Sáng kiến kinh nghiệm Rèn kỹ năng giải bài tập toán bằng cách lập Phương trình - Hệ phương trình

Chuyên đề:
Rèn kỹ năng giải bài tập toán
bằng cách lập phương trình - hệ phương trình
I/ Đặt vấn đề:
Như chúng ta đã biết, ngay từ những ngày mới cắp sách đến trường, học sinh đã được giải phương trình. Đó là những phương trình rất đơn giản dưới dạng điền số thích hợp vào ô trống. Đối với học sinh lớp cao thì tính phức tạp của phương trình cũng dần được nâng lên.
+ Đối với lớp 1, lớp 2 thì phương trình rất đơn giản, thường là dưới dạng điền vào ô trống:
1 + 3 = 7
	+ Đối với học sinh lớp 3 thì phương trình phức tạp hơn:
	x + 2 + 3 = 6.
	+ Đối với học sinh lớp 4, 5, 6 phương trình có dạng:
	x : 4 = 8 : 2
	x x 5 + 8 = 33
	(x – 12) x 8 = 16
	Tất cả các loại Toán trên, mối quan hệ giữa các đại lượng trong đề toán được gắn kết với nhau bằng các mối quan hệ toán học. Các đại lượng chỉ là những con số tự nhiên bất kỳ. Đặc biệt là các phương trình được viết sẵn học sinh chỉ việc giải phương trình là hoàn thành nhiệm vụ.
Đối với học sinh lớp 8, lớp 9 trở lên các đề toán về giải phương trình không còn đơn giản như vậy nữa mà nó là các dạng toán có lời, căn cứ vào có để lập ra phương trình kết quả, đáp số đúng không chỉ phụ thuộc vào kỹ năng giải phương trình mà còn phụ thuộc vào việc lập phương trình.
Việc giải các bài toán bằng cách lập phương trình đối với học sinh THCS là một việc làm mới mẻ. Đề bài cho không phải là những phương trình có sẵn mà là một đoạn văn mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng, học sinh phải chuyển đổi được mối quan hệ giữa các đại lượng được mô tả bằng lời văn sang mối quan hệ toán học. Hơn nữa, nội dung của các bài toán này, hầu hết đều gắn bó với các hoạt động thực tế của con người, xã hội hoặc tự nhiên,Do đó trong quá trình giải học sinh thường quên, không quan tâm đến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp số vô lí. VD: ẩn số là con người, đồ vật,  phải nguyên dương nếu tìm ra đáp số âm hoặc không nguyên là vô lí.
Chính vì vậy, người thầy không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức như trong SGK mà còn dạy cho học sinh cách giải bài tập. Người thầy khi hướng dẫn cho học sinh giải các bài toán dạng này phải dựa trên các quy tắc chung là: yêu cầu về giải một bài toán, quy tắc giải bài toán bằng cách lập phương trình, phân loại các dạng toán, làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng dẫn đến lập được phương trình dễ dàng. Đây là bước đặc biệt quan trọng và khó khăn với học sinh.
II. Giải quyết vấn đề.
	Một trong những phương pháp hướng dẫn học sinh giải bài toán trên là dựa vào quy tắc chung. Nội dung của quy tắc gồm các bước:
	- Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình)
	+ Chọn ẩn, xác định điều kiện cho ẩn.
	+ Dùng ẩn số và các số liệu đã biết để biểu thị các số liệu có liên quan, dẫn giải các bộ phận thành phương trình (hệ phương trình).
	- Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình).
	- Bước 3: Nhận định kết quả, thử lại, trả lời. Mặc dù có quy tắc trên song trong quá trình hướng dẫn giải bài toán này cần cho học sinh vận dụng theo những biện pháp sau:
* Biện pháp 1: Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót nhỏ:
	Để học sinh không mắc sai lầm này người giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đề toán và trong quá trình giải không có sai sót về kiến thức, kỹ năng tính. Giáo viên phải rèn cho học sinh có thói quen đặt điều kiện cho ẩn và đối chiếu với điều kiện của ẩn xem có thích hợp không?
Ví dụ 1: Mẫu của một phân số gấp 4 lần tử số của nó. Nếu tăng cả tử và mẫu lên 2 đơn vị thì được Phân số . Tính phân số đã cho.
