Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp tính khoảng cách trong hình học không gian

y tôi xin được trao đổi với quý đồng nghiệp một số bài toán và phương pháp giải cho những bài toán về: ‘‘ Phương pháp tính khoảng cách trong hình học không gian”. 
PHẦN NỘI DUNG 
I. LÝ THUYẾT: 
Một số khái niệm về khoảng cách trong không gian.
1.1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng:
 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P))
 d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
1.2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: 
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P).
Ta có: d(a,(P)) = OH
1.3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: 
Là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Ta có d((P),(Q)) = OH
1.4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 
Đường vuông góc chung : Đường thẳng D cắt 2 đường thẳng chéo nhau a, b và vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng a và b. 
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: 
Nếu đường vuông góc chung D cắt 2 đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt tại M và N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b.
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại. 
Ta có: 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
Ta có: 
N
M
b
a
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
2.1.Kỹ thuật 1:Để xác định khoảng cách từ điểm A đến mp ta làm như sau
Tìm mp chứa A và ;
Tìm ;
Dựng ;Suy ra ;
Khi đó .
2.2.Kỹ thuật 2: 
Cho mặt phẳng và một điểm A không nằm trong mặt phẳng đó, M là điểm bất kì nằm trên mp. Xét các điểm E nằm trên đường thẳng đi qua AM sao cho . 
Khi đó: (*)
a
E
P
H
M
A
2.3.Kỹ thuật 3: Ứng dụng thể tích để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
 - Khi tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng mà ta có thể đưa về bài toán tìm chiều cao của một hình chóp hoặc của một hình lăng trụ nào đó, trong đó chiều cao này thường là không tính được trực tiếp bằng cách sử dụng các phương pháp thông thường. Tuy nhiên các khối đa diện này lại dễ dàng tính được thể tích và diện tích đáy. Khi đó, chiều cao của khối chóp đó sẽ được tính bởi công thức đối với khối chóp hoặc đối với khối lăng trụ.
- Giả sử ta đưa được về bài toán tìm chiều cao kẻ từ một đỉnh S của một hình chóp hoặc của một hình lăng trụ nào đó. Ta sẽ đi tìm thể tích của khối chóp hoặc của một khối lăng trụ theo một cách khác mà không dựa vào đỉnh S này. Tính diện tích đáy đối diện với đỉnh S, từ đó ta có chiều cao kẻ từ đỉnh S cần tìm.
2.4.Kỹ thuật 4: Sử dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau chính là độ dài đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Vì thế nếu xác định được đường vuông góc chung ấy thì việc tính độ dài ấy coi như được giải quyết. Tuy nhiên, việc xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau không phải là một việc dễ làm. Hơn thế nữa trong rất nhiều bài toán người ta chỉ đòi hỏi tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau mà không yêu cầu xác định cụ thể đường vuông góc chung của chúng. Vì vậy, trong thực tế người ta thường chuyển bài toán xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về các bài toán dễ giải hơn.
3.1. Kĩ thuật 1 : Xác định đoạn vuông góc chung
a) Khi 
+ Dựng tại H
+ Trong (P) dựng tại K.
Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a và b
b) Khi a và b không vuông góc ( Sử dụng mp song song):
+ Dựng .
+ Dựng , bằng cách lấy 
+ Dựng đoạn tại N, lúc đó a’ là 
đường thẳng đi qua N và song song a .
Gọi , dựng 
Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a và b
c,	Khi a và b không vuông góc(Sử dụng mặt phẳng vuông góc).
· Dựng mặt phẳng (P) ^ a tại O. (chứa hình chiếu của b)
· Dựng hình chiếu b¢ của b trên (P).
· Dựng OH ^ b¢ tại H.
· Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b tại B.
· Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a tại A.
	Þ AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
	Chú ý: d(a,b) = AB = OH.
