Sáng kiến kinh nghiệm Tìm GTLN, GTNN bằng phương pháp miền giá trị

Phần I đặt vấn đề
	Mục đích việc giảng dạy toán ở trường THPT là dạy cho học sinh về kiến thức toán, cách giải bài tập, rèn luyện kĩ năng giải toán, từ đó giúp cho học sinh khai thác các hoạt động tiềm ẩn trong nội dung môn toán và hình thành tư duy lôgic, sáng tạo cho học sinh. Vì vậy, người giáo viên cần dạy cho học sinh kĩ năng giải bài tập; từ đó yêu cầu đặt ra là người giáo viên phải dạy cho học sinh phương pháp tiếp cận và giải quyết các dạng bài toán như thế nào.
	Chương trình toán phổ thông có rất nhiều dạng toán, phong phú về nội dung cũng như hình thức, trong đó có rất nhiều dạng bài toán khó như chứng minh bất đẳng thức, biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình,...và dạng toán “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất” cũng nằm trong số đó. Bài toán tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất một hàm số hay một biểu thức là một trong những bài toán được quan tâm nhiều nhất trong các kì thi học sinh giỏi tỉnh, quốc gia; đồng thời bài toán này cũng thường xuyên xuất hiện trong các đề thi đại học, cao đẳng những năm gần đây.Chính vì thế, việc dạy cho học sinh nắm bắt phương pháp và rèn luyện tốt kĩ năng giải bài toán này là hết sức cần thiết. Mặt khác, thông qua việc giải các bài toán này giúp cho học sinh phát triển được tư duy lôgic, sáng tạo, khả năng suy luận,phán đoán. Điều đó giúp học sinh học tốt môn toán hơn và giải quyết những vấn đề trong cuộc sống một cách linh hoạt và có hiệu quả hơn.
	Bài toán tìm giá trị lớn nhất(GTLN) và giá trị nhỏ nhất(GTNN) của một hàm số hay một biểu thức có nội dung phong phú, đa dạng về hình thức,nhiều mức độ và nhiều phương pháp giải khác nhau. Trong phạm vi rất nhỏ, tài liệu này chỉ trình bày một trong những phương pháp đó. ”Phương pháp miền giá trị” tìm GTLN,GTNN là phương pháp hữu ích giúp học sinh giải loại bài toán này một cách rõ ràng, mạch lạc và có hiệu quả. Tài liệu trình bày phương pháp thông qua các ví dụ học sinh rất dễ nắm bắt; ngoài ra phần bài tập đề nghị giúp học sinh củng cố phương pháp và rèn luyện kĩ năng giải loại bài toán này bằng phương pháp trên.
Phần II Nội dung
I. Bổ sung kiến thức
1. Định nghĩa GTLN,GTNN
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. Khi đó:
	+ M là GTLN của hàm số f(x) trên D nếu 
	+ m là GTNN của hàm số f(x) trên D nếu 
Cho biểu thức với . Khi đó:
	+ M là GTLN của P nếu 
	+ m là GTNN của P nếu 
*Chú ý: Với biểu thức nhiều biến ta định nghĩa tương tự.
2. Định nghĩa miền giá trị(tập giá trị) của hàm số
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D. 
Tập hợp được gọi là miền giá trị (tập giá trị) của f(x).
Cho biểu thức P = F(x,y) với .
Tập hợp được gọi là miền giá trị (tập giá trị) của P
II. Phương pháp miền giá trị tìm GTLN,GTNN 
1.Phương pháp miền giá trị
	Để tìm GTLN,GTNN của hàm số y=f(x) trên D; ta thực hiện các bước sau:
Bước1: Gọi T là tập giá trị(TGT) của hàm số y = f(x).Khi đó,
yo phương trình yo = f(x) (*) có nghiệm trên D
Bước 2: Tìm điều kiện có nghiệm của PT(*) bằng cách đưa về các dạng:
+
+
+
Chú ý: 
+ PT có nghiệm 
+ PT có nghiệm 
2. Một số ví dụ minh hoạ
3. Bài tập đề nghị
iiI. Phương pháp tìm gtln,gtnn của biểu thức hai biến số
	Đối với bài toán tìm GTLN,GTNN của một biểu thức 2 biến số trong đó 2 biến bị ràng buộc bởi một điều kiện cho trước, ta có thể mở rộng phương pháp trên để giải các bài toán đó.
1.Bài toán 
	Cho các số thực x,y thoã mãn biểu thức G(x,y) = 0.
Tìm GTLN,GTNN của biểu thức P = F(x,y).
2. Phương pháp giải.
	Ta có thể các dạng bài toán trên theo phương pháp chung gồm các bước sau
Bước 1: Gọi T miền giá trị(TGT) của biểu thức P. Khi đó:
 (*) có nghiệm (x,y) thoả mãn điều kiện.
Bước 2: Tìm điều kiện có nghiệm của hệ (*), từ đó suy ra GTLN,GTNN của P.
3. Một số ví dụ minh hoạ
4.Bài tập đề nghị
1) Cho các số thực x,y thay đổi sao cho .
Tìm GTLN,GTNN của biểu thức 
2) Cho 2 số thực x,y thoã mãn . Tìm GTLN,GTNN của biểu thức:
3) Cho các số thực không âm x,y thoã mãn .
 Tìm GTLN,GTNN của biểu thức: 
4) Cho 2 số thực x,y thoã mãn . Tìm GTLN,GTNN của biểu thức:
Phần III kết quả thực nghiệm
Trong quá trình giảng dạy, tôi đã nhiều lần kiểm chứng kết quả sau khi truyền đạt cho học sinh phương pháp trên. Trong lần kiểm tra vào học kì 1 năm học 2008-2009 tôi thực hiện như sau:
1. Đối tượng khảo sát:
	- 2 lớp: 11B1, 11B2
	- Lớp thực nghiệm : 11B2
	- Lớp đối chứng: 11B1
2. Tiến hành:
-Giáo viên dạy ở lớp 11B2 theo phương pháp trên để tìm GTLN,GTNN , 
còn ở lớp 11B1 giáo viên truyền đạt theo các phương pháp sách giáo khoa 
-Kiểm tra 15 phút
	-Nội dung: Yêu cầu hs tìm GTLN,GTNN của hai hàm số:
	a) sử dụng điều kiện có nghiệm của pt 
	b) Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2
3. Kết quả: Kết quả khảo sát cho ở bảng phân bố tần số,tần suất như sau:
Điểm số
Lớp 11B1
Lớp 11B2
Tần số
Tần suất(%)
Tần số
Tần suất(%)
0
1
2,17
0
0,00
1
3
6,52
0
0,00
2
1
2,17
1
2,27
3
7
15,22
5
11,36
4
8
17,39
4
9,09
5
10
21,74
9
20,45
6
9
19,57
11
25,00
7
5
10,87
7
15,91
8
2
4,35
5
11,36
9
0
0,00
2
4,55
10
0
0,00
0
0,00
ĐTb
4,63
5,46
Cộng
46
100%
44
100%
4. Nhận xét:
- Năng lực học tập của học sinh lớp 11B1 tốt hơn lớp 11B2
- Học sinh bị điểm dưới 5, điểm 0,1 ở lớp 11B1 nhiều hơn lớp 11B2
- Điểm Tb ở lớp 11B1 thấp hơn lớp 11B2
-Số lượng điểm khá giỏi ở 11B2 nhiều hơn ở lớp 11B1.
Phần IV kết luận
	Việc tìm ra lời giải của một bài toán là vấn đề khó; đặc biệt đối với bài toán tìm GTLN,GTNN lại càng khó hơn. Đối với học sinh để giải bài toán tìm GTLN,GTNN các em thường rất lúng túng, vụng về, trình bày thiếu chặt chẽ , thiếu lôgic do các em chưa được trang bị đầy đủ các phương pháp để giải loại bài toán này. Thực tế trong chương trình toán phổ thông loại bài toán này được trình bày rãi rác trong chương trình các khối lớp với nhiều phương pháp khác nhau nên học sinh thường không nắm chắc và dễ quên. Việc giáo viên cung cấp, hệ thống cho học sinh đầy đủ các phương pháp và rèn luyện kĩ năng tìm GTLN,GTNN là hết sức cần thiết. Điều đó giúp học sinh phát triển tư duy và giải quyết tốt các bài toán ứng dụng thực tế trong chương trình toán phổ thông.
	Tìm GTLN,GTNN bằng phương pháp miền giá trị là một trong những phương pháp có hiệu quả tốt đối với học sinh. Qua thực tế cho thấy, sau khi nắm bắt và rèn luyện kỹ năng theo phương pháp này học sinh đã có cách nhìn và hướng giải quyết tốt các bài toán loại này trong các đề thi học kì,đề thi học sinh giỏi, đề thi đại học, cao đẳng... Mặt khác, khi nắm chắc phương pháp học sinh biết chỉ ra các mối liện hệ chặt chẽ giữa bài toán tìm GTLN,GTNN với bài toán chứng minh bất đẳng thức, bài toán cực trị... từ đó các em có cách nhìn khái quát và vận dụng được các phương pháp giải tốt hơn.
	Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của bản thân trong quá trình giảng dạy về cách giải bài toán tìm GTLN, GTNN bằng phương pháp miền giá trị. Mặc dù tôi đã cố gắng nhưng không tránh khỏi khiếm khuyết, sai sót. Rất mong sự góp ý, giúp đỡ của các thầy cô giáo và đồng nghiệp để phương pháp này được hoàn thiện và các phương pháp tìm GTLN,GTNN khác cũng được học sinh tiếp nhận và sử dụng mang lại hiệu quả tốt hơn.
 -----@ *** ?-----
 Người thực hiện
 	Phạm Văn Hưng