SKKN Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

g cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp nâng lên lũy thừa
Giải pháp 3: Hướng dẫn cho học sinh hiểu các dạng bài tập giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Vận dụng các giải pháp trên, tôi tiến hành cụ thể các bước như sau:
1. Giải pháp 1. Phân tích cho học sinh hiểu về các kiến thức cơ bản cần nắm vững.
Các kiến thức cơ bản tổng hợp thành bảng sau, yêu cầu học sinh cần nắm vững, cụ thể:
(A0)
Các kiến thức về giá trị tuyệt đối, hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, chia đa thức cho đa thức, giải phương trình, bất trương bậc nhất một ẩn, bất đẳng thức Cauchy...
Bên cạnh những yêu cầu trên, học sinh cần nhận biết được những dạng cơ bản của phương trình vô tỉ, đồng thời nắm vững phương pháp giải cụ thể cho từng dạng bài tập, cụ thể như sau:
2. Giải pháp 2. Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp nâng lên lũy thừa
2.1. Dạng 1: Phương trình vô tỉ có dạng: (1)
Trong đó f(x) là biểu thức chứa x và mR.
a) Phân tích: Ở dạng này yêu cầu học sinh cần nắm rõ vế trái là một biểu thức không âm. Nếu m < 0 thì đẳng thức không xảy ra nên phương trình vô nghiệm. Nếu m0 thì phương trình tồn tại vậy khi m0 thì phương trình không cần tìm điều kiện khi đó ta tìm cách bỏ dấu căn bậc hai rồi giải phương trình vừa tìm được. Vậy phương trình (1) mà m < 0 kết luận phương trình vô nghiệm ta không giải, m0 bình phương hai vế rồi giải phương trình vừa tìm được.
b) Phương pháp giải 
(1)
Tiếp tục giải phương trình f(x) = m2 suy ra x rồi kết luận nghiệm của phương trình. 
c) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình: 
Phân tích: Phương trình đã cho có tồn tại không? Vì sao? (Phương trình đã cho có tồn tại vì vế trái và vế phải 3 > 0). Vậy đối với dạng này không cần tìm điều kiện.
Để giải phương trình đã cho ta làm như thế nào? (Làm mất dấu căn bậc hai bằng cách bình phương hai vế rồi giải phương trình vừa tìm được)
Giải
Ta có: 
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 14
Ví dụ 2. Giải phương trình: 
Phân tích: Phương trình đã cho phải là phương trình dạng 1 chưa? Nêu cách giải.
Giải
Ta có: 
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = 
Giáo viên? Ngoài cách giải trên còn cách giải nào khác không? (Bỏ dấu căn bậc hai theo kiến thức rồi giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối đa học)
Cách 2. Ta có: 
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = 
Nhận xét: Giáo viên cho học sinh nhận xét về hai cách giải trên? Khi nào thì phương trình dạng giải được theo cách 2? Từ đó chọn cách giải phù hợp cho từng bài toán. (Cách 2 giải đơn giản hơn cách 1, để bài toán giải được theo cách 2 thì biểu thức dưới dấu căn viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức nếu không thì giải theo cách 1)
Ví dụ 3: Giải phương trình 
Phân tích: Phương trình đã cho có thể đưa về dạng của phương trình ví dụ 2 trang 5 được không? (Học sinh nêu cách biến đổi phương trình đã cho về dạng )
Giải
Ta có: 
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = 
Ví dụ 4: 
Phân tích: Đặt câu hỏi gợi mở như ví dụ 3 (Học sinh biến đổi phương trình đã cho về dạng )
Giải 
Ta có: 
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {-9; 5}
d) Nhận xét: Khi học xong dạng này thì tất cả các bài dạng này học sinh đều giải được, đây là dạng cơ bản để học sinh làm nền cho các dạng tiếp theo 
e) Các bài tập tương tự:
Câu 1. 
Câu 2. 
Câu 3. 
Câu 4. 
