Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua một số bài tập phương trình vô tỷ

rình đối xứng 
loại 2. 
Ta có: 2 28 11 1 ( 1) 4 6 5x x x x x      
2 2 2(3 2) ( 3) ( 1) ( 1)(3 2) ( 3)x x x x x x x x            
Đặt 
2 2
2 22
3 2 ( 3) ( 1)
( 1) ( 3)( 1)(3 2) ( 3)
u x u x x x v
v x u x xv x x x x
        
 
           
2 2
2 2
( 1) ( 3)(1)
( 1) ( 3)(2)
u x v x x
v x u x x
     
 
    
 đây là hệ phương trình đối xứng loại 2. 
Trừ vế theo vế phương trình (1) cho phương trình (2), ta có: 
2 2 ( 1)( ) ( )( 1) 0
1 0
u v
u v x u v v u u v x
u v x

               
Với 2
2
2
14 3
4 6 5 3 2 3
5
5 6 1 0
x
u v x x x x
x x

  
        
   
Với 1 0u v x     2
2
3
9 33
4 6 5 4 3 4
12
6 9 2 0
x
x x x x
x x

  
        
   
Lời giải 2. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn 
Đặt 2 2 24 6 5 4 6 5t x x t x x       
Phương trình 2 2 2 28 11 1 ( 1) 4 6 5 ( 1) 12 17 6 0x x x x x t x t x x             (1) 
Ta xem phương trình (1) là phương trình bậc 2 ẩn t tham số x có 2(7 5)t x   
Phương trình (1) có 2 nghiệm 3 2; 4 3t x t x     
Khi đó (1)
2
2
3 2 4 6 5 3 2
( 3 2)( 4 3) 0
4 3 4 6 5 4 3
t x x x x
t x t x
t x x x x
     
                
Đến đây, ta giải tương tự lời giải 1. 
21 
Thông qua các ví dụ điển hình nêu trên, chúng ta thấy, trong quá trình dạy 
học chuyên đề phương trình vô tỷ, người giáo viên không chỉ phát triển năng lực 
giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua việc phát triển tư suy sáng tạo 
giải bài toán phương trình vô tỷ mà còn phải giúp học sinh trả lời câu hỏi “các bài 
tập đó ở đâu mà có?. Ai là người nghĩ ra bài tập đó ? ”. Để tìm hiểu sâu về vấn đề 
này, chúng ta tiếp tục nghiên cứu nội dung tiếp theo. 
2. Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua 
việc sáng tạo bài toán phương trình vô tỷ. 
2.1. Sáng tạo phương trình vô tỷ từ các nghiệm chọn sẵn và nhân biểu thức 
liên hợp 
Việc sáng tạo phương trình vô tỷ dựa trên phương pháp này là ta chỉ cần 
chọn sẵn một nghiệm, sau đó xây dựng các biểu thức thỏa mãn đẳng thức xẩy ra. 
Ví dụ 1. Với 2x  , ta có 22 2, 22 3 4, 8 12x x x      . 
Khi đó: 24 2 22 3 8x x x     
Ta có bài toán: 
Giải phương trình: 24 2 22 3 8x x x     
Ví dụ 2. Với 1x  , ta có 2 3 22 5 2, 4 5 3, 2 5 4 8x x x x x x         . 
Khi đó: 2 3 22 5 2 4 5 2 5 4x x x x x x        
Ta có bài toán: 
Giải phương trình: 2 3 22 5 2 4 5 2 5 4x x x x x x        
Ví dụ 3. Với 6x  , ta có: 3 2(4 5) 3 2 72,2 3 3 2 284x x x x x       . 
Khi đó: 3 22 3 2 4(4 5) 3 2 0x x x x      
Ta có bài toán: 
Giải phương trình: 3 22 3 2 4(4 5) 3 2 0x x x x      
Với 2x  , ta có: 2( 1) 2 6;( 6) 7 24; 7 12 30x x x x x x         . 
Khi đó: 2( 1) 2 ( 6) 7 7 12x x x x x x        
Ta có bài toán: 
Giải phương trình: 2( 1) 2 ( 6) 7 7 12x x x x x x        
Với 1x  , ta có: 2( 1) 4 5 6;( 5) 3 12;3 14 13 30x x x x x x         . 
 Khi đó: 2( 1) 4 5 2( 5) 3 3 14 13x x x x x x        
Ta có bài toán: 
Giải phương trình: 2( 1) 4 5 2( 5) 3 3 14 13x x x x x x        
Xét 3 hàm số ( ) ( 1)( 3) 3, ( ) 4 , ( ) 1f x x x x g x x h x x        
22 
Ta có: (0) 3, (3) 3f f  ; 
(0) (0) 3
(3) (3) 3
g h
g h
 