	(SGK Đại số 8)
Giải
Gọi tử số của phân số đã cho là x (x>0;xN) 
Thì mẫu số của phân số là 4x.
Theo bài ra ta có phương trình:
.
x = 1.
Vậy tử số là 1, mẫu số là 4.
Vậy phân số đó là .
* Biện pháp 2: Lời giải toán phải có căn cứ chính xác.
	Xác định ẩn phụ phải khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và dữ kiện đã cho làm nổi bật được ý phải tìm. Nhờ mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán thiết lập phương trình (hệ phương trình), từ đó tìm được giá trị của ẩn số. Muốn vậy, người giáo viên phải làm cho học sinh hiểu được đâu là ẩn? Đâu là điều kiện? Có thoả mãn điều kiện hay không? Từ đó có thể xây dựng được cách giải?
	Ví dụ 2: Hai cạnh của hình chữ nhật hơn kém nhau 4m. Tính chu vi của khu đất đó nếu biết S = 1200m2.
	(SGK Đại số 9)
Bài toán hỏi chu vi hình chữ nhật. Học sinh thường là bài toán hỏi gì thì gọi là ẩn. Nếu ở bài toán này gọi chu vi hình chữ nhật là ẩn thì bài toán khó có lời giải. Giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh phát triển sâu trong khả năng suy diễn: Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta cần biết cạnh của hình chữ nhật.
Giải
Gọi chiều rộng khu đất hình chữ nhật là x (m,x > 0)
Thì chiều dài hình chữ nhật là x + 4.
Vì diện tích hình chữ nhật là 1200m2. Ta có phương trình sau:
x(x + 4) = 1200
x2 + 4x – 1200 = 0
x1 = 30; x2 = -34 < 0 (loại).
Vậy chiều rộng hình chữ nhật là 30m.
 Chiều dài hình chữ nhật là 34m.
Vậy chu vi là 128m.
* Biện pháp 3: Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện.
	Giáo viên phải hướng dẫn học sinh không được bỏ sót khả năng, chi tiết nào, rèn luyện cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đầy đủ chưa.
	Ví dụ 3: Một tam giác có chiều cao bằng cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3dm, cạnh đáy giảm đi 2dm, thì diện tích tăng thêm 12dm2. Tính chiều cao và cạnh đáy.
	Giáo viên lưu ý cho học sinh công thức:
S= cạnh đáy x chiều cao.
Giải
	Gọi độ dài cạnh đáy là x (dm) (x > 0)
	Thì chiều cao là x (dm)
	Nên diện tích lúc đầu là : .x.x (dm)
	Diện tích lúc sau là: (x-2)( x+3)
	Theo bài ra ta có phương trình:
	(x - 2)(x + 3) - x.x = 12
	x = 20 (TMĐK)
	Vậy cạnh đáy có độ dài là 20dm.
	 Chiều cao có độ dài là .20 = 15dm.
* Biện pháp 4: Lời giải bài toán phải đơn giản.
	Ví dụ 4: 
	Vừa gà vừa chó
	Bó lại cho tròn
	Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn
Hỏi có mấy gà, mấy chó?
	(Bài toán cổ Việt Nam)
Giải
Gọi số gà là x (con) (x nguyên dương)
Số chó là 36 - x (con)
Số chân gà là 2x (chân)
Số chân chó là 4(36 - x) (chân)
Theo bài ra ta có phương trình:
	2x + 4(36 - x) = 100
	x = 22
Vậy số gà là 22 con, số chó là 14 con.
Với cách giải trên, bài toán ngắn gọn, dễ hiểu, phù hợp với trình độ của học sinh.
* Biện pháp 5: Lời giải phải trình bày khoa học.
	Ví dụ 5: Chiều cao của một tam giác vuông bằng 9,6m và chia cạnh huyền thành 2 đoạn hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.
	(Đại số 9)
	Trước khi giải cần kiểm tra kiến thức của học sinh để củng cố công thức:
	AH2 = BH.CH
Giải
Gọi độ cạnh BH là x (x > 0)
àĐộ dài cạnh CH là: x 5,6 (m)
Ta có pt: x(x + 5,6) = 9,62.
	 x = 7,2 (TMĐK)
Vậy độ dài cạnh huyền là: 7,2 + 5,6 + 7,2 = 20 (m).
* Biện pháp 6: Lời giải phải rõ ràng, đầy đủ, có thể nên thử lại.
