Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong không gian

g trên hình vẽ thì dùng cách 1, còn nếu chỉ phát hiện 1 điểm chung thì nên suy nghĩ theo cách 2.
Ví dụ cụ thể
Giáo viên nên đưa ra các bài tập dễ phát hiện trước sau đó hướng dẫn học sinh
một cách tỉ mỉ để học sinh có thể hiểu rõ vấn đề hơn.
Ví dụ 1: Trong mp(α ) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD cắt nhau tại F. Gọi S là một điểm nằm ngoài mp(α ). Tìm giao tuyến của
các mp sau:
mp (SAB) và mp(SCD)
mp(SAC) và mp(SBD)
Hướng dẫn giải
Với câu a): Giáo viên có thể đặt ra các câu hỏi để học sinh phát hiện:
Câu hỏi: Dựa vào hình vẽ ta xác định được những điểm
B
C
chung nào của 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD)? Vì sao?	S
Với câu hỏi này học sinh dễ dàng phát hiện ra điểm chung
thứ nhất là S
E
A
4	D
Ta có
ìïE Î AB Þ E Î(SAB) Þ E = (SAB) Ç (SCD).
ïíE Î CD Þ E Î(SCD)
î
Vậy SE = (SAB) Ç (SCD) .
-	Với câu b) tương tự cách làm câu a).
B
F
C
Học sinh có thể phát hiện ra ngay giao tuyến là SF,	S
E
nhưng với câu b) giáo viên cần yêu cầu học sinh tự mình giải thích vì sao.
A
íïF Î BD Þ F Î(SBD)
Có ìïF Î AC Þ F Î(SAC ) Þ F = (SAC) Ç (SBD).
î	D
Vậy SF = (SAC) Ç (SBD)
Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. H, K lần lượt là trung điểm của BC và CD, M là điểm bất kỳ thuộc SA. Xác định giao tuyến của (MHK) và (SAD).
Hướng dẫn giải
Với VD1 học sinh dễ dàng xác định được 2 điểm chung nhưng với ví dụ 2 để xác định được điểm chung thứ 2 học sinh cần linh hoạt vận dụng phương pháp.
Giáo viên có thể đưa ra một số câu hỏi
Câu hỏi 1: (MHK) và (SAD) có điểm chung
thứ nhất là điểm nào?
Với câu hỏi này học sinh dựa và hình vẽ thấy
S = (MHK) Ç (SAD).
Câu hỏi 2: Để tìm điểm chung thứ 2 ta chọn 2 đường thẳng nào lần lượt thuộc (MHK), (SAD) và cùng nằm trong mặt phẳng thứ 3?
Với câu hỏi này học sinh chọn 2 đường thẳng là HK và AD cùng nằm trong mặt
thứ 3 là (ABCD). Khi đó kéo dài HK và AD cắt nhau tại E.
Câu hỏi 3: Chứng minh E là điểm chung của (MHK) và (SAD)?
Ta có
íE Î AD Þ E Î(SAD)
ìE Î HK Þ E Î(MHK ) Þ E = (MHK ) Ç (SAD) .
î
Câu hỏi 4: (MHK) và (SAD) có giao tuyến là đường thẳng nào?
Ta có SE = (MHK ) Ç (SAD) .
- Trong ví dụ 2 giáo viên nên nhấn mạnh cho học sinh ghi nhớ: Hai đường thẳng trong không gian muốn cắt nhau thì chúng phải cùng thuộc một mặt phẳng và không song song.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
(α )
đi qua O, song song với AB và SC.
* Nhận xét: GV cần cho học sinh hiểu rõ các điều kiện của (α )
và cần xác định
giao tuyến của (α )
với các mặt của hình chóp. Khi làm bài học sinh sẽ lúng túng
không biết xác định giao tuyến với mp nào trước. Khi đó giáo viên cần chỉ cho học
sinh nên ưu tiên với những mp chứa điểm (α )
song song.
* Hướng dẫn
đi qua và chứa đường thẳng mà (α )
Giáo viên có thể đưa ra các câu hỏi để gợi ý học sinh
Câu hỏi 1: Xác định giao tuyến với mp nào trước?
+ Xác định giao tuyến của (α )
với mp (ABCD)
Câu hỏi 2: mặt phẳng (α )
chung nào?
và (ABCD) có những điểm
Câu hỏi 3: Xác định giao tuyến của (α )
làm thế nào? Vì sao? Thấy O = (α ) Ç ( ABCD)
với (ABCD) ta
Thấy
ìï AB / / (α )
î
ïí AB Ì ( ABCD) Þ
Theo Định lý 2 (SGK – 61) có giao tuyến của (α ) và
(ABCD) phải song song với AB.
Từ O kẻ đường thẳng d // AB, d Ç BC = N, d Ç AD = M
Vậy
d = (α ) Ç( ABCD) . Đoạn giao tuyến là MN.
+ Xác định giao tuyến của (α )
với (SBC)
Câu hỏi 4: Xác định được mấy điểm chung và đó là điểm nào?
Câu hỏi 5: (SBC) và (α )
có quan hệ gì?
Câu hỏi 6: Xác định giao tuyến của (α )
cách nào?
Thấy N = (α ) Ç (SBC)
và (SBC) bằng
Thấy
ìïSC
(α )