 
Do đó 0, 3x x  là nghiệm của phương trình ( 1)( 3) 3 4 1x x x x x       
Ta có bài toán: 
Giải phương trình: ( 1)( 3) 3 4 1x x x x x       
Xét 3 hàm số 2 2( ) ; ( ) 2 3, ( ) 21 17f x x x g x x x h x x       
Ta có: (1) 0, (2) 2f f 
(1) (1) 0
;
(2) (2) 2
g h
g h
 

  
Do đó 1, 2x x  là nghiệm của phương trình: 
2 2( ) ( ) ( ) 0 2 3 21 17 0f x g x h x x x x x x           
Ta có bài toán: 
Giải phương trình: 2 22 3 21 17 0x x x x x       
Xét 3 hàm số 3 2 2( ) 2 6 1,g( ) ( 1) 3 1, ( ) 2 1f x x x x x x x h x x x          
Ta có: 
(0) (0) 1
(0) 1, (1) 2;
(1) (1) 2
g h
f f
g h
  
   
 
Do đó 0, 1x x  là nghiệm phương trình: 
3 2 2( ) ( ) ( ) 0 2 6 1 ( 1) 3 1 2 1 0f x g x h x x x x x x x x              
Ta có bài toán: 
Giải phương trình: 3 2 22 6 1 ( 1) 3 1 2 1 0x x x x x x x          
Xét 3 hàm số 23( ) 3 5, ( ) 2 19 30, ( ) 2 7 11f x x g x x h x x x       
Ta có: 
(2) (2) 5
; (2) 5, (3) 8
(3) (3) 8
f g
h h
f g
 
 
 
Do đó 2, 3x x  là nghiệm của phương trình: 
23( ) ( ) ( ) 3 5 2 19 30 2 7 11f x g x h x x x x x         
Ta có bài toán: 
Giải phương trình: 233 5 2 19 30 2 7 11x x x x      
Xét 3 hàm số 2 2( ) 3 2 1, ( ) 5 4 , ( ) 4f x x g x x x h x x     
Ta có 
(1) g(1) 4
1
; (1) 4, 11 1
1 2
2 2
f
h h
f g
 
  
       
      
   
Do đó 
1
1,
2
x x  là nghiệm của phương trình: 
23 
2 2( ) ( ) ( ) 3 2 1 5 4 4f x g x h x x x x x       
Ta có bài toán: 
Giải phương trình: 2 23 2 1 5 4 4x x x x    
2.2. Sáng tạo phương trình vô tỷ từ phương trình lượng giác: 
Ví dụ 1.Với  0;t  
Xuất phát từ phương trình cos3 cos
2
t t
 
  
 
 có nghiệm 
5 3
, ,
8 8 4
t t t
  
    0; 
Ta có cos3 cos
2
t t
 
   
 
3 2cos3 sin 4cos 3cos 1 cost t t t t     
Đặt cosx t , ta có bài toán sau 
Giải phương trình: 3 24 3 1x x x   
Ví dụ 2. Với  0;t  
Xuất phát từ phương trình cos 2 cos
4 2 2
t
t
    
     
   
 có nghiệm 
7
,
2 10
t t
 
   0; 
Ta có cos 2 cos cos 2 sin 2 2 sin
4 2 2 2
t t
t t t
    
         
   
