Sáng kiến kinh nghiệm Biện pháp rèn kỹ năng chứng minh hình học 7 cho học sinh

nghiên cứu từng điều kiện, xét 
xem điều kiện nào có thể đứng vững được, ngoài ra cần có những điều kiện gì nữa. Cứ 
như vậy suy ngược từng bước, cho đến lúc những điều kiện đó phù hợp với giả thiết mới. 
7/ 29 
Yêu cầu 3: Dạy học sinh tìm tòi những cách giải khác nhau của một bài toán hình học và 
biết lựa chọn cách giải tốt nhất. 
 Việc dạy học sinh tìm tòi nhiều cách giải khác nhau là hoàn toàn có thể thực hiện được vì: 
- Khả năng giải bài toán bằng nhiều cách phụ thuộc vào vốn kiến thức hình học của từng 
học sinh, vốn kiến thức đó được tích lũy dần qua các lớp học. 
- Có thêm kiến thức mới, tìm được cách giải tốt hơn sẽ làm cho học sinh năng động hơn, 
yêu thích môn học hơn và tất sẽ có kết quả học tập ngày càng tốt hơn 
Để giúp học sinh có khả năng tìm tòi những cách giải khác nhau, giáo viên cần: 
 + Giúp đỡ học sinh tích lũy, hệ thống hóa và nắm vững các cách chứng minh khác 
nhau của cùng một tương quan hình học (bằng nhau, song song, thẳng hàng, cùng nằm 
trên một đường tròn ). 
 + Tập cho học sinh biết phân tích đề bài, biết căn cứ vào giả thiết (tức tình huống cụ 
thể) mà lựa chọn một số công cụ thích hợp trong loại công cụ có liên quan đến luận 
điểm. Như vậy trong số những con đường đi vừa xuất hiện, học sinh có thể loại trừ ngay 
những con đường không thích hợp và chỉ giữ lại một số con đường thích hợp. Đối với 
nhiều học sinh, lúc đầu phải thử với từng con đường đi còn lại đó, có thể thất bại nhiều 
lần mới xác định con đường đi đúng. Nhưng chính công việc mò mẫm ban đầu đó lại cần 
thiết trong quá trình nghiên cứu khoa học. 
 + Luôn luôn khuyến khích việc tìm nhiều cách giải khác nhau, khi học lý thuyết cũng 
như khi giải toán, có những hình thức động viên khác nhau đối với những đối tượng học 
sinh khác nhau. Chúng ta không nên đòi hỏi học sinh tìm được cách giải độc đáo. Tất 
nhiên như vậy là rất quý. Trong mọi trường hợp, mỗi cố gắng tìm tòi độc lập của học 
sinh điều có giá trị, cần được trân trọng xem xét và khai thác để nâng cao tính giáo dục . 
 Rõ ràng rằng nếu giáo viên thành công trong việc làm cho học sinh có hứng thú tìm 
kiếm những cách giải khác nhau một bài toán hay những cách chứng minh khác nhau 
một định lý thì điều đó không những làm cho học sinh nắm vững thêm những kiến thức 
hình học đã học, biết vận dụng chúng một cách linh hoạt sáng tạo mà còn giúp phát triển 
năng lực nghiên cứu của học sinh 
 Yêu cầu 4: Dạy học sinh biết khai thác bài toán 
 Nếu biết khai thác nhiều khía cạnh của một bài toán sẽ giúp phát triển cao nhất năng 
lực nhận thức của học sinh. Giáo viên nắm kĩ và biết tổ chức khai thác bài toán, nhằm 
phát huy tính độc lập sáng tạo của học sinh, giúp học sinh “học một biết mười”. 
 Đối với những bài toán khác nhau có thể có những cách khai thác khác nhau. Sau đây 
là một số hướng khai thác cần thiết : 
 + Thay đổi một phần của giả thiết, ví dụ xét trường hợp đặc biệt hoặc trường hợp rộng 
hơn , thì kết quả thay đổi như thế nào, hoặc có thể thay đổi những gì ở giả thiết thì 
cách giải và kết quả vẫn không thay đổi. 