Þ giao tuyến của (α )

và (SBC)
î
íïSC Ì (SBC )
phải song song với SC.
Từ N kẻ d’ // SC cắt SB tại P. Vậy(α ) Ç (SBC)
+ Xác định (α ) Ç (SAB)

= d’ hay đoạn giao tuyến là NP.
Câu hỏi 7: Xác định được mấy điểm chung và đó là điểm nào?
Câu hỏi 8: (SAB) và (α )
có quan hệ gì?
Câu hỏi 9: Xác định giao tuyến của (α )
cách nào?
Thấy P = (α ) Ç (SAB)
và (SAB) bằng
song song với AB.

Thấy
ìï AB / / (α )
î
íï AB Ì ( SAB) Þ

giao tuyến của (α )

và (SAB) phải
Từ P kẻ d’’// AB cắt SA tại Q. Vậy d’’ =(α ) Ç (SAB)
+ Xác định (α ) Ç (SAD)
hay đoạn giao tuyến là PQ.
Câu hỏi 10: (α )
những điểm nào?
và (SAD) có mấy điểm chung và đó là
Câu hỏi 11: (α ) Ç (SAD)
là đoạn giao tuyến nào?
Thấy M = (α ) Ç (SAD) và Q = (α ) Ç (SAD)
Vậy (α ) Ç (SAD)
theo đoạn giao tuyến là MQ.
Câu hỏi 12: Xác định thiết diện?
Thiết diện là hình thang MNPQ.
Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC lần lượt lấy các điểm M,N sao cho
MN không // BC,trong tam giác BCD lấy điểm I. Tìm các giao tuyến sau:
(MNI) I (ABC)	b) (MNI) I (BCD)
(MNI) I (ABD)	d) (MNI) I (ACD)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang.Tìm các giao tuyến
sau:	a) (SAC) I (SBD)	b) (SAB) I (SCD)	c) (SAD) I (SBC
Bài 3: Cho tứ diện ABCD.Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm M,N. Tìm
các giao tuyến sau: a) (BMN) I (ACD)	b) (CMN) I (ABD)	c) (DMN) I (ABC)
Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I, trong 2 tam giác BCD và ACD lần lượt lấy 2 điểm J,K.Tìm các giao tuyến sau:
(ABJ) I (ACD)	b) (IJK) I (ACD)
c) (IJK) I (ABD)	d) (IJK) I (ABC)
Bài 5: Cho tứ diện ABCD.Gọi I, J là trung điểm của AD và BC a)Chứng minh rằng IB và JA là 2 đường thẳng chéo nhau
Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) I (JAD)
Gọi M là điểmnằm trên đoạn AB;N là điểm nằm trên đoạn AC .Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) I (DMN)
Dạng toán 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và (α )
Phương pháp: Để tìm giao điểm của d và (α )
bước sau:
ta có thể thực hiện theo các
+ Bước 1: Chọn mặt phẳng (β )
giao tuyến với (α ) )
chứa d (Nên chọn mặt phẳng (β )
sao cho dễ tìm
+ Bước 2: Xác định D = (α ) Ç (β ) .
+ Bước 3: M = D Ç d
+ Bước 4: Chứng minh M = d Ç (α ) .
Với dạng toán này trước hết giáo viên nên cho học sinh làm một ví dụ đơn giản để
học sinh có thể hình dung ra các bước làm đối với dạng toán này.
Ví dụ cụ thể
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm thuộc cạnh
AD sao cho
AN = 2 . Xác định giao điểm của MN với mặt phẳng (BCD).
AD	3
Hướng dẫn
Câu hỏi 1: Chọn mặt phẳng chứa MN là mặt phẳng nào?
Với câu hỏi này học sinh dễ dàng chọn được mặt phẳng là mặt phẳng (ABD).
Câu hỏi 2: Xác định giao tuyến của
(ABD) và (BCD)?
Ta dễ thấy BD = (ABD) Ç (BCD). Gọi E = MN Ç BD.
Câu hỏi 3: Chứng minh E = MN Ç(BCD) ?
Ta có
ìE Î MN
î
íE Î BD Þ E Î(BCD)