2 2 22cos 2 sin 2sin cos 1 2cos 1 cos 2cos 1 cos 1
2
t
t t t t t t t          
Đặt cosx t , ta có bài toán sau: 
Giải phương trình: 2 22 1 2 1 1x x x x     
Ví dụ 3. Với  0;t  , ta có: 21 cos sint t  
Xuất phát từ phương trình sin5 sin
2
t t
 
  
 
 có nghiệm  
5 5 3
; ; ; ; 0;
12 8 12 8 4
t
    

 
  
  
Ta có: 
sin 5 sin
2
t t
 
   
 
5 3sin5 cos 16sin 20sin 5sin cost t t t t t    
4 2sin (sin 20sin 5) cost t t t   4 2 2(16cos 12cos 1) 1 cos cost(*)t t t    
Đặt cosx t , ta có bài toán sau: 
Giải phương trình: 4 2 2(16 12 1) 1x x x x    
Ví dụ 4. Với ;
2 2
t
  
  
 
Xuất phát từ phương trình: 2 sin cos 2 0
4
t t
 
  
 
 có nghiệm 
4
t

  ;
2 2
  
  
 
24 
Ta có: 
2 2 32 sin cos 2 0 (sin cos )(1 2sin ) 0 2sin (4sin 1)cos 4sin cost
4
t t t t t t t t t
 
           
 
 2 2 3 22sin (4sin 1) 1 sin 4sin 1 sint t t t t       (*) 
Đặt sinx t thay vào (*), ta có bài toán: 
Giải phương trình: 2 2 3 22 (4 1) 1 4 1x x x x x      
Ví dụ 5. Với ; \ 0;
2 2 4
t
     
    
   
, ta có: 
21 tan 1
cos
t
t
  ; 
2
2 2
2 tan 1 tan
sin 2 ;cos 2
tan 1 1 tan
t t
t t
t t

 
 
; 
2
2 2
4 tan (1 tan )
sin 4 2sin 2 cos 2
(tan 1)
t t
t t t
t

 

Xuất phát từ phương trình: 
1 1 2
cos sin 2 sin 4t t t
 
có nghiệm 
6
t

 ;
2 2
  
 
 
Ta có: 
2
2
1 1 2 1 2
tan 1
sincos sin 2 sin 4 2sin 2 cos 2
2 .cos
cos
t
tt t t t t
t
t
     
2 2 2
2
2
tan 1 (tan 1)
tan 1
2 tan 2 tan (1 tan )
t t
t
t t t
 
   

 (*) 
Đặt tanx t với ; \ 0;
2 2 4
t
     
    
   
thay vào (*), ta có bài toán: 
Giải phương trình: 
2 2 2
2
2
1 ( 1)
1
2 2 (1 )
x x
x
x x x
 
  

Ví dụ 6. Với (0; )t  , ta có: 21 cot 2sin 2 sin 2 sin
2 2 2
t t t
t    
21 cot 2cos 2 cos 2 cos
2 2 2
t t t
t    
1 cos 1 cos
tan ; cot
1 cos 2 1 cos 2
t t t t
t t
 
 
 
Xuất phát từ phương trình: 
2
2 sin cos
2 2 sin
t t
t
 
  
 
 có nghiệm (0; )
2
t

  
Ta có: 
2
2 sin cos
2 2 sin
t t
t
 
  
 
1 cos 1 cos
2 sin 2 cot tan cot 1 cot 1 cot
2 2 2 2 1 cos 1 cos
t t t t t t
t t
t t
 
         
 
 (*) 
Đặt 
1
cot , (0; )
2
x t t   thay vào (*), ta có bài toán: 
25 
Giải phương trình: 
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
x x
x x
x x
 
    
 
Ví dụ 7. Với 0;
2
t
 
 
 