2.2. Dạng 2. Phương trình vô tỉ có dạng: (2)
Trong đó f(x), g(x) là biểu thức chứa x.
a) Phân tích: Ở dạng này yêu cầu học sinh nhận thấy vế trái là một biểu thức không âm. Nếu g(x) < 0 thì đẳng thức không xảy ra nên phương trình (2) vô nghiệm. Nếu g(x) 0 phương trình tồn tại. Vậy g(x) 0 là điều kiện cần và đủ của phương trình, không cần tìm điều kiện để f(x) 0 khi đó ta tìm cách bỏ dấu căn bậc hai rồi giải phương trình.
b) Phương pháp giải 
Tiếp tục giải bất phương trình suy ra điều kiện của x và giải phương trình f(x) = g(x)2 suy ra x xong đối chiếu điều kiện của x ở trên rồi kết luận nghiệm của phương trình. 
c) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình: 
Phân tích: Phương trình đã cho tồn tại khi nào? ()
Để giải phương trình đã cho ta làm như thế nào? (Làm mất dấu căn bậc hai bằng cách bình phương hai vế rồi giải phương trình vừa tìm được)
Giải
Điều kiện: 3 - x 0 x 3 
Ta có: 
Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của phương trình: S = {xR/x3}
Giáo viên? Ngoài cách giải trên còn cách giải nào khác không? (Bỏ dấu căn theo kiến thức )
Cách 2. Điều kiện: 3 - x 0 x 3 
Ta có: 
Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của phương trình: S = {xR/x3}
Nhận xét: Giáo viên cho học sinh nhận xét về hai cách giải trên? Khi nào thì giải được theo cách 2? Từ đó chọn cách giải phù hợp cho từng bài toán. (Cách 2 giải đơn giản hơn cách 1, để bài toán giải được theo cách 2 thì biểu thức dưới dấu căn viếc được dưới dạng bình phương của một biểu thức nếu không thì giải theo cách 1)
Ví dụ 2. Giải phương trình sau: 
Phân tích: Phân tích cách giải như ví dụ 1. 
Giải
Điều kiện: 3 - 3x 0 -3x -3x1 
Ta có:
Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của phương trình là: S = {-2}
Ví dụ 3. Giải phương trình: 
Phân tích: Phương trình đã cho có đưa về phương trình giá trị tuyệt đối không? Vì sao (Phương trình đã cho không đưa về phương trình giá trị tuyệt đối được vì biểu thức dưới dấu căn không đưa về dạng bình phương của một biểu thức). Nên giải theo cách bình phương hai vế.
Giải 
Điều kiện: 2x + 8 02x - 8x- 4
Ta có: 
Kết luận: So với điều kiện, nghiệm của phương trình là: 
Ví dụ 4. Giải phương trình sau: 
Phân tích: Phương trình đã cho biến đổi đưa về dạng ví dụ 3 không? (Phương trình đã cho biến đổi đưa về dạng ví dụ 3 bằng cách chuyển x + 1 sang vế phải thu gọn xong tìm điều kiện. Nên cách giải như sau:
Giải
Ta có: (*)
Điều kiện: 4x - 4 04x4x1
(*)
Kết luận: So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 1
d) Nhận xét: Khi học xong dạng này thì đa số học sinh đều làm được các bài dạng này, đây là dạng cơ bản thứ 2 để học sinh làm nền cho các dạng tiếp theo 
e) Các bài tập tương tự
Câu 1. 
Câu 2. 
Câu 3. 
Câu 4.
2.3. Dạng 3. Phương trình vô tỉ dạng: (3) 
Trong đó f(x), g(x) là biểu thức chứa x.
a) Phân tích: Cả hai về của phương trình đều chưa căn bậc hai vậy để mất căn bậc thì ta bình phương hai vế.
b) Cách giải: Phương trình dạng 3 như sau
(3) 
Giải 2 bất phương trình f(x) 0 và g(x) 0 suy ra điều kiện chung của bai toán
Giải phương trình f(x) = g(x) suy ra x đối chiếu điều kiện và kết luận.
c) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình sau: 
Giải 
Điều kiện: 	* 2x - 1 0 2x 1x 
	* x - 1 x 1
Vậy điều kiện: x 1
Ta có: 
Kết luận: So sánh với điều kiện, tập nghiệm của phương trình là S = 
Ví dụ 2. Giải phương trình sau: 
Giải
Điều kiện: * 
* 
Vậy điều kiện bài toán là 
Ta có: 
Kết luận: So sánh với điều kiên bài toán, nghiệm của phương trình x = 3
Ví dụ 3. Giải phương trình sau: 
Giải 
Điều kiện: 	*
*
Vậy điều kiện bài toán 
Cách 1: Giải như ví dụ 2
Giáo viên? ví dụ trên ngoài cách giải đó còn có cánh giải nào khác không?
Cách 2
Ta có: 
Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của phương trình là: S = {1; } 
d) Nhận xét: Giáo viên cho học sinh nhận xét về hai cách giải trên? Khi nào thì phương trình giải được theo cách 2? Từ đó chọn cách giải phù hợp cho từng bài toán. (Cách 2 giải đơn giản hơn cách 1, để bài toán giải được theo cách 2 thì biểu thức dưới dấu căn viếc được dưới dạng bình phương của một biểu thức nếu không thì giải theo cách 1)
e) Các bài tập tương tự. 
Câu 1. = 
Câu 2. = 
Câu 3. = 
Câu 4. 
Câu 5. = 
2.4. Dạng 4. Phương trình vô tỉ dạng: 
Trong đó f(x), g(x), h(x) là các đa thức chứa cùng biến x.
a) Cách giải 
Ta có: 
Giải phương trình * như dạng 2 phần 2.2 (chú ý điều kiện bổ sung cho phương trình * là h(x) - f(x) - g(x) ) 0). Khi suy ra nghiệm của * ta đối chiếu điều kiện ban đâu và điều kiện bổ sung rồi kết luận. Nên cách giải như sau.
b) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình sau: 
Phân tích: Ta thấy vế phải là số không âm, vế trái chưa xác định được dương hay âm. Khi giải bình phương để mất căn thì được phương trình mới không tương đương với phương trình đã cho nên phương trình mới sẽ có nghiệm ngoại lai. Vì vậy thường sai lầm khi kết luận lấy cả nghiệm ngoại lai, Vậy giáo viên nên hướng dẫn cho học sinh cách khắc phục sai sót này theo hai cách sau.
Cách 1. Khi giải xong thay nghiệm vào thử lại nghiệm nào không thõa mãn thì loại, nghiệm nào thỏa mãn thì nhận. Như vậy cách này mất thời gian nhiều.
Cách 2. Biến đổi chuyển vế để cả hai vế đều cùng dương. . Nên ta có cách giải như sau. 
Giải
Điều kiện: 
Vậy điều kiện xác định 
Ta có: 
(Điều kiện bổ sung của phương trình cơ bản phần 2.2 dạng 2 là: )
Kết luận: So sánh với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 0.
c) Các bài tập tương tự
Câu 1. 
Câu 2. 
Câu 3. 
Câu 4. 
2.5. Dạng 5. Phương trình vô tỉ dạng: (1) 
a) Phân tích: Nếu phương trình (1) có A + B = C + D khi đó cả hai vế đều không âm, cách giải ta bình phương hai vế thì vế trái xuất hiện tổng A + B và vế phải xuất hiện C + D mà A + B = C + D khử được khi đó phương trình mới về dạng cơ bản phần 2.3 dạng 3 và cách giải theo dạng này. 
Nếu phương trình (1) có A + C = B + D khi đó ta chuyển vế phương trình (1) về dạng sau đó bình phương hai vế thì được phương trình hệ quả vì cả hai vế chưa xác định đượng dương hay âm khi đó phương trình mới củng có dạng 3 phần 2.3. Chú ý khi giải phương trình mới này cần thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai. 
Nếu phương trình (1) có AB = CD khi đó cả hai vế đều không âm, cách giải ta bình phương hai vế thì vế trái xuất hiện vế trái và vế phải mà AB = CD khử được khi đó phương trình không còn căn bậc hai và giải được.
Nếu phương trình (1) có AC = BD khi đó ta chuyển vế phương trình (1) về dạng sau đó bình phương hai vế thì được phương trình hệ quả vì cả hai vế chưa xác định đượng dương hay âm khi đó phương trình mới khử được và và phương trình mới không còn căn. Chú ý khi giải phương trình mới này cần thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai. 
b) Cách giải 
Bước 1. Điều kiện
Bước2. Giải
Ta có: (nếu A + B = C + D)
So sánh điều kiện và kết luận.
