Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo trong giải toán tỉ lệ thức cho học sinh lớp 7 THCS

i toán tỉ lệ thức đòi hỏi các em thường xuyên sử dụng nhiều kiến thức liên quan và vận dụng linh hoạt các kiến thức đó. Đồng thời cần có kỹ năng trong việc sử dụng linh hoạt các phương pháp để giải, đặc biệt là năng lực tư duy sáng tạo, phương pháp suy nghĩ tìm lời giải. Mỗi bài toán tỉ lệ thức có thể có nhiều con đường tìm ra lời giải trong đó có cả cách ngắn gọn hợp lý, đôi khi có cả phương án sáng tạo, độc đáo. Đó là cơ hội để học sinh so sánh, lựa chọn phương pháp phù hợp và tốt nhất trong trường hợp có thể, giúp học sinh rèn luyện được các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp và khả năng khái quát hóa, đặc biệt hóa bài toán...
Nội dung các vấn đề về tỉ lệ thức rất phong phú. Tuy nhiên trong khuôn khổ chương trình sách giáo khoa 7 nội dung về tỉ lệ thức được đưa vào chương I gồm hai bài (§) dự kiến thực hiện trong 4 tiết và 6 tiết tự chọn dạy buổi chiều.
1.4. Thực trạng dạy và học giải toán tỉ lệ thức ở trường THCS đối với yêu cầu phát triển tư duy sáng tạo của học sinh
Qua thời gian dạy thử nghiệm ở trường trung học cơ sở cùng với việc trao đổi với các giáo viên dạy Toán và các em học sinh chúng tôi nhận thấy :
Do thời gian tiết học trên lớp còn ít, khối lượng tri thức cần truyền đạt nhiều đồng thời phải đúng lịch theo phân phối chương trình nên việc mở rộng, khai thác ứng dụng sáng tạo các kiến thức đã học chưa được triệt để sâu sắc. Trong chương trình sách giáo khoa, số lượng các dạng toán về tỉ lệ thức không mẫu mực còn hạn chế. Hệ thống bài tập về tỉ lệ thức trong sách tham khảo đa dạng và phong phú nhưng còn rời rạc và thiếu sự liên kết. Đây là một nội dung khó đòi hỏi tổng hợp nhiều kiến thức muốn học tốt thì học sinh phải bỏ nhiều thời gian và công sức. Khi làm bài tập nhiều học sinh thường bị động, áp dụng phương pháp giải một cách máy móc nên khi gặp các dạng toán không phải dạng bài tập đã gặp thì học sinh không giải quyết được.
Từ những kinh nghiệm và đóng góp ý kiến của nhiều giáo viên và học sinh cho thấy:
Dạy học sinh giải tỉ lệ thức không chỉ đơn thuần giúp học sinh có được lời giải bài toán đó, mà cần giúp học sinh cách tìm ra lời giải bài toán thông qua dạy tri thức, truyền thụ tri thức. Với cách làm như vậy dần dần học sinh tự đúc kết được phương pháp giải toán tiến tới có được phương pháp học tập bộ môn. Giáo viên không nên đưa quá nhiều bài tập trong một tiết dạy, cần dự kiến phân phối thời gian hợp lý, dạy có trọng tâm chú ý các bài tập trọng tâm (bài tập có điều kiện củng cố khắc sâu kiến thức, kỹ năng...) lựa chọn thêm cho học sinh bài tập có cách giải tương tự để học sinh tự luyện tập. Làm bài tập là cách củng cố, khắc sâu hệ thống kiến thức.
Để hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải bài toán giáo viên phải đóng vai trò người học, tự tìm ra chương trình giải các dạng toán. Trên cơ sở đó giáo viên phân bậc hoạt động phù hợp với từng đối tượng học sinh, dự kiến các câu hỏi dẫn dắt, gợi mở sao cho thông qua hoạt động học sinh không những tìm được lời giải bài toán mà còn nắm được tri thức về phương pháp giải toán.
Các bài tập phần này khá đa dạng phong phú nên giáo viên phải kỳ công chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành một hệ thống phù hợp với từng đối tượng học sinh. Đồng thời giáo viên yêu cầu và hướng dẫn học sinh tự học, tự tìm hiểu thêm ở nhà.