 , ta có: 2cos 1 sint t  
2 21 1 1sin 4sin 2(1 cos ) 2 2 1 sin
2 2 2 2 2
t t
t t      
 Xuất phát từ phương trình: 3sin 1 2cos 0
2 2
t t 
  
 
 có nghiệm 0t  0;
2
 
 
 
và 3sin 4 1t   
Ta có: 3 3 2sin 1 2cos 0 sin 2sin cos 0 sin sin cos
2 2 2 2 2 2 2
t t t t t t t
t
 
       
 
2 2 22 2 1 sin sin (1 cos ) 2 2 1 sin sin (1 1 sin )t t t t t t           (*) 
Đặt sin , 0;
2
x t t
 
  
 
 thay vào (*), ta có bài toán: 
Giải phương trình: 2 22 2 1 (1 1 )x x x     
Ví dụ 8. Với ;
2 2
t
  
  
 
, ta có: 2
2 2
1 1 1
1 tan cos
cos cos 1 tan
t t
t t t
    

Xuất phát từ phương trình: 25sin 2sin 3 0t t   có nghiệm 
3 3
sin tan
5 4
t t     
Ta có: 2 2
1 5cos
5sin 2sin 3 0 2 5cos 2sin 0 tan 0
cos 2
t
t t t t t
t
           
2
2
5
1 tan tan
2 1 tan
t t
t
   

 (*) 
Đặt tan ,x t với ;
2 2
t
  
  
 
 thay vào (*), ta có bài toán: 
Giải phương trình: 2
2
5
1
2 1
x x
x
  

Ví dụ 9. Với ; \ 0; ;
2 2 3 6
t
      
     
   
 , ta có: 
2
2
1 1
1 tan cos
cos 1 tan
t t
t t
   

 và 2
2
2 tan
sin 2 2sin cos 2 tan .cos
1 tan
t
t t t t t
t
  

Xuất phát từ phương trình: sin sin 6
2
t t
 
  
 
 có nghiệm 
5 3 3 5
; ; ; ; ; ; ;
14 14 10 14 18 14 14 14
t
        
     
 
26 
Ta có: 
3
3
2 2 32
1 6 tan 32 tan
sin sin 6 cos 3sin 2 4sin 2
2 1 tan (1 tan )1 tan
t t
t t t t t
t tt
 
        
   
(*) 
Đặt tanx t , với ; \ 0; ;
2 2 3 6
t
      
     
   
thay vào (*), ta có bài toán: 
Giải phương trình: 
3
2 2 32
1 6 32
1 (1 )1
x x
x xx
 
 
 (1) 
Thực hiện phép biến đổi (1)
2 3
2
5 3
(1 )
1
6 20 6
x
x
x x x

  
 
Ta có bài toán: 
Giải phương trình: 
2 3
2
5 3
(1 )
1
6 20 6
x
x
x x x

 
 
Ví dụ 10. Với (0; ) \
2
t


 
  
 
, ta có: 2
2
1
1 tan tan
cos
t t
t
   
Xuất phát từ phương trình: 2(1 cot )(1 cot ) 4t t   có nghiệm 
3
, (0; )
4 4
t t
 
   
Ta có: 
2
2
2 2 2
1 4 1 1 sin
(1 cot )(1 cot ) 4 1 1 4
tan 1 cot cos tan cos
t
t t
t t t t t
 
            
 22 2
2
1 1 4
1 1 cos
cos cos1
1
cos
t
t t
t
 
 
    
 
 
 
 (*) 
Đặt 
1
cos
x
x
 , Với (0; ) \
2
t


 
  
 
 thay vào (*), ta có bài toán: 
Giải phương trình: 2 2
2
1
1 4( 1)
1
x x
x
 
   
 
2.3. Sáng tạo phương trình vô tỷ từ các đẳng thức 
Ví dụ 1. Xuất phát từ đẳng thức: 3 3 3 3( ) 3( )( )( )a b c a b c a b b c a c         
Nếu 3 3 3 3( )a b c a b c     thì 
3 3 3 3( ) 3( )( )( )a b c a b c a b b c a c         
0
( )( )( ) 0 0
0
a b
a b b c c a b c
c a
 
      