3.2. Kỹ thuật 2: Nếu như a // (P) và b chứa trong mp(P) thì khoảng cách giữa a , b bằng khoảng cách giữa a và mp(P).
3.3. Kỹ thuật 3: Nếu như a chứa trong mp(P), b chứa trong mp(Q) mà (P) // (Q) thì khoảng cách giữa a và b bằng khoảng cách giữa (P) và (Q)
 Lưu ý rằng nếu a // (P) thì khoảng cách giữa a và (P) bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của a đến (P). Tương tự khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
3.4 Kỹ thuật 4: Sử dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
II. BÀI TẬP:
1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
K
H
x
y
z
A
B
C
D
 Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB = 3, AC=AD=4. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)
Lời giải
Cách 1: Dùng tọa độ
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A º O.
D ÎOx; C Î Oy và B Î Oz
Þ A(0;0;0); B(3;0;0); C(0;4;0); D(0;0;4)
Þ Phương trình mặt phẳng (BCD) là:
Û 4x + 3y + 3z - 12 = 0.
Suy ra khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD).
Cách 2: Tính trực tiếp
Từ A hạ AH (BCD), H là trực tâm của tam giác BCD
Dễ thấy BC AK. Ta có: 
Vậy: 
Cách 3: Dùng thể tích
Thể tích tứ diện ABCD: V= 
Dễ thấy: BC=BD=5; CD=. Suy ra diện tích của tam giác BCD là S=3 
Suy ra khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD).
Bài tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC).
Giải:
Cách 1: Tính trực tiếp
S
B
C
D
A
I
O
x
y
z
S.ABCD là hình chóp đều nên SO ^ (ABCD). 
Qua O kẻ OI vuông góc với BC 
Dễ thấy (SOI) ^ (SAB). Kẻ OH ^ SI Þ OH ^ (SBC) 
H
Þ d(O;(SBC)) = OH
Ta có: AC = BD = a, OI = . 
Xét DSAO ta có: SO = SA - AO = 
Xét DSOI: = + = Þ OH = 
Vậy: d(O; (SBC)) = . 
Cách 2: Dùng thể tích
Thể tích của khối chóp SOBC là V=
Diện tích của tam giác SBC là S=. Vậy: d(O; (SBC)) = .
Cách 3: Dùng phương pháp tọa độ
Lập hệ tọa độ như hình vẽ
C(; 0; 0); B(0; ; 0); S(0; 0; )
Phương trình của mp(SBC): x+y+z - = 0
Vậy: d(O; (SBC)) = .
Bình luận: 
1. Nếu thay giả thiết bài toán thành tính khoảng cách từ điểm O đến (SBC) ta sẽ làm như thế nào:
- Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC) rồi sử dụng bổ đề (*) để suy ra d(C;(SAB))
 Ta có: = = 2 Þ d(C;(SBC)) = 2
2. Nếu thay giả thiết bài toán thành tính khoảng cách từ điểm trung điểm K của SA đến (SBC) ta sẽ làm như thế nào:
- Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC) rồi sử dụng bổ đề (*) để suy ra d(K;(SBC))
Ta có OK // SC Þ OK // (SBC) Þ d(K;(SBC)) = d(O;(SBC)) = 
Nhận xét: Qua bài tập trên ta có thể rút ra cách tính khoảng cách từ 1 điểm bất kì đến mặt bên của khối chóp như sau:
- Tính khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy đến mp đó rồi sử dụng bổ đề (*) để suy ra khoảng cách cần tính.
Bài tập 3( ĐH khối D - 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=3a, BC=4a; mp(SBC) vuông góc với mp(ABC). Biết SB=2a, =30. Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a.
Giải:
Cách 1: Tính trực tiếp
z
x
y
K
I
B
C
H
A
S
Kẻ SH ^ BC Þ SH ^ (ABC). Xét DSHB ta có: 
SH = SB.sin30 = a; 
BH = SB.cos30 = 3a 
Qua H kẻ HI ^ AC tại I 
Þ (SHI) ^ (SAC). Kẻ HK ^ SI tại K 
Þ HK ^ (SAC)
Þ d(H;(SAC)) = HK
 Ta có DCHI ∽DCAB(g-g) 
Þ HI = = 	
 = + = Þ HK = 
Þ d(H;(SAC)) = 
Mà = = 4 Þ d(B;(SAC)) = 
Cách 2: Dùng thể tích
Kẻ SH ^ BC Þ SH ^ (ABC). Xét DSHB ta có: 
SH = SB.sin30 = a; BH = SB.cos30 = 3a 
Qua H kẻ HI ^ AC tại I Þ AC ^ SI (Định lí 3 đường vuông góc)
Ta có DCHI∽DCAB(g-g) Þ HI = = . Suy ra SI = 
Thể tích của khối chóp S.ABC là: V=
Diện tích của tam giác SAC là 
Vậy: d(B;(SAC))= 
Cách 3: Dùng phương pháp tọa độ
Kẻ SH ^ BC Þ SH ^ (ABC). Lập hệ tọa độ như hình vẽ
Ta có: B(-3a;0;0), C(a;0;0), A(-3a;3a;0), S(0;0;a)
Tính được d(B;(SAC))= 
Bài tập 4(ĐH_D_2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, = 90, BA=CB=a, AD=2a. Cạnh SA vuông góc với mặt đáy, SA=a. Gọi H là hình chiếu của A lên SB. Tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SCD) theo a.
S
Giải:
E
H
Gọi I là trung điểm của AD ta có CI = AD 
I
A
D
Þ DACD vuông tại C hay AC ^ CD 
Þ (SAC) ^ (SCD). 
Kẻ AE vuông góc SC tại E
Þ AE ^ (SCD) Þ d(A;(SCD)) = AE
B
C
Ta có: AC = AB + BC = 2a 
K
 = + = Þ AE = a Þ d(A;(SCD)) = a	
Nối AB cắt CD tại K Þ B là trung điểm của AK 
Þ = = Þ d(B;(SCD)) = 
 = = = = Þ d(H;(SCD)) = d(B;(SCD)) = 
Bài tập 5: ( ĐH khối A -2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
Giải: 
Gọi H là trung điểm BC, ta có tam giác SBC đều cạnh a
 nên , vì nên . 
Ta có :
; 
Cách 1: Ta có: 
Cách 2: Ta có: 
 Vẽ HK ^ SI thì HK ^ (SAB), ta có 
Vậy d(C, SAB)= 2HK = 
Bài tập 6: (ĐH khối B – 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tính của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
Giải: Cách 1:
Vậy 
Do AB//CD nên d(A,(SCD)) = d(AB,(SCD)) = d(H,(SCD)). Khi đó: Gọi I là trung điểm của CD và K là hình chiếu của H lên SI, ta có:
Xét tam giác vuông SHI, ta có:
Vậy d(A, SCD) =
Lưu ý: Có thể tính khoảng cách bằng cách sau:
- Dựng 
Cách 2: (Dùng phương pháp toạ độ)
-Gọi 
Ta có: 
Bài tập 7 (ĐH khối D – 2013): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, , M là trung điểm cạnh BC và . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC).
Giải: * Tính VS.ABCD
Do đều AC = a và 
 đều, cạnh = a 
 vuông cận tại A vì có 
VS.ABCD =
* Tính d (D, (SBC))
Do AD //BC AD // (SBC) d (D, (SBC)) = d (A, (SBC)).
Gọi H là trung điểm của SM.
Ta có: (1),
Mặt khác: (2)
Từ (1) và (2) 
d (A, (SBC)) = AH
 vuông cân tại A
d (D, (SBC)) = d (A, (SBC)) ==.
(Có thể dùng phương pháp tọa độ, tuy nhiên bài toán trở nên phức tạp).
Bài tập 8: Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng . Tính thể tích khối hình chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC).
Giải: Gọi H là trung điểm của BC.
Do S.ABC đều và ABC đều nên chân đường cao đỉnh S trùng với giao điểm ba đường cao là trực tâm O của ABC và có SBC cân tại S.
suy ra: nên .
