Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng kiến thức hình học sơ cấp để định hướng tìm lời giải và xây dựng đề toán bồi dưỡng cho học sinh THCS

g AB vuông góc với MO. 
Chứng minh MA.MB=MA2= r2−MO2. 
Sử dụng định lý Pitago 
để chứng minh MA.MB=MA2= r2−MO2. (với MA = MB) 
Ví dụ 3 Từ kiến thức về phương tích: mọi điểm P nằm trên 
đường thẳng IJ Ta có phương tích đến hai đường 
tròn (O1) và (O2) là bằng nhau. 
Từ đó ta xây dựng bài toán sau 
r
A
O
M
B
T
r
M
O
A
B
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 5 
O2O1
H
G
F
E
J
I
M
Bài 3 Cho hai đường tròn (O1, r1) và (O2, r2) cắt nhau tại hai 
điểm I và J. Chứng minh rằng mọi điểm M nằm trên đường 
thẳng IJ ta luôn có 2 2 2 21 1 2 2MO r MO r   
HDẫn Học sinh vẽ MO1 và MO2 cắt mỗi đường tròn lần 
lượt tại E, F và G, H Và sử dụng các cặp tam giác đồng 
dạng MEI và MJF ; MIG và MHJ để 
Chứng minh ME.MF=MI.MJ=MG.MH 
Kết hợp 
Chứng minh ME.MF = 2 21 1MO r và MG.MH = 
2 2
2 2MO r 
Bài 4: Cho đường tròn(O; R) và (I; r) là các các đường 
tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC. 
Chứng minh OI2 = R2 -2Rr (Đẳng thức Euler) 
HD 
Gọi D là giao điểm của phân giác AI với (O) 
Trong (O) chứng minh được 
IA.ID = R2- OI2 hay OI2 = R2- IA.ID 
(xem phần chứng minh phương tích của một điểm nằm trong đường tròn kết hợp vẽ 
thêm một đường kính qua I ) (1) 
Vẽ đường kính DE ( tạo ra tam giác vuông có cạnh là 2R) 
Vẽ IH vuông góc với AB 
Khi đó 
chứng minh được tam giác BDI cân tại D suy ra DB = DI (2) 
chứng minh được tam giác AIH và EDB đồng dạng 
Suy ra IA.DB = ED.IH = 2R.r hay IA.ID = 2R.r (3) 
Từ (1) (2) (3) suy ra OI2 = R2- 2Rr 
(Tham khảo phần lý thuyết về phương tích trong phần phụ lục) 
E
D
H
I
O
B
C
A
O2O1
I
J
M
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 6 
2.Vận dụng kiến thức về phép tịnh tiến 
Trong mặt phẳng cho vectơ . phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao 
cho : được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ . 
Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay 
đổi thứ tự của ba điểm đó. 
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng 
thành đoạn thẳng, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường 
tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó. (xem thêm phần phụ lục) 
Từ tính chất của phép tịnh tiến, được vận dụng định hướng tìm lời giải như vài 
ví dụ minh họa sau: 
Ví dụ 1: Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đường 
tròn đó . 
Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định 
Phân tích lời giải theo kiến thức phép tịnh tiến 
- Kẻ đường kính BB’. Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì 
AH=B’C. Do C, B’ cố định, cho nên B’C là một véc tơ cố định 
'AH B C  . Theo định nghĩa về phép tịnh tiến điểm A đã biến 
thành điểm H . Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho nên H chạy trên 
đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo 
'v B C 
- Cách xác định đường tròn (O’;R) . Từ O kẻ đường thẳng song 
song với B’C . Sau đó dựng véc tơ : OO' 'B C . Cuối cùng từ O’ 
quay đường tròn bán kính R từ tâm O’ ta được đường tròn cần tìm . 
Từ đó hướng dẫn học sinh THCS lời giải như sau: 
- Vẽ đường kính BB’ 
- Dựng O’ sao cho CB’CO’ là hình bình hành 
- Chứng minh AOO’H là hình bình hành 
- Suy ra O’H=AO=R 
O'
H
B'
O
B C
A