Chú ý: Các trường hợp còn lại giải tương tự.
c) Các ví dụ minh họa 
Ví dụ 1. Giải phương trình sau: 
Giải
Điều kiện: 	* x + 3 0 x - 3
	* 3x + 1 0 x
	* x 0
	* 2x + 2 0x - 2
Vậy điều kiện: x 0
Ta có: 
 Ta thấy: (x + 3) + 4x = (3x + 1) + (2x + 2)
 (phương trình hệ quả)
(Giải tương tự như dạng 3 phần 2.3)
Vì cách biến đổi trên ta được phương trình hệ quả nên cần kiểm tra nghiệm ngoại lai bằng cách thay x = 1 vào phương trình đã cho ta thấy thỏa mãn 
 Kết luận: Nghiệm của phương trình là x = 1
Ví dụ 2. Giải phương trình sau: 
Giải
Điều kiện: x - 1 
Ta có: (Ta thấy )
(phương trình hệ quả)
Đối chiếu điều kiện và thử lại thì nghiệm của phương trình là 
Nhận xét: Giáo viên cho học sinh nhận xét phương trình dạng khi nào giải theo ví dụ 1 khi nào giải theo ví dụ 2? Khi giải xong cần chú ý những gì? (khi thấy A + C = B + D giải theo ví dụ 1 còn AC = BD giải theo ví dụ 2, giải xong cần đối chiếu điều kiện và thử lại để tránh thu nghiệm ngoại lai)
d) Bài tập tương tự: 
Câu 1. 
Câu 2. 
Câu 3. 
Câu 4. 
2.6. Dạng 6. Phương trình vô tỉ dạng: 
Trong đó A, B, C là các đa thức chứa biến x
a) Phân tích: Phương trình dạng cơ bản , hướng xử lý để mất căn bậc ba là lập phương hai vế và thường sử dụng hằng đẳng thức , rồi sau đó thay thế vào phương trình thu được sau khi lập phương và giải phương trình hệ quả dạng . Nên cách giải như sau.
b) Cách giải 
Điều kiện xác đinh: 
Ta có: (Thay )
( *) 
Vì cách biến đổi trên thì phương trình (*) là phương trình hệ quả. Vây khi tìm được x thay vào phương trình ban đầu để kiểm tra nghiệm nào thỏa mãn thì nhận.
c) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: 
Giải 
Điều kiện: 
Ta có: 
(Thay )
Thay x = -1 vào phương trình thỏa mãn nên x = -1nghiệm của phương trình.
Thay x = 0 vào phương trình thỏa mãn nên x = 0 là nghiệm của phương trình.
Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm là x = -1; x = 0
d) Bài tập tương tự: 
Câu 1. 
Câu 2. 
Câu 3. 
3. Giải pháp 3. Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp đặt ẩn phụ là một hình thức đưa bài toán từ tình thế phức tạp sang tình thế đơn giản hơn mà đã biết cách giải. Có rất nhiều cách đặt ẩn phụ khác nhau tùy thuộc vào đặc điểm của từng phương trình mà có thể đặt một ẩn phụ, hai ẩn phụ, ba ẩn phụ... để đưa về phương trình hoặc hệ phương trình. Sau khi đặt ẩn phụ, ta cần tìm điều kiện cho ẩn phụ. Tùy vào mục đích của ẩn phụ mà ta đi tìm điều kiện cho hợp lý (dễ, không gây sai sót).
Một số dạng đặt ẩn phụ cơ bản thường gặp và cách giải của từng dạng.
3.1. Dạng 1. Phương trình có dạng: (1)
Trong đó f(x) là đa thức chứa biến x
a) Nhận dạng: Biểu thức chứa biến trong căn và ngoài căn có mối liên hệ.
b) Phương pháp giải: 
Bước 1: Đặt điều kiện.
Bước 2: Đặt (Điều kiện của t) 
 thay vào (1) suy ra
đối chiếu điều kiện 
đối chiếu điều kiện 
Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình.
c) Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Giải phương trình sau: (2)
Phân tích: Nhận thấy t = 0, thì biểu thức bên ngoại dấu căn thức = 3() + 9 = 3t2 + 9 có mối liên hệ với nhau nên cách giải như sau:
Giải
Điều kiện: 0
Đặt t = (t0) (*)
(nhận)
(nhận)
Thay vào (2) 
Với t = 1 thay vào (*) ta có: (vô lý vì )
Với t = 3 thay vào (*) ta có: 
Kết luận: So sánh điều kiện, tập nghiệp của phương trình là: S = {- 4; 1}
Ví dụ 2. Giải phương trình sau: (3)
Phân tích: Đối với bài toán có dạng thuận nghịch loại ta đều có thể giải bằng cách đặt ẩn số phụ: t = nên cách giải bài toán trên như sau:
Giải
Điều kiện: x > 0 
(3) (*)
Đặt 
 + 1
(*) 3t = 2(t2 - 1) - 7
(nhận)
(loại)
Với t = 3, suy ra: 
Kết luận: So sánh với điều kiện, phương trình có 2 nghiệm là: 
Ví dụ 3. Giải phương trình sau: (4)
Phân tích: Ta nhận thấy biểu thức ngoài căn là x + 1, biểu thức trong căn thức có chứa x2 + 1 ta thấy hai biểu thức này không liên hệ với nhau. Nhưng nếu chia cả hai vế cho được từ đây ta thấy hai biểu thức có liên hệ với nhau. Đặt thì phương trình sẽ biểu diễn hết theo biến mới t và cách giải như sau:
Giải 
Điều kiện: x 0 
Trường hợp 1. Với x = 0 ta thấy không là nghiệm (vì thay vào phương trình 4 không thỏa mãn)
Trường hợp 2. Nếu x > 0, chia cả hai vế cho 
(4) (5)
Đặt: 
(thay vào phương trình 5) 
(5) (Giải tương tự dạng cơ bản 2 phần 2.2 nâng lên lũy thừa. Chú ý điều kiện phụ t 3) 
 (nhận)
Suy ra: 
Kết luận: So với điều kiện, phương trình có 2 nghiệm là: ; x = 4 
Ví dụ 3. Giải phương trình sau: (4)
Phân tích: Nếu giải phương trình 4 theo phương pháp nâng lên lũy thừa thì ta thấy lũy thừa bậc cao không triệt tiêu được và sẽ gây khó khăn cho việc giải. Nhưng phần biến có liên hệ với khau không? Để ý phần hệ số của a, c của biểu thức ax2 + bx + c trong hai căn thức ở vế trái đều bằng nhau là (a = 2, c = 5), nên khi chia cả hai vế cho thì khi đó hai biểu thức dưới dấu căn thức ở vế trái có liên hệ với nhau. Khi đó đặt ẩn phụ để đưa bài toán về dạng cơ bản như sau.
Giải
Điều kiện: x 0 
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế của phương trình (4) cho , ta được: 
(*)
Đặt 
(*) (Đây là dạng cơ bản 4 của phần 2.4)
(Điều kiện bổ sung t 16)
(TMĐK)
Với t = 8, suy ra: 
Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có 2 nghiệm là 
d) Nhận xét: Đôi khi bài toán ban đầu chưa xuất hiện mối liên hệ giữa các biểu thức trong căn và ngoài căn nhưng khi ta nhân hoặc chia cả hai vế cho cùng một biểu thức khác không thì xuất hiện sự liên hệ giữa các biểu thức đó. Nên khi làm một bài toán chúng ta cần tìm hiểu và phân tích thật kỹ để tìm ra cách giải phù hợp đơn giản nhất.
e) Bài tập tương tự:
Câu 1. 
Câu 2. 
Câu 3. 
Câu 4. 
3.2. Dạng 2. Phương trình vô tỉ dạng: 
Trong đó f(x), g(x), h(x) là các đa thức chứa biến x
a) Nhận dạng: Phương trình có dạng tổng - tích hoặc hiệu - tích
b) Cách giải 
Điều kiện: f(x) 0, g(x) 0, h(x) 0 
Bước 1. Đặt t = tổng hoặc hiệu , , suy ra t2 =... 
Bước 2. Giải phương trình với biến mới theo t, suy ra x.
c) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình sau: (1)
Phân tích: Phương trình có dạng tổng - tích, khi đó ta đặt t = 0, suy ra đã biểu diễn biết hết theo t nên cách giải như sau:
 	Giải
Điều kiện: 	* 3 + x 0 
	* 
Suy ra điều kiện: 
Đặt , suy ra: 
(loại)
. Khi đó: 
(nhận)
(1) 
Với t = 3, suy ra: (giải tương tự dạng cơ bản 4 phần 2.4)
Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = - 3; x = 6.
Ví dụ 2. Giải phương trình sau: (2)
Phân tích: Sau khi phân tích thì phương trình có dạng tổng - tích, nếu đặt 0, suy ra thì phần biến còn lại biểu diễn được hết theo t và có lời giải như sau:
Giải
Điều kiện: x -1
(loại)
(nhận)
Đặt 0, suy ra . Khi đó: (2) 
Với t = 5, suy ra: 
(loại)
(nhận)
(điều kiện bổ sung x 7)
Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3
d) Nhận xét: Đôi khi phương trình chưa có dạng tổng tích hoặc hiệu tích như ví dụ 2 trên ta cần phân tích biểu thức dưới dấu căn thành tích để xuất hiện dạng tổng tích hoặc hiệu tích như ví dụ 2. 
e) Các bài tập tương tự
Câu 1. 
Câu 2. 
Câu 3. 
Câu 4. 
3.3. Dạng 3. Phương trình vô tỉ dạng: 
a) Cách giải: 
Điều kiện: a - f(x)0, b + f(x) 0( khi m,n là các số chẳn)
Đặt 
b) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình sau: (1)
Phân tích: Bài toán có hai căn thức như dạng 3, nên ta giải bằng cách đặt hai ẩn phụ là 2 căn thức, tức đặt . Khi đó, ta cần cân bằng hệ số trước x, tức phương trình (1) sẽ nhân 2 vế với 7 sau đó trừ (một số bài cộng) nhằm triệt tiêu x sẽ thu được 1 phương trình mới với ẩn là u và v là 7u2 -v3 = 1. Còn phương trình thứ 2 thay u, v vào đề bài được phương trình là: 5u - 2v = 4. Khi đó giải hệ này tìm được u, v. Suy ra x.
Giải
Điều kiện: 
Đặt (2)
Từ phương trình (1) 5u - 2v = 4 (3)
Từ (2), (3) suy ra hệ: 
(nhận)
Với , suy ra: (nhận)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 3.
Ví dụ 2. Giải phương trình sau: (2)
Phân tích tương tự ví dụ 1.
Giải
Điều kiện: 
Đặt:
, suy ra: 
Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = - 3, x = 3
Ví dụ 3. Giải phương trình sau: 
Phân tích: Đối với ví dụ 3 không đúng dạng 3 trên. Ta cần biến đổi khéo léo đẳng thức để đưa về dạng: . Nên cách giải như sau.
Giải
Điều kiện: x + 2 0 x -2, suy ra: . Khi đó: 
(3) (chia cả hai vế cho số )
 (phương trình đã có dạng 3 phần 3.3)
Đặt: (nhận)
Suy ra: (nhận)
Kết luận: Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2.
c) Nhận xét: Ta thấy hình thức ở ví dụ 3 thực ra củng là dạng 3 nhưng mang tích chất giấu mặt. Khi đó ta chỉ cần biến đổi khéo léo đẳng thức củng như sự kết hợp tinh tế để đưa về dạng: .
d) Các dạng bài tập tương tự
Câu 1. 
Câu 2. 
Câu 3. 
Câu 4. 
Câu 5. 
Câu 6. 
3.4. Dạng 4. Phương trình vô tỉ dạng: 
a) Phương pháp giải: Có 2 cách giải như sau:
- Cách 1. Đặt 2 ẩn phụ , , đưa phương trình về dạng phương trình đẳng cấp bậc hai dạng: a.u2 + b.uv + c.v2 = 0. Giải phương trình đẳng cấp kết hợp với đề bài suy ra u, v. Suy ra x. 
- Cách 2. Nếu 0 hoặc 0. Chia trực tiếp 2 vế phương trình cho lượng khác 0, 0 hoặc 0, để được phương trình bậc hai dạng: 
. Giải phương trình bậc hai này và kết hợp với phương trình đã cho suy ra A, B. Suy ra x.
b) Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Giải phương trình sau: (1)
Phân tích: Nhận thấy nên phương trình (1) có dạng
 đúng dạng 4. Nên cách giải như sau:
Giải
Điều kiện: 
- Cách 1. Đặt 2 ẩn phụ đư về phương trình đẳng cấp bậc hai. 
Đặt , . Khi đó (1) (2) 
Ta thấy x = 2 không là nghiệm của phương trình (1) nên xét x 2, suy ra: 0 khi đó chia hai vế của phương trình (2) cho v2 0, ta được: 
(2) 
Với u = v, suy ra: 
Với 4u = 3v, suy ra: 
Kết luận: So với điều kiên, phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0, 
- Cách 2. Chia đưa phương trình về dạng bậc hai.
Ta thấy x = 2 không là nghiệm của phương trình (1) suy ra: 0 khi đó chia hai vế của phương trình (1) cho 0, ta được:
(1) 
Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0, 
Ví dụ 2. Giải phương trình sau: 
Phân tích: Thông thường thì học sinh nhầm lẫn giữa ví dụ này với ví dụ 1, vì thấy vế phải không bằng 0 nên không thuộc dạng: . Đối với dạng này ta chỉ giải