SKKN Kinh nghiệm giải bài toán hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của tam giác ở THCS

ong dạy học Hình học ở THCS, ngoài ra nó còn có tác dụng giáo dục học sinh về mọi mặt, đặc biệt là rèn tính cẩn thận, rèn khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác.
 Tuy nhiên bên cạnh những mặt tích cực thì việc giải bài toán sử dụng tính chất ba đường đồng quy của tam giác trong dạy học Hình học ở THCS cũng còn có những khó khăn, hạn chế nhất định, nhưng nếu giáo viên thực sự có tâm và yêu nghề, ham tìm tòi, nghiên cứu, học hỏi thì vẫn có thể khắc phục được những khó khăn, hạn chế và mặt yếu của việc sử dụng phản ví dụ trong quá trình dạy học.
II.3. Giải pháp, biện pháp:
a. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp: 
- Giúp GV nắm bắt được cách sử dụng tính chất ba đường đồng quy trong tam giác để giải một số bài toán thường gặp khi dạy học Hình học ở THCS.
- Giúp HS nắm vững được bản chất kiến thức và khắc sâu được kiến thức cho HS.
- Giúp HS tránh được những sai lầm thường gặp khi vẽ hình cũng như khi làm bài tập Hình học.
- Tạo ra các tình huống có vấn đề, khơi dậy trí tò mò, óc sáng tạo, niềm say mê, hứng thú học tập môn Hình học của HS.
- Tạo ra các tình huống bất ngờ, thú vị, làm tiết học nhẹ nhàng, vui vẻ hơn, tạo sự thân thiện giữa GV và HS.
- Giáo dục tư duy độc lập sáng tạo, biết tìm tòi, suy nghĩ, rèn kỹ năng vẽ hình và khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác...
b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:
b.1. Dạng toán sử dụng Tính chất đồng quy của ba đường trung tuyến và vị trí của trọng tâm trong tam giác:
 	Khi dạy các dạng toán liên quan đến đường trung tuyến của tam giác, giáo viên cần giúp học sinh nắm vững các kiến thức sau: 
+ Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện.Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.
+ Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác: Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.
+ Vị trí của trọng tâm: Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
+ Hai tam giác có chung một đỉnh và có chung một trung tuyến xuất phát từ đỉnh ấy thì có cùng một trọng tâm.
+ Trung tuyến của một tam giác chia tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.
+ Ba trung tuyến của tam giác chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau.
+ Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Ngược lại nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
Ví dụ 1: Cho , trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Cho biết BM = CN, chứng minh rằng .
* Hướng dẫn:
Từ tính chất ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm ta suy ra đường thẳng đi qua một đỉnh của tam giác và trọng tâm của nó cũng là đường trung tuyến. Trong bài tập này, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G, suy ra G là trọng tâm của tam giác, do đó AG cũng là đường trung tuyến. Vì trong tam giác cân, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh ứng với cạnh đáy cũng là đường cao nên để chứng minh , ta chỉ cần chứng minh cân tại A là được.
Giải:
BM, CN là hai đường trung tuyến, G là trọng tâm nên .
Mà BM = CN (gt) nên BG = CG và GM= GN.
 cân tại A.
Vì G là trọng tâm của nên AG là đường trung tuyến, do đó (tính chất đường trung tuyến của tam giác cân)
Ví dụ 2: Cho cân tại A, đường cao AH. Trên tia đối của tia HA, lấy điểm D sao cho HD = HA. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CB.
Chứng minh rằng C là trọng tâm của 
Tia AC cắt DE tại M. Chứng minh rằng AE // HM.
* Hướng dẫn:
Vì trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy, nên để chứng minh điểm C là trọng tâm của ADE, ngoài cách chứng minh điểm C là giao điểm 2 đường trung tuyến của ADE, ta cũng có thể chứng minh hoặc CE = 2CH (vì EH là đường trung tuyến), trong bài này ta chứng minh được CE = 2CH, suy ra điểm C là trọng tâm của ADE
Để chứng minh HM // AE, ta chứng minh hai góc so le trong băng nhau . Từ tính chất ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm ta suy ra đường thẳng đi qua một đỉnh của tam giác và trọng tâm của nó cũng là đường trung tuyến, suy ra AC hay AM là đường trung tuyến của ADE MD = ME HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông DHE 
MH = ME cân tại M 
Để chứng minh, ngoài cách chứng minh , ta cũng có thể chứng minh ADE cân tại E vì có EH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến, (hoặc vì EH là đường trung trực của đoạn thẳng AD EA = ED cân tại E) suy ra đường trung tuyến EH cũng là đường phân giác .
Giải:
1
2
1
M
H
D
E
C
B
A
a) cân tại A, nên HB = HC (Tính chất đường cao ứng với cạnh đáy của tam giác cân).
Ta có CE = CB CE = 2CH. 
Xét có EH là đường trung tuyến mà CE = 2CH nên C là trọng tâm.
b) có AC là đường trung tuyến nên MD = ME MH = ME (Tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông)
 cân tại M (1)
Từ (1) và (2) 
Mà và là hai góc so le trong nên HM // AE.
Ví dụ 3: Chia đoạn thẳng AB thành ba phần bằng nhau:
* Hướng dẫn:
Khi cho học sinh làm bài toán này, giáo viên có thể đặt câu hỏi: “Một đoạn thẳng chia thành ba phần bằng nhau gợi cho ta kiến thức nào đã học về ba đường đồng quy nào trong tam giác?” . HS sẽ nghĩ đến tính chất ba đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm, điểm này cách đỉnh 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy, nghĩa là có thể chia được đường trung tuyến của tam giác thành ba phần bằng nhau. Như vậy, để chia được đoạn thẳng AB thành ba phần bằng nhau, ta tìm cách vẽ thêm yếu tố phụ sao cho AB là đường trung tuyến của một tam giác nào đó (chẳng hạn ), vẽ thêm một đường trung tuyến khác (CE) cắt AB tại một điểm, ta sẽ xác định được trọng tâm G của tam giác ACD (), vẽ trung điểm K của đoạn thẳng AG, ta sẽ chia được AB thành ba phần bằng nhau (AK = KG = GB).
Giải:
- Vẽ tia By bất kỳ, By không trùng với tia BA. Trên By đặt điểm C bất kỳ, trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BC.
- Vẽ E là trung điểm của AD, CE cắt AB tại G
G là trọng tâm của tam giác ABC 
- Vẽ K là trung điểm của AG
Ta có: AK = KG = GB
Ví dụ 4: 
Cho . Từ B, vẽ tia Bx (Bx nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A). Vẽ tia Cy (Cy nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A) sao cho Bx // Cy. Trên tia Bx lấy điểm D, trên tia Cy lấy điểm E sao cho BD = CE. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh G cũng là trọng tâm của tam giác ADE.
* Hướng dẫn:
Áp dụng tính chất: “Hai tam giác có chung một đỉnh và có chung một đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh ấy thì có cùng một trọng tâm”.
Trong bài toán này, và đã có chung đỉnh A, mà G là trọng tâm tam giác ABC, nên ta chỉ cần vẽ thêm đường trung tuyến đi qua đỉnh A của , giả sử trung tuyến AM (). Khi đó để chứng minh G là trọng tâm của , chỉ cần chứng minh AM cũng là đường trung tuyến của , hay chứng minh M là trung điểm của DE. 
Giải:
Vẽ đường trung tuyến AM của tam giác ABC 
BD // CE (2 góc so le trong)
Xét MBD và MCE có:
 (2 góc tương ứng); MD = ME (2 cạnh tương ứng)
Ta có: (2 góc kề bù)
 D, M, E thẳng hàng.
D, M, E thẳng hàng và MD = ME
M là trung điểm của DE hay AM là đường trung tuyến của 
Hai tam giác ABC và ADE có chung đường trung tuyến AM nên có cùng trọng tâm.
Vậy G là trọng tâm của tam giác ADE.
*Qua bài toán trên, giáo viên đã mở rộng thêm cho học sinh tính chất: “Hai tam giác có chung một đỉnh và có chung một đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh ấy thì có cùng một trọng tâm”. Việc chứng minh bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn. Nếu không biết vận dụng tính chất này, học sinh sẽ phải chứng minh bài toán bằng cách chứng minh G là giao điểm của ít nhất hai đường trung tuyến của tam giác ADE, hoặc G thuộc một đường trung tuyến của tam giác ADE và cách đỉnh 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy; như vậy học sinh sẽ cảm thấy bài toán sẽ khó hơn, không biết phải chứng minh như thế nào với giả thiết bài toán đã cho.
b.2. Dạng toán sử dụng Tính chất đồng quy của ba đường phân giác của tam giác:
Khi dạy các dạng toán liên quan đến đường phân giác của tam giác, giáo viên cần giúp học sinh nắm vững các kiến thức sau: 
+ Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. Đảo lại, điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
+ Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm M , khi đó đoạn thẳng AM được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC. Đôi khi ta cũng gọi đường thẳng AM là đường phân giác của tam giác ABC. Mỗi tam giác có ba đường phân giác.
+ Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.
 + Tính chất ba đường phân giác của tam giác: Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác.
+ Trong một tam giác, các đường thẳng chứa tia phân giác của hai góc ngoài và tia phân giác của góc trong không kề cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.
+ Để chứng minh một tia là tia phân giác của một góc ta có thể:
- Dùng định nghĩa: Chứng minh tia này nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh đó hai góc bằng nhau.
- Dùng tính chất: Chứng minh một điểm trên tia này cách đều hai cạnh của góc.
- Dùng tính chất ba đường phân giác (hoặc hai tia phân giác ngoài và tia phân giác của góc trong không kề) của một tam giác cùng đi qua một điểm.
Ví dụ 1: 
Cho , các đường phân giác AD, BE, CF. Tính chu vi , biết DE = 21, DF = 20.
* Hướng dẫn:
Bài toán cho biết DE = 21, DF = 20, để tính được chu vi của tam giác DEF, ta phải tính được độ dài cạnh EF. Để tính độ dài một cạnh trong một tam giác khi đã biết hai cạnh kia, thường ta nghĩ đến việc áp dụng Định lý Pitago, muốn vậy thì phải chứng minh vuông (ta phải dự đoán xem tam giác này có thể vuông được không và vuông tại đâu trước khi chứng minh). Trong chương trình Hình học học kỳ 2 lớp 6 và học kỳ 1 lớp 7, học sinh đã chứng minh được tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông, vì thế trong bài toán này chỉ cần chứng minh DE và DF là hai tia phân giác của hai góc ADB và ADC bằng cách dùng Tính chất ba đường phân giác (hoặc hai tia phân giác ngoài và tia phân giác của góc trong không kề) của một tam giác cùng đi qua một điểm.
Giải: 
Dễ thấy . Xét có tia AC là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh A; tia BE là tia phân giác góc trong tại đỉnh B, hai tia phân giác này cắt nhau tại E, suy ra tia DE là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh D.
Xét , chứng minh tương tự ta được DF là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh D. 
Suy ra (hai tia phân giác của hai góc kề bù).
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông DEF ta được:
EF2 = DE2 + DF2 = 212 + 202 = 841 EF = 29.
Vậy chu vi tam giác DEF là 21 + 20 + 29 = 70.
Ví dụ 2: 
Cho tam giác ABC có BC = 17cm. CA = 15cm, AB = 8cm. Ba đường phân giác của tam giác cắt nhau tại O. Tính tổng các khoảng cách từ O đến ba cạnh của tam giác.
* Hướng dẫn:
 Bài toán yêu cầu tính tổng các khoảng cách từ O đến ba cạnh của tam giác, mà O là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác ABC nên O cách đều ba cạnh của tam giác ABC (tính chất ba đường phân giác của tam giác), do đó ta phải kẻ các đường vuông góc từ O xuống các cạnh của tam giác ABC: 
, ta sẽ có: OD = OE = OF, sau đó tìm mối quan hệ giữa các khoảng cách này với độ dài ba cạnh của tam giác ABC. Khi một tam giác đã biết độ dài ba cạnh, ta thường nghĩ ngay đến việc sử dụng Định lý Pitago đảo để kiểm tra xem tam giác đó có vuông hay không.
Giải:
Ta có: AB2 + AC2 = 82 + 152 = 289
 BC2 = 172 = 289
Suy ra BC2 = AB2 + AC2
Do đó ABC vuông tại A (Định lý Pitago đảo)
Kẻ 
Vì O là gia điểm các đường phân giác của ABC nên OD = OE = OF (1)
AO là phân giác của góc A nên 
Suy ra AEO vuông cân tại E, AFO vuông cân tại F, ta có: 
AE = AF = OE = OF (2)
Từ (1) và (2) suy ra OD = OE = OF = AE = AF (3)
OBD và OBE có: 
(vì BO là tia phân giác); cạnh OB chung; 
OBD = OBE (cạnh huyền – góc nhọn)
 BD = BE (hai cạnh tương ứng)
Chứng minh tương tự ta được: CD = CF
Ta có: AE = AB – EB = AB – BD
 AF = AC – FC = AC – CD
Suy ra: AE + AF = AB + AC – (BD + DC) = AB + AC – BC
Hay 2AE = AB + AC – BC = 8 + 15 – 17 = 6(cm)
Do đó AE = 3(cm) (4)
Từ (3) và (4) suy ra OD + OE + OF = 3.AE = 3.3 = 9(cm).
Ví dụ 3:
Tam giác ABC cân tại A. tia phân giác của góc A cắt đường trung tuyến BD tại K. Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng ba điểm I, K, C thẳng hàng.
* Hướng dẫn:
Có nhiều phương pháp để chứng minh ba điểm I, K, C thẳng hàng (chẳng hạn chứng minh góc IKC là một góc bẹt, chứng minh hai đường thẳng IK, IC cùng vuông góc hoặc cùng song song với một đường thẳng thứ ba, chứng minh ba điểm I, K, C cùng thuộc một tia hoặc cùng thuộc một đường thẳng), tuy nhiên trước khi chọn phương pháp, ta phải xác định xem bài toán đã cho điều gì để từ đó chọn phương pháp chứng minh nhanh nhất và ngắn gọn nhất. Theo tính chất: “Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy”, mà ABC cân tại A nên đường phân giác AK đồng thời là đường trung tuyến của ABC, mà K là giao điểm của hai đường trung tuyến AK và BD nên K là trọng tâm của ABC. Ta lại có I là trung điểm của AB nên CI cũng là đường trung tuyến của ABC, do đó điểm K thuộc CI, suy ra ba điểm I, K, C thẳng hàng. Đây là một phương pháp rất hay sử dụng để chứng minh các điểm thẳng hàng khi bài toán cho tam giác cân.
Giải:
ABC cân tại A, AK là đường phân giác xuất phát từ đỉnh nên AK cũng là đường trung tuyến.
BD và CI là 2 đường trung tuyến của ABC, mà nên K là trọng tâm của ABC 
Do đó C, K, I thẳng hàng.
b.3. Dạng toán sử dụng Tính chất đồng quy của ba đường trung trực của tam giác:
Khi dạy các dạng toán liên quan đến đường trung trực của tam giác, giáo viên cần giúp học sinh nắm vững các kiến thức sau: 
+ Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó.
+ Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng ấy.
+ Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
+ Để chứng minh đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta chứng minh d chứa hai điểm cách đều A và B, hoặc dùng định nghĩa đường trung trực.
+ Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác đó. Mỗi tam giác có ba đường trung trực.
+ Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác.
+ Tính chất ba đường trung trực của tam giác: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó. 
Giao điểm ba đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
+ Trong tam giác vuông, giao điểm ba đường trung trực là trung điểm của cạnh huyền.
+ Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực ứng với cùng một cạnh thì tam giác đó là tam giác cân.
 Ví dụ 1: 
Cho ABC, có . Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho . Vẽ đường phân giác của góc BAD cắt BC tại E. Chứng minh rằng AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD.
* Hướng dẫn: 
+ Cách 1: Chứng minh A và E cách đều B và D. Trong bài toán này, để chứng minh AB = AD, EB = ED, ta chưa thể chứng minh AEB = AED vì chưa đủ yếu tố bằng nhau, trong trường hợp này ta có thể chứng minh ABD cân tại A để suy ra AB = AD bằng cách chứng minh (tính số đo hai góc này dựa vào tính chất tổng ba góc và tính chất góc ngoài của một tam giác rồi so sánh hai góc). Để chứng minh EB = ED, ta chứng minh AEB = AED. 
+ Cách 2: Dựa vào tính chất: “Trong một tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời đường trung trực của tam giác”. Tức là cần chứng minh ABD cân tại A. Gọi I là giao điểm của AE và BD. Ta chứng minh AI là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BD, từ đó suy ra AI hay AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD.
+ Cách 3: Dựa vào định nghĩa: Chứng minh AE vuông góc với BD tại trung điểm của BD. Tức là cần chứng minh ABD cân tại A suy ra AB =AD. Gọi I là giao điểm của AE và BD. Chứng minh AIB = AID, từ đó suy ra IB = ID và , suy ra AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD.
Giải:
+ Cách 1: 
ABC, có nên 
Lại có 
Mặt khác góc ADB là góc ngoài tại đỉnh D của BCD 
nên 
ABD cân tại A AB = AD.