  
Do đó, bằng cách chọn , ,a b c sao cho 3 3 3 3( )a b c a b c     thì ta thu được phương 
trình vô tỷ. 
Chẳng hạn: 
27 
Chọn 3 32 23 7 1, 8, 8 1a x b x x c x x         3 3 3 8a b c    
Khi đó: 3 3 3 3( )a b c a b c      3 32 2 33( 7 1 8 8 1) 8x x x x x        
3 32 23 7 1 8 8 1 2x x x x x         
Ta có bài toán: 
Giải phương trình: 3 32 23 7 1 8 8 1 2x x x x x        
Chọn 3 3 32 2 27 8, 6 7, 2 13 12a x x b x x c x x          3 3 3 27a b c    
Khi đó: 3 3 3 3( )a b c a b c      3 3 32 2 2 3( 7 8 6 7 2 13 12) 27x x x x x x          

3 3 32 2 27 8 6 7 2 13 12 3x x x x x x         
Ta có bài toán: 
Giải phương trình: 3 3 32 2 27 8 6 7 2 13 12 3x x x x x x         
Chọn 3 3 33 1, 5 , 2 9a x b x c x       3 3 3 4 3a b c x    
Khi đó: 
3 3 3 3( )a b c a b c      33 3 3( 3 1 5 2 9) 4 3x x x x       

33 3 3 3 3 3 3( 3 1 5 2 9) 4 3 3 1 5 2 9 4 3x x x x x x x x               
Ta có bài toán: 
Giải phương trình: 3 3 3 33 1 5 2 9 4 3x x x x       
Chọn 3 3 32 2 24 3, 4 9 3, 2 3 2a x x b x x c x x          3 3 3 23 2 2a b c x x     
Khi đó: 
3 3 3 3( )a b c a b c      3 3 32 2 2 3 2( 4 3 4 9 3 2 3 2 ) 3 2 2x x x x x x x x           

3 3 3 32 2 2 24 3 4 9 3 2 3 2 3 2 2x x x x x x x x           
3 3 3 32 2 2 24 3 4 9 3 2 3 2 3 2 2x x x x x x x x            
Ta có bài toán: 
Giải phương trình: 3 3 3 32 2 2 24 3 4 9 3 2 3 2 3 2 2x x x x x x x x           
Chọn 3 3 32 2 22 4 3, 3, 2 3 5a x x b x x c x x           3 3 3 2 6 5a b c x x     
Khi đó: 
3 3 3 3( )a b c a b c      3 3 32 2 2 3 2( 2 4 3 3 2 3 5) 6 5x x x x x x x x            

3 3 3 32 2 2 22 4 3 3 2 3 5 6 5x x x x x x x x            
3 3 3 32 2 2 22 4 3 3 2 3 5 6 5x x x x x x x x            
Ta có bài toán: 
28 
Giải phương trình: 3 3 3 32 2 2 22 4 3 3 2 3 5 6 5x x x x x x x x            
Ví dụ 2. Xuất phát từ đẳng thức: 3 3 2( ) ( )( )a b ab a b a b a b      
Nếu 3 3 2( ) 0(1) ( )( )
a b
a b ab a b a b a b
a b
 