Þ E = MN Ç (BCD) .
Sau khi học sinh đã hiểu được các bước làm thì giáo viên có thể giao bài tập khó hơn. Cụ thể:
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi I, J
lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là một điểm tùy ý thuộc đoạn SD.
Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC).
Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp (SBC)
Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM).
Hướng dẫn
Với ý a) ta dễ dàng thực hiện từng bước. Giáo viên có thể gợi ý học sinh bằng cách đặt ra các câu hỏi
Câu hỏi 1: Chọn mặt phẳng nào chứa BM mà dễ xác định giao tuyến với mp (SAC)?
Với câu hỏi này học sinh sẽ xác định được mp cần chọn
là mp (SBD).
Câu hỏi 2: Xác định giao tuyến của (SBD) và (SAC)? Với bước này học sẽ xác định được 2 điểm chung của (SAC) và (SBD).
Dễ thấy S = (SAC) Ç (SBD).
Gọi O = AC Ç BD. Khi đó O = (SAC) Ç (SBD). Vậy SO = (SAC) Ç (SBD)
Câu hỏi 3: Xác định giao điểm E của SO và BM?
Câu hỏi 4: Chứng minh E = BM Ç (SAC)?
Với bước này học sinh sẽ xác định được ngay điểm E vì SO và BM cùng thuộc mp
(SBD).
Gọi E = SO Ç BM.
Khi đó
ìE Î BM
î
íE Î SO Ì (SAC) Þ E Î(SAC)

=> E = BM Ç (SAC) .
Giáo viên nên đặt các câu hỏi để phát hiện vấn đề.
Câu hỏi 5: Mặt phẳng chứa IM và dễ xác định giao tuyến với (SBC) là mặt phẳng nào?
Chọn mặt phẳng (SAD) chứa IM
Câu hỏi 6: Xác định (SAD) Ç(SBC)? Ta có S = (SAD) Ç(SBC).
Gọi P = AD Ç BC. Khi đó
=> P = (SAD) Ç(SBC). Vậy SP = (SAD) Ç(SBC).
Gọi F = SP Ç IM
Câu hỏi 7: Chứng minh F = IM Ç(SBC)?
ìP Î AD Þ P Î(SAD)
î
íP Î BC Þ P Î(SBC)
Ta có
ìF Î IM
î
íF Î SP Ì (SBC) => F Î(SBC)