Xét AEB và AED có:
AB =AD (cmt), (gt), AE là cạnh chung
AEB = AED (c.g.c) EB = ED (2 cạnh tương ứng)
Ta có: AB = AD nên A thuộc đường trung trực của BD (1)
 EB = ED nên E thuộc đường trung trực của BD (2)
Từ (1) và (2) AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD.
+ Cách 2:
ABC, có nên 
Lại có 
Mặt khác góc ADB là góc ngoài tại đỉnh D của BCD 
nên 
ABD cân tại A AB = AD.
Gọi I là giao điểm của AE với BD
Xét AIB và AID có:
AB =AD (cmt), (gt), AI là cạnh chung
AIB = AID (c.g.c) IB = ID (2 cạnh tương ứng)
ABD cân tại A, có AI là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BD nên AI là đường trung trực của đoạn thẳng BD. Suy ra AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD.
Ví dụ 2: 
Cho ABC cân tại A, . Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC tại D và E. Chứng minh rằng: 
a) OA là đường trung trực của BC;
b) BD = CE;
c) ODE là tam giác cân.
* Hướng dẫn: 
Chứng minh A và O cách đều B và C.
a) Vì O là giao điểm các đường trung trực của ABC OB = OC. Mặt khác ABC cân tại A AB = AC, do đó ta có A và O cách đều B và C, suy ra AO là đường trung trực của BC. Như vậy qua bài toán này ta thấy trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đi qua đỉnh của tam giác.
b) Để chứng minh BD = CE, ta chứng minh HBD = KCE (với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của AC).
c) Để chứng minh ODE cân, ta phải dự đoán tam giác ODE cân tại đâu để xác định yếu tố bằng nhau cần chứng minh. Trong bài này, nhìn hình vẽ cóa thể dự đoán ODE cân tại O, nên ta chỉ cần chứng minh dựa vào (đối đỉnh); ( đối đỉnh).
Giải:
a) O là giao điểm các đường trung trực của ABC OB = OC (1)
ABC cân tại A AB = AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của BC.
b) Gọi H là trung điểm của AB, K là trung điểm của AC.
Xét HBD và KCE, có:
(ABC cân tại A)
HB = KC
HBD = KCE (cgv-gnk)
BD = CE (2 cạnh tương ứng)
c) HBD = KCE (câu b) (2 góc tương ứng)
mà (đđ); (đđ)ODE cân tại O.
Ví dụ 3: 
Cho ABC cân tại A. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho BD = CE. Chứng minh rằng đường trung trực của DE đi qua O.
* Hướng dẫn: 
Dựa vào tính chất: Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Để chứng minh đường trung trực của DE đi qua O, ta chỉ cần chứng minh OD = OE. Trong bài toán này ta chứng minh OBD = OAE để suy ra OD = OE. Tuy nhiên hai tam giác này chưa có sẵn các yếu tố tương ứng bằng nhau nên ta phải chứng minh các yếu tố đó bằng nhau trước. Bài toán cho O là giao điểm hai đường trung trực hai cạnh bên của tam giác cân ABC nên AO là đường trung trực thứ ba của tam giác. Mà trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng là đường phân giác của góc ở đỉnh . Mặt khác O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác nên O cách đều ba đỉnh của tam giác OA = OBOAB cân tại O . Ta chứng minh được OBD =OAE (c.g.c) OD = OE . Suy ra đường trung trực của DE đi qua O.
*Ngoài cách trên, ta có thể gọi H và K là trung điểm của AB và AC, sau đó chứng minh OHD = OKE. Vì H và K là trung điểm của AB và AC AK = BH mà AE = BD nên EK = DH. Theo tính chất “Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh”, nên ta có AO là tia phân giác của góc A, do đó OH = OK (Tính chất: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc) OHD = OKE (2cgv) OD = OE. Suy ra đường trung trực của DE đi qua O
Giải: 
+Cách 1: 
O là giao điểm các đường trung trực của ABC OA = OB OAB cân tại O .
ABC cân tại A suy ra AO là đường trung trực ứng với cạnh đáy nên AO cũng là đường phân giác của góc A, tức là . 
Xét OBD và OAE, có:
BD = AE (gt)
OB = OA (cmt)
OBD = OAE (c.g.c)
OD = OE (2 cạnh tương ứng). Suy ra đường trung trực của DE đi qua O
+ Cách 2: 
Gọi H và K là trung điểm của AB và AC. Ta có: AK = BH, AE = BD nên EK = DH. 
A