Ta có: 
 vuông góc: 
 và 
Thể tích hình chóp S.ABC: 
S
A
O
B
H
C
j
Diện tích SBC: 
Gọi h là khoảng cách từ A đến (SBC), ta có: 
Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A, AB=a. Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên (ABC) thỏa mãn IA = -2 , góc giữa SC và mp(ABC) bằng 60. Tính khoảng cách từ trung điểm E của SB đến mp(SAH).
Giải:
BC = AB + AC = 4a Þ BC = 2a Þ BI = a
Kẻ BK vuông góc với AH tại K Þ BK ^ (SAH)
 Þ d(B;(SAH)) = BK
S
Mà = + = 
Þ d(B;(SAH)) = BK = 
H
 = = 	
I
B
C
Þ d(E;(SAH)) = 
K
A
Bài tập 10 (ĐH_B_2011). Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chử nhật. AB=a, AD=a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa mp(ADD’A’) và (ABCD) bằng 60. Tính khoảng cách từ điểm B’ đến mp(A’BD). 
Giải:
B’
C’
A’
D’
B
C
H
O
D
A
Gọi O là giao điểm của AC và BD Þ A’O ^ (ABCD)
Gọi E là trung điểm của AD Þ OE ^ AD, A’E ^ AD 
Þ A’EO là góc giữa mp(ADD’A’) và mp(ABCD) Þ A’EO = 60 	
Þ A’O = OE.tanA’EO = .tan60 = 
Ta có B’C ∥(A’BD) 
Þ d(B’;(A’BD)) = d(C;(A’BD)) 
Kẻ CH ^ BD tại H Þ CH ^ (A’BD) Þ d(C;(A’BD)) = CH
Mà = + = Þ CH = 
Vậy d(B’;(A’BD)) = 
Bình luận: Qua bài tập ta có thể rút ra cách tính khoảng cách từ điểm I nào đó đến mp(a) chứa đường cao của khối chóp như sau:
Bước 1: Xác định giao tuyến d của mp(a) và mặt đáy
Bước 2: Chọn 1 điểm M nằm trên mặt đáy thuận lợi nhất, rồi tính khoảng cách từ điểm M đến mp(a), bằng cách kẻ MH ^ d tại M Þ MH ^ (a) Þ d(M;(a)) = MH
Bước 3: Sử dụng bổ đề (*) để suy ra 
Bài tập 11: Cho hình lập phương ABCD . A'B'C'D' cạnh a. M, N lần lượt là trung điểm của AB và C'D'. Tính khoảng cách từ B' đến (A'MCN).
Giải: Bốn tam giác vuông:
 bằng nhau (c.g.c)
 là hình thoi.
Hai hình chóp B’.A’MCN và B’.A’NC có chung 
đường cao vẽ từ đỉnh B/ và 
nên: 
D/
A/
B/
C/
D
A
B
C
M
N
Mà: 
Ta có: với 
Gọi H là hình chiếu của B/ trên (A/MCN), ta có: 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thoi cạnh a có . Gọi O là giao điểm của AC và BD , biết SO (ABCD) và SO = .
a. Xác định và tính khoảng cách giữa SB, AD. 
b. Tính góc giữa (SBC) và (SAD).
Giải :
a. Qua O dựng đường thẳng d AD và cắt AD, BC lần lượt tại I,J.
	+ Dựng IH SJ ()
 Ÿ 
 Ÿ AD // BC 
	Vậy IH = d(AD,SB)
Dễ thấy OI = OJ =. Dựng F là hình chiếu của O trên SJ, suy ra được: OF = 
 Suy ra : IH = 2.OF = 
b. Qua S dựng đường thẳng d // AD // BC, d = 
Ta có được:	Ÿ IJ = 2.OI = 
	Ÿ 
 đều 
 Vậy góc giữa (SAD) và (SBC) là 
Nhận xét : Ở bài toán này, để tính độ dài khoảng cách giữa hai đoạn AD và SB 
ta còn có thể làm như sau :
+ đều cạnh a 
 SO Suy ra : VS.ABD = (1)
+ Mặt khác : VS.ABD = 
Trong đó: Ÿ SB = 
	Ÿ SC = 
	Ÿ AD // BC 
	 Suy ra: VS.ABD = (2)
	+ Từ (1) và (2) ta suy ra được : d(AD,SB) = 
Cách 2: Chọn hệ tọa độ Oxyz như sau: Tâm OO, BOx, COy; SOz
và giải bằng phương pháp tọa độ
Bài 13 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa hình lục giác đều cạnh 
a, đường cao SA = a. Dựng đường vuông góc chung của BD, SC ; xác định 
chân đường vuông góc trên các cạnh SC và BD. Tính độ dài đoạn vuông góc 
chung đó.
Giải :Cách 1
Qua C kẻ đường thẳng song song với BD và cắt AB và AD lần lượt tại K và E.
Kẻ BHSK . Từ H kẻ đường thẳng song song với BD cắt SC tại J, từ 
J kẻ đường thẳng song song với BH và cắt BD tại I.
+ Do ABCD là nửa hình lục giác đều cạnh a nên BDAB
+ 
+
Vậy IJ là đường vuông góc chung của SC và BD.
Dễ thấy : 
Lại có tứ giác SABH nội tiếp. Do đó KH.KS = KB.KA
. Vậy 
Suy ra : (do HJ // KC). Điểm J được xác định trên CS
Ta lại có: 
Vì BI = HJ nên . Điểm I được xác định trên BD 
+Ta có:
( BH // IJ , HJ // BI HJIB là hình bình hành )
Cách 2: Chọn hệ tọa độ Oxyz như sau: AO, BOx, DOy; SOz và giải bằng phương pháp tọa độ
Bài tập 14 (Đề thi đai học khối A năm 2011) 
Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a.
Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Giải: 
Từ (SAB) ( ABC) và (SAC) (ABC)
nên SA ( ABC) mà ABBC
Suy ra : SBBC
hay là góc tạo bởi mặt phẳng (SBC) và (ABC)
Mặt khác: MN là dường trung bình của 
nên 
Vậy 
= 
8 Qua N, vẽ a // AB.Suy ra : d(AB; SN) = d(AB; (SND))
Hạ AD ( . Vì (SAC) và ( SAB) (ABC)
nên . Mà hay a 
* Hạ AH SD 
Vậy AH là khoảng cách giữa A và (SND) hay AH là khoảng cách giữa AB và SN.
Xét 
tgSBA.AB = 
AH = 
Bài 15: ( Đề thi đại học khối A năm 2010 câu IV)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với (ABCD) và . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Giải: a) Ta có : 
 nên 
+ Áp dụng định lí Pitago. Ta có :
.
Vậy 
8 Từ chứng minh trên.
Ta có : , mà MD. Vậy 
Hạ HK mà nên HK 
hay HK là khoảng cách giữa hai đường thẳng MD và SC.
+ Mặt khác : 
Áp dụng hệ thức lượng. Ta có : = 
Bài tập 16(ĐH_A_2012). Cho hình chóp S.ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là H nằm trên AB sao cho AH=2HB. Góc giữa SC và (ABC) bằng 60. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
Giải:
C
B
H
I
K
S
A
Ta có là góc giữa SC và mp(ABC) Þ = 60.
Xét DACH ta có: CH = AH + AC - 2AH.AC.cos60 = Þ CH = 
 Þ SH = CH.tan60 = 
Qua A kẻ đường thẳng D song song với BC, gọi (a) là mp chứa SA và D
 Þ BC ∥ (a) Þ d(SA,BC) = d(B,(a)) = d(H,(a))
Kẻ HI ^ D tại I Þ (SHI) ^ (a), kẻ HK ^ SI tại K Þ HK ^ (a) Þ d(H,(a)) = HK
Ta có HI = AH.sin60 = Þ = + = Þ HK = 
 Þ d(H,(a)) = Þ d(B,(a)) = 
Vậy: d(SA,BC) = 
Bài tập 17: Cho tứ diện OABC có đáy là OBC vuông tại O, OB = a, OC = và đường cao . Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM.
Giải: Gọi N là điểm đối xứng của C qua O. Ta có: OM // BN(tính chất đường trung bình)
Þ OM // (ABN)Þ d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN)).
Dựng 
Ta có: 
Từ các tam giác vuông OAK; ONB có:
Vậy, 
A
C
N
O
M
B
K
H
Bài tập 18: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng , SA vuông góc với (ABC) và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SE và AF.
Giải: Gọi M là trung điểm của BF Þ EM // AF
SAE vuông tại A có: 	
C
S
F
M
B
E
K
H
A
Áp dụng định lý đường trung tuyến SM trong SBF có: 
Gọi a là góc nhọn tạo bởi SE và AF. Áp dụng định lý hàm Côsin vào SEM có:
Dựng Ta có: và 
Vì 
SAK vuông có: 
Vậy, .
Bài tập 19. Cho hình chóp có đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng và Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và bằng Tính theo thể tích của khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BD.
Giải
Kẻ (định lí 3 đường vuông góc)
Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và là góc giữa và . Do nhọn nên ; 
Trong tam giác vuông 
Tam giác vuông cân tại nên 
Ta có 
Do đó (đvtt)
Gọi 
Ta có tại . 
Kẻ là đoạn vuông góc chung của SA và BD.
Dùng hai tam giác đồng dạng và suy ra . Vậy 
Bài tập 20. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' các các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, C'B'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và B'C'.
Giải
Cách 1: 
Vì các các mặt bên của lăng trụ đều là hình vuông nên 
A’
C’
B’
A
B
C
D
x
a
z
y
	Þ các tam giác ABC, A’B’C’ là các tam giác đều.
Chọn hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0;0;0), 
Ta có: 
, với 
Phương trình mặt phẳng (A’BC) qua A’ với vectơ pháp tuyến : 
 Vậy, 
Cách 2:
A’
B’
C’
C
B
A
F
D
H
Vì các các mặt bên của lăng trụ đều là hình vuông nên 
	Þ các tam giác ABC, A’B’C’ là các tam giác đều.
Ta có: .
	.
Ta có: 
Dựng 
Vì 
DA’FD vuông có: 
Vậy, 
Bài tập 21 (ĐH-D-2008). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên A’A=a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và AM theo a.
Giải:
 Ta có: AM = AB + BM = Þ AM = 
Qua C kẻ đường thẳng D song song với AM, gọi (a) là mặt phẳng chứa B’C và D
 Þ AM∥(a) Þ d(AM,B’C) = d(M,(a)) = d(B,(a))	
Kẻ BI ^ D tại I Þ (B’BI) ^ (a), kẻ BK ^ B’I tại K Þ BK ^ (a) Þ d(B,(a)) = BK
K
I
C
B
A
C’
B’
A’
Ta có: sin = sin = = 
 Þ BI = BC.sin = 	
 Þ = + = Þ HK = 	
M
Þ d(B,(a)) = Þ d(M,(a)) = 
Vậy: d(B’C,AM) = .
Bài tập 21: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A'B'C') thuộc đường thẳng B'C'.
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy 
 b) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA' và B'C' vuông góc. Tính khoảng cách giữa chúng ?
Giải:
a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (A'B'C') thì H là trung điểm của B'C'.
Do (ABC)//(A'B'C'), mà AH(A'B'C') do đó AH chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng. 
Vì AA' tạo với đáy một góc bằng 300 nên tam giác AHA' có .
A
B
C
A'
B'
C'
H
K
b) Kẻ KH vuông góc với AA’ thì HK là đoạn vuông góc chung của AA' và B'C' .
Dùng định lý Pitago trong tam giác vuông AKH (vuông tại K) ta tính được KH
Bài tập 22: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC' và CD'. 
Giải : Ta xét hai mặt phẳng (A'BC') và (ACD') chứa hai cạnh BC' và CD'
do (A'BC')//(ACD') nên khoảng cách giữa BC' và CD' chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng ((A'BC') với (ACD').