         
Bằng cách chọn ,a b thay vào (1), ta thu được phương trình vô tỷ. 
Chẳng hạn: 
Chọn 3 31, 2a x b x       33 3 2 3 3( ) 1 3 2 1 2a b ab a b x x x x           
Khi đó  33 3 2 3 3( ) 0 3 2 1 2 1a b ab a b x x x x          
Ta có bài toán sau: 
Giải phương trình:  3 2 3 33 2 1 2 1x x x x      
Chọn 3 32 22 5 2, 2 5 2a x x b x x       
 3 3 33 3 4 2 2 2( ) 10 4 4 25 20 4 2 5 2 2 5 2a b ab a b x x x x x x x x                 
 3 3 33 3 4 2 2 2( ) 0 10 4 4 25 20 4 2 5 2 2 5 2 0a b ab a b x x x x x x x x                  
 3 3 34 2 2 210 4 4 25 20 4 2 5 2 2 5 2x x x x x x x x             
Ta có bài toán: 
Giải phương trình: 
 3 3 34 2 2 210 4 4 25 20 4 2 5 2 2 5 2x x x x x x x x            
Chọn 3 23 5 2, 2 2a x b x x     
 3 33 3 2 3 2 23( ) 2 6 10 8 4 5 2 2 2a b ab a b x x x x x x x x              
 3 33 3 2 3 2 23( ) 0 2 6 10 8 4 5 2 2 2 0a b ab a b x x x x x x x x                
Ta có bài toán: 
Giải phương trình:  3 32 3 2 232 6 10 8 4 5 2 2 2 0x x x x x x x x          
Ví dụ 3. Xuất phát từ đẳng thức: 2 2 2 22 2 2 ( )a b c ab bc ca a b c        
Nếu 2 2 2 22 2 0(1) ( ) 0 0a b c ab bc ca a b c a b c              
Bằng cách chọn ,a b thay vào (1), ta thu được phương trình vô tỷ. 
Chẳng hạn: 
Chọn 3; 3 1; 5a x b x c x      
29 
2 2 2 2 2 2a b c ab bc ca      
23 3 1 ( 5) 2 ( 3)(3 1) 2( 5) 3 1 2( 5) 1x x x x x x x x x               
= 2 26 29 2 3 10 3 (10 2 )( 3 3 1)x x x x x x x          
2 2 2 2 2 0a b c ab bc ca      
2 26 29 2 3 10 3 (10 2 )( 3 3 1) 0x x x x x x x            
2 26 29 2 3 10 3 (10 2 )( 3 3 1)x x x x x x x           
Ta có bài toán: 
Giải phương trình: 2 26 29 2 3 10 3 (10 2 )( 3 3 1)x x x x x x x          
Chọn 22 3 4; 3 5 9; 6 13a x b x c x x        
2 2 2 2 2 2a b c ab bc ca      
= 4 3 2 2 212 62 213 266 12 15 47 36 2( 6 13)(3 5 9 2 3 4)x x x x x x x x x x             
2 2 2 2 2 2 0a b c ab bc ca      
4 3 2 2 212 62 213 266 12 15 47 36 2( 6 13)(3 5 9 2 3 4) 0x x x x x x x x x x               
4 3 2 2 212 62 213 266 12 15 47 36 2( 6 13)(3 5 9 2 3 4)x x x x x x x x x x              
Ta có bài toán: 
Giải phương trình: 
4 3 2 2 212 62 213 266 12 15 47 36 2( 6 13)(3 5 9 2 3 4)x x x x x x x x x x             
Ví dụ 4. Xuất phát từ đẳng thức: 1 ( 1)( 1)( 1)a b c abc ab bc ca a b c           
Nếu 
1
1 0 ( 1)( 1)( 1) 0(1) 1
1
a
a b c abc ab bc ca a b c b
c

              

 
Bằng cách chọn , ,a b c thay vào 1 0a b c abc ab bc ca        , ta thu được phương 
trình vô tỷ. 
Chẳng hạn: 
Chọn 
2
2
1
; 1;
1
x x
a b x c
x x

   

, với 1x  . 
1a b c abc ab bc ca        
2 2
2 2
1 1 1
1 1 1
1 1 1
x x x x
x
x x xx x
 
        
  
2 2
2 2
1 1 1
1
1 1 1
x x x x
x
x x xx x
 
      
  
30 
1 0a b c abc ab bc ca       
2 2
2 2
1 1 1
1
1 1 1
x x x x
x
x x xx x
 
      
  
2 2
2 2
1 1 1
1
1 1 1
x x x x
x
x x xx x
 
      
  
Ta có bài toán: 
Giải phương trình: 
2 2
2 2
1 1 1
1
1 1 1
x x x x
x
x x xx x
 
     
  
Chọn 2
1
2 ; 1;
1
a x x b x c
x
    

, với 1x  
1a b c abc ab bc ca        
2
2 2 212 1 2 ( 2 )( 1) 1 1
11
x x
x x x x x x x x
xx