Bên cạnh đó giáo viên cũng phải dự kiến một số sai lầm và những khó khăn học sinh gặp phải khi giải toán tỉ lệ thức để chỉnh sửa và giúp đỡ kịp thời. Ngoài ra khi dạy giải toán tỉ lệ thức giáo viên nên liên hệ với các nội dung kiến thức khác. 
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương 1, đề tài đã trình bày một số vấn đề về lý luận và thực tiễn làm cơ sở cho đề tài. Đối với vấn đề về lý luận, tác giả đã đưa ra quan điểm của một số tác giả về tư duy, tư duy sáng tạo. Đồng thời cũng đưa ra định hướng rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học bộ môn toán. Đối với vấn đề thực tiễn đề tài tổng kết một số thực trạng về dạy và học tỉ lệ thức, vấn đề thực tiễn làm điểm xuất phát cũng như là đích đến của đề tài. 
Chương 2. BIỆN PHÁP CHỦ YẾU RÈN LUYỆN NĂNG LỰC
TƯ DUY SÁNG TẠO TRONG GIẢI TOÁN TỈ LỆ THỨC CHO HỌC SINH THCS
2.1. Hệ thống các kiến thức lý thuyết:
a. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số .
 Ta còn viết: a : b = c : d.
Trong đó: a và d là các ngoại tỉ (số hạng ngoài)
 b và c là các trung tỉ (số hạng trong).
 b. Tính chất của tỉ lệ thức: 
	Tính chất 1: Nếu thì a.d = b.c
	Tính chất 2: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:
 ; ;; .
	Tính chất 3: Từ tỉ lệ thức suy ra các tỉ lệ thức: 
, , .
 c. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức suy ra , (b ≠ ± d)
Tính chất 2: Từ dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra: 
	, (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
 Tính chất 3: Nếu có n tỉ số bằng nhau (n2):
 thì: 
 (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Lưu ý: Nếu đặt dấu “ - ” trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu “- ” trước số hạng dưới của tỉ số đó. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho ta một khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho trước, ta lập được những tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó số hạng trên hoặc số hạng dưới của nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện của bài toán.
Chú ý: khi nói các số x, y, z tỉ lệ với a, b,c tức là ta có: . 
 Ta cũng viết: x : y : z = a : b : c.
2.2. Các biện pháp và dạng toán tương ứng:
Qua thực tế khi chưa nghiên cứu theo đề tài này học sinh gặp nhiều sai sót trong quá trình giải toán . Ví dụ các em hay sai nhất trong cách trình bày lời giải, sự nhầm lẫn giữa dấu với dấu .
	Ví dụ: thì các em lại dùng dấu là sai.
	Hãy tìm x, y, z biết và x +y + z = 12
	Giải: vậy 
	Ở trên các em dùng dấu là sai.
Vì vậy tôi đưa ra 4 biện pháp chính tương ứng với từng dạng toán giúp các em không còn sai sót trong lời giải của mình.
2.2.1. Biện pháp 1: Bồi dưỡng và phát triển theo các thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo
 Cấu tạo: Bài tập có những yếu tố, những quan hệ có thể xem xét dưới nhiều khía cạnh khác nhau.
Tác dụng: Bồi dưỡng và phát triển khả năng nhìn nhận một đối tượng toán học dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Kích thích trí tò mò, đặt học sinh trước một tình huống có vấn đề với những cái chưa biết, những cái cần khám phá, làm cho học sinh thấy có nhu cầu, có hứng thú và quyết tâm huy động kiến thức, năng lực tư duy sáng tạo của bản thân để tìm tòi, phát hiện kết quả còn tiềm ẩn trong bài toán, đồng thời còn góp phần rèn luyện khả năng nhìn nhận ra vấn đề trong điều kiện quen thuộc, khả năng nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết, tác động rõ rệt đến tính mềm dẻo của tư duy.Từ đó xây dựng được nhiều cách giải trong một bài toán, góp phần làm đa dạng và phong phú cho Toán học.
Dạng 1: Loại toán chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.
Phương pháp giải: Tìm cách biến đổi để trở về đẳng thức cần chứng minh hoặc có thể đặt tỉ số cho trước bằng một hằng số k nào đó.
Bài 1.1: Cho . Chứng minh rằng .