8/ 29 
 + Có thể giải quyết thêm vấn đề gì mới, ví dụ xét mệnh đề đảo, dựa vào bài toán này 
có thể giải bài toán tương tự nào khác hoặc đặt ra bài toán nào khác. 
Yêu cầu 5: Nâng cao kỹ năng giải toán hình học cho học sinh và tiếp tục dạy cho học 
sinh trình bày tốt bài giải. 
 Việc xây dựng cho học sinh một nền nếp tốt trong việc giải toán hình học là rất quan 
trọng và cần được chú trọng ngay từ giai đoạn đầu học hình học. Kỹ năng giải toán hình 
học được nâng cao dần trên cơ sở hình thành và hoàn thiện những thói quen, nền nếp làm 
bài tập. Sau đây là những thói quen, nền nếp quan trọng, nêu dưới dạng quy tắc : 
 - Đọc kỹ đầu bài, vẽ hình rõ và đúng, hiểu rõ và ghi giả thiết, kết luận bài toán theo 
ngôn ngữ và ký hiệu hình học. 
 - Nhớ và huy động bộ công cụ liên quan đến kết luận của bài toán, căn cứ vào nội 
dung của giả thiết mà lựa chọn những công cụ thích hợp. 
 - Sử dụng hết những điều giả thiết đã cho. Trong nhiều trường hợp, không tìm ra cách 
giải là vì còn có điều trong giả thiết chưa sử dụng đến. 
 - Mỗi điều khẳng định của mình phải có căn cứ. 
 - Từng bước, từng phần phải kiểm tra để kịp thời phát hiện và sửa những sai lầm nếu 
có 
 - Khi giải xong, nhìn lại con đường vừa đi: có thể coi đây là giai đoạn nhận thức tư 
tưởng, giai đoạn tích lũy kinh nghiệm. 
1.2 Về phía học sinh: 
- Thực hiện tốt nhiệm vụ hướng dẫn tự học do giáo viên giao. 
- Đọc sách tham khảo, làm nhiều bài tập, tìm bằng được đáp án. 
- Tích cực học tập trên lớp. 
- Rèn kỹ năng vẽ hình. 
2. Các nhóm biện pháp 
2.1. Giảng lý thuyết: 
a) Sau khi gi¶ng mçi kiÕn thøc, gi¸o viªn h-íng dÉn ngay häc 
sinh biÕt c«ng dông cña kiÕn thøc ®ã dïng ®Ó chøng minh g×? 
Khi chøng minh ph¶i chØ ra nh÷ng dÊu hiÖu g× cña gi¶ thiÕt 
cÇn cã ®Ó ®i ®Õn kÕt luËn. 
* Ví dụ minh họa: 
Ví dụ 1: Dạy dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song. 
- Công dụng: chứng minh hai đường thẳng song song. 
9/ 29 
- Mô 
hình 
suy 
luận:GT 
c cắt d và d’ 
 
3 1A B hoặc 
 
1 1A B hoặc 
  0
4 1 180A B  
KL d // d’ 
c
4 3
21
4 3
21
d'
d
B
A
 Hình 1 
Ví dụ 2: Dạy tính chất hai đường thẳng song song. 
- Công dụng: tính số đo góc. 
- Mô hình suy luận: 
GT d // d’; 
c cắt d và d’ 
KL  
3 1A B ; 
 
1 1A B ; 
   04 1 180A B  
c
4 3
21
4 3
21
d'
d
B
A
 Hình 2 
Ví dụ 3: Dạy tam giác bằng nhau và các trường hợp bằng nhau của hai tam giác. 
- Công dụng: Chứng minh các cặp góc tương ứng bằng nhau, các cặp cạnh tương ứng 
bằng nhau. 
- Mô hình để suy luận (hình 4): 
GT ABC = A’B’C’ 
KL      '; '; 'A A B B C C   
AB = A’B’; AC = A’C’ 
BC = B’C’ 
A
B C C'B'
A'
 Hình 4 
- Mô hình để chứng minh hai tam giác bằng nhau (hình 4): 
+ Trường hợp cạnh- cạnh – cạnh (c-c-c) 
GT ABC ; A’B’C’ 
AB = A’B’ 
AC = A’C’ 
BC = B’C’ 
KL ABC = A’B’C’ 
10/ 29 
+ Trường hợp cạnh – góc – cạnh (c-g-c) 
GT ABC ; A’B’C’ 
AB = A’B’ 
 'B B 
BC = B’C’ 
KL ABC = A’B’C’ 
+ Trường hợp góc- cạnh – góc (g-c-g) 
GT ABC ; A’B’C’ 
 'B B 
BC = B’C’ 
 'C C 
KL ABC = A’B’C’ 
- §Ó chøng minh hai gãc hay c¸c cÆp ®o¹n th¼ng b»ng nhau b»ng 
ph-¬ng ph¸p tam gi¸c bằng nhau ta cã thÓ lµm theo c¸c b-íc : 
B­íc 1: XÐt hai tam gi¸c cã chøa hai gãc ®ã hay c¸c cÆp ®o¹n 
th¼ng Êy. 
B­íc 2: Chøng minh hai tam gi¸c ®ã bằng nhau. 
B­íc 3: Suy ra c¸c cÆp gãc, c¸c cÆp c¹nh t-¬ng øng b»ng nhau. 
- NÕu  ABC cã A = 900,  A’B’C’ cã 'A = 900 (h×nh 5) 
Th× viÖc chøng minh hai tam gi¸c nµy bằng nhau sÏ ®¬n gi¶n h¬n 
theo hai tr-êng hîp 
TH1: Cạnh huyền- góc nhọn: 
GT ΔABC (  090A  ) 
ΔA’B’C’ ( 0' 90A  ) 
BC = B’C’ 
 'B B 
KL ABC = A’B’C’ 
B
A A'
B'
C
C'
 Hình 5. 
TH2: Cạnh huyền – cạnh góc vuông. 
GT ΔABC (  090A  ) 
ΔA’B’C’ ( 0' 90A  ) 
BC = B’C’ 
AB = A’B’ 
KL ABC = A’B’C’ 
Ví dụ 4: Dạy định lý Pytago. 
- Công dụng: tính độ dài cạnh của tam giác vuông. 
11/ 29 
- Mô hình để suy luận (hình 6): 
GT ΔABC 
 090A  
KL BC2 = AB2 + AC2 
B
A C
 Hình 6 
Dạy định lý Pytago đảo: 
- Công dụng: chứng minh tam giác vuông. 
- Mô hình để suy luận (hình 5) 
GT ΔABC 
BC2 = AB2 + AC2 
KL  090A  
b) Khả năng giải bài tập phụ thuộc nhiều vào việc tiếp thu kiến thức. Mỗi khi giảng khái 
niệm, định lý mới, cần có những câu hỏi, bài tập miệng giúp học sinh nắm vững các dấu 
hiệu bản chất của khái niệm, trước khi đi vào giải bài tập trong SGK. 
*Ví dụ minh họa: Dạy định lý tổng ba góc trong tam giác. 
Sau khi phát biểu và chứng minh định lý, giáo viên đưa ra câu hỏi vận dụng sau : 
“ Cho biết số đo góc x trong mỗi hình vẽ sau: 
59°
78°
x
A
B C
52°
A B
C
2.2. Dạy bài tập tự luận: 
* Khi dạy bài tập tự luận, giáo viên cần chia thành các dạng bài điển hình. Với mỗi dạng 
bài cần chỉ ra các phương pháp chứng minh cụ thể. Dưới đây là các dạng bài và phương 
pháp chứng minh của dạng bài đó trong phần hình học lớp 7. 
2.2.1 Chứng minh các yếu tố bằng nhau: 
a) Chứng minh hai góc bằng nhau: 
* Để chứng minh hai góc bằng nhau ta có thể thực hiện một trong các cách sau: 
(1) Chứng minh chúng là hai góc đối đỉnh 
(2) Chứng minh chúng cùng bằng một góc thứ ba. 
(3) Chứng minh chúng cùng bù hoặc cùng phụ với một góc thứ ba 
12/ 29 
(4) Chứng minh chúng là những góc so le trong (hoặc đồng vị, hoặc so le 
ngoài) tạo nên bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song. 
(5) Chứng minh chúng là hai góc đáy của một tam giác cân 
(6) Chứng minh chúng là hai góc tương ứng trong hai tam giác mà ta chứng 
minh được là bằng nhau. 
(7) Chứng minh chúng là các góc nhọn có cạnh tương ứng song song (hoặc 
vuông góc). 
* Một số bài tập minh họa: 
Bài tâp 1. Cho ΔABC có  0 0110 , 30B C  . Gọi Ax là tia đối của tia AC. Tia phân giác 
củagóc BAx cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh rằng ΔKAB có hai góc bằng 
nhau. 
Bài giải: 
Có   0180KBA ABC  (kề bù) 
Tính được  070KBA  
Theo định lý tổng ba góc trong tam giác 
có: 
   0180ABC ACB BAC   
Thay số :
 040BAC  
Mà   0180BAC xAB  (kề bù) 
x
1
2
300
1100
K
A
B
C
=>  0140xAB  
=>   01 2 70A A  (AK là tia phân giác của góc xAB) 
=>   070KAB KBA  
Bài tập 2: Cho ΔABC vuông tại A. Gọi d là đường thẳng vuông góc với BC tại C. Tia 
phân giác của góc B cắt AC tại D và cắt d tại E. Chứng minh rằng ΔCDE có hai 
góc bằng nhau. 
Bài giải: 
 BCE vuông tại C nên:   02 90B E  (1) 
 ABD vuông tại A nên:   01 90B ADB  
Mà  ADB CDE (đối đỉnh) nên:   01 90B CDE  
 Mặt khác  1 2 (gt)B B nên :  
0
2 90B CDE  (2) 
Từ (1) và (2) suy ra  E CDE => đpcm 
1 2
E
D
B
A C
d 
13/ 29 
Bài tập 3: Cho hình vẽ: Biết AB // OM // CD và Â = Cˆ = 
1200 
Hỏi tia OM có là tia phân giác AOC không? 
Bài giải: 
AB // OM   0180A AOM   (hai góc trong cùng phía) 
 060AOM  
CD // OM => 
  0180C COM  (hai góc trong cùng phía) 
 Tính được:  060COM  
Do đó   060AOM COM  
Vậy OM là tia phân giác của góc AOC 
120°
120°
A B
O
M
C
D
*Bài tập đề nghị: 
Cho A ABC, kẻ tia phân giác AD của góc A. Từ một điểm M thuộc 
đoạn thẳng DC, ta kẻ đường thẳng song song với AD. Đường thẳng này cắt 
cạnh 
AC ở điểm E và cắt tia đối của AB tại điểm F. 
a) Chứng tỏ tam giác EAF có hai góc bằng nhau. 
b) Chứng tỏ  AEF MEC 
b. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau 
* Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, ta thường sử dụng các cách sau: 
 (1) Chứng minh chúng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba. 
 (2) Chứng minh chúng cùng bằng hiệu hoặc tổng của những đoạn bằng nhau. 
 (3) Sử dụng sự liên hệ giữa đường trung tuyến thuộc cạnh huyền với cạnh 
huyền của tam giác vuông. 
 (4) Chứng minh chúng là hai cạnh bên của tam giác cân 
 (5) Chứng minh chúng là các khoảng cách từ một điểm thuộc tia phân giác của 
một góc đến hai cạnh của góc ấy. 
(6) Chứng minh chúng là các khoảng cách từ một điểm thuộc đường trung trực 
của đoạn thẳng đến hai đầu mút của đoạn thẳng ấy. 
(7) Chứng minh chúng là những đoạn thẳng song song chắn giữa hai đường 
thẳng song song. 
(8) Chứng minh chúng là hai cạnh tương ứng trong hai tam giác mà ta chứng 
minh chúng là bằng nhau. 
* Một số bài tập minh hoạ: 
Bài tập 1: Cho một góc nhọn xOy. Trên Ox ta đặt hai điểm A, B với OA < OB. Trên Oy 
ta đặt hai điểm C, D sao cho OC = OA, OD = OB. 
a) Chứng minh: AD = BC 
b) Gọi I là giao điểm của AD và BC. CM: IA = IC và ID = IB. 
c) Chứng minh: I nằm trên tia phân giác của xOy. 
14/ 29 
Bài giải 
GT  090xOy  
A, B  Ox, OA < OB 
C, D  Oy, OA = OC, OB = OD 
AD cắt BC tại I. 
KL a) AD = BC 
b) IA = IC, IB = ID 
c) I thuộc tia phân giác của góc xOy 
y
x
I
O A B
C
D
a) Xét OCB và OAD có: 
 OC = OA (gt) 
  COB AOD 
 OB = OD (gt) 
=> OCB = OAD (c-g-c) => BC = AD (hai cạnh tương ứng) 
b) Vì OCB = OAD (cmt) =>  ODA OBC (hai góc tương ứng) (1) 
 =>  OCB OAD (hai góc tương ứng) 
Mà   0180OCB BCD  (kề bù);   0180OAD DAB  (kề bù) 
=>  BCD DAB (2) 
Lại có: CD = OC – OD; AB = OB – OA 
Mà OA = OC; OB = OD (gt) 
=> CD = AB (3) 
Từ (1), (2), (3) suy ra  ICD =  IAB (g-c-g) 
=> IA = IC; IB = ID (hai cạnh tương ứng) 
c) Xét OCI và OAI có: 
OC = OA (gt) 
IC = IA (cmt) 
OI là cạnh chung. 
=> OCI = OAI (c-c-c) =>  COI AOI (hai góc tương ứng) 
=> I nằm trên tia phân giác của góc xOy. 
Bài tập 2: Cho tam giác ABC có  B C . Tia phân giác BD và CE của góc B và C cắt nhau 
tại O. Từ O kẻ OH  AC, OK  AB. Chứng minh: 
a) BCD = CBE 
b) OB = OC 
c) OH = OK 
Bài giải: 
15/ 29 
GT ABC,  B C 
   
1 2 1 2;B B C C  
OH  AC, OK  AB 
KL a) BCD = CBE 
b) OB = OC 
c) OH = OK 
2
1
2
1
H
K
O
B C
A
DE
a) Vì      1 2 1 2ABC ACB B B C C     
Xét BCD = CBE có: 
 DCB EBC (gt) 
BC là cạnh chung 
 
2 2C B (cmt) 
=> BCD = CBE (g-c-g) 
b) Từ (a) suy ra BE = CD (hai cạnh tương ứng) và  BEO CDO (hai góc tương ứng) 
Xét OBE và OCD có: 
 
1 1B C (cmt) 
BE = CD (cmt) 
 BEO CDO (cmt) 
=> OBE = OCD (g-c-g) => OB = OC (hai cạnh tương ứng) 
c) Xét OHB và OKC có: 
  090OHB OKC  
OB = OC (cmt) 
 
1 1B C (cmt) 
OHB = OKC (cạnh huyền - góc nhọn) 
=> OH = OK (hai cạnh tương ứng) 
* Bài tập đề nghị 
Cho một đường thẳng d và ba điểm A, B, C theo thứ tự ấy thuộc d. 
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d, ta vẽ hai tam giác đều ABD, 
BEC. Gọi M, N theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng AE, CD 
a) Chứng minh: AE = DC 
b) Chứng minh tam giác MBN là tam giác đều. 
2.2.2 Chứng minh các đường thẳng song song, chứng minh các đường thẳng vuông 
góc. 
a) Chứng minh hai đường thẳng song song. 
* Ta có thể sử dụng các cách sau để chứng minh hai đường thẳng song song: 
(1) Chứng minh chúng tạo với một đường thẳng thứ ba các góc so le trong (hoặc 
đồng vị) bằng nhau hoặc hai góc trong cùng phía bù nhau. 
(2) Sử dụng tiên đề Euclide, thường chứng minh bằng phản chứng. 
16/ 29 
(3) Chứng minh chúng cùng song song với một đường thẳng. 
(4) Chứng minh chúng cùng vuông góc với một đường thẳng. 
* Bài tập minh hoạ: 
Bài tập 1. Cho hình vẽ sau. 
Hãy chứng tỏ đường thẳng xy // Am bằng 3 cách. 
21
2
1
m
y
x
B
A
Bài giải: 
Cách 1: Ta có   01 2 108B B  (hai góc kề bù) => 
 0
2 120B  
 Do đó   02 1 120B A  
 Mà hai góc này ở vị trí đồng vị. 
 xy // Am (hai góc đồng vị bằng nhau) 
Cách 2: Tính  02 60A  => 
  0
2 1 60A B  => xy // Am (hai góc SLT bằng nhau) 
Cách 3: Tính  0 02 2120 , 60B A  => 
  0
2 2 180A B  => xy // Am (hai góc TCP bù nhau). 
Bài tập 2. Tìm trên hình vẽ bên các cặp đường thẳng song song: 
Bài giải:   0aA 180b ABb  => a // b (hai góc TCP bù nhau) 
 Tính  0110BCc  => b // c (hai góc đồng vị bằng nhau) 
   0aA 180B BCc  => a // c (hai góc TCP bù nhau) 
Bài tập 3. Cho hình vẽ bên: 
a) Chứng tỏ a // b 
b) Chứng tỏ: a // c 
Bài giải: 
A 
B 
C 
1100 
1100 
700 
a 
b 
c 
B 
A 
500 
500 
a
b
c
e
d
17/ 29 
a) / /
a d
a b
b d
 

 
 (cùng vuông góc với d) 
b)   050A B  . Mà hai góc này ở vị trí so le trong 
=> b // c (hai góc SLT bằng nhau) 
c) Vì a // b, b // c nên a // c (cùng song song với b) 
*) Bài tập đề nghị: 
Cho hình vẽ: 
a) Hai đường thẳng Mz và Ny có 
song song với nhau hay không? 
Vì sao? 
b) Hai đường thẳng Ny và Ox có 
song song với nhau hay không? Vì sao? 
b) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc : 
*) Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta có thể sử dụng một trong các cách sau: 
(1) Chứng minh đó là hai đường phân giác của hai góc kề bù. 
(2) Chứng minh hai đường này cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc bằng 900 
(3) Chứng minh đường thẳng thứ nhất vuông góc với một đường thẳng khác mà song 
song với đường thẳng thứ hai. 
(4) Sử dụng tính chất ba đường cao trong tam giác. 
(5) Chứng minh đường thẳng thứ nhất là đường trung trực của một đoạn thẳng nằm trên 
đường thẳng kia. 
(6) Sử dụng tính chất đường cao của tam giác cân. 
(7) Chứng tỏ chúng là hai đường thẳng chứa hai cạnh góc vuông của một tam giác 
vuông, thường kết hợp với việc tính tổng hai góc hoặc sử dụng định lý Pytago. 
*) Các bài tập minh họa: 
Bài tập 1: Cho hai đường thẳng song song xx’ và yy’. Vẽ đường thẳng a cắt xx’ tại A, cắt 
yy’ tại B. Tia phân giác của các góc xAB và ABy cắt nhau tại C; tia phân giác của các 
góc BAx’ và ABy’ cắt nhau tại D. Chứng minh rằng: 
a) CA  DA; CB  DB 
b) AC  CB; AD  BD 
Bài giải: 
1500 
1200 
300 
N 
x 
z 
M 
t 
y 
O 
n 
18/ 29 
GT xx’ // yy’ 
  ; 'xAC CAB BAD DAx  
  ; 'yBC CBA ABD DBy  
KL a) CA  DA; CB  DB 
b) AC  CB; AD  BD 
y'
y
x'x
DC
A
B
a) AC là tia phân giác của góc xAB (gt) 
AD là tia phân giác của góc BAx’ (gt) 
Mà hai góc xAB và BAx’ kề bù. 
 CA  DA 
Chứng minh tương tự có: CB  DB 
b) Vì xx’ // yy’ =>   0180xAB ABy  (kề bù) 
=>   0 0180 : 2 90CAB CBA   
=> CAB vuông tại C => AC  CB 
Chứng minh tương tự có DAB vuông tại D => AD  BD 
Bài tập 2: Cho góc xOy, lấy điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy sao cho OA = OB. 