	Giáo viên cần rèn cho học sinh có thói quen sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm hiểu hết các nghiệm của bài toán, nhất là đối với phương trình bậc hai, hệ phương trình.
	Ví dụ 6: Một tàu thuỷ chạy trên khúc sông dài 80km, cả đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc tàu thuỷ khi nước yên lặng. Biết vận tốc dòng nước là 4km/h.
Giải
	Gọi vận tốc tàu thuỷ khi nước yên lặng là x (km/h) (x>0)
	 Vận tốc tàu thuỷ khi xuôi dòng là x + 4 (km/h)
	 Vận tốc của tàu thuỷ khi ngược dòng là x - 4 (km/h)
	Theo bài ra ta có phương trình:
	ú 5x2 – 96x – 80 = 0
	x1= (không thoả mãn)
	x2 = 20 (nhận)
	Vậy vận tốc tàu thuỷ khi nước yên lặng là 20 km/h
* Phân loại các bài toán giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình.
1/ Loại bài toán về chuyển động.
2/ Loại bài toán có liên quan đến số học.
3/ Loại bài toán về năng suất lao động.
4/ Loại bài toán về tỉ lệ chia phần.
5/ Loại bài toán có liên quan đến hình học.
6/ Loại toán về công việc làm chung, làm riêng.
7/ Loại bài toán có nội dung Lí, Hoá.
8/ Loại toán có chứa tham số.
9/ Loại toán thống kê, mô tả.
Giáo viên hướng dẫn học sinh giải một số bài toán.
1. Dạng toán chuyển động:
	- Bài toán 1: Quãng đường AB dài 270km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B. Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12km/h nên đến trước ô tô thứ hai 42 phút. Tính vận tốc mỗi xe.
	(Đại số 9)
	Trong bài toán này cần hướng dẫn học sinh xác định được vận tốc của mỗi xe, từ đó xác định thời gian đi hết quãng đường của mỗi xe.
Giải
	Gọi vận tốc xe thứ nhất là x (km/h) (x > 12)
	 Vận tốc xe thứ hai là x - 12 (km/h)
	Theo bài ra ta có phương trình:
	x1 = -62,3 < 0 (loại)
	x2 = 74, 3 (nhận)
	Vậy vận tốc xe thứ nhất là 74,3 km/h
 vận tốc xe thứ nhất là 62,3 km/h
Trong bài toán này, học sinh cần ghi nhớ công thức: S = v.t
2. Dạng bài toán liên quan đến số học:
	- Bài toán 2: Tìm số có 2 chữ số. Biết rằng nếu thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì được số mới lớn hơn số ban đầu 10. Và tổng chữ số hàng chục và hàng đơn vị là 7.
Giải
Gọi chữ số hàng chục của số đã cho là x (xN*, 0 < x7)
Thì chữ số hàng đơn vị là 7 - x
Số đã cho có dạng: x(7 - x) = 10x + 7 - x = 9x + 7
Số mới có dạng: x0(7 - x) = 100x + 7 - x = 99x + 7
Ta có phương trình: (99x + 7) - (9x + 7) = 180
	 x = 2 (TMĐK)
Vậy số đã cho là 25.
Giáo viên lưu ý: Với dạng này học sinh phải hiểu được mối liên hệ giữa các đại lượng, đặc biệt giữa hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm,
ab = 10a + b, 	abc = 100a + 10b + c
3. Dạng toán về năng suất lao động.
	- Bài toán 3: Trong tháng đầu hai tổ sản xuất được 400 chi tiết. Trong tháng sau, tổ 1 vượt mức 10%, tổ 2 vượt mức 15%, nên cả hai tổ sản xuất được 448 chi tiết máy. Tính xem trong tháng đầu tiên mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy.
Giải
Cách 1:
	Gọi x là số chi tiết máy tổ 1 sản xuất được trong tháng đầu (0<x<400)
	Tổ 2 sản xuất được 400 - x (chi tiết)
	Tháng sau tổ 1 sản xuất được (chi tiết)
	Tổ 2 sản xuất được: (chi tiết)
	Ta có phương trình:
 + = 448 
	x = 240 (TMĐK)
	Trả lời: Tháng đầu tổ 1 sản xuất được 240 chi tiết máy, tổ 2 sản xuất được 160 chi tiết máy.
Cách 2: 
	Gọi x là số chi tiết máy tổ 1 sản xuất được trong tháng đầu (0<x<400)
	Số chi tiết tổ 2 làm được trong tháng đầu là y chi tiết (0<y<400)
	Ta có phương trình: x + y = 400 (1)
	Số chi tiết máy làm tăng được ở tổ 1 là: chi tiết.
	Số chi tiết máy làm tăng được ở tổ 2 là: chi tiết.
	Số chi tiết máy làm tăng được của 2 tổ là: 448 - 400 = 48 chi tiết.
	Ta có phương trình:
	 + = 48 (2)
	Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
	Giải hệ ta có: x = 240; y= 160.
	Trả lời: Tháng đầu tổ 1 sản xuất được 240 chi tiết máy, tổ 2 sản xuất được 160 chi tiết máy.
	Với loại toán liên quan đến tỉ lệ %, giáo viên cần gợi mở để học sinh hiểu rõ bản chất và nội dung của bài toán để lập được phương trình.
4. Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng.
	- Bài toán 1 (SGK Đại số 8)
Hướng dẫn: Coi toàn bộ công việc là một đơn vị công việc.
Giải
	Gọi số ngày đội 1 làm riêng sửa xong con mương là x ngày (x>0)
	Gọi số ngày đội 2 làm riêng sửa xong con mương là y ngày (y>0)
	Trong 1 ngày: Đội 1 làm được (cv)
	Đội 2 làm được (cv)
	Hai đội làm được: (cv)
	Ta có phương trình: + = (1)
	Do năng suất đội 1 làm bằng đội 2, nên ta có phương trình:
	=. (2)
	Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
5. Dạng toán có nội dung Lí, Hoá.
	- Bài toán: Cho một lượng dung dịch chứa 10% muối. Nếu pha thêm 200g nước thì thu được dung dịch 6%. Hỏi có bao nhiêu g dung dịch đã cho. (SGK 8).
Giải:
Gọi khối lượng dung dịch đã cho là x(g), (x>0).
Lượng muối trong dung dịch là: .
Lượng dung dịch muối là : x+200(g).
Tỉ số giữa muối và lượng dung dịch mới là: 
Theo bài ra ta có phương trình: 
	X=300(TMĐK).
Vậy khối lượng dung dịch đã cho là: 300g.
Với dạng này học sinh phải nắm được các công thức của Vật lý, Hoá học, từ đó lập phương trình, hệ phương trình.
6. Dạng toán có chứa tham số.
	Một hình tròn có diện tích S = 3,14 R2.(R là bán kính)
a. Khi R tăng 2 lần thì S tăng mấy lần.
 Khi R giảm 3 lần thì S giảm mấy lần.
b.Khi S tăng 4 lần thì R tăng mấy lần.
 Khi S giảm 16 lần thì R giảm mấy lần.
Giải
	Khi R1 = a thì S1 = 3,14 a2.
a. Nếu R tăng 2 lần: R2 = 2R1 = 2a.
	S2 = 3,14 (2a)2 = 4.3,14a2 àS2 = 4S1.
	Vậy S tăng lên 4 lần.
b. Nếu S tăng lên 4 lần tức là S4 = 4S1.
à 3,14R42 = 4.3,14R1. 
à R4 = R1. à R tăng 2 lần.
III. Kết luận:
	Trên đây là những dạng toán thường gặp ở chương trình THCS 8, 9. Mỗi dạng toán có những đặc điểm khác nhau, việc chia dạng trên chủ yếu dựa vào lời văn nhưng chúng đều chung nhau các bước giải cơ bản, đó là các loại phương trình, hệ phương trình các em đã được học ở THCS. Những ví dụ trên không có ý là hướng dẫn cách giải các phương trình, hệ phương trình mà chủ yếu gợi ý giúp các em xây dựng được phương trình cơ bản để khi gặp được các dạng đó các em biết cách làm.
	Trên đây là một số ý kiến của tôi về rèn luyện kỹ năng bằng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình mà các em thường gặp. Tuy nhiên còn rất nhiều thiếu sót và hạn chế, mong nhận được góp ý của các đồng nghiệp để tôi có một phương pháp dạy tốt hơn nữa, giúp học sinh tiếp thu bài tốt hơn. 
Tôi xin chân thành cám ơn!
Giao Hà, ngày 30 tháng 9 năm 2005
Người viết