GV: Đối với bài toán này ta có thể đặt hoặc biến đổi tỉ lệ thức cho trước để chúng trở thành đẳng thức cần chứng minh.
Giải:
* C¸ch 1: §Ó chøng minh ta xÐt tr­êng tÝch vµ.
Ta cã: (1)
 (2)
Ta l¹i cã: (3)
Tõ (1), (2), (3) = .
Do ®ã: (điều phải chứng minh).
* C¸ch 2: Dïng ph­¬ng ph¸p ®Æt: = k th× a = bk ; c = dk
Ta tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c tû sè: theo k ta cã:
 (1)
 (2)
Tõ (1) vµ (2) .
* C¸ch 3: Ho¸n vÞ c¸c trung tỉ cña tỉ lÖ thøc: ta ®­îc 
Áp dông tÝnh chÊt cña d·y tỉ sè b»ng nhau ta ®­îc: 
Ho¸n vÞ c¸c trung tỉ cña ta ®­îc .
* C¸ch 4: Từ:
 .
Tõ 4 c¸ch trªn ta ®i ®Õn nhËn xÐt. §Ó chøng minh tỉ lÖ thøc th­êng ta dïng 2 ph­¬ng ph¸p chÝnh :
Ph­¬ng ph¸p 1: Chøng tá r»ng .
Ph­¬ng ph¸p 2: Chøng tá 2 tỉ sè vµ cã cïng mét gi¸ trÞ.
 NÕu trong ®Ò tµi ®· cho tr­íc mét tỉ lÖ thøc kh¸c th× ta ®Æt c¸c gi¸ trÞ cña mét tỉ sè ë tỉ lÖ thøc ®· cho b»ng k, råi tÝnh gi¸ trÞ cña mçi tỉ sè ë tỉ lÖ thøc ph¶i chøng minh theo k (c¸ch 2). Còng cã thÓ ta dïng c¸c tÝnh chÊt cña tỉ lÖ thøc nh­ng ho¸n vÞ c¸c sè h¹ng tÝnh chÊt d·y tỉ sè b»ng nhau. TÝnh chÊt cña ®¼ng thøc ®Ó biÕn ®æi tỉ lÖ thøc ®· cho ®Õn tỉ lÖ thøc ph¶i chøng minh (c¸ch 3 vµ 4).
Bài 1.2: Cho tỉ lÖ thøc sau 
H·y chøng minh r»ng tỉ lÖ thøc sau ®©y: (gi¶ thiÕt tỉ lÖ thøc cã nghÜa)
Tõ 4 c¸ch gi¶i ë vÝ dô mµ gi¸o viªn ®· ra, Häc sinh cã thÓ gi¶i theo mét c¸ch, Gi¸o viªn nhÊn m¹nh gi¶i theo c¸ch 2 vµ hướng dÉn häc sinh cïng thùc hiÖn.
Gi¶i:
§Æt = k th× vµ . Ta có:
 (1).
 (2).
Tõ (1) vµ (2) (điều phải chứng minh).
Bài 1.3. Chứng minh rằng : Nếu thì với a, b, c, d ≠ 0.
Hướng dẫn: bài này chứng minh tương tự theo 2 bài tập trên.
Giải:
Cách 1 : Với a, b, c, d ≠ 0 ta có: 
	 (1)
	 (2)
Từ (1) và (2) => (điều phải chứng minh).
Cách 2: Đặt suy ra 
Ta có (1) 
Và (2)
Từ (1) và (2) suy ra .
Bài 1.4: Nếu thì:
	a, 
	b, 
GV: - Làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d?
Cách 2 của bài 1.1 gợi ý gì cho giải bài 1.4? Sử dụng cách 2 của bài 1 có làm được không? Giáo viên hướng dẫn theo cách 2 của bài 1 và cho học sinh về nhà giải theo cách 3.
 Giải:
Từ 
Từ (1) 
 Từ (2)
Từ (1) và (2) suy ra (đpcm).
Bài 1.5: Chứng minh rằng: Nếu thì điều đảo lại có đúng hay không?
Giải:
 +) Ta có: 
+) Điều đảo lại cũng đúng, thật vậy:
 .
Bài 1.6: Chứng minh rằng: Nếu và 
thì (đk: ).
Giải:
Ta có: 
	Từ (3) và (2)
 (điều phải chứng minh).
2.2.2. Biện pháp 2: Bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo kết hợp các hoạt động trí tuệ khác thông qua khả năng phân tích bài toán
Tác dụng: Phân tích bài toán là một công việc không thể thiếu khi đi tìm lời giải cho một bài toán. Đó là việc xem xét bài toán đã cho, xem bài toán đó thuộc dạng gì, cần huy động những kiến thức nào, sử dụng phương pháp nào. Phải phân tích cái đã cho cái phải tìm, phân tích mối quan hệ giữa các yếu tố của bài toán để đưa ra lời giải. Bồi dưỡng và phát triển khả năng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác. Phải biết cách nhìn trực tiếp vào đặc điểm chủ yếu của bài toán giúp ta phát hiện đặc điểm cơ bản của bài toán. Tuy vậy lại phải biết nhìn bài toán dưới dạng đặc thù riêng lẻ. Phải biết nhìn bài toán trong bối cảnh chung nhưng lại phải biết nhìn bài toán trong từng hoàn cảnh cụ thể. Bên cạnh đó cũng phải biết nhìn bài toán trong mối tương quan với các loại bài toán khác.
D¹ng 2: Cho tËp hîp c¸c phÇn tö, h·y liÖt kª tÊt c¶ c¸c tû lÖ thøc cã c¸c sè h¹ng kh¸c nhau lµ c¸c phÇn tö ®· cho
Phương pháp giải: Sö dông tÝnh chÊt tû lÖ thøc: NÕu th× .
 Bài 2.1: Cho tËp hîp sè A= . H·y liÖt kª tÊt c¶ c¸c tû lÖ thøc cã c¸c sè h¹ng kh¸c nhau lµ c¸c phÇn tö cña A.
Gi¶i:
Mét tû lÖ thøc cã c¸c sè h¹ng kh¸c nhau nÕu: 
XÐt c¸c nhãm 4 phÇn tö cña A, xÕp theo thø tù:
Hướng dÉn häc sinh xÐt tÝch 2 sè nµy b»ng tÝch 2 sè kia ta cã:
+) Víi nhãm: th× vµ ta cã 4 tØ lÖ thøc nh­ sau:
 ; ; ; .
+) Víi nhãm: th× ta cã: , ta cã 4 tØ lÖ thøc sau:
 ; ; ; .
+) Víi nhãm: th× ta cã: , ta cã 4 tØ lÖ thøc sau:
 ; ; ; .
Nh­ vËy ta cã 12 tØ lÖ thøc cã c¸c sè h¹ng kh¸c nhau thuéc tËp hîp A.
Gi¸o viªn cã thÓ h­íng dÉn thªm: NÕu trong bµi to¸n nµy ta kh«ng ®ßi hái c¸c sè h¹ng kh¸c nhau th× ngoµi 12 tØ lÖ thøc trªn ta cßn cã c¸c tØ lÖ thøc kh¸c n÷a:
VÝ dô: 
 ; ; ; ; ; ; ; .
Bài 2.2: Cho tËp hîp A= . H·y liÖt kª mäi tØ lÖ thøc cã c¸c sè h¹ng lµ c¸c phÇn tö cña tËp hîp A.
Víi bµi tËp nµy sè l­îng häc sinh hiÓu vµ n¾m b¾t ®­îc c¸ch gi¶i tõ viÖc vËn dông vÝ dô mµ gi¸o viªn ®· ra cã t¨ng tõ 10 em 15 em trong thêi gian 15 phót ®· lµm xong vµ cã kÕt qu¶ (cã sù gióp ®ì cña m¸y tÝnh bá tói). Sè häc sinh cßn l¹i còng lËp ®­îc mét sè tû lÖ thøc.
Gi¶i:
 Tõ c¸c phÇn tö cña tËp hîp A ta cã c¸c hÖ thøc: 
+) tõ hÖ thøc nµy cã c¸c tû lÖ thøc : 
 vµ .
+) ta có c¸c tØ lÖ thøc sau: 
 vµ .
+) ta cã hÖ thøc sau: 
 vµ .
+) ta cã c¸c tØ lÖ thøc sau: 
 vµ .
+) ta cã c¸c tØ lÖ thøc sau: 
 vµ .
+) ta cã c¸c tØ lÖ thøc sau:
 vµ .
+) ta cã c¸c tØ lÖ thøc sau:
 vµ .
Nh­ vËy tõ c¸c phÇn tö tËp hîp A cã thÓ lËp ®­îc 20 tû lÖ thøc kh¸c nhau.
2.3.3. Biện pháp 3: Bồi dưỡng và phát triển khả năng lựa chọn phương pháp và công cụ giải toán tỉ lệ thức nhanh chóng và hiệu quả
Tác dụng: Xét một cách cụ thể là do bài toán có những đặc điểm đặc biệt nào mà từ đó dẫn người giải tới việc chọn lựa phương pháp và công cụ tương ứng với đặc điểm đó. Hiển nhiên là chọn được tối ưu các phương pháp, các công cụ và các phép biến đổi thì lời giải bài toán sẽ tốt nhất.Theo nội dung của phương pháp tìm lời giải, việc xác định đường lối giải một bài toán trước hết và chủ yếu là phải xác định đúng đắn thể loại bài toán. Muốn làm tốt điều này cần nghiên cứu kỹ bài toán.
Các đường lối giải của phần lớn các loại bài toán đã được xác định trong nội dung tri thức về loại toán đó mà người giải toán cần phải biết. Tuy nhiên mỗi bài toán có vẻ riêng biệt của nó.Vì thế ngoài việc nắm vững đường lối chung, người giải lại phải phát hiện đúng cái riêng của mỗi bài toán để chọn một đường lối thích hợp nhất.
Trong việc xác định đường lối giải, người giải toán còn phải rèn luyện:
- Chuyển đường lối chung để giải một bài toán nào đó dưới dạng tổng quát vào các bài toán cụ thể.
- Xác định những bài toán cùng loại, khái quát hóa thành bài toán tổng quát và xây dựng đường lối giải của bài toán đó.
Dạng 3: T×m c¸c sè ch­a biÕt khi biÕt c¸c tû lÖ thøc
Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của chúng
Phương pháp giải: Áp dông tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng nhau:
* VËn dông tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n sè:
* §Æt tỉ lÖ thøc ®· cho b»ng k. t×m mèi quan hÖ cña Èn sè qua k.
 - Giả sử phải chia số k thành ba phần x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c. Ta làm như sau: 
Do đó ;;.
Bài 3.1: T×m 2 sè x, y biÕt: vµ x + y = 21
BiÕt: 7x = 3y vµ x – y = 16
Gi¶i:
Tõ , ¸p dông tÝnh chÊt d·y tỉ sè b»ng nhau ta cã: .
 Do ®ã: x = 5.3 = 15 ; y = 2.3 = 6.
Tõ 7x = 3y 
 x = ; y = .
Bài 3.2: T×m c¸c sè x, y, z biÕt r»ng vµ 2x + 3y – z = 186
Víi bµi nµy gi¸o viªn cho häc sinh nhËn thÊy vµ ph¶i ®­a vÒ c¸c ph©n sè
( hoÆc tØ sè) cã cïng chung mÉu sè lµ 20.
VËy: hay (1)
T­¬ng tù: (2) 
Gi¶i:
Tõ (1) và (2) của gi¶ thiÕt ta có: ; 
Theo tÝnh chÊt b»ng nhau cña tØ lÖ thøc:
Bài 3.3: T×m c¸c sè x, y, z biÕt r»ng:
.
Gi¶i:
Áp dông tÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng nhau ta cã:
=
= v× ( x + y + y ≠ 0 ).
Do ®ã: x + y + z = 0,5 x + y = 0,5 – z. T­¬ng tù t×m x + z vµ y + z; thay kÕt qu¶ nµy vµo ®Ò bµi ta ®­îc:
.
Tøc lµ: 
VËy: .
Bài 3.4: Tìm ba số x, y, z, biết rằng: và x + y – z = 10.
Hướng dẫn: Ở bài toán này chưa cho ta một dãy tỉ số bằng nhau. Vậy để xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau ta làm thề nào? Ta thấy ở tỉ số và có hai số hạng trên giống nhau, vậy làm thế nào để hai tỉ số này có cùng số hạng dưới( ta tìm một tỉ số trung gian để được xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau), ta sẽ quy đồng hai tỉ số này về cùng mẫu chung, muốn vậy ta tìm BCNN(3;4)=12 từ đó mẫu chung của 3 và 4 là 12.
Giải:
BCNN(3;4)=12 nên ta biến đổi như sau:
( nhân cả hai vế với ) (1)
( nhân cả hai vế với ) (2)
Từ (1) và (2) . Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Vậy: x = 8.2 = 16 ; y = 12.2 = 24 ; z = 15.2 = 30.
Bài 3.5. Tìm x, y, z biết: và 
GV : Bài cho 
Làm như thế nào để trong dãy tỉ số bằng nhau trên xuất hiện biểu thức ?
Giải:
 Từ hay . 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
.
 Suy ra : 2x = 3.30 = 90x = 90:2 = 45
 3y= 3.60 = 180 y = 180:3 = 60
 z = 3.28 = 84.
Bài 3.6: Tìm ba số nguyên dương biết BCNN của chúng là 3150 và tỷ số của số thứ nhất với số thứ 2 là , của số thứ nhất với số thứ ba là .
 Giải:
Gọi ba số nguyên dương lần lượt là: x; y; z
Theo bài ra ta có: BCNN (x , y , z) = 3150
 hay hay (1)
 (2)
 Từ (1) và (2) ta có : 
Đặt 
BCNN (x, y, z)=2.5.k.32 .7
 Mà BCNN (x, y, z) = 3150 = 2.32.52.7 nên 2.5.k.32 .7 = 2.32.52.7 
Từ đó suy ra : k = 5
Suy ra x=10 . 5 = 50; y =18 . 5 = 90; z =7 . 5 = 35
Vậy 3 số nguyên dương lần lượt là x = 50; y = 90; z = 35.
Bài 3.7. Tìm x, y, z cho: và và 
GV : Nhận xét bài này và các bài tập trên có gì giống nhau?
Đưa bài này về dạng bài trên bằng cách nào? 
Giải:
 BCNN(4;5)=20 nên ta biến đổi như sau:
Ta có: (nhân cả hai vế cho ) (1)
(nhân cả hai vế cho ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau giống bài 2 ta giải ra được: 
x = 90; y = 120; z = 168.
Bài 3.8. Tìm x, y, z biết và và x + y + z = 98
HD : Tương tự bài tập 3.7. Tìm BCNN(3 ;5)=15.
	ĐS: x = 20; y = 30; z = 42.
Bài 3.9. Tìm x, y, z biết:
 a. và 2x + 3y –z = 50
 b. và x + y +z = 49
Giải:
Ta biến đổi (1) như sau:
 hay 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
	.
 b. Hướng dẫn: ở bài toán này giả thiết cho x + y +z = 49 nhưng các sống hạng trên của dãy tỉ số bằng nhau lại là 2x ; 3y ; 4z, làm thế nào để các số hạng trên chỉ còn là x ; y ; z. ta sẽ tìm BCNN (2;3;4) = 12 và khử tử để các số hạng trên chỉ còn là x ; y ; z.
Giải:
 Chia các vế của (2) cho BCNN (2;3;4) = 12
	 hay 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
=> x = 18; y = 16; z = 15.
Bài 3.10. Tìm các số a, b, c biết rằng : 2a = 3b, 5b = 7c và 3a + 5c - 7b = 30.
Giải :
Từ 2a = 3b suy ra 
 Từ 5b = 7c suy ra 
Ta tìm BCNN(2,7) = 14.
Từ (1)
Từ (2)
Từ (1) và (2) ta có: 
Từ 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
Từ đó ta tính được a = 42; b = 28; c = 20
Bài 3.11. Tìm các số a1, a2, a9 biết:
	 và 
 Giải :
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
Từ đó dễ dàng suy ra : .
Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của chúng
Phương pháp giải: Giả sử phải tìm hai số x, y, biết x.y = p và .
Đặt , ta có x=k.a, y=k.b. do đó: x.y=(k.a).(k.b)=p . 
Từ đó tìm được k rồi tính được x và y.
Chú ý: Cần tránh sai lầm áp dụng “tương tự” tính chất dãy tỉ số bằng nhau: (sai).
Bài 3.11: Tìm hai số x và y, biết rằng và xy = 10.
Giải:
Đặt , ta có x=2k, y=5k.
Vì xy=10 nên 2k.5k=10 hoặc 
+ với k = 1 thì x = 2.1 = 2 ; y = 5.1 = 5.
+ với k = -1 thì x = 2.(-1) = -2; y = 5.(-1)= -5.
Vậy x = 2; y = 5; x = - 2; y = - 5
Bài 3.12: Tìm x, y biết rằng: và xy = 54 .
GV : Bài này làm tương tự bài 3.1. tuy nhiên ta có thể làm theo cách khác như sau :
Giải:
Từ 
 suy ra hoặc 
với 
với .
Bài 3.13: Tìm x, y và z biết 
a) và .
b) và 
c) và xyz = 12
 Giải : 
 ( Bài này tương tự với bài tìm x,y)
 a) Đặt , ta có .
Vì nên .
Suy ra ; ; 
Vậy 
b) Tương tự câu a: đặt , ta có 
vì nên .
 Vậy x = 6; y = 9; z = 15
c) cách 1: = k
Suy ra k( x + 1) = 4 kx = 4 – k (1)
 k( y – 2) = 2 ky = 2 + 2k (2)
 k( z + 2) = 3 kz = 3 – 2k (3)
Nhân (1),(2) và (3) vế ta được :
Cách 2: 
 Suy ra: x = 4h – 1 (1)
 y = 2h + 2 (2)
 z = 3h – 2 (3)
Tiếp tục giải như cách 1, ta được: 
2.3.4. Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ năng phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề thông qua áp dụng tỉ lệ thức vào các bài toán trong thực tiễn
Tác dụng: Rèn luyện khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới, khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau. Thông qua đó học sinh rèn luyện kỹ năng phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề mới trong thực tiễn như các bµi tËp vËn dông tỉ lÖ thøc vµo thùc tiÔn, ®êi sèng con ng­êi, vµo h×nh häc .
Bài 4.1: T×m sè ®o c¸c gãc cña tam gi¸c ABC biÕt r»ng sè ®o c¸c gãc nµy tỉ lÖ víi 2, 3, 4.
Gi¶i:
Sè ®o c¸c gãc cña rABC lµ ; ; . Gi¶ sö theo thø tù nµy, c¸c gãc ®ã tØ lÖ víi 2, 3 vµ 4 nghÜa lµ : : = 2 : 3 : 4 hay: 
Do ®ã: ; ; .
Bài 4.2: Mét ng­êi ®i A B ®· tÝnh r»ng nÕu ®i víi vËn tèc lµ 6km/h th× tõ B lóc 11h45’. V× r»ng ng­êi ®ã chØ ®i ®­îc qu·ng ®­êng víi vËn tèc ®Þnh tr­íc vµ qu·ng ®­êng cßn l¹i chØ ®i víi vËn tèc 4,5km/h nªn ddÐn B lóc 12h. Hái ng­êi ®i bé khëi hµnh lóc mÊy giê vµ qu·ng ®­êng AB dµi bao nhiªu km ?
Gi¶i:
Gäi AC lµ qu·ng ®­êng ®i víi vËn tèc 6km/h. CB lµ qu·ng ®­êng ®i víi vËn tèc 4,5km/h. theo ®Ò bµi ta cã:
 A B
CB = AB, Gi¶i sö ®Ó ®i qu·ng ®­êng CB víi vËn tèc 6km/h cÇn thêi gianlµ giêi. Cßn ®i víi vËn tèc 4,5km/h víi thêi gian giê. 
Ta cã: = () vµ 6 = 4,5
 . Tõ ®ã ; = 
Qu·ng ®­êng AB lµ : km
Qu·ng ®­êng CB lµ : = 4,5km
Thêi gian ®Ó ®i bé tõ A B lµ 4 + .
Thêi gian khëi hµnh ®Ó ®i bé lµ: .
Bài 4.3: Một miếng đất hình chữ nhật có diện tích là 76,95 m2 có chiều rộng bằng chiều dài. Tính chiều rộng và chiều dài của miếng đất đó.
Hướng dẫn: Loại toán này ta phải gọi ẩn cho đại lượng cần tìm.
Giải:
Gọi chiều rộng và chiều dài củ