=> F = IM Ç(SBC).
Với ý c) học sinh sẽ khó phát hiện và tìm ra được mặt phẳng chứa SC, giáo viên cần hướng dẫn để học sinh có thể phát hiện ra được mặt phẳng cần xét.
Câu hỏi 8: Trong hình vẽ có nhiều mặt phẳng chứa SC hãy chọn 1 mặt phẳng mà dễ xác định giao tuyến với (IJM)?
Học sinh sẽ chọn được mặt phẳng là (SBP).
íF Î SP
Câu hỏi 9: Xác định (SBP) Ç (IJM)? Thấy J = (SBP) Ç (IJM) ( Vì J Î SB )
Mặt khác
ìF Î IM Þ F = (IJM ) Ç (SBP)
î
Vậy JF = (SBP) Ç (IJM)
Gọi K = SC Ç JF
Câu hỏi 10: Chứng minh K = SC Ç (IJM)?
Thấy
K = SC Ç JF => ìK Î SC
íK Î JF Ì (IJM ) Þ K Î(IJM )
î

=> K = SC Ç (IJM )
Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SB và SC
Xác định giao tuyến (SAD) và (SBC)
Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AIJ)
Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AIJ)
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm I, J. Tìm các
giao điểm sau: a) IJ I (SBC)	b) IJI (SAC)
Bài 3: Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên
đoạn BD ta lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của:
a) CD và (MNP)	b) AD và (MNP)
Bài 4: Cho tứ diện SABC. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của SA và AB. Trên
đoạn SC ta lấy điểm K sao cho CK = 3KS
Tìm giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng (IHK)
Gọi M là trung điểm IH. Tìm giao điểm của KM với mặt phẳng (ABC).
Dạng toán 3: Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (α ) .
Phương pháp: Để chứng minh cho d // (α )
một đường thẳng nằm trong mp (α ) .
ta chứng minh cho d // a với a là
Tóm tắt: Nếu
ìïd / /a
î
íïa Ì (α )
Þ d / / (α )
Việc khó nhất của phương pháp này là chọn được
đường thẳng a định được a.
Ì (α ) . Nên giáo viên cần hướng dẫn cụ thể để học sinh có thể xác
Ví dụ cụ thể
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD
Chứng minh rằng MN // (SBC).
Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB // (MNP)
Chứng minh SC // (MNP).
Hướng dẫn
Với ý a) học sinh dễ dàng xác định được đường thẳng a là đường thẳng BC. Do đó học sinh dễ dàng chứng minh được MN // (SBC).
Cụ thể: Do
ìMN / / BC
î
íBC Ì (SBC)
Þ MN / /(SBC) .
Nhận xét: Để chứng minh SB // (MNP) học sinh dễ phát hiện ra đường thẳng a là đường MP. Đây là một ví dụ mà học sinh có thể làm được nhờ một sự gợi ý nhỏ của giáo viên.
Hướng dẫn:
Câu hỏi 1: Hãy chứng minh SB // MP?
Ta có MP là đường trung bình trong tam giác SAB nên SB // MP
Mà MP Ì (MNP) nên SB // (MNP).
Nhận xét: Để chứng minh SC // (MNP), với câu hỏi
này học sinh rất khó phát hiện ra được đường thẳng a.
Lúc này cần sự hướng dẫn cụ thể của giáo viên thì học sinh mới có thể giải quyết được vấn đề.
Hướng dẫn:
Câu hỏi 2: Lấy O = MN Ç AC. Chứng minh SC // OP?
Vì O = MN Ç AC => O là trung điểm của AC
=> OP là đường trung bình của tam giác SAC
=> SC // OP.
Câu hỏi 4: Chứng minh SC // (MNP)?
Do SC // OP mà OP Ì (MNP)
=> SC // (MNP).
Ví dụ 2: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M là trọng tâm của tam giác ABD và N là trọng tâm của tam giác ABE. Chứng minh MN // (CEF).
Hướng dẫn
Để làm được bài toán này học sinh rất khó phát hiện đường thẳng a trong mp (CEF). Khi đó giáo viên phải chỉ cho học sinh thấy mp(CEF) cũng chính là mp (CDFE). Như vậy chứng minh MN // (CEF) cũng chính là chứng minh MN // (CDEF).
Câu hỏi 1: Chứng minh MN // DE ?
Do M là trọng tâm của tam giác ABD =>
KM = 1
KD	3
Do N là trọng tâm của tam giác ABE =>
KN = 1
KE	3
Vậy
KM = KN

Þ MN / / DE

(Định lý Talet)
KD	KE
Câu hỏi 2: Chứng minh MN // (CEF) ?
Do MN // DE mà DE Ì (CDFE) => MN // (CDFE)
Mà (CEF) Ì (CDFE). Vậy ta có MN // (CEF).
Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là trung điểm của BC và CD
Chứng minh rằng BD//(AIJ)
Gọi H, K là trọng tâm của các tam giác ABC và ACD. Chứng minh rằng HK//(ABD)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M và N là
trung điểm của SA và SC
Tìm các giao tuyến (SAC) và (SBD); (BMN) và (ABCD); (BMN) và (SBD)
1
Tìm giao điểm K của SD và (BMN). Chứng minh rằng SK = 3 SD
Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BMN)
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng MI //(SBC)
và (IJN)//(SAD).
Dạng toán 4: Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp: Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh cho
mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.
ìa,b Ì (α )
ïa Ç b = I
ía / / ( β )
Tóm tắt: Nếu
ï	Þ (α ) / / (β )
ï
î
ïb / / (β )
Cái khó của phương pháp này là phải xác định được 2 đường thẳng a và b. Vậy nhiệm vụ của giáo viên là phải hướng dẫn làm sao để học sinh phát hiện được 2 đường thẳng a và b đó.
Ví dụ cụ thể
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và CD.
Chứng minh (OMN) // (SBC).
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SD, AD và K là một điểm nằm trên mp(ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh (IJK) // (SAB).
Hướng dẫn
Với câu hỏi này học sinh sẽ không khó để chỉ ra 2 đường thẳng cắt nhau cần chứng minh cho song song với mặt phẳng còn lại. Có thể chọn 2 đường là OM, ON hoặc BC, SC
Câu hỏi 1: Chứng minh OM // (SBC)?
Ta có OM // SC (Vì OM là đường trung bình của tam
giác SAC)
Mà SC Ì (SBC) . Vậy OM // (SBC).
Câu hỏi 2: Chứng minh ON // (SBC)?
Ta có ON // BC (Vì ON là đường trung bình trong tam giác DBC)
Mà BC Ì (SBC) . Vậy ON // (SBC).
Câu hỏi 3: Chứng minh (OMN) // (SBC)?
ìOM ,ON Ì (OMN )
ïOM / /(SBC)
í
Ta có
ï	Þ (OMN ) / /(SBC)
ïON / /(SBC)
ïîOM Ç ON = O
Trong ý a) giáo viên cũng có thể hướng cho học sinh cách chứng minh
BC//(OMN) và SC // (OMN).
Với ý này trước tiên giáo viên phải hướng dẫn học sinh xác định điểm K
Gọi P là trung điểm của BC. Khi đó những điểm nằm trên JP sẽ cách đều AB và CD. Do đó ta chỉ cần lấy K Î JP .
Câu hỏi 1: Chứng minh IJ // (SAB)?
Có IJ là đường trung bình trong tam giác SAD
=> IJ // SA Ì (SAB) => IJ // (SAB).
Câu hỏi 2: Chứng minh JK // (SAB)?
Có JP // AB mà K Î JP nên JK // AB Ì (SAB) => JK // (SAB)
Câu hỏi 3: Chứng minh (IJK) // (SAB)?
Ta có
ìIJ, JK Ì (IJK )
íJK / /(SAB)
ï
ïIJ//(SAB)
Þ (IJK ) / /(SAB)
ï
ïîIJ Ç JK = J
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’. Gọi I, G, K lần lượt là trọng tâm của các
tam giác ABC, ACC’, A’B’C’.
Chứng minh (IGK) // (BB’C’C).
Chứng minh (A’GK) // (AIB’).
Hướng dẫn
Với ý a) học sinh sẽ rất khó nhìn ra 2 đường thẳng a và b. Nhiệm vụ của giáo viên là phải giúp học sinh phát hiện ra 2 đường thẳng đó bằng cách hướng dẫn học sinh xác định thêm các trung điểm M và M’ của AC và A’C’. Khi đó học sinh sẽ nhìn ra hướng giải quyết vấn đề.
Câu hỏi 1: Chứng minh IK // (BB’C’C)?
Do I, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và
tam giác A’B’C’ =>
MI = M ' K
= 1 . Mà MM’ // BB’
MB	M ' B '	3
=> IK // BB’ Ì (BB’C’C) => IK // (BB’C’C).
Câu hỏi 2: Chứng minh IG // (BB’C’C)?
Do	G	là	trọng	tâm	của	tam	giác	ACC’
=> MI
= MG = 1

=> IG // BC’ Ì (BB’C’C)
MB	MC '	3
=> IG // (BB’C’C).
Câu hỏi 3: Chứng minh (IGK) // (BB’C’C)?
ìIK / /(BB 'C 'C)
ïIG / /(BB 'C 'C)
íIK Ç IG = I
Ta có
ï	Þ (IGK ) / /(BB 'C 'C) .
ï
ïîIK , IG Ì (IGK )
Để làm được ý b) học sinh càng khó khăn hơn trong việc tìm ra 2 đường thẳng a và b. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh mở rộng các mặt phẳng bằng cách lấy thêm các trung điểm E, F của BC và B’C’.
Câu hỏi 1: Mặt phẳng (AIB’) được mở rộng thành mặt phẳng nào?
Do E là trung điểm của BC => A, I, E thẳng hàng
=> (AIB’) chính là (AEB’)
Câu hỏi 2: Mặt phẳng (A’GK) được mở rộng thành mặt phẳng nào?
Do F là trung điểm của B’C’ => A’, K, F thẳng hàng Do G là trọng tâm của tam giác ACC’
=> A’, G, C thẳng hàng
Do đó (A’GK) chính là (A’FC)
Câu hỏi 3: Chứng minh (AEB’) // (A’FC)?
Do BB’C’C là hình bình hành => B’E // FC => B’E // (A’FC) Mặt khác ta lại có AE // A’F => AE // (A’FC)
Vậy (AEB’) // (A’FC) hay (AIB’) // (A’GK).
Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K, L là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD,
ACD. Chứng minh rằng (HKL) // (BCD).
Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’
Chứng minh rằng (BA’C’) // (ACD’)
Tìm các giao điểm I = B’D I (BA’C’); J = B’D I (ACD’). Chứng minh
rằng 2 điểm I, J chia đoạn B’D thành 3 phần bằng nhau
GọiM, N là trung điểm của C’B’ và D’D. Dựng thiết diện của hình hộp với mặt phẳng (BMN).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm
của SD
Xác định giao điểm K = BI I (SAC)
Trên IC lấy điểm H sao cho HC=2HI. Chứng minh KH // (SAD)
Gọi N là điểm trên SI sao cho SN=2NI. Chứng minh (KHN) // (SBC)
Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (KHN)
* MỘT SỐ ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Để làm được một bài toán hình học không gian ngoài việc nắm được phương pháp làm thì hình vẽ cũng đóng một vai trò quan trọng. Một hình vẽ tốt phải là hình đảm bảo các yêu cầu sau:
+) Phải đúng theo các quy tắc của một hình biểu diễn trong không gian và khái niệm của các hình như: hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp, hình chóp cụt...
+) Phải rõ ràng, chính xác, dễ nhìn và có tính thẩm mỹ.
+) Phải đủ các dữ liệu, không thừa
+) Phải thể hiện được dữ liệu của đề bài cho.
Để thực hiện tốt yêu cầu đề ra trong việc “Giải các bài toán về quan hệ song song trong không gian” với thời lượng lên lớp chính khóa tôi nghĩ là chưa đủ. Do đó, bản thân tôi mạnh dạn đưa ra các biện pháp sau đây:
