SKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

à kiến thức nâng cao trong các sách tham khảo nhằm mục đích đưa đến các em cách tư duy đầy đủ và logic nhất để các em thấy sự lôi cuốn của bài toán, từ đó có động lực để làm toán.
3.2. Nội dung và cách thực hiện giải pháp, biện pháp
Để bài giảng về phương trình tích và phương trình đưa được về dạng tích đạt hiệu quả tốt nhất, trước tiên tôi đặt ra yêu cầu đối với học sinh như sau:
3.2.1. Lí thuyết: 
- Các em cần nắm được kiến thức chính: Phương trình tích có dạng:
A(x).B(x) = 0.
	- Nắm được các dạng phương trình đưa được về phương trình tích: phương trình bậc hai một ẩn, phương trình trùng phương, phương trình chứa mẫu, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình đối xứng, 
	3.2.2. Kĩ năng:
	- Các em biết dùng máy tính bỏ túi để kiểm tra nghiệm của một phương trình từ đơn giản đến phức tạp. Việc hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi trước khi thực hiện các bước giải phương trình, các em nhận biết được nghiệm, thông qua đó định hướng cách giải. Điều này sẽ giúp học sinh không bị lúng túng khi phát hiện ra bài giải sai, hoặc phải giải lại bài toán từ đầu để giành thời gian cho các bài tập tiếp theo.
- Rèn học sinh kĩ năng nhận biết phương trình và định hướng cách giải phương trình tích. Các ví dụ từ những phương trình dạng phương trình tích đến những phương trình khó theo mức độ tăng dần. Đưa ra phương pháp hướng dẫn của giáo viên và hướng dẫn học sinh trình bày bài toán. Các ví dụ đưa ra không chỉ nhằm mục đích là giải bài toán, mà còn ví dụ cơ bản để giáo viên định hình từng bước làm cho học sinh.
- Rèn học sinh kĩ năng năng giải các phương trình ở dạng tích có sẵn: hướng dẫn học sinh giải phương trình tích trong sách giáo khoa toán 8 tập II (củng cố sau tiết dạy kiến thức của bài Phương trình tích), giáo viên đưa thêm một số bài tập trong sách bài tập toán 8 tập II. 
 - Rèn học sinh nhận biết những phương trình đơn giản đưa được về phương trình tích bằng các cách biến đổi như quy tắc chuyển vế, phân tích thành nhân tử, (Bài tập trong sách giáo khoa và sách tham khảo toán 8).
- Đến dần với hệ thống các bài tập đưa được về dạng tích nhưng bằng các cách tư duy của từng học sinh như thêm, bớt hạng tử, đặt ẩn phụ, hằng đẳng thức,: Bài tập trong sách tham khảo như Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8, Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8 đại số, Bồi dưỡng học sinh giỏi đại số 8 (giáo viên lồng ghép các bài tập phù hợp với từng đối tượng học sinh khá hoặc giỏi).
- Sau khi học sinh hiểu và vận dụng giải được những phương trình trên, giáo viên mở rộng thêm cho học sinh các phương trình bậc cao với những cách giải mới. Ở đây, cần yêu cầu học sinh đạt được là: nhận dạng được phương trình, nắm rõ các bước giải, thao tác giải chính xác, trình bày bài giải logic.
- Với mỗi dạng, giáo viên đều gợi mở cho học sinh suy luận, giải và sửa bài giải của học sinh, sau mỗi bài giải đều đưa ra những bài tập vận dụng.
3.2.3. Vận dụng: 
a. Cách sử dụng máy tính bỏ túi để đoán nghiệm của phương trình
Khi nhìn vào phương trình, có những phương trình học sinh có thể đoán và nhận ra ngay được giá trị nào là nghiệm. Nhưng với những phương trình phức tạp hơn, bậc cao hơn thì kĩ năng sử dụng máy tính là rất quan trọng. Điều này giúp các em tự tin hơn để giải phương trình. Tôi chỉ hướng dẫn các em sử dụng trên hai loại máy tính mà các em hay sử dụng nhất đó là fx - 500 MS và fx – 570VN PLUS.
