Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp đưa về xét hàm một biến số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

: Trường THPT chuyên tỉnh Lào Cai
CHỨC VỤ: TỔ TRƯỞNG CHUYÊN MÔN
TỔ : TOÁN TIN HỌC
ĐƠN VỊ: TRƯỜNG THPT CHUYÊN TỈNH LÀO CAI
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI
------------oOo------------
PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ XÉT HÀM MỘT BIẾN SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Lào Cai, tháng 4 năm 2014
Mục lục
Nội dung
Trang
Đặt vấn đề
4
Giải quyết vấn đề
4
Cơ sở lý luận của vấn đề
4
Thực trạng của vấn đề
4
Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
4
Các kiến thức chuẩn bị
6
Phương pháp đưa về xét hàm số một biến số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
8
Phương pháp khảo sát lần lượt từng biến để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
15
Bài tập áp dụng
20
Hiệu quả của SKKN
22
Kết luận
22
Tài liệu tham khảo
23
Danh mục chữ cái viết tắt
Chữ viết tắt
Giải nghĩa
SKKN
Sáng kiến kinh nghiệm
GTLN
Giá trị lớn nhất
GTNN
Giá trị nhỏ nhất
SGK
Sách giáo khoa
VMO
Kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia Việt Nam môn Toán
(Vietnamese Mathematical Olympiad )
BĐT
Bất đẳng thức
ĐH –B2013
Đề thi đại học khối B năm 2013
IMO
Kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán quốc tế
(International Mathematical Olympiad)
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
	Trong ch­¬ng tr×nh båi d­ìng häc sinh n¨ng khiÕu to¸n trung häc phæ th«ng, chuyên đề bất đẳng thức, cực trị lµ mét néi dung kh«ng thÓ thiÕu, c¸c bµi to¸n vÒ bất đẳng thức và tìm cực trị lu«n lu«n chiÕm mét vÞ trÝ quan träng trong cÊu tróc ®Ò thi häc sinh giái tØnh, häc sinh giái Quèc gia và trong các đề thi tuyển sinh đại học bất đẳng thức, cực trị thường là câu dùng để phân loại học sinh.
Chuyên đề bất đẳng thức và cực trị học sinh được học từ rất sớm, hiện nay trên thị trường đã có rất nhiều tài liệu tham khảo cung cấp rất nhiều các phương pháp để chứng minh bất đẳng thức hay tìm cực trị của các biểu thức. Tuy nhiên trong quá trình dạy học tôi nhận thấy xu hướng ra đề thi đại học và học sinh giỏi của nhiều năm gần đây phương pháp hàm số nổi lên như một phương pháp hiệu quả để giải quyết các bài toán về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức. Vì vậy tôi đã lựa chọn đề tài:
“PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ XÉT HÀM MỘT BIẾN SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ”
làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình trong năm học 2013-2014.
2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề
Nghiªn cøu vµ tr×nh bµy chuyªn ®Ò 
“PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ XÉT HÀM MỘT BIẾN SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ”
nh»m cung cấp cho học sinh cách suy nghĩ để giải quyết các bài toán tìm GTLN và GTNN bằng cách đưa về khảo sát đối với hàm số có một biến số. Trong SKKN ta cùng xét các ý tưởng để chuyển hóa các bài toán tìm GTLN, GTNN của các biểu thức có chứa nhiều biến về xét với hàm số một biến số và trong SKKN cũng sẽ cung cấp các nhận xét quan trọng của phương pháp, từ đó giúp học sinh hiểu rõ phương pháp và có một công cụ hiệu quả để giải quyết lớp bài toán này. 
2.2. Thực trạng của vấn đề
Chuyên đề bất đẳng thức, cực trị lµ phÇn kiÕn thøc quan träng trong ch­¬ng tr×nh to¸n THPT. XuÊt hiÖn nhiÒu trong c¸c ®Ò thi chän häc sinh giái toán các cấp và trong kỳ thi tuyển sinh vào đị học, cao đẳng hàng năm. Tuy nhiªn viÖc giải quyết được các bài toán về tìm GTLN và GTNN là không đơn giản. Nã ®ßi hái ng­êi lµm to¸n ngoµi viÖc hiÓu râ kiÕn thøc, cã c¸c kü n¨ng cÇn thiÕt th× cÇn ph¶i cã mét t­ duy s¸ng t¹o, s¾c bÐn. 
2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
Trong phần này SKKN sẽ trình bày các nội dung chính là:
§ 1 Các kiến thức chuẩn bị.
§ 2 Phương pháp đưa về xét hàm số một biến số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
§ 3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng phương pháp khảo sát lần lượt từng biến số.
Trong mỗi nội dung được trình bày đều nêu rõ cơ sở của phương pháp, đưa ra các phân tích, định hướng các lời nhận xét cần thiết. Cuối cùng là đề xuất một số bài tập tương tự để người đọc tự rèn luyện. 
§ 1 Các kiến thức chuẩn bị
I. Khái niệm về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
§Þnh nghÜa 1 : Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn D. 
Sè M ®­îc gäi lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè f(x) trªn D nÕu : 	 	KÝ hiÖu : .
Sè m ®­îc gäi lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè f(x) trªn D nÕu : 	 	KÝ hiÖu : .
II. Phương pháp chuẩn hóa
1. Một số định nghĩa.
Định nghĩa 2: Ta bảo H(x,y,z) là một đa thức đẳng cấp bậc k (k nguyên dương) nếu 
 H(tx, ty, tz) = tk H(x, y, z).
Định nghĩa 3: Ta bảo, f(x, y, z) vµ g(x, y, z) là hai đa thức ®ång bËc m (nguyªn d­¬ng) nÕu 
2) Phương pháp chuẩn hóa
a) Bài toán 1: Cho H(x, y, z) lµ mét ®a thøc ®¼ng cÊp bËc k vµ hàm số F(x, y, z) tháa m·n 
F(x, y, z) = F(x, y, z). Khi ®ã gi¸ trÞ cña F(x, y, z) trªn miÒn {(x, y, z)| H(x, y, z) = a, a > 0} kh«ng thay ®æi khi a thay ®æi.
Chứng minh.
 ThËt vËy, gi¶ sö M(x, y, z): H (x, y, z) = a1
	M’(x’, y’, z’): H(x’, y’, z’) = a2; a1 ¹ a2; a1, a2 > 0
 Ta cã 
®Æt 
Ta cã: 
MÆt kh¸c : 
b) Phương pháp chuẩn hóa
Từ việc chứng minh bài toán trên, ta nhận được kết quả là: ĐÓ t×m gi¸ trÞ cña F(x, y, z) trªn miÒn H(x, y, z) ta chØ cÇn t×m gi¸ trÞ cña F(x, y, z) trªn miÒn H(x, y, z) = a, cè ®Þnh thÝch hîp. Trong đó H(x, y, z) lµ mét ®a thøc ®¼ng cÊp bËc k. Cách làm này ta gọi là phương pháp chuẩn hóa.
3) Mở rộng 
Bài toán 2: Cho bÊt ®¼ng thøc: f(x, y, z) g(x, y, z) (*) 
Víi f, g ®ång bËc vµ H(x, y, z) lµ mét ®a thøc ®¼ng cÊp bËc k. Nếu bất đẳng thức (*) ®óng trªn miÒn H(x, y, z) = a1 th× còng ®óng trªn miÒn H(x,, y,, z,) = a2 víi a1, a2 > 0. 
Chứng minh
T­¬ng tù:
Khi ®ã: 
Nhận xét: Như vậy ®Ó chøng minh (*) ®óng trªn miÒn H(x,y,z) chØ cÇn chøng (*) ®óng trªn miÒn H(x, y, z) = a > 0 cè ®Þnh. ViÖc chän gi¸ trÞ a lµ rÊt quan träng, bởi vì thay cho việc nghiên cứu tính đúng đắn của (*) trên miền H(x,y,z) bất kỳ thì ta đã chuyển về việc nghiên cứu tính đúng đắn của (*) xét trên miền H(x,y,z) = a. 