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 7 
- Mà B’C cố định suy ra O’ Cố định 
- O’H = R nên H thuộc đường tròn (O’;R ) cố định 
Ví dụ 2. Hai thôn nằm ở hai vị trí A,B cách nhau một con sông ( Xem hai bờ sống là 
hai đường thẳng song song ) . Người ta dự kién xây một cây cầu bắc qua sông (MN) 
và làm 
hai đoạn đường thẳng AM và BN .Tìm vị trí M,N sao cho AM+BN là ngắn nhất . 
Giải 
- Vì khoảng cách giữa hai bờ sống là không đổi , cho 
nên MN U . 
- Tìm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo U . Khi đó 
AMNA’ là hình bình hành : A’N=AM . 
- Do đó : MA+NB ngắn nhất Vì : MA+NB=A’N+NB 
Từ đó hướng dẫn học sinh THCS lời giải như sau: 
- Từ A dựng AA’= h vuông góc với bờ sông về 
phía B (h là khoảng hai bờ sông) 
- A’B cắt bờ sông tại N (như hình vẽ) 
- Dựng NM vuông góc với bờ sông 
- Có AM+MN+NB= A’N+MN+NB=A’B+MN là ngắn nhất 
(người đọc tự chứng minh) 
Ví dụ 3. Cho hình chữ nhật ABCD . Trên tia đối của tia AB lấy điểm P, trên tia đối 
của tia CD lấy điểm Q . Hãy xác định điểm M trên BC và điểm N trên AD sao cho 
MN//CD và PN+QM nhỏ nhất . 
Giải 
- Tương tự như bài toán trên, khoảng cách giữa hai cạnh của hình chữ nhật không đổi. 
cho nên ta thực hiện theo cách của bài toán trên như sau : 
h
M
N
A'
A
B
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 8 
- Tìm ảnh của điểm Q qua phép tịnh tiến theo 
D 'C U QQ  .Khi đó MN=QQ’, suy ra 
MQ=NQ’. Cho nên PN+MQ=PN+NQ’ ngắn 
nhất khi P,N,Q’ thẳng hàng . 
- Các bước thực hiện : 
 +/ Tìm Q’ sao cho : D 'C U QQ  
 +/ Nối PQ’ cắt AD tại điểm N 
 +/ Kẻ NM //CD cắt BC tại M . Vậy tìm được M,N thỏa mãn yêu cầu bài toán . 
Từ đó hướng dẫn học sinh THCS lời giải như sau: 
- Trên tia CD Dựng Q’ sao cho QQ’ = AB 
- Dựng PQ’ cắt AD tại M’ 
- Dựng M’N’//AB là đoạn thẳng phải dựng 
(Người đọc tự chứng minh) 
3. Phép quay 
Vận dụng kiến thức về phép quay 
Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và góc lượng giác  không đổi . Phép 
biến hình biến điểm O thành điểm O, biến điểm M khác O thành điểm M’ sao cho 
OM=OM’và góc (OM;OM’)=  . Được gọi là phép quay tâm O góc quay là  . 
(xem thêm phần phụ lục) 
Từ cơ sở tính chất về phép quay, trong một số dạng toán chứng minh hoặc định 
hướng vẽ thêm đường phụ, phép quay là công cụ giúp cho người thầy nhìn trước kết 
quả bài toán và từ đó chỉ ra cách vẽ đường phụ hoặc tìm cách chứng minh giải quyết 
nhanh cho bài toán, như các ví dụ sau: 
Ví dụ 1. 
N
B
D C
A
Q
M
P
Q'
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 9 
Cho hai tam giác đều OAB và OA’B’ . Gọi C và D lần lượt là trung điểm của các 
đoạn thẳng AA’ và BB’ . Chứng minh rằng tam giác OCD là tam giác đều ? 
Giải 
Xét phép quay tâm O với góc quay bằng góc lượng 
giác ( OA,OB)= 060 . Rõ ràng A biến thành B và A’ 
biến thành B’ , vì thế cho nên phép quay đã biến 
đoạn thẳng AA’ thành đoạn thẳng BB’ . Từ đó suy ra 
phép quay đã biến C thành D , do đó OC=OD . Vì 
góc quay bằng 060 cho nên tam giác cân OCD là tam 
giác đều . 
Từ đó hướng dẫn học sinh THCS lời giải như sau: 
- Chứng minh hai tam giác bằng nhau AOA’ 
và BOB’ 
- Chứng minh hai tam giác bằng nhau B’OD và A’OC 
- Chứng minh góc COD bằng 600 
- Kết luận tam giác COD đều 
Ví dụ 2 

Cho hai hình vuoâng ABCD vaø BEFG 
Goïi M,N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AG vaø CE . 
 Chöùng minh BMN vuoâng caân .
   
 
     
      
 
     
 
 
Giaûi
BA BC BG BE
 Vì vaø 
(BA;BC) 90 (BG;BE) 90
Q : A C,G E Q : ABG CBE
(B; 90 ) (B; 90 )
 Q : AG CE Q : M N BM BN vaø (BM;BN) = 90
(B; 90 ) (B; 90 )
 BMN vuoâng caâ
I I
I
n taïi B .
D
C
B'
O
A B
A'
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 10 
Từ đó hướng dẫn học sinh THCS lời giải như sau: 
Tương tự như ví dụ 1 
- Chứng minh hai tam giác bằng nhau AGB và CEB 
- Chứng minh hai tam giác bằng nhau AMB và CNB 
- Chứng minh góc MBN bằng 900 
- Kết luận tam giác MBN vuông cân 
Ví dụ 3 



Cho ABC . Qua ñieåm A 
döïng hai tam giaùc vuoâng caân ABE vaø ACF . 
Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC
 vaø giaû söû AM FE = H . 
Chöùng minh : AH laø ñöôøng cao cuûa AEF .

HD :
Xeùt pheùp quay Q : Keùo daøi FA moät ñoaïn AD = AF . 
(A;90 )
Vì AF = AC AC = AD neân suy ra : Q bieán B , C laàn löôït thaønh E , D 
(A;90 )
Ñ/nghó
neân goïi trung ñieåm K cuûa DE thì K= Q (M)
(A;90 )
 

  
a
MA AK (1) .
 Trong DEF , vì AK laø ñöôøng trung bình neân AK // FE (2)
Töø (1),(2) suy ra : AM FE AH laø ñöôøng cao cuûa AEF .
Từ đó hướng dẫn học sinh THCS lời giải như sau: 
Kéo dài FA một đoạn AD = AF 
- Gọi K là trung điểm DE 
- Chứng minh được AK //FE 
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 11 
- Chứng minh tam giác ABC bằng tam giác AED suy ra góc ADE bằng góc 
ACB 
Và DK= MC (1/2DE=1/2BC) 
- Chứng minh tam giác ADK bằng tam giác ACM (cgc) 
- Suy ra DAK bằng góc CAM, suy ra MAK bằng 900 hay AK vuông góc với 
AM suy ra AM vuông góc với FE 
4. Phép đối xứng 
Vận dụng kiến thức về phép đối xứng 
Phép đối xứng qua đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ 
đối xứng với M qua d 
Phép đối xứng qua đường thẳng d được gọi là phép đối xứng trục. Ký hiệu Đd 
+ Phép đối xứng trục d biến M thành M’, 
ký hiệu: M’ = Đd(M) 
+ Phép đối xứng trục là phép dời hình, nên có đầy đủ tính chất 
của phép dời hình (Xem thêm phần phụ lục) 
Trong một số bài toán, phép đối xứng giúp cho người thầy 
phát hiện rất nhanh kết quả và cách chứng minh bài toán, từ 
đó giúp cho người thầy nghiên cứu lời giải phù hợp học sinh 
cấp THCS, như các ví dụ sau: 
VD1:Goïi H laø tröïc taâm ABC . 
CMR : 
Boán tam giaùc ABC , HBC , HAC , HAB coù
ñöôøng troøn ngoaïi tieáp baèng nhau .
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 12 
 
 
 
1 2
1 1 1 2
Ñ ÑBC BC
HD : 
 Ta coù : A = C (cuøng chaén cung BK )
 A = C (goùc coù caïnh töông öùng ) C = C 
 CHK caân K ñoái xöùng vôùi H qua BC .
Xeùt pheùp ñoái xöùng truïc BC .
Ta coù : K H ; B B ;I I 
  
ÑBC
ÑBC
 C C
 Vaäy : Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp KBC Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp HBC
I
I
 Từ đó hướng dẫn học sinh THCS lời giải như sau: 
- Gọi (ABC) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 
- AH cắt (ABC) tại K, chứng minh tam giác CHK cân, BHK cân , suy ra tam 
giác HBC bằng tam BKC suy ra (ABC) bằng (BHC) 
- Chứng minh tương tự, suy ra bốn tam giác ABC, HBC, HAC, HAB có đường 
tròn ngọai tiếp bằng nhau 
5. Phép vị tự 
Vận dụng kiến thức về phép Vị tự 
Cho điểm O và số k ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao 
cho .OM k OM
  được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k. 
Phép vị tâm O, tỉ số k thường được kí hiệu là V(O,k). 
· Tính chất 1: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M', N' 
thì .M N k MN
   và M'N' = |k|.MN 
· Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k: 
a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa 
các điểm; 
 b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia 
thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng; 
 c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng 
nó; 
 d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính |k|.R. 
(Xem thêm phần phụ lục) 
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 13 
Từ các tính chất của phép vị tự, trong một số bài toán chứng minh các điểm 
thẳng hàng, hay đồng quyngười thầy có thề phát hiện nhanh phương pháp chứng 
minh qua phép vị tự, từ đó vận dụng kiến thức THCS như tam giác đồng dạngđể 
định hướng học sinh trình bày lời giảỉ chứng minh cho phù hợp cấp học THCS 
Ví dụ 1 


 
Cho ABC . Goïi I , J . M 
theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa AB, AC vaø IJ . 
Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp taâm O
 cuûa AIJ , caét AO taïi A . 
Goïi M laø chaân ñöôøng vuoâng goùc haï töø A xuoáng BC . 

Chöùng minh raèng : 
A ,M , M thaúng haøng .
 
 
      
  
HD :
Goïi M laø trung ñieåm BC .Ta coù : AB 2AI vaø AC 2AJ1
V(A;2)
Töø ñoù : AIJ ABC . Khi ñoù :
V : O A ,M M OM IJ A M BC .(A;2) 1 1
 Nhö theá : M M A,M,M thaúng haøng ( vì A ,M1
I I
,M thaúng haøng )1
 Từ đó hướng dẫn học sinh THCS lời giải như sau: 
- Có I, J, M là trung điểm của AB, AC, IJ. (O) là đường tròn ngoại tiếp tam 
giác AIJ nên IJ//BC 
- AM cắt BC tại M1, nên 
1
2
'
AI AM AO
AB AM AA
   nên OM//A’A1 
- Mà OM  IJ, nên A’M1BC, mà AM’  BC suy ra M1 trùng với M’ 
Hay A, M, M’ thẳng hàng 
II. ỨNG DỤNG TRONG DỰ ĐOÁN LỜI GIẢI 
1.Các bài toán chứng minh đường thẳng cố định, điểm cố định 
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 14 
Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định. 
Một đường thẳng quay quanh A, cắt (O) tại M và N. 
Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
BMN thuộc một đường thẳng cố định. 
Hướng dẫn. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
MNB. 
Gọi C là giao điểm của AB và (I). Khi đó ta có: 
   / /. .P PA I A OAC AB AM AN   (không đổi vì A, (O) cố định). 
Suy ra  
/
P
A O
AC
AB
 
Vì A, B cố định và C thuộc AB nên từ hệ thức trên ta có C cố định. 
Suy ra I thuộc đường trung trực của BC cố định. 
Từ kiến thức về phương tích trong đường tròn người thầy 
dự đoán được kết quả bài toán là : I thuộc đường trung trực 
của BC cố định. 
Từ dự đoán trên ta có thể định hướng cho học sinh theo 
cách giải phù hợp cấp THCS 
- Vẽ cát tuyến AEF đi qua O 
- Sử dụng 2 tam giác đồng dạng AME, AFN (g, g) 
để chứng minh 
AM.AN = AE.AF ( với AE.AF không đổi) (1) 
- Sử dụng 2 tam giác đồng dạng AMC, ABN (g, g) để chứng minh 
AM.AN = AC.AB (2) 
(1), (2) Suy ra AC.AB không đổi 
 Mà AB cố định nên điểm C cố định, và CD là dây cung của (I) 
Vậy Suy ra I thuộc đường trung trực của BC cố định. 
C
N
M
O
I
A
B
E
F
C
N
M
O
I
A
B
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 15 
Ví dụ 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, và điểm H cố định thuộc AB. Từ 
điểm K thay đổi trên tiếp tuyến tại B của O, vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) tại C và 
D. Chứng minh rằng CD luôn đi qua một điểm cố định. 
Hướng dẫn 
Từ kiến thức về trụ đẳng phương người thầy dự kiến xác định dược điểm cố định là 
M như sau 
Gọi I là điểm đối xứng của H qua B, suy ra I cố định 
và thuộc (K). 
Gọi M là giao điểm của CD và AB. 
Vì CD là trục đẳng phương của (O) và (K) nên ta 
có: 
    
  
2
2 2 2
2
. . .
.
.
MH MI MC MD MA MB
MB BH MB BI MB MB BA
MB BH MB BH MB MB BA
MB BH MB MB BA
BH
BM
BA
 
    
    
   
 
Vì A, B, H cố định suy ra M cố định. 
Từ kết quả trên, người thầy định hướng lời tìm lời giải cho bài toán như sau theo 
cách của học sinh THCS 
- Gọi M là giao điểm của AB và CD, I là điểm đối xứng của H qua B 
- Suy ra I cố định 
- Sử dụng hai tam giác đồng dạng MCA và MDB (g, g) trong (O) 
Suy ra MA.MB = MC.MD (1) 
- Sử dụng hai tam giác đồng dạng MCH và MDI (g, g) trong (K) 
Suy ra MH.MI = MC.MD (2) 
Từ (1) và ( 2) suy ra MH.MI = MC.MD = MA.MB 
Sau đó sử dụng cách tách MB tương tự như trên để 
I
M
D
C
B
O
A
K
H
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 16 
suy ra 
2BH
MB
BA
 mà A, B, H cố định nên BM không đổi, Vậy điểm M cố 
định 
Ví dụ 3 Cho đường tròn (O,R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Gọi BC là đường 
kính thay đổi của (O,R). Chứng minh rằng: Đường tròn (ABC) luôn đi qua một điểm 
cố định khác A 
Hướng dẫn 
Sử dụng kiến thức phương tích với điểm O trong đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 
ta dễ dàng nhận ra điểm cố định là A’ với A’ la giao điểm thứ 2 của AO với (ABC) 
Gọi A’ là giao điểm thứ 2 của AO và đường tròn (ABC). 
Ta có 2. ' .OAOA OB OC R 
2
'
R
OA
OA
  . Vậy A’ nằm trên 
đường thẳng OA cố định và 
2
'
R
OA
OA
 không đổi nên A’ cố 
định. 
Vậy mọi đường tròn (ABC) đều đi qua điểm A’ cố định 
Từ cách nhận ra A’ bằng kiến thức phương tích, giáo viên hướng dẫn học sinh THCS 
vẽ A’ và sử dụng hai tam giác đồng dạng OAC và OBA’ 
để chứng minh 2. ' .OAOA OB OC R  và suy ra OA’ cố định 
Ví dụ 4 Đối với học sinh THCS khi vận dụng kiến thức phương tích cần hướng dẫn 
học sinh xây dựng bài toán phụ sau đây (như là một bổ đề) để sử dụng chứng minh 
trong một số bài toán liên quan 
Bài toán bổ đề: Cho hai đường tròn không đồng tâm (O1; R1) và (O2; R2). Chứng minh 
tập hợp các điểm M có 2 21 1 2 2MO R MO R   là một đường thẳng, vuông góc với O1O2 
tại H với 
2 2
1 2
1 2
R R
IH
O O

 (Với I là trung điểm của O1O2 và R1> R2) 
A'
C
O
A
B
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 17 
Chứng minh: 
Giả sử điểm M có 2 21 1 2 2MO R MO R   , 
Gọi H là hình chiếu của M trên O1O2, I là trung điểm 
của O1O2. Ta có: 
   
  
 
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
2 1 1 2
2 2
1 2
1 2
.2
1
MO R MO R
MO MO R R
MH HO MH HO R R
HO HO R R
HO HO HO HO R R
O O HI R R
R R
IH
O O
  
   
     
   
    
  

 
Từ đây suy ra H cố định, suy ra M thuộc đường thẳng d qua H và vuông góc với 
O1O2. 
2. Bài toán chứng minh các thẳng đồng quy 
Ví dụ 5. Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D (theo thứ tự đó). Đường tròn 
đường kính AC và BD cắt nhau tại X, Y. Đường thẳng XY cắt BC tại Z. Lấy P là một 
điểm trên XY khác Z. Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ 2 
là M, và BP cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ 2 là N. Chứng minh rằng 
AM, DN và XY đồng qui. 
Hướng dẫn: 
Gọi Q là giao điểm của DN và AM 
Gọi O1;O2 là tâm của đường tròn đường kính 
AC và BD 
P thuộc XY là trục đẳng phương của hai 
đường tròn. 
Nên 
1 2/( ) /( )
. .P O P OP P PN PB PM PC   
O2O1
Q'
Z
Q
M
N
Y
X
DCBA
P
r2r1
O3
O2
O1
I
B
A
H
M
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 18 
Suy ra tứ giác BNMC nội tiếp (định lý) 
MNP BCM (1) 
Trong tam giác vuông ACM có 
090ACN MAC  hay 090BCM MAC  (2) 
Mà 090MNP MNQ  (3) 
(1),(2),(3) MNQ MAC  hay MND MAD 
Nên tứ giác ANMD nội tiếp 
Suy ra QA.QM=QD.QN 
1 2/( ) /( )Q O Q O
P P  
Suy ra Q thuộc XY là trục đẳng phương của hai đường tròn. 
Vậy các đường AM, DN và XY đồng qui. 
Cách của học sinh THCS 
Gọi Q, Q’ lần lượt là giao điểm của DN và AM với XY. Ta cần chứng minh Q Q . 
Chứng minh được tứ giác QMCZ nội tiếp, suy ra . .PM PC PQ PZ 
Chứng minh được tứ giác tứ giác NQ’ZB nội tiếp, suy ra . .PQ PZ PN PB  
Trong đường tròn đường kính BD , 
chứng minh được hai tam giác đồng dạng PNX và PYB (g;g) 
Trong đường tròn đường kính AC , 
chứng minh được hai tam giác đồng dạng PMX và PYC (g;g) 
. . .PN PB PX PY PM PC  
Suy ra . .PQ PZ PQ PZ Q Q    
Vậy XY, AM và DN đồng quy 
3. Bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng 
Ví dụ 6. Gọi AH, BI, CK là ba đường cao của tam giác ABC, chứng minh rằng các 
cặp đường thẳng BC và IK, CA và KH, AB và HI cắt nhau thì ba giao điểm đó thẳng 
hàng. 
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 19 
HD: 
Chứng minh được tứ giác AKHC nội tiếp 
Suy ra EA.EC = EK.EH 
Mà EAC là cát tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 
Mà EKH là cát tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác KHI 
Suy ra E thuộc đường vuông góc với đường thẳng đi qua 
hai tâm đường tròn (ABC) và (KHI) 
Tương tự F, L cũng thuộc đường vuông góc với đường 
thẳng đi qua hai tâm đường tròn (ABC) và (KHI) 
Suy ra E,F,L thẳng hàng 
4. Bài toán chứng minh vuông góc 
Ví dụ 7 
 Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với 
BC cắt AB, AC tại D và E. Gọi P là một điểm bên trong 
tam giác ADE, F và G là giao của DE với BP và CP. Đường tròn tâm (O) ngoại 
tiếp tam giác PDG, đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt nhau tại điểm 
thứ hai là Q. Chứng minh rằng AQ OI 
Hướng dẫn. 
Gọi M là giao điểm thứ hai của AB và 
(PDG), N là