Sáng kiến kinh nghiệm Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-Ét trong giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0

 chế. 
 Học sinh tiếp thu kiến thức thụ động; các em nắm được kiến thức, lí 
thuyết nhưng chưa biết cách vận dụng vào giải toán. 
 Các em không tự tin khi giải dạng toán nên không mạnh dạn phát biểu, 
đưa ra ý kiến của bản thân trước tập thể. 
 Trình bày lời giải không khoa học, lập luận thiếu chặt chẽ, căn cứ và ngộ 
nhận. 
II. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
1. Phƣơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) (1) 
Các dạng và cách giải 
Dạng 1: c = 0 khi đó    
2
x 0
1 a x b x 0 x a x + b 0 b
x
a

     
  

Dạng 2: b = 0 khi đó  
2 2 c
1 ax c 0 x
a
      
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến 
phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” 
4 
 -Nếu 
c
0
a
  thì 
c
x
a
   . 
 -Nếu 
c
0
a
  thì phương trình vô nghiệm. 
Dạng 3: Tổng quát 
CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN 
2
b 4 a c   2' b ' a c   
0  : phương trình có 2 nghiệm phân 
biệt 
1 2
b b
x ; x
2 a 2 a
     
  
' 0  : phương trình có 2 nghiệm 
phân biệt 
1 2
b ' ' b ' '
x ; x
a a
     
  
0  : phương trình có nghiệm kép 
1 2
b
x x
2 a

  
' 0  : phương trình có nghiệm kép 
1 2
b '
x x
a

  
0  : phương trình vô nghiệm ' 0  : phương trình vô nghiệm 
2. Hệ thức VI-ÉT và ứng dụng 
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì: 
1 2
1 2
b
S x x
a
c
P x x
a

   


  

- Nếu có hai số u và v sao cho 
u v S
u v P
 


  
2
S 4 P thì u, v là hai nghiệm của 
phương trình x2 – Sx + P = 0. 
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = 1; x2 = 
c
a
- Nếu a – b+c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 =-1; x2 =
c
a
 
IV. PHÂN DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT. 
DẠNG 1: NHẨM, TÍNH NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Phương pháp giải: 
 Áp dụng hệ thức VI-ÉT: 
1 2 1 2
b c
x x ; x .x
a a
    
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến 
phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” 
5 
 Nhẩm: 
1 2 1 2
b c
x x m n ; x .x m .n
a a
       thì phương trình có 
nghiệm 
1 2
x m ; x n  
 Nếu a + b + c = 0 thì phương 
 trình có nghiệm là x1 = 1; x2 = 
c
a
 Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 =-1; x2 =
c
a
 
Ví dụ 1: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau: 
 1) 22 5 3 0x x   (1) 2) 23 8 1 1 0x x   (2) 
HD: Ta thấy : 
 Phương trình (1) có dạng a  b + c = 0 nên có nghiệm 
1
1x   và 
2
3
2
x

 
 Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm 
1
1x  và 
2
1 1
3
x

 
Ví dụ 2: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau: 
1) 2 7 1 2 0x x   2) 2 7 1 2 0x x   
HD: 
1) Ta có 3 + 4 = 7 và 3.4 = 12 nên phương trình có nghiệm 1 3x  ; 2 4x  
2) Ta có (-3) + (-4) = -7 và (-3).(-4) = 12 nên phương trình có nghiệm 
1
3x   ; 2 4x   
Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau: 
 1. 23 5 3 7 2 0x x   2. 27 5 0 0 5 0 7 0x x   
3. 
2
4 9 5 0 0x x   4. 24 3 2 1 2 1 4 3 0 0 0x x   
DẠNG 2: CHO PHƢƠNG TRÌNH CÓ HỆ SỐ CHƢA BIẾT, CHO 
TRƢỚC MỘT NGHIỆM, TÌM NGHIỆM CÕN LẠI VÀ CHỈ RA HỆ SỐ 
CỦA PHƢƠNG TRÌNH. 
Phương pháp giải: 
 Thay nghiệm đã biết vào phương trình, giải phương trình tìm hệ số 
chưa biết. 
 Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm còn lại. 
Vídụ: 
a) Phương trình 2 2 5 0x p x   . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai. 
b) Cho phương trình : 2 7 0x x q   , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai 
nghiệm của phương trình. 
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến 
phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” 
6 
HD: 
a) Thay 
1
2x  v à phương trình ban đầu ta được : 
1
4 4 5 0
4
p p     
 Từ 
1 2
5x x  suy ra 
2
1
5 5
2
x
x
  
b) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử 1 2 1 1x x  và theo VI-
ÉT ta có 
1 2
7x x  , ta giải hệ sau: 1 2 1
1 2 2
1 1 9
7 2
x x x
x x x
   
 
    
 Suy ra 
1 2
1 8q x x   
Bài tập áp dụng: 
a) Phương trình 2 5 0x x q   có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai. 
b) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : 2 5 0 0x q x   , biết phương trình có 
 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. 
DẠNG 3: LẬP PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Phương pháp: 
 Tính tổng hai nghiệm: 1 2S x x  và tích hai nghiệm 1 2P x x 
 Phương trình có hai nghiệm x1, x2 là 
2
0X S X P   
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm 1 2;x x 
Ví dụ : Cho 
1
3x  ; 
2
2x  lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên 
HD: Theo hệ thức VI-ÉT tacó
1 2
1 2
5
6
S x x
P x x
  

 
 vậy 
1 2
;x x là nghiệm của phương 
trình có dạng: 
2 2
0 5 6 0x S x P x x       
Bài tập áp dụng: 
 1. x1 = 8 và x2 = -3 
 2. x1 = 3a và x2 = a 
 3. x1 = 36 và x2 = -104 
 4. x1 = 1 2 và x2 = 1 2 
2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai 
nghiệm của một phương trình cho trước: 
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến 
phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” 
7 
Ví dụ: Cho phương trình : 2 3 2 0x x   có 2 nghiệm phân biệt 
1 2
;x x . Không giải 
phương trình trình, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : 
1 2
1
1
y x
x
  
và 
2 1
2
1
y x
x
  
HD: Theo hệ thức VI- ÉT ta có: 
1 2
1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 3 9
( ) ( ) 3
2 2
x x
S y y x x x x x x
x x x x x x
  
                
 
1 2 2 1 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 9
( )( ) 1 1 2 1 1
2 2
P y y x x x x
x x x x
             
Vậy phương trình cần lập có dạng: 2 0y S y P   
 hay 2 2
9 9
0 2 9 9 0
2 2
y y y y       
Bài tập áp dụng: 
1) Cho phương trình 23 5 6 0x x   có 2 nghiệm phân biệt 
1 2
;x x . Không giải 
phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm 
1 1
2
1
y x
x
  và 
2 2
1
1
y x
x
  
 (Đáp số: 2
5 1
0
6 2
y y   hay 26 5 3 0y y   ) 
2) Cho phương trình : 2 5 1 0x x   có 2 nghiệm 1 2;x x . Hãy lập phương trình bậc 
2 có ẩn y thỏa mãn 4
1 1
y x và 4
2 2
y x (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các 
nghiệm của phương trình đó cho). 
 (Đáp số : 2 7 2 7 1 0y y   ) 
3/ Cho phương trình bậc hai: 2 22 0x x m   có các nghiệm 1 2;x x . Hãy lập 
phương trình bậc hai có các nghiệm 
1 2
;y y sao cho : 
 a) 
1 1
3y x  và 
2 2
3y x  b) 
1 1
2 1y x  và 
2 2
2 1y x  
(Đáp số a) 2 24 3 0y y m    b) 2 22 ( 4 3) 0y y m    ) 
DẠNG 4: TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÖNG 
Phương pháp: 
 Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của 
phương trình 2 0x S x P   (điều kiện để có hai số đó là S2  4P  0 ) 
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b =  3 và tích P = ab =  4 
Ví a + b =  3 và ab =  4 nên a, b là nghiệm của phương trình : 2 3 4 0x x   
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến 
phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” 
8 
giải phương trình trình ta được 1 1x  và 2 4x   
Vậy nếu a = 1 thì b =  4 
 nếu a =  4 thì b = 1 
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P 
 1. S = 3 và P = 2 
 2. S =  3 và P = 6 
 3. S = 9 và P = 20 
 4. S = 2x và P = x
2
  y
2 
Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết 
 1. a + b = 9 và a
2
 + b
2
 = 41 
 2. a  b = 5 và ab = 36 
 3. a
2
 + b
2
 = 61 v à ab = 30 
DẠNG 5: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM 
Phương pháp: 
 Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu 
thức nghiệm đó cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P 
để áp dụng hệ thức VI-ÉT rồi tính giá trị của biểu thức 
1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : (
1 2
x x ) và 
1 2
x x 
Ví dụ 1 a) 2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
( 2 ) 2 ( ) 2x x x x x x x x x x x x        
 b)        
23 3 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
3x x x x x x x x x x x x x x         
 
 c)  
2 2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 2 ( ) 2 2x x x x x x x x x x x x x x          
 
 d) 1 2
1 2 1 2
1 1 x x
x x x x

  
Ví dụ 2 
1 2
?x x  
Ta biết      
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4 4x x x x x x x x x x x x          
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau: 
 1) 2 2
1 2
x x (    1 2 1 2x x x x   =.) 
 2) 3 3
1 2
x x ( =        
22 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
x x x x x x x x x x x x       
 
 =. ) 
 3) 4 4
1 2
x x ( =    
2 2 2 2
1 2 1 2
x x x x  = ) 
 4) 6 6
1 2
x x ( =    
2 3 2 3 2 2 4 2 2 4
1 2 1 2 1 1 2 2
( ) ( )x x x x x x x x     = ..) 
Bài tập áp dụng 
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến 
phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” 
9 
 5) 6 6
1 2
x x 6) 5 5
1 2
x x 7) 7 7
1 2
x x 8) 
1 2
1 1
1 1x x

 
2. Không giải phương trình, tính giỏ trị của biểu thức nghiệm 
Ví dụ: Cho phương trình : 2 8 15 0x x   . Không giải phương trình, hãy tính 
 1) 2 2
1 2
x x 2) 
1 2
1 1
x x
 
 3) 1 2
2 1
x x
x x
 4)  
2
1 2
x x 
HD: 1) 34 2) 
8
1 5
 3) 
3 4
1 5
 4) 46 
Bài tập áp dụng 
a) Cho phương trình : 28 72 64 0x x   Không giải phương trình, hãy tính: 
 1) 
1 2
1 1
x x
 2) 2 2
1 2
x x 
b) Cho phương trình : 22 3 1 0x x   Không giải phương trình, hãy tính: 
 1) 
1 2
1 1
x x
 2) 1 2
1 2
1 1x x
x x
 
 
 3) 2 2
1 2
x x 4) 1 2
2 1
1 1
x x
x x

 
c) Cho phương trình 2 4 3 8 0x x   có 2 nghiệm x1 ; x2 , Không giải phương 
trình, tính 
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
6 1 0 6
Q
5 5
x x x x
x x x x
 


DẠNG 6: ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Phương pháp: Phương trình ax2 + bx + c = 0 
Loại 1: Phương trình vô nghiệm
0
0
0
0
a b
c
a
  



 
 
  
Loại 2: Phương trình nhận mọi x làm nghiệm 0a b c    
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến 
phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” 
10 
Loại 3: Phương trình có nghiệm 
0
0
0
0
0
a b c
a
b
a


  
 
 
 



  
Loại 4: Phương trình có nghiệm duy nhất 
0
0
0
0
a
b
a
 



 
 
  
Loại 5: Phương trình có nghiệm kép 
0
0
a 
 
 
Loại 6: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 
0
0
a 
 
 
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 
2
2 ( 1) 2 0m x m x    
HD: Phương trình có nghiệm duy nhất 
0
0
0
0
a
b
a
 



 
 
  
 TH1: 
0 0 0
0
0 2 ( 1) 0 1
a m m
m
b m m
    
     
     
 TH2: 
 
2 2
0 00
' 0 ( 1) . 2 0 1 0
m ma
m m m
   
   
        
 (hpt vô nghiệm với 
2
1 0m   Với mọi m) 
 Vậy pt có nghiệm duy nhất 0m  
 Với m = 0 thì 2 2 0 1x x      
Ví dụ 2 : Cho phương trình : mx2 + 6(m - 2)x + 4m - 7 = 0 
 Tìm các giá trị của m để phương trình : 
 a) Có nghiệm kép . 
 b) Có 2 nghiệm phân biệt. 
 c) Vô nghiệm . 
HD: a) 





0'
0m








5
9
4
m
m
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến 
phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” 
11 
 b)





0'
0m








0,
5
9
4
mm
m
 c) + m = 0 : Có nghiệm. 
 + m 0 : 4
5
9
0'  m 
DẠNG 7: TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƢƠNG 
TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY 
ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ. 
Phương pháp: 
 Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau: 
 Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 
(thường là a  0 và   0) 
 Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số 
 Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra 
hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2. 
Ví dụ 1: Cho phương trình :   21 2 4 0m x m x m     có 2 nghiệm 1 2;x x . Lập hệ 
thức liên hệ giữa 
1 2
;x x sao cho chúng không phụ thuộc vào m. 
HD: Để phương trình trình có 2 nghiệm x1 và x2 thì : 
2
1
11 0 1
4
' 0 5 4 0( 1)( 4 ) 0
5
m
mm m
m mm m m

    
     
         

Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
2 (1)
1 1
4 3
. . 1 ( 2 )
1 1
m
x x x x
m m
m
x x x x
m m
 
    
   
 

   
   
Rút m từ (1) ta có: 
1 2
1 2
2 2
2 1
1 2
x x m
m x x
     
  
 (3) 
Rút m từ (2) ta có: 
1 2
1 2
3 3
1 1
1 1
x x m
m x x
    
 
 (4) 
Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có: 
      1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 3
2 1 3 2 3 2 8 0
2 1
x x x x x x x x
x x x x
          
  
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến 
phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” 
12 
Ví dụ 2: Gọi 
1 2
;x x là nghiệm của phương trình :   21 2 4 0m x m x m     . Chứng 
minh rằng biểu thức  1 2 1 23 2 8A x x x x    không phụ thuộc giá trị của m. 
HD: Để phương trình trình có 2 nghiệm x1 và x2 thì : 
2
1
11 0 1
4
' 0 5 4 0( 1)( 4 ) 0
5
m
mm m
m mm m m

    
     
         

Theo hệ thức VI-ÉT ta có : 
1 2
1 2
2
1
4
.
1
m
x x
m
m
x x
m

 
 


 
 
 thay vào A ta có: 
  1 2 1 2
2 4 6 2 8 8 ( 1) 0
3 2 8 3 . 2 . 8 0
1 1 1 1
m m m m m
A x x x x
m m m m
    
         
   
 Vậy A = 0 Với mọi 1m  và 
4
5
m  . Do đó biểu thức A không phụ thuộc 
vào m 
Nhận xét: 
 - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm 
 - Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích 
nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không 
phụ thuộc vào tham số. 
Bài tập áp dụng: 
1) Cho phương trình :    2 2 2 1 0x m x m     có 2 nghiệm 1 2;x x . Hãy lập hệ 
thức liên hệ giữa 
1 2
;x x sao cho 
1 2
;x x độc lập đối với m. 
2) Cho phương trình :    2 4 1 2 4 0x m x m     . 
Tìm hệ thức liên hệ giữa 
1
x và 
2
x sao cho chúng không phụ thuộc vào m. 
DẠNG 8: TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƢƠNG TRÌNH THOẢ MÃN 
BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO 
Phương pháp: 
Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau: 
 Tìm điều kiện cho tham số để phương trình đó cho có hai nghiệm x1 và x2 
0
0
a 

 
 hoặc 
0
' 0
a 

 
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến 
phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” 
13 
 Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình 
(có ẩn là tham số). 
 Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm. 
Ví dụ 1: Cho phương trình :    2 6 1 9 3 0m x m x m     
 Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm
1
x và 
2
x thoả mãn hệ thức : 
1 2 1 2
.x x x x  
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 là : 
   
 
2 2 2
0 0
' 9 2 1 9 2 7 0' 3 2 1 9 ( 3) 0
0 0
' 9 1 0 1
m m
m m mm m m
m m
m m
   
 
                
 
  
      
Theo hệ th ức VI-ÉT ta có: 
1 2
1 2
6 ( 1)
9 ( 3 )
m
x x
m
m
x x
m

 



 

và từ giả thiết: 
1 2 1 2
x x x x  . 
 Suy ra: 
6 ( 1) 9 ( 3)
6 ( 1) 9 ( 3) 6 6 9 2 7 3 2 1 7
m m
m m m m m m
m m
 
             
 (thoả mãn điều kiện xác định ) 
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm 
1
x và 
2
x thoả mãn hệ thức : 
1 2 1 2
.x x x x  
Ví dụ 2: Cho phương trình :  2 22 1 2 0x m x m     . 
 Tìm m để 2 nghiệm 
1
x và 
2
x thoả mãn hệ thức :  1 2 1 23 5 7 0x x x x    
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm 
1 2
&x x là : 
2 2
' ( 2 1) 4 ( 2 ) 0m m      
 2 24 4 1 4 8 0m m m      
7
4 7 0
4
m m     
Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 
1 2
2
1 2
2 1
2
x x m
x x m
  

 
 và từ giả thiết  1 2 1 23 5 7 0x x x x    . 
Suy ra 
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến 
phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” 
14 
2
2
2
3( 2 ) 5 ( 2 1) 7 0
3 6 1 0 5 7 0
2 ( )
3 1 0 8 0 4
( )
3
m m
m m
m T M
m m
m K T M
    
     

    
 

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm 
1
x và 
2
x thoả mãn hệ thức : 
 1 2 1 23 5 7 0x x x x    
Bài tập áp dụng 
 1. Cho phương trình :  2 2 4 7 0m x m x m     
 Tìm m để 2 nghiệm 
1
x và 
2
x thoả mãn hệ thức : 
1 2
2 0x x  
 2. Cho phương trình :  2 1 5 6 0x m x m     
 Tìm m để 2 nghiệm 
1
x và 
2
x thoả mãn hệ thức: 
1 2
4 3 1x x  
 3. Cho phương trình :    23 3 2 3 1 0x m x m     . 
 Tìm m để 2 nghiệm 
1
x và 
2
x thoả mãn hệ thức : 
1 2
3 5 6x x  
Nhận xét: 
Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở 
Ví dụ 1 và Ví dụ 2 ở chỗ 
+ Trong Ví dụ thì biểu thức nghiệm đó chứa sẵn tổng nghiệm 
1 2
x x và tích 
nghiệm 
1 2
x x nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m. 
+ Cũng trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như 
vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về 
biểu thức có chứa tổng nghiệm 
1 2
x x và tích nghiệm 
1 2
x x rồi từ đó vận dụng 
tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và Ví dụ 2. 
DẠNG 9: XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẬC 
HAI 
 Cho phương trình: 2 0a x b x c   (a  0) .Hãy tìm điều kiện để phương 
trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm . 
Ta lập bảng xét dấu sau: 
Dấu 
nghiệm 
x1 x2 
1 2
S x x 
1 2
P x x  Điều kiện chung 
trái dấu  
P < 0 
  0 
  0 ; P < 0. 
(hoặc ac <0) 
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến 
phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” 
15 
cùng dấu   P > 0   0   0 ; P > 0 
cùng 
dương 
+ + S > 0 P > 0   0   0 ; P > 0 ; S > 0 
cựng âm   S 0   0 
  0 ; P > 0 ; S < 
0. 
Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình: 
  2 22 3 1 6 0x m x m m      có 2 nghiệm trái dấu. 
HD: Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì 
2 2
2
2
(3 1) 4 .2 .( 6 ) 0
0 ( 7 ) 0
2 36
0 ( 3)( 2 ) 00
2
m m m
m m
mm m
P P m mP
       
        
        
      

Vậy với 2 3m   thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu. 
Bài tập tham khảo: 
 1.    
2
2 2 3 2 0m x m x m     có 2 nghiệm cùng dấu. 
 2.  23 2 2 1 0m x m x m    
có 2 nghiệm âm. 
 3.   21 2 0m x x m    
có ít nhất một nghiệm không thỏa mãn. 
DẠNG 10: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA 
BIỂU THỨC NGHIỆM 
Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: Trong mọi trường hợp nếu ta luôn 
phân tích được: 
A m
C
k B

 

 (trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số)
 (*) 
Thì ta thấy : C m (với 0A  ) m in 0C m A    
 C k (với 0B  ) m ax 0C k B    
Ví dụ 1: Cho phương trình :  2 2 1 0x m x m    
 Gọi 
1
x và 
2
x là các nghiệm của phương trình. Tìm m để : 
 2 2
1 2 1 2
6A x x x x   có giá trị nhỏ nhất. 
HD: Theo VI-ÉT: 1 2
1 2
( 2 1)x x m
x x m
   

 
Theo đề bài :  
22 2
1 2 1 2 1 2 1 2
6 8A x x x x x x x x      
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến 
phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” 
16 
 
2
2
2
2 1 8
4 1 2 1
( 2 3) 8 8
m m
m m
m
  
  
    
Suy ra: m in 8 2 3 0A m     h a y
3
2
m  
Ví dụ 2: Cho phương trình : 2 1 0x m x m    
 Gọi 
1
x và 
2
x là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá 
trị lớn nhất của biểu thức sau: 
 
1 2