§ 2 Phương pháp đưa về xét hàm số một biến số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
1. Bài toán mở đầu:
Trước hết ta hãy xét bài toán sau: 
Bài toán 1: (Câu V. Khối D-2009). Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn: x+y=1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: S=(4x2+3y)(4y2+3x)+25xy.
Hướng dẫn giải
Để tận dụng giả thiết x+y=1 ta biến đổi như sau:
S=16x2y2+12(x3+y3)+34xy = 16x2y2+12[(x+y)3-3xy(x+y)+34xy
 = 16x2y2-2xy+12.
Đặt t=xy, khi đó biểu thức:
S=f(xy) = f(t) = 16t2-2t+12.
Tiếp theo ta đánh giá xem với x,y không âm và x+y=1 thì miền giá trị của biến mới t như thế nào?
Dễ thấy: 
Như vậy bài toán bây giờ trở về một bài toán đơn giản:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(t)= 16t2-2t+12 với 
Bằng phương pháp lập bảng biến thiên của hà f(t) trên , hoặc sử dụng qui tắc trang 21 SGK – Giải tích 12, ta dễ dàng nhận được 
Nhận xét 1:
10) Ở bài toán trên ta cũng có thể từ giả thiết x+y=1 rút y=1-x rồi thay vào biểu thức S sẽ đưa S về hàm bậc 4 đối với ẩn x, , sau đó tiến hành tương tự, tuy nhiên cách này khi thực hiện sẽ dài và biểu thức của S không thuận lợi như cách làm trên.
20) Trong cách làm trên ta đã chuyển biểu thức của S về hàm f(xy), rồi sử dụng phép đặt ẩn số phụ. Cần lưu ý tới các giả thiết của bài toán và ở dạng toán này khi đổi biến nhất thiết phải đặt chính xác điều kiện cho biến mới.
2. Áp dụng.
Bài toán 2: Cho x, y là các số thực và thỏa mãn điều kiện x2+y2=2. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: P=2(x3+y3) – 3xy
Hướng dẫn giải:
So sánh với bài toán 1, rõ ràng việc xuất phát từ giả thiết của bài toán để rút biến x theo y rồi thế vào biểu thức P khó thực hiện được, do đó một suy nghĩ tự nhiên là ta sẽ tìm cách biểu diễn biểu thức P theo một ẩn số có chứa cả x và y rồi sử dụng phép đặt ẩn số phụ.
Ta có: 
Mặt khác, ta luôn có đẳng thức hiển nhiên sau:
, vì thế sau khi đặt t=x +y, thì 
Vấn đề còn lại với giả thiết ban đầu thì biến mới t như thế nào?
Lại có: 
Đến đây bài toán trở về bài toán tìm GTLN và GTNN của hàm số 
, với 
(Đây là bài tập quen thuộc trong SGK giải tích 12).
Bài toán 3. (Đại học khối B-2012)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Hướng dẫn giải
*) Đưa P về hàm ẩn x?
Ta có: 
 =
*) Tìm miền giá trị của x?
Do x+y+z=0 và x2+y2+z2=1. Nên ta có:
Suy ra: 
*) Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất của hàm P=f(x)= , với 
Bài toán 4. (Đại học khối B-2011) Cho các số thực a, b, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện :. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn giải
Lưu ý rằng:
*) = f(t)=4t3-9t2-12t+18, với 
*) Tìm miền giá trị cho biến mới t?
Từ giả thiết: 
= 
Giải bất phương trình này, sẽ tìm được điều kiện: 
Bài toán trở thành: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm: f(t)=4t3-9t2-12t+18, với 
Bài toán 5 (VMO-2003- bảng A).
Cho hàm số f xác định trên tập hợp số thực R, lấy giá trị trên R và thoả mãn điều kiện:
f(cotx) = sin2x+cos2x, với x(0;). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 	g(x) = f(x).f(1-x) trên [-1;1] 
Hướng dẫn giải
Ta có: f(cotx) = sin2x+cos2x, với x(0;).
Đặt t=cotx, khi x(0;) thì t thuộc R.
Hàm 
Dẫn đến : g(x) = f(x).f(1-x) = 
Đặt u=x(1-x). Khi x thuôc [-1 ;1] thì u thuộc [-2 ;1/4]
Bài toán trở thành :
Tìm GTLN, GTNN của hàm (đến đây là bài tập SGK).
Bài toán 6 (VMO-2004 bảng B):
Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện . Hãy tìm GTNN và GTLN của biểu thức : 
Hướng dẫn giải
Đặt t=xy+yz+zx, đưa Q về dạng Q= 2(t2-32t+144)
*) Tìm điều kiện của t?
Từ giả thiết, suy ra y+z=4-x và yz=2/x
nên t=x(4-x)+2/x(*)
Sử dụng BĐT hiển nhiên: 
Khảo sát hàm t(x) trên miền x ở trên suy ra điều kiện của t. Khi đó bài toán trở về bài toán SGK.
Bài toán 7. (Đề thi đại học khối B-2010)
Cho các số thực a ,b ,c không âm thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
M = 
Hướng dẫn giải
Nhận xét rằng đây là bài toán tìm GTNN của biểu thức đối xứng giữa ba biến, việc suy nghĩ theo hướng rút thế để giảm dần số biến qui về hàm một biến rất khó thực hiện.
Hơn nữa, ta có: 
Như vậy, qua cách biểu diễn trên ta đã đưa M về dạng chỉ chứa các biểu thức ab, bc, ca.
Làm thế nào để biểu thị M thông qua biểu thức của hàm chỉ chứa một biến số, ta nghĩ đến một đánh giá trung gian, khá tự nhiên là:
, khi đó
Đặt t=ab+bc+ca thế thì: 
Mặt khác: (BĐT hiển nhiên).
Nên đến đây bài toán được đưa về đưa về bài toán SGK. Tìm GTNN của với 
Nhận xét 2: 
30) Trong nhiều trường hợp ta phải sử dụng các đánh giá trung gian để làm trội biểu thức cần tìm GTLN và GTNN, khi sử dụng các đánh giá trung gian này cần phải lưu ý đến việc dấu bằng xảy ra đồng thời của các bất đẳng thức trung gian mà ta sử dụng.
Bài toán 8. (HSG tỉnh phú Thọ 2013-2014).
Cho các số dương thay đổi thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Hướng dẫn giải
Vì nên ta có 
Suy ra Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Tương tự Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Do đó 
Xét hàm số với .
Chứng minh được Vậy 
Bài toán 9: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 9, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: F = 2(x + y + z) – xyz.
Hướng dẫn giải
Do vai trò a, b, c bình đẳng giả sử z2 3.
Ta có F = 2(x + y) + (2 – xy)z
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:
Theo bài ra ta suy ra: F (1)
Đặt xy = t, vì x2 + y2 + z2 = 9 x2 + y2 = 9 – z2 , mà:
 2 x2 + y2 9 – z2 6 nên -3 t 3, từ đó bất đẳng thức (1) trở thành: 
F F 
Xét hàm số f(t) = 2t3 + t2 - 20t + 72 với t [-3, 3], ta chứng minh:
 f(t) = 2t3 + t2 - 20t + 72 100 (2)
 2t3 + t2 – 20t – 28 0
 (t + 2)(2t2 – 3t - 14) 0
 (t + 2)2(2t – 7) 0
Do t[-3, 3] nên bất đẳng thức trên đúng, dấu ‘=’ xảy ra t = - 2.
Suy ra: F 10 (3)
Dấu ‘=” của bđt (1) xảy ra .Xét hệ: 
 (x, y, z) = (2, -1, 2), (-1, 2, 2).
Vậy GTLN của F = 10 đạt được (x, y, z) = (2, -1, 2) và các hoán vị của chúng.
Nhận xét 3 :
40) Trong nhiều trường hợp để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ta có thể kết hợp với phương pháp chuẩn hóa, để chuyển các biểu thức cần tìm GTLN và GTNN về các biểu thức có dạng đơn giản hơn đồng thời tạo ra các điều kiện liên hệ giữa các biến.
Bµi to¸n 10: Cho a, b, c > 0. Tìm GTLN của 
Hướng dẫn giải
 Do F(a , b, c) = F(ta, tb, tc). Ta cã thÓ xem a + b + c = 1.
 Suy ra: 
Gi¶ sö: 
Ta cã: 
Khi ®ã: 
Kh¶o s¸t hµm sè f(a), ta cã: maxđạt được khi a=b=c.
Bài toán 11: Cho a, b, c > 0. Tìm GTNN của
Hướng dẫn giải
Do F(a, b, c) = F(ta, tb, tc). Ta chØ t×m gi¸ trÞ cña Q trªn miÒn 
 a2+b2+c2=3
Khi ®ã:
§Æt . Suy ra:
Suy ra: , khi a = b = c > 0
§ 3 Phương pháp khảo sát lần lượt từng biến để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
1. Nhận xét 4 : Để tìm cực trị của biểu thức cú chứa nhiều biến số có thể dùng phương pháp khảo sát lần lượt từng biến, nghĩa là Tìm GTLN (hoặc GTLN) của hàm số với biến thứ nhất và các biến còn lại coi là tham số. Rồi tìm GTLN(GTNN) của hàm số với biến thứ hai và ứng với giá trị đã xác định của biến số thứ nhất mà các biến số còn lại coi như là tham số.
2. Ví dụ minh họa.
Bài toán 12: 
Xét hàm số : f(x;y) = (1-x)(2-y)(4x-2y) trên miền D = {(x,y)/ 0x1, 0y 2}
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên miền D.
Hướng dẫn giải
Biến đổi hàm số đã cho trở thành: f(x,y) = 2(1-x)(2-y)[(2-y)-2(1-x)]
Đặt v = 1-x và u = 2- y, ta chuyển về tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
F(u,v) = uv(u-2v) = -2uv2+u2v, trên miền : E = {(u,v)| 0u2 , 0v1}. Nghĩa là:
Tìm 
Xét hàm : g(v) = -2uv2+u2v với 0v1 và ta coi u là tham số thoả mãn 0u2. Ta có:
g'(v) = -4uv+u2 = u(u-4v) ta thấy g'(v) = 0 v0= mà 0 v0 [0;1] và qua v0 thì g'(v) đổi dấu từ dương sang âm, suy ra: = min{0;-2u+u2}=u2-2u 
(vì u2-2u = u(u-2)0) 
Vậy: = -1 khi u = 1; v = 1.
Từ đó đạt được khi 
Bài toán 13: Xét các số thực dương a, b,c thoả mãn điều kiện: abc+a+c = b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = (VMO-1999-bảng A)
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết: abc+a+c = b a+c = b(1-ac) > 0 ac < 1 0<a < 
Rút b = (1) thay vào biểu thức P ta thu được: P = 
 P = = 
 = = (2)
Xét hàm số f(a) = với 0 0
Ta có: f'(a) = trên (0;) thì f'(a) = 0 a2+2ac -1 = 0 a = (0;) ( loại a = )
Bảng xét dấu:
 a 	 0 	1/c
 	 f'(a) - 0 + 0 -	 -
 f(a)
Qua a0 = thì f(a) đổi dấu từ dương sang âm nên f(a) đạt cực đại tại a0=
 f(a)f(a0) = f() = 1+ từ đó theo (2) ta có: 
P =2. f(a) + 2(1+)+ = += g(c)
Xét hàm số: g(c) = + với c > 0. Ta có: g'(c) = 
Với c > 0 thì g'(c) = 0 tại c0 = và dễ thấy qua c0 thì g'(c) đổi dấu từ dương sang âm nên g(c0) là giá trị cực đại, suy ra Pg() = . Giá trị P đạt được khi c = 
và a = = b = 
Bài toán 14: Xét các số thực dương x, y, z thoả mãn hệ điều kiện sau : 
 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P(x;y;z) = 
(VMO-2001-bảng B)
Hướng dẫn giải
Ta viết lại : P(x,y,z) = 
Từ điều kiện (1) suy ra: x z và từ (2) suy ra: x xmax {z, } (4) 
Xét hàm số : f(x) = với x > 0 và tham số là z . Xảy ra hai trường hợp sau đây: (Rõ ràng ta nghĩ tới việc xét giá trị mà làm cho z = z =)
Nếu z thì x z theo (4) nên: f(x) = (5)
Nếu z thì x z theo (4) nên: f(x) = = g(z)
Xét hàm số g(z) = với z . Ta có: g'(z) = = < 0 khi z [;]
Từ đó g(z) là hàm giảm và f(x) g(z) g() = 4 (6) 
So sánh (5) và (6) kết luận: f(x) = 4. Dấu "=" xảy ra = 4 z = x = (7) 
b. Xét hàm số h(y) = Từ điều kiện (1) và (3) suy ra y max{z;} (8)
Lập luận hoàn toàn tương tự như câu a) ta được 
Nếu z thì h(y) 2 (9)
Nếu thì h(y) (10) . So sánh (9) và (10) rút ra : đồng thời : = 
 z = y = 
Từ các kết quả a) và b) ta có: P(x;y;z) = 4+2. = 13 
Vậy MaxP(x,y,z) = 13 đạt được khi 
Bài toán 15: Xét các số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện: 21ab+2bc+8ca 12
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P(a,b,c) = 
(VMO- 2001)
Hướng dẫn giải
Đặt x = ; y =; z = , thì đề bài chuyển về bài toán sau:
Xét các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: 2x+8y+21z12xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P(x,y,z) = x+2y+3z
Xuất phát từ giả thiết : 2x+8y+21z12xyz z(12xy-21)2x+8y > 0 (1)
Suy ra : P(x,y,z)x+2y+ (2)
Xét hàm số: f(x) = x+ = với biến là x > và y là tham số y >0
Ta có: f'(x) = trên (;+) thì f'(x) = 0 16x2y2-56xy-32y2+35 = 0 có nghiệm duy nhất là x0 = và qua x0 thì f'(x) đổi dấu từ âm sang dương nên f(x) đạt cực tiểu tại x0 . 
Từ đó f(x) f(x0) = (theo định lý ) = 2x0 -=2() -
 = 
Suy ra: P(x,y,z) f(x)+2y 2y+ = g(y) (3)
Xét hàm số g(y) = 2y+ với y > 0. Sau khi tính g'(y) ta có: g'(y) = 0
 (8y2-9) -28 = 0 
đặt t = (Điều kiện t > 0) thì phương trình trên trở thành : t3 - 50t -112 = 0 
 (t-8)(t2+8t+14) = 0 t = 8 y = . từ đó g'() = 0
Với y > 0 và qua y0 = thì g'(y) đổi dấu từ âm sang dương nên g(y) đạt cực tiểu tại y0 = lúc đó:
g() = . Từ đó và theo (3) suy ra: P(x,y,z) g(y) g() = (Theo tính chất bắc cầu)
Dấu đẳng thức xảy ra 
Vậy : MinP(a,b,c) = .
 Nhận xét 5: Phương pháp khảo sát lần lượt từng biến cho thấy đường lối giải rõ ràng hơn so với cách vận dụng bất đẳng thức, đồng thời có thể dùng để giải một loạt các bài toán tìm cực trị của hàm nhiều biến.
§ 4 BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: 
Bài tập 2: (A-2006). Cho hai số thực thay đổi và thỏa mãn điều kiện: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài tập 3 (ĐH B-2009). Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn:
 (x + y)3 + 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1
Bài tập 4. (ĐH B-2007). Cho x , y , z là ba số thực dương thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
Bài tập 5. (ĐH A2011) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x³ y, x³ z. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu biểu thức 
Bài tập 6. (ĐH A2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài tập 7. (ĐH A2013) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài tập 8. (ĐH B2013) Cho a, b, c là các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
Bài tập 9. (Ireland 2000). Cho . Tìm GTLN của 
Bài tập 10. Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện (x+y+z)3=32xyz. Hãy tìm GTNN và GTLN của biểu thức : (VMO-A-2004).
Bài tập 11. (IMO 1984/1). Cho x, y,z là các số thực không âm sao cho: x+y+z=1. 
CMR: . Dấu ‘=’ xảy ra khi nào ?
Bài tập 12. (VMO-2001-bảng A). XÐt c¸c sè thùc d­¬ng x, y, z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: P(x,y,z) = 
Bài tập 13. 
Cho hµm sè: f(x,y,z) =xy+yz+zx - 2xyz trªn miÒn : D = {(x,y,z):0x,y,z vµ x+y+z = 1 }
T×m vµ 
Bài tập 14. Chøng minh r»ng nÕu x, y, z lµ c¸c sè thùc ®«i mét kh¸c nhau th× : 
Bài tập 15: Cho x, y, z R tho¶ m·n ba ®iÒu kiÖn :
H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: F(x,y,z) = 
---------------------------------------------------------------
2.4. Hiệu quả của SKKN
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy ®­îc áp dụng dạy cho đội tuyển thi chọn HSG cấp tỉnh và cấp Quốc gia trong năm học 2013-2014 đạt hiệu quả tốt, có 4 học sinh đạt giải học sinh giỏi Quốc gia môn Toán học. Sáng kiến kinh nghiệm là chuyên đề tốt được sử dung trong việc bồi dưỡng học sinh năng khiếu. 
3. Kết luận
Bất đẳng thức, cực trị lµ phÇn kiÕn thøc quan träng trong ch­¬ng tr×nh to¸n THPT. XuÊt hiÖn nhiÒu trong c¸c ®Ò thi chän häc sinh giái toán các cấp, trong các đề thi tuyển sinh vào đại học và cao đẳng hằng năm. Tuy nhiªn viÖc giải quyết được các bài toán về bất đẳng thức, cực trị là không đơn giản. Nã ®ßi hái ng­êi lµm to¸n ngoµi viÖc hiÓu râ kiÕn thøc, cã c¸c kü n¨ng cÇn thiÕt th× cÇn ph¶i cã mét t­ duy s¸ng t¹o, s¾c bÐn. 
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy ®­îc áp dụng dạy cho đội tuyển thi chọn HSG cấp tỉnh và cấp Quốc gia có hiệu quả. Sáng kiến cũng có thể được sö dông thµnh chuyªn ®Ò ®Ó gióp häc sinh THPT ph¸t triÓn kü n¨ng, kü x¶o vµ t­ duy trong qu¸ tr×nh gi¶i to¸n. S¸ng kiÕn còng cã thÓ ®­îc sö dông nh­ lµ mét tµi liÖu tham kh¶o cho c¸c b¹n häc sinh yªu thÝch m«n to¸n vµ chuÈn bÞ thi vµo c¸c tr­êng ®¹i häc vµ cao ®¼ng, thi häc sinh giái. S¸ng kiÕn cã thÓ ph¸t triÓn thµnh ®Ò tµi nghiªn cøu, g¾n liÒn víi ch­¬ng tr×nh THPT nh»m gióp cho häc sinh tiÕp thu vµ t­ duy mét c¸ch nhanh nhÊt.
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ®· ®¹t ®­îc môc ®Ých vµ nhiÖm vô nghiªn cøu ®· ®Ò ra. Tuy nhiªn v× thêi gian nghiªn cøu cßn h¹n chÕ, nªn s¸ng kiÕn kh«ng tr¸nh khái thiÕu xãt. RÊt mong nhËn ®­îc nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp quý b¸u cña c¸c thÇy c« gi¸o vµ c¸c em häc sinh khi sö dông tµi liÖu nµy.
	 	 Lµo Cai th¸ng 4 n¨m 2014
	 Gi¸o viªn
	 Đào Văn Lương
Tµi liÖu tham kh¶o
Giới thiệu đề thi đại học cao đẳng từ 2002 đến 2013. tác giả: Trần Tuấn Điệp – Ngô Long Hậu- Nguyễn Phú Tr