            

2
2 212 2 1 ( 2 )( 1) 2
11
x x
x x x x x x
xx

         

Khi đó: 1 0a b c abc ab bc ca        
2
2 212 2 1 ( 2 )( 1) 2 0
11
x x
x x x x x x
xx

          

2
2 3 212 2 1 2 2
11
x x
x x x x x x
xx

         

Ta có bài toán: 
Giải phương trình: 
2
2 3 212 2 1 2 2
11
x x
x x x x x x
xx

         

Ví dụ 5. Xuất phát từ đẳng thức: 2 2
2
3 2 7 (*) ( 2 )(3 ) 0
3
a b
a b ab a b a b
b a

        
Bằng cách chọn ,a b bởi các biểu thức phù hợp thay vào (*), ta thu được phương 
trình vô tỷ. 
Chẳng hạn: 
Chọn 2 22 2, 2 2a x x b x x      , thay vào (*), ta có: 2 45 2 10 7 4x x x    
Ta có bài toán: 
Giải phương trình sau: 2 45 2 10 7 4x x x    
Chọn 2 3 5; 2a x x b x     thay vào (*), ta có: 
2 2 2 3 23( 3 5) 2( 2) 7 ( 3 5)( 2) 3 7 11 7 5 11 10x x x x x x x x x x x               
31 
Ta có bài toán: 
Giải phương trình: 2 3 23 7 11 7 5 11 10x x x x x      
Chọn 2 24; 2a x x b x     thay vào (*), ta có: 
2 2 2 2 2 4 3 23( 4) 2( 2) 7 ( 4)( 2) 5 3 8 7 2 2 8x x x x x x x x x x x x                
Ta có bài toán: 
Giải phương trình: 2 4 3 25 3 8 7 2 2 8x x x x x x       
Ví dụ 6. Xuất phát từ đẳng thức: 2 24 3 0(*) ( )( 3 ) 0
3
a b
a ab b a b a b
a b

         
Bằng cách chọn ,a b bởi các biểu thức phù hợp thay vào (*), ta thu được phương 
trình vô tỷ. 
Chẳng hạn: 
Chọn 2 2 ; 2a x x b x    thay vào (*), ta có: 
2 2 22 4 2 . 2 3( 2) 0 5 6 4( 2) 0x x x x x x x x x x             , với 0x  
Ta có bài toán: 
Giải phương trình: 2 5 6 4( 2) 0x x x x     
Chọn 2 22 , 4 3a x x b x x     thay vào (*), ta có: 
2 2 2 22 4 ( 2 )( 4 3) 3( 4 3) 0x x x x x x x x         
24 14 9 4 ( 2)( 1)( 3)x x x x x x       
2 2 2 2 29 29 11 4( 3 ) 4 ( 3 )( 3 2) 3 2x x x x x x x x x x            
 
2
2 2 2 2 2 29 29 11 2 3 3 2 9 29 11 2 3 3 2x x x x x x x x x x x x               
Ta có bài toán: 
Giải phương tình: 2 2 29 29 11 2 3 3 2x x x x x x       
Ví dụ 7. Xuất phát từ đẳng thức: 
2 2
2 2 2 2
2 0
2 0 2 0
2 3 6 (*)
( )( 5 ) 04 4 3 6
5
a b
a b a b
a b a b a b
a b a ba ab b a b
a b
 
     
        
          
Bằng cách chọn ,a b bởi các biểu thức phù hợp thay vào (*), ta thu được phương 
trình vô tỷ. 
Chẳng hạn: 
Chọn 2 3 21; 3a x x b x x x       thay vào (*), ta có: 
32 
2 3 2 2 3 22 1 3 3( 1) 6( 3)x x x x x x x x x x             
2 3 2 3 22 1 3 6 9 9 15x x x x x x x x           
Ta có bài toán: 
Giải phương trình: 2 3 2 3 22 1 3 6 9 9 15x x x x x x x x          
Chọn 22 3; 3 4a x b x x     thay vào (*), ta có: