nó là đường cao.
- Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau (ít nhất 3 cạnh bên) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy.
- Khối chóp có các mặt bên (ít nhất 3 mặt bên) cùng tạo với đáy góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
- Khối chóp có hai mặt bên kề nhau và cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao nằm trên đường phân giác góc của đỉnh chung, nằm trong mặt phẳng đáy.
- Với khối lăng trụ ta lấy một đỉnh kết hợp với đáy đối diện ta cũng được một khối chóp sau đó việc xác định chân đường cao cũng dựa theo các hướng trên.
- Cho điểm A và mặt phẳng (P). Đường thẳng d chứa A và thì khoảng cách từ A đến (P) bằng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên d đến (P).
- Nếu có mặt phẳng (Q) chứa A và song song với (P) thì khoảng cách từ A đến (P) bằng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên (Q) đến (P).
b) Tính thể tích bằng cách sử dụng công thức tỉ số thể tích:
- Tính thể một khối đa diện, ta không tính trực tiếp nó mà thông qua một khối trung gian. Sau đó tìm tỉ số thể tích giữa khối đa diện cần tính và khối đa diện trung gian. Từ thể tích khối trung gian ta suy ra thể tích của khối đa diện cần tính.
- Nếu hai khối chóp có cùng diện tích đáy thỡ tỉ số thể tích bằng tỉ số hai đường cao tương ứng.
- Nếu hai khối chóp có cùng độ dài đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số hai diện tích đáy.
- Cho khối tứ diện SABC. A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC. Ta có:
c) Tính thể tích bằng phương pháp tọa độ:
Hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật 
 Với hình lập phương, 
Chọn hệ trục tọa độ sao cho : 
 Với hình hộp chữ nhật, 
Chọn hệ trục tọa độ sao cho : 
Hình hộp đáy là hình thoi 
 Chọn hệ trục tọa độ sao cho : 
- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi ABCD
- Trục đi qua 2 tâm của 2 đáy
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD
 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ 
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và đường cao 
Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông
Khi đó : 
S
O
A
D
C
B
Hình chóp tam giác đều S.ABC
 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ 
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đường cao bằng . Gọi I là trung điểm của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho I(0;0;0) 
Khi đó : 
I
H
C
B
A
S
Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA (ABCD)
ABCD là hình chữ nhật 
chiều cao bằng 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) 
Khi đó : 
S
D
A
C
O
B
Hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA (ABCD)
ABCD là hình thoi cạnh 
chiều cao bằng 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho O(0;0;0) 
S
C
D
A
O
B
Hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại A
Tam giác ABC vuông tại A có đường cao bằng . 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) 
 Khi đó : 
C
B
A
S
Hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại B
Tam giác ABC vuông tại B có đường cao bằng . 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho B(0;0;0) 
 Khi đó : 
B
A
C
S
Hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S
và ABC vuông tại C
 ABC vuông tại C 
chiều cao bằng 
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho C(0;0;0) 
Khi đó : 
S
H
C
B
A
Hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S
và ABC vuông tại A
 ABC vuông tại A 
chiều cao bằng 
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) 
Khi đó : 
S
C
B
A
H
Hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S
và ABC vuông cân tại C
 Tam giác ABC vuông cân tại C có 
 đường cao bằng . 
 H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho H(0;0;0) 
 Khi đó : 
A
H
C
B
S
Diện tích tam giác ABC: 
Thể tích tứ diện ABCD: 
Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: 
2.2.2. Các dạng toán
Loại I: Thể tích khối chóp
Dạng 1: Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy 
Ví dụ 1:
Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), ngoài ra AD = AC = 4a; AB = 3a; BC = 5a. Tính thể tích khối chóp tứ diện ABCD theo a và tính khoảng cách từ A đến (BCD).
Giải
* Tính thể tích khối chóp tứ diện ABCD theo a .
Vì AD = AC = 4a; AB = 3a; BC = 5a.
Suy ra ABC là tam giác vuông tại A.
.
* Tính khoảng cách từ A đến (BCD).
Dựng tại M và dựng tại H. 
.
Suy ra 
Ta có 
Vậy .
Ví dụ 2: 
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc .Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp S.BCG và tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) theo a.
Giải
* Tính thể tích khối chóp S.BCG 
Vì mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc
* Tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC).
Ví dụ 3: 
 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với mp(ABCD); SA = a. O là tâm hình vuông ABCD.Gọi , lần lượt là trọng tâm của ∆SAC và ∆SDC. Tính thể tích khối chóp và tính khoảng cách từ điểm đến mp(SBC) theo a.
Giải
* Tính thể tích khối chóp :
* Tính khoảng cách từ điểm đến mp(SBC).
Kẻ AH ^ SB suy ra AH ^ (SBC). Khi đó d(A, (SBC)) = AH
Xét ∆SAD vuông tại A. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 
 . Suy ra AH = . 
Vậy . 
Dạng 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy 
Ví dụ 1: 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a. Mặt phẳng (SBC) tạo với mp(ABCD) một góc . Mặt bên (SAD) vuông góc với đáy. Các mặt bên (SAB) và (SDC) cùng tạo với mặt đáy một góc bằng nhau. Gọi H là trung điểm AD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và tính khoảng cách từ điểm C đến mp(SHB).
Giải
 	Vì các mặt bên (SAB) và (SDC) cùng tạo với mặt đáy một góc bằng nhau nên . Suy ra tam giác SAD cân tại S. Khi đó . 
Dựng tại K. 
Vì (SBC) tạo với mp(ABCD) một góc nên .
* Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a: 
Ta có:
;;;
;
 	Vậy (đvtt) 
* Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(SHB):
 	Dựng tại M 
;;. Vậy .
Dạng 3: Khối chóp đều. 
Ví dụ 1: 
Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng ; mặt bên tạo với đáy một góc . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD.
a
I
O
B
D
C
A
S
H
Giải
* Tính thể tích khối chóp S.ABCD
- Hình chóp tứ giác đều SABCD có:
 	+ ABCD là hình vuông cạnh a;
 	+ SO ^ (ABCD);
 	+ SA = SB = SC = SD.
Đặt AB = x. Gọi I là trung điểm BC. Vì mặt bên tạo với đáy một góc nên . 
Ta có 
Vậy 
* Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD.
Vì AD // BC nên d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC))
Ta có AO Ç (SBC) º C và c do đó
d(A, (SBC)) = 2.d(O, (SBC)) ;
SO ^ (ABCD) nên SO ^ BC 
Kẻ SJ ^ BC thì J là trung điểm của BC
Suy ra BC ^ (SOJ) Þ (SBC) ^ (SOJ)
(SBC) Ç (SOJ) º SJ, kẻ OH ^ SJ (H Î SJ). Khi đó d(O, (SBC)) = OH
Xét tam giác SOJ vuông tại O, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có 
 mà , 
Suy ra .Vậy 
Ví dụ 2:
 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Cạnh bên bằng 2a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, AC theo a.
Giải
Gọi P là trung điểm của AB .Khi đó MP // AB (1)
Ta có SE // DA và SE = DA SE // BC
Có SE = BC SEBC là hình bình hành EB // SC (2)
Vậy từ (1) , (2) MP // SC
Lại có PN // AC nên (MNP) // (SAC)
 d(MN, AC) = d((MNP),(SAC)) = d(H,(SAC)) = OH = 
(với H, O lần lượt là giao điểm của BD với NP và AC).
Loại II: Thể tích khối lăng trụ
Dạng 1: Khối lăng trụ đứng.
Ví dụ 1: 
 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.Gọi G là trọng tâm ∆ABA’ . Tính thể tích khối chóp G.BDD’B’ theo a.
O
M
B'
C'
D'
C
A
B
D
A'
G
Giải
Ta có (do G là trọng tâm ∆ABA’). Khi đó . Hay .
Ví dụ 2:
 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông có BA = BC = a, cạnh bên AA’ = . Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.
Giải
Gọi E là trung điểm BB’
Ta có EM // B’C suy ra B’C / / (AEM) 
Suy ra d(B’C,AM)= d(B’C,(AEM))= d(C,(AEM)) = d(B,(AEM)) 
(vì MB = MC)
Do tam giác ABC vuông tại B nên tứ diện BAEM có BA, BE, BM đôi một vuông góc với nhau.
Nếu gọi BH là chiều cao kẻ từ B của tứ diện ABCD () thì 
Ví dụ 3:
 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Góc tạo bởi đường thẳng B'M và mặt phẳng (ABC) bằng 
a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Tính chiều cao của khối lăng trụ trên
c) Tính thể tích của khối lăng trụ trên
Giải
* Diện tích tam giác ABC là:
* 
* Xét tam giác B'BM vuông tại B có: 
Vậy chiều cao của khối lăng trụ bằng BB'=
* Thể tích của khối lăng trụ là
Dạng 2: Khối lăng trụ xiên
Ví dụ 1:
 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với 
AB = AD =.Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. . Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
Giải
Kẻ A’H ,HM 
Đặt A’H = x . Khi đó 
A’N = x : sin 600 = 
AN = 
Mà HM = x.cot 450 = x
 -> x = 
Kết luận: VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x = 
Ví dụ 2: 
Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1. Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và B1C1 theo a.
A1
A
B
C
C1
B1
K
H
Giải
Do nên góc là góc giữa AA1 và (A1B1C1). 
Theo giả thiết thì góc bằng 300. 
Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc =300 . 
Do tam giác A1B1C1 là tam giác đều cạnh a, H thuộc B1C1 và 
nên A1H vuông góc với B1C1. Mặt khác nên 
Kẻ đường cao HK của tam giác AA1H thì HK chính là khoảng cách giữa AA1 và B1C1.
Ta có AA1.HK = A1H.AH 
Loại III: Sử dụng phương pháp tọa độ để tìm thể tích khối đa diện
Ví dụ 1:
 Trong không gian với hệ toạ độ cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết ; ; . Gọi M là trung điểm của SC .
 1. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM
 2. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. 
A
C
D
S
N
M
O
Giải
Chọn hệ trục toạ độ Đê cac vuông góc như sau : 
; ; ; 
Ta có : 
; ; ; 
1. Gọi là góc giữa SA và BM Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng
Ta có : 
* ; 
2. N là trung điểm của SD. Toạ độ trung điểm N ; ; 
Vậy (đvtt)
Ví dụ 2:
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ; ; và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC . Tính theo thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN 
K
D
H
N
M
C
B
A
S
Giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên AB SH (ABCD) 
Ta có : 
vuông tại S 
Do đó : đều
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau :; S ; A ; B ; D ; M ; N
; ; ; 
; 
+ Thể tích khối chóp S.BMDN
 ; 
; 
+ Tính cosin của góc giữa SM, DN 
Ví dụ 3: 
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, , cạnh bên . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C
Giải
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac 
vuông góc như sau :
 	; A ; C;
 B’ ; M 
 ; ;
Chứng minh AM và B’C chéo nhau: 
+ Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ 
 	 (đvtt)
+ Khoảng cách giữa AM và B’C
Vì : 
 AM và B’C chéo nhau
PHẦN III: KẾT LUẬN
1. Bài học kinh nghiệm
* Từ những kinh nghiệm trên kết quả bài kiểm tra khảo sát của 01 lớp mà tôi tham gia giảng dạy như sau:
Điểm yếu kém
Điểm trung bình
Điểm khá giỏi
Tổng số đạt yêu cầu
15,2
47,4
37,4
84,8
%
%
%
%
* Tôi nhận thấy để dạy tốt "Thể tích khối đa diện" ở trường THPT, người dạy cần phải làm được tối thiểu các công việc sau:
- Gây hứng thú học tập cho học sinh.
- Phải có kiến thức sâu sắc.
- Chuẩn bị tốt kiến thức cho học sinh (chú trọng phần phương pháp)
- Soạn giảng theo chuyên đề để tạo điều kiện cho học sinh dễ tiếp thu, từ đó tạo niềm say mê, yêu thích, khám phá môn Toán cho các em học sinh.
- Coi trọng việc khai thác các kiến thức có trong sách giáo khoa THPT làm nền tảng giảng dạy. Điều đó sẽ giúp ích rất tốt cho sự phát triển trí tuệ của học sinh.
- Cần khai thác tốt các phần mềm Toán học như: mapple, Cabri, Sketpad, ... trong quá trình truyền đạt kiến thức cho học sinh.
- Cần có sự quan tâm sát đáng đối với học sinh yếu. Các phần kiến thức cần được nhắc đi, nhắc lại nhiều lần để kiến thức có thể thấm dấn vào học sinh.
- Chú ý đổi mới kiểm tra, đánh giá. Kiểm tra kiến thức học