Gọi K là giao điểm của AB và tia phân giác góc xOy. Chứng minh rằng:OK  AB 
Bài giải: 
GT góc xOy 
A  Ox, B  Oy; OA = OB 
 KOA KOB 
KL OK  AB 
K
O
A
B 
Vì OA = OB (gt) => AOB cân tại O 
Mà OK là đường phân giác xuất phát từ đỉnh O (gt) 
=> OK đồng thời là đường cao xuất phát từ đỉnh O (t/c tam giác cân) 
=> OK  AB 
Bài tập 3: Cho tam giác ABC nhọn có AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE 
= AB. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC ở D. Chứng minh: AD  BE. 
Bài giải: 
19/ 29 
GT ABC nhọn, AC > AB 
AE = AB 
 BAD CAD 
KL AD  BE. 
D
A
B C
E
Xét ABD và AED có: 
AB = AE (gt) 
 BAD CAD (gt) 
AD là cạnh chung. 
=> ABD = AED (c-g-c) 
=> DB = DE (hai cạnh tương ứng) 
Mà AB = AE (gt) 
=> AD là đường trung trực của đoạn thẳng BE (tính chất trung trực) 
Do đó: AD  BE. 
* Bài tập đề nghị: 
Cho tam giác ABC vuông tại C. Kẻ đường cao CH. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh 
AC lấy điểm N sao cho BM = BC; CN = CH. Chứng minh: MN  AC 
2.2.3. Chứng minh các điểm thẳng hàng, chứng minh các đường thẳng đồng quy 
a) Chứng minh các điểm thẳng hàng 
* Các cách thường dùng để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng: 
(1) Chứng minh AB + BC = AC (hoặc AC + CB = AB hoặc BA + AC = BC) 
(2) Chứng minh  0180ABC  
(3) Sử dụng tiên đề Euclide, chứng minh hai trong ba đường thẳng AB, AC, BC 
cùng song song với một đường thẳng khác. 
(4) Sử dụng tính chất của các đường trong tam giác (trung tuyến, phân giác, đường 
cao, trung trực). Chứng minh rằng A, B, C cùng thuộc một trong các đường ấy. 
*Bài tập minh hoạ: 
Bài tập 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà AD = AB, trên tia đối 
của tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED 
sao cho CM = EN. Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng. 
Bài giải: 
GT ABC 
D thuộc tia đối AB: AD = AB 
E thuộc tia đối AC: AE = AC 
CM = EN 
KL M, A, N thẳng hàng. 
B C
A
DE N
M 
20/ 29 
Xét ΔABC và ΔADE có: 
AB = AD (gt) 
 BAC DAE (đối đỉnh) 
AC = AE (gt) 
=> ΔABC = ΔADE (c-g-c) 
=>  DEA ACB (hai góc tương ứng) 
Xét ΔAEN và ΔACM có: 
AC = AE (gt) 
 DEA ACB (cmt) 
CM = EN (gt) 
=> ΔAEN = ΔACM (c-g-c) 
=>  EAN CAM (hai góc tư) 
Mà   0180EAN NAC  (kề bù) =>   0180CAM NAC  
Hay  0180NAM  => Ba điểm M, A, N thẳng hàng. 
Bài tập 2: Cho  ABC, D là trung điểm của AC, E là trung điểm AB. Trên tia đối của tia 
DB lấy điểm M sao cho DM = DB, trên tia đối của tia EC lấy điểm N sao cho 
EN = EC. Chứng minh rằng: ba điểm M, A, N thẳng hàng. 
Bài giải: 
GT ABC 
DA = DC; EA = EB 
M thuộc tia đối DB: DM = DB 
N thuộc tia đối EC: EN = EC 
KL M, A, N thẳng hàng. 
321
E
D
A
B
C
M
N
Xét ADM và CDB có: 
DA = DC (gt) 
 ADM CDB (đối đỉnh) 
DM = DB (gt) 
=>ADM = 