1/ Việc quan trọng nhất trong thành công dạy học theo tôi đó là giáo viên phải soạn bài thật tốt, đọc và nghiên cứu nhiều sách tham khảo, có kĩ năng vẽ hình chính xác, biết đưa ra phương pháp phù hợp với từng dạng bài và hệ thống các bài tập phù hợp.
2/ Phân tích các bài tập “mẫu” cho học sinh qua các giờ phụ đạo do nhà
trường tổ chức hoặc trong các giờ học tự chọn môn toán.
3/ Chia học sinh thành các nhóm nhỏ, mỗi nhóm có nhóm trưởng (học sinh có
học lực khá, có uy tín với các bạn ). Tổ chức nhóm thảo luận các bài tập “mẫu” mà
giáo viên đã giải ra giấy photo từ đó áp dụng giải một số bài tập mà giáo viên đưa ra. Sau đó cho các nhóm lên bảng trình bày bài giải của mình (có thuyết trình). Các thành viên còn lại của lớp có thể đặt câu hỏi pháp vấn nhóm giải bài (nếu câu hỏi hay giáo viên phải kịp thời khen ngợi các em).
4/ Giáo viên phải chuẩn bị một số bài tập tương tự cho các em (bản thân tôi photo các đề bài đã biên soạn ở trên phát cho các nhóm) về nhà thực hiện. Buổi sau thu vở của các em, chấm và chữa từng bài giải của một số em, sửa từng cách trình bày, hình vẽ. Đây là một việc làm không khó, tuy nhiên nó đòi hỏi ở giáo viên sự tận tâm, tận tụy chịu khó trong công việc.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến
Trên đây chỉ là một vài kinh nghiệm nhỏ được rút ra từ thực tế những năm giảng dạy của bản thân tôi. Phần giải các bài toán về quan hệ song song trong không gian cũng rất đa dạng, tuy nhiên với khả năng của mình, tôi chỉ đề cập đến một số dạng đơn giản mà các em thường gặp ở chương trình lớp 11. Tôi cũng chỉ đi sâu vào vấn đề nhỏ đó là hướng dẫn, giúp các em có kỹ năng giải toán trên mảng quan hệ song song trong không gian, bởi vì muốn giải được bài toán về hình không gian ngoài việc nắm vững hệ thống lý thuyết các định nghĩa, định lý, hệ quả các phương pháp chứng minh học sinh còn phải biết cách tư duy hình ảnh, kỹ năng vẽ hình.
Với những việc làm như đã nêu ở trên, bản thân tôi tự nghiên cứu áp dụng.
Bước đầu tôi thấy có một số kết quả sau:
- Trước khi thực hiện phương pháp này, tôi cho học sinh các lớp 11 do tôi
phụ trách làm một bài toán. Tôi ghi lại kết quả theo dõi như sau:
Lớp
Sĩ số
Tỉ lệ trên Trung bình
Đánh giá
Trung bình
Khá giỏi
11A6
30
10/30 = 33,3%
3/30 = 10%
Yếu
11A7
34
8/34 =23,5%
2/34 = 5,8%
Yếu
Sau khi thực hiện tôi thấy kết quả của các em nâng lên rõ rệt:
Lớp
Sĩ số
Tỉ lệ trên Trung bình
Đánh giá
Trung bình
Khá giỏi
11A6
30
18/30 = 60%
5/30 = 16,7%
Khá
11A7
34
16/34 = 47,1%
5/34 = 14,7%
Trung bình
Tuy nhiên, mộ