+ Đối với máy tính fx - 500 MS: giáo viên hướng dẫn học sinh kiểm tra nghiệm bằng hai cách
Cách 1: (Chỉ dùng được cho những phương trình đưa được về dạng cơ bản ax2 + bx + c = 0 hoặc ax3 + bx2 + cx + d = 0) 
ON -> MODE -> MODE -> 1 -> PHÍM mũi tên sang phải -> 2 (chọn phương trình bậc 2) hoặc 3 (chọn phương trình bậc 3)
+ Đối với máy tính fx – 570VN PLUS: giáo viên hướng dẫn học sinh kiểm tra nghiệm theo hai cách:
Cách 1: (Chỉ dùng được cho những phương trình đưa được về dạng cơ bản ax2 + bx + c = 0 hoặc ax3 + bx2 + cx + d = 0) 
ON -> MODE -> 5 -> 3(chọn phương trình bậc 2) hoặc 4 (chọn phương trình bậc 3)
Cách 2: ON -> bấm phương trình bằng các phím ALPHA X (để biểu diễn ẩn) -> SHIFT SOLVE 
Ví dụ: Dùng máy tính bỏ túi tìm nghiệm của phương trình 2x2 – 5x + 3 = 0
Với máy tính fx – 500 MS: ON -> MODE -> MODE -> 1 -> PHÍM mũi tên sang phải -> 2 -> Phím 2 -> Phím mũi tên đi xuống hoặc phím ‘’=” (trên máy tính sẽ hiển thị a? ) -> phím – 5 (trên máy tính hiển thị b?) -> Phím mũi tên đi xuống -> Phím 3 (trên máy tính hiển thị c?) -> “ = ’’. Lúc này trên máy tính sẽ hiển thị nghiệm của phương trình là x1 = 1,5 ; x2 = 1
Với máy tính fx – 570VN PLUS: 
Học sinh có thể bấm: MODE -> 5 -> 3 -> 2 (tương ứng với giá trị của a) -> phím “ =” hoặc mũi tên sang phải -> - 5 (tương ứng với b) -> phím “ = “ -> 2 (tương ứng với c) -> 2 lần phím “ =”. Lúc này trên máy tính sẽ hiển thị nghiệm của phương trình x1 = hoặc x2 = 1.
Hoặc học sinh có thể bấm: (giáo viên hướng dẫn bấm phím x bằng cách ALPHA -> Phím ) ). Từ đó học sinh chỉ việc bấm phương trình như phương trình của để bài là tìm được giá trị của x.
b. Nắm được dạng tổng quát của phương trình tích và cách giải phương trình tích.
Giáo viên cần đưa ra mục tiêu cần đạt được là tất cả các học sinh phải nắm chắc dạng này và giải tốt 100%
Đầu tiên, giáo viên nhắc lại cho học sinh kiến thức cơ bản: Một tích bằng 0 khi nào? Trong một tích nếu có một thừa số bằng 0 thì tích có bằng 0 hay không?
Phương trình tích có dạng A(x)B(x) = 0. trong đó A(x), B(x) là các đa thức của biến x. 
Để giải phương trình A(x)B(x) = 0 ta giải hai phương trình A(x) = 0 và 
B(x) = 0 rồi lấy tất cả các nghiệm của hai phương trình đó. 
Ví dụ 1 : Giải phương trình : (3x – 2) (4x + 5) = 0 ( I ) (Bài 21- Trang 17/sgk toán 8 tập II)
Khi đưa ra ví dụ này, sẽ có những luồng ý kiến trái chiều như: bài toán này khá đơn giản, không nhất thiết phải đưa ra. Hay bài toán phù hợp với học sinh trung bình, yếu. Nhưng theo tôi, không thể bỏ qua những kiến thức cơ bản. Học sinh có hiểu rõ “ cái gốc’’ của vấn đề thì tư duy mới logic và chặt chẽ. Với những bài toán như trên, tôi đặt ra yêu cầu là tất cả học sinh phải làm được, làm tốt.
Hướng dẫn của giáo viên
Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải
+ Giáo viên yêu cầu học sinh nhận dạng phương trình tích (Phương pháp phát hiện)
+ Giáo viên cần hướng cho học sinh nhận dạng được A(x) và B(x) trong bài toán: 3x – 2 và 4x + 5
+ Học sinh cần giải những phương trình nào để giải bài toán: 3x – 2 = 0 và 4x + 5 = 0
+ Phương trình (I) có bao nhiêu nghiệm? Liệt kê nghiệm của phương trình (I)
+ Học sinh viết được tập nghiệm của phương trình
+ Yêu cầu học sinh kiểm tra nghiệm của phương trình bằng máy tính
Giải:
Ta có: ( 3x – 2 ) (4x + 5 ) = 0 
 3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0
Với 3x -2 = 0 3x = 2 x =
Với 4x + 5 = 0 4x = -5 x = 
Vậy tập nghiệm của phương trình (I) là 
S = 
Giải phương trình như trên được gọi là giải phương trình tích. 
c. Nắm được dạng tổng quát của phương trình tích với nhiều nhân tử.
	Với bài toán trên, giáo viên cần sử dụng những phương pháp thuyết trình, vấn đáp giữa cô và trò để giải quyết vấn đề. Điều đó giúp các em từng bước nắm được kiến thức cơ bản của bài toán. Bài toán còn giúp các em rèn kĩ năng trình bày bài giải phương trình tích. Từ bài toán cụ thể, giáo viên dần hình thành cho học sinh bài toán tổng quát. Giáo viên đưa ra dạng phương trình tích tổng quát như sau: Để giải phương trình tích A(x) . A(x) . .A(x) = 0 (II) thì ta cần giải những phương trình nào ? 
HS: Để giải phương trình ( II ) ta cần giải các phương trình sau 
 A(x) = 0 (1) 
 A(x) = 0 (2) 
 ..
 A (x) = 0 (n)
Nghiệm của các phương trình (1) ; (2) .(n) là nghiệm của phương trình (II)
Với các giá trị của x thỏa mãn điều của phương trình (II)
Ví dụ 2: Giải phương trình ( 2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = 0 ( Bài 21 – trang 17/sgk toán 8 tập II)
Hướng dẫn của giáo viên
Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải
+ Giáo viên yêu cầu học sinh nhận dạng phương trình tích. Nêu được điểm khác nhau của phương trình ở ví dụ 1 và ví dụ 2.
+ Giáo viên cần hướng cho học sinh nhận dạng được A(x1), A(x2), A(x3) trong bài toán: 2x + 7, x- 5 và 5x + 1
+ Học sinh cần giải những phương trình nào để giải bài toán: 2x + 7 = 0 ; x - 5 = 0 và 5x + 1 = 0
+ Phương trình có bao nhiêu nghiệm? liệt kê nghiệm của phương trình 
+ Học sinh viết được tập nghiệm của phương trình
+ Học sinh kiểm tra nghiệm của phương trình bằng máy tính bỏ túi
Giải:
Ta có: ( 2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = 0 
 2x + 7 = 0 hoặc x - 5 = 0 hoặc 5x + 1 = 0
Với 2x + 7 = 0 2x = - 7 x =
Với x - 5 = 0 x = 5 
Với 5x + 1 = 0 5x = -1 x = 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
S = 
Giáo viên lồng ghép thêm các bài tập tương tự nhằm mục đích rèn thêm cho học sinh kĩ năng giải phương trình là phương trình tích sẵn.
 *Bài tập tương tự: Giải phương trình 
a) (2,3x – 6,9)(0,1x + 2) = 0; b) ( 4x + 2) (x2 + 1) = 0
c) (4x – 10)(24x + 5) = 0; d) (3,5 – 7x) (0,1x + 2,3)(x + 1)(x – 1) = 0
(Đây là các bài tập được lấy từ sách giáo khoa và sách bài tập toán 8 tập II. Giáo viên chọn lọc những bài toán cùng dạng để học sinh ban đầu dễ dàng vận dụng. Tạo cho các em tự tin khi giải toán).
d. Đối với phương trình đưa được về dạng phương trình tích bằng quy tắc chuyển vế, phân tích đa thức thành nhân tử.
 Đây là bước mà học sinh vận dụng những kiến thức đã học để đưa về phương trình tích (mức độ khó dần)
 	Sau khi học sinh đã nắm vững các bước giải phương trình tích, tôi đặt vấn đề với những phương trình không phải ở dạng phương trình tích, xem học sinh sẽ suy nghĩ và tìm ra hướng giải bằng cách nào. Để các em tư duy theo nhiều hướng khác nhau. Để các em giải theo chính hướng mà các em nghĩ ra. Điều đó giúp các em tự tin, giám nghĩ, giám làm.
 	Ví dụ 3: Giải phương trình 2x( x - 3 ) + 5(x – 3) = 0
Hướng dẫn của giáo viên
Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải
+ Giáo viên yêu cầu học sinh nhận dạng có là phương trình tích hay không?
+ Học sinh bấm máy tính để đoán nghiệm của phương trình
+ Để học sinh tự thảo luận, suy nghĩ và tìm hướng giải( có thể có học sinh áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức, có thể có học sinh nhìn thấy nhân tử chung của hai biểu thức là x – 3; )
+ Giáo viên để học sinh giải phương trình theo các cách mà các em suy luận.
+ Phương trình có bao nhiêu nghiệm? Liệt kê nghiệm của phương trình 
+ Học sinh viết được tập nghiệm của phương trình
* Với trường hợp học sinh nhận thấy nhân tử chung ngay, đó là các làm nhanh và dễ tìm được tập nghiệm của phương trình.
* Với trường hợp học sinh thực hiện quy tắc nhân, giáo viên không nên vội vàng kết luận với các em rằng cách làm này dài dòng và phức tạp khiến các em nản và không có động lực tiếp tục giải bài toán. Mà cần từng bước hướng dẫn và gợi mở thêm vấn đề cho các em hình thành thêm cách làm mới (tách hạng tử, thêm bớt hạng tử). Với những học sinh trung bình và yếu, giáo viên có thể cho học sinh biết cách tách thông qua việc sử dụng máy tính bỏ túi (giáo viên hướng dẫn)
+ Sau khi học sinh hoàn thành những bài giải của mình, giáo viên cần xoay ngược lại vấn đề, trong trường hợp này cách giải nào giúp các em tiết kiệm được thời gian và giải gọn hơn?
Qua đó, giáo viên hướng học sinh, trước khi giải bài toán, cần nhìn bài toán và chọn cách giải phù hợp nhất.
Giải:
* Có trường hợp học sinh giải theo cách:
Ta có 2x( x - 3 ) + 5(x – 3) = 0
 (x – 3) ( 2x + 5) = 0 ( học sinh phát hiện ra nhân tử chung của hai biểu thức)
 x – 3 = 0 hoặc 2x + 5 = 0
Với x – 3 = 0 x = 3
Với 2x + 5 = 0 x = 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
S = 
* Có trường hợp học sinh không nhận thấy nhân tử chung ngay, mà thực hiện quy tắc đơn thức nhân đa thức:
2x( x - 3 ) + 5(x – 3) = 0
 2x2 – 6x + 5x – 15 = 0
 2x2 – x – 15 = 0
 2x2 – 6x + 5x – 15 = 0 (Giáo viên hướng dẫn học sinh cách tách. Thông qua đây, nhấn mạnh với học sinh rằng không phải lúc nào cũng chỉ nhìn và phụ thuộc những gì bài toán đã cho mà có thể thêm bớt và tách hay kết hợp như thế nào đó đúng quy tắc toán học để giải bài toán)
(2x2 – 6x) + (5x – 15) = 0 (sau khi tách thì được những hạng tử giống với hạng tử bân đầu)
2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0
(x – 3) (2x + 5) = 0 
 x – 3 = 0 hoặc 2x + 5 = 0
Với x – 3 = 0 x = 3
Với 2x + 5 = 0 x = 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
S = 
Nhận xét : Qua ví dụ 3, tôi mở rộng cho học sinh làm quen với phương trình có thể đưa được về phương trình tích bằng các bài toán cho sẵn những hạng tử có nhân tử chung.
	+ Vế phải của phương trình bằng 0
	+ Đưa vế trái của phương trình về dạng tích(đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử,)
	+ Giải phương trình tích
Ví dụ 4: Giải phương trình 0,5x(x – 3) = (x – 3)(1,5x – 1) 
Hướng dẫn của giáo viên
Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải
+ Giáo viên yêu cầu học sinh nhận xét về phương trình trước (đây không là phương trình tích)
+ Học sinh dùng máy tính kiểm tra nghiệm của phương trình.
+Giáo viên để hướng mở cho học sinh suy luận hướng giải bài toán
+ Học sinh rút kinh nghiệm từ ví dụ 3 nên sẽ nhìn thấy có thể đặt x – 3 làm nhân tử chung.
+ Nhưng để làm được điều đó, mục đích của giáo viên là để học sinh phát hiện ra có thể sử dụng quy tắc chuyển vế để giải bài toán.
Giải:
Ta có: 0,5x(x – 3) = (x – 3)(1,5x – 1) 
0,5x(x – 3) - (x – 3)(1,5x – 1) = 0
(x – 3)(0,5x – 1,5x + 1) = 0 (giáo viên lưu ý học sinh quy tắc phá dấu ngoặc)
(x – 3)(1 – x) = 0 ( thu gọn biểu thức trong ngoặc)
 x – 3 = 0 hoặc 1- x = 0
Với x -3 = 0 x = 3 
Với 1 – x = 0 x = 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
S = 
Qua ví dụ, giáo viên củng cố cho học sinh đưa phương trình về dạng phương trình tích, học sinh cần :
+ Chuyển vế các hạng tử ở vế phải sang vế trái, để vế phải bằng 0
+ Phân tích vế trái thành nhân tử
+ Giải phương trình tích
* Bài tập tương tự : giải phương trình (Bài tập 22 ; 23/sgk và 28/ SBT toán 8 tập II)
a) (x2 – 4) + (x – 2)(3 – 2x) = 0 ; 	b) x(2x – 7) – 4x + 14 = 0
c) (x – 1)(5x + 3) = (3x -8)( x – 1) ;	d) (2x – 1)2 + (2 – x )(2x – 1) = 0
e) (2x2 + 1)(4x – 3 ) = (2x2 + 1) (x – 12) ;	f) ( x + 2) (3 – 4x) = x2 + 4x + 4
g) 3x – 15 = 2x(x – 5) ; 	h) x – 1 = x( 3x – 7)
e. Đối với phương trình bậc cao
Nâng cao thêm cho học sinh, với những phương trình học sinh không nhận thấy nhân tử chung, làm thế nào để đưa phương trình về dạng phương trình tích ?
Ví dụ 5: Giải phương trình x2 - 5x + 6 = 0
Khi gặp phương trình này, tôi nhận thấy các em thường không biết tách hạng tử -5x như thế nào, hoặc nếu có dùng máy tình kiểm tra được nghiệm thì chỉ muốn ghi trực tiếp nghiệm ra chứ không biết cách tách đúng. Vì vậy, theo tôi học sinh cần thực hiện như sau :
+ Đối với phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0. Giáo viên hướng dẫn các em tìm nghiệm bằng máy tính.
+ Sau khi được nghiệm, đổi dấu của nghiệm rồi đem nhân với hệ số a. Kết quả nhân với x. Đó là hai giá trị được tách ra từ bx.
Tức là x1 = 3 được đổi dấu thành -3 đem nhân với a = 1 ta được hạng tử tách được là -3x.
Còn x2 = 2 được đổi dấu thành -2 đem nhân với a = 1 ta được hạng tử tách được là -2x.
Vậy -5x được tách thành -3x và -2x
Phần việc còn lại học sinh đã dễ dàng hơn để hoàn thành
Hướng dẫn của giáo viên
Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải
+ Giáo viên yêu cầu học sinh nhận xét về phương trình trước (đây không là phương trình tích)
+ Học sinh dùng máy tính kiểm tra nghiệm của phương trình
+ Giáo viên để hướng mở cho học sinh suy luận hướng giải bài toán
+ Giáo viên hướng dẫn học sinh cách tách – 5x thành -2x và -3x
+ Hướng dẫn học sinh phân tích vế trái thành nhân tử.
+ Hướng dẫn học sinh giải bài toán
Giải:
Ta có: x2 - 5x + 6 = 0
x2 – 2x – 3x + 6 = 0
 x (x – 2) – 3( x – 2) = 0
(x – 3)(x – 2 ) = 0
 x – 3 = 0 hoặc x – 2 = 0
Với x -3 = 0 x = 3 
Với x -2 = 0 x = 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
S = 
Qua ví dụ, với những phương trình có dạng bậc hai mà học sinh không nhận thấy nhân tử chung. Cần:
+ Đưa phương trình về dạng ax2 + bx + c = 0 
+ Tách hạng tử bx thành mx và nx sao cho bx = mx + nx ( sao cho có thể phân tích thành nhân tử ở vế trái của phương trình, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh sử sụng máy tính bỏ túi xác định nghiệm và tách dựa vào nghiệm)
+ Đưa phương trình về dạng phương trình tích.
+ Giải phương trình tích
Ngoài ra, học sinh có thể dùng sơ đồ Hoocner để giải các phương trình bậc cao, nhẩm nghiệm, đặc biệt với nghiệm nguyên. Sau khi dùng máy tính đoán được nghiệm của phương trình x2 – 5x + 6 = 0 là x = 2
a = 1
b = -5
c = 6
m = 2
 F1 = a = 1
F2 = m.F1+ b
 = -3
F3 = m.F2+ c
= 0
Chú thích: Với giá trị của F3 = 0 thì m = 2 được gọi là nghiệm của phương trình
Khi đó phương trình (*)(x – m)(F1x +F2) = 0
	(x – 2)(x – 3) = 0 
Dễ dàng giải được x = 2 hoặc x = 3 là nghiệm của phương trình.
* Bài tập tương tự: Giải phương trình: ( Bài 30/SBT toán 8 tập II)
a) x2 - 3x +2 = 0 ; 	b) – x2 + 5x – 6 = 0
c) 4x2 – 12x + 5 = 0 ;	d) 2x2 + 5x + 1 = -2 
e) x2 – 3x = - 4x + 2; 	f) (x +1) (x + 2) = x( 7 – x)
Khi đến với dạng này, học sinh giải tốt. Điều đó tương ứng với việc học sinh đã giải phương trình khá linh hoạt. giáo viên có thể đưa đến tiếp cho học sinh những dạng toán khó hơn có thể đưa được về phương trình tích.
Ví dụ 6: Giải phương trình : 
Đối với phương trình bậc cao hơn (bậc 3) này thì học sinh có thể có các cách giải khác nhau chẳng hạn ở đây ta có thể tham khảo hai cách giải sau 
Hướng dẫn của giáo viên
Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải
+ Giáo viên yêu cầu học sinh nhận xét về phương trình trước (đây không là phương trình tích)
+ Yêu cầu học sinh dùng máy tính tìm nghiệm của phương trình
+ Hướng dẫn học sinh phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử.
+Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích.
+ Giải phương trình tích
+ Một nghiệm của phương trình có giá trị đúng bằng nghiệm máy tính tìm được
+ Ngoài ra, học sinh có thể dùng sơ đồ Hoocner để giải bài toán
Giải: 
Cách 1 : (tách 3x = x + 2x ) (nhóm hạng tử )
 (đặt nhân tử chung) 
 (đặt nhân tử chung)
x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = -2 
 Vậy nghiệm của phương trình là : 
S = 
Cách2: (tách ) 
 (x3+x2)+(2x2+2x)=0 (đặt nhân tử chung )
 x =0 hoặc x = -1 hoặc x = - 2 
 Vậy nghiệm của phương trình là : 
S = 
Ngoài ra, khi gặp phương trình chưa ẩn ở mẫu, học sinh cũng có trường hợp phải đưa phương trình về phương trình tích. Đây là dạng phương trình mà khi giải ta cần phải tìm điều kiện xác định của phương trình. Điều kiện xác định của phương trình là tìm giá trị của ẩn để mẫu thức khác đa thức 0. 
f. Đối với phương trình chứa mẫu, chứa ẩn ở mẫu
 Ví dụ 7: Giải phương trình : ( I ) 
Hướng dẫn của giáo viên
Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải
+ Yêu cầu học sinh tìm điều kiện xác định của phương trình.
+ Học sinh dùng máy tính tìm được 1nghiệm của phương trình x = -1
+ Học sinh cần thực hiện quy đồng mẫu thức các phân thức trong hai vế của phương trình. Bài toán giúp học sinh rèn kĩ năng tìm ĐKXĐ của phương trình, quy đồng phân thức, nhân đơn thức với đa thức, quy tắc dấu ngoặc và giải phương trình tích.
+ Học sinh thu gọn phương trình sau khi khử mẫu của phương trình.
+ Học sinh dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (đặt nhân tử chung) đưa phương trình về phương trình tích.
Ta có : 
 Điều kiện xác định của phương trình là : 
 Giải : Ta có ( I ) 
(quy đồng mẫu thức của các phân thức ở hai vế của phương trình và khử mẫu)
 (sử dụng phương pháp nhân đơn thức với đa thức và quy tắc dấu ngoặc)
 x2 + x = 0 
x ( x + 1) = 0 
x = 0 hoặc x = -1 
 Vì điều kiện xác định của phương trình là : và 
Nên với x = 0 không thỏa mãn điều kiện. 
Do đó nghiệm của phương trình là : S = 
*Bài tập tương tự: Giải phương trình : 
a) ; 	b) 
c) ;	d) 
e) ; 	f)
g. Đối với phương trình bậc cao(dành cho học sinh khá, giỏi)
Ví dụ 8: (Phương pháp đặt ẩn phụ) Giải phương trình : (Sách toán cơ bản và nâng cao toán 8 tập II) (x + 1)(x + 2) (x + 3 )(x + 4) - 120 = 0
Hướng dẫn của giáo viên
Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải
+ Giáo viên yêu cầu học sinh nhận xét về phương trình trước (đây không là phương trình tích)
+ Giáo viên để hướng mở cho học sinh suy luận hướng giải bài toán
+ Yêu cầu học sinh dùng máy tính tìm